数学模型与系统建模

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1、2.1 概述概述v科学的数学化是当代科学发展的一个主要科学的数学化是当代科学发展的一个主要趋势。趋势。 v数学模型（数学模型（mathematical model）是）是数学数学理论与实际问题相结合的一门科学。理论与实际问题相结合的一门科学。v为解决各种复杂的实际问题，建立数学模为解决各种复杂的实际问题，建立数学模型是一种十分有效并广泛使用的工具或手型是一种十分有效并广泛使用的工具或手段。段。1弹簧特性曲线弹簧特性曲线22.1.1 数学模型的定义数学模型的定义v“数学模型是关于部分现实世界和为一种数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。特殊目的而作的一个抽象的、

2、简化的结构。” v具体来说，数学模型就是为了某种目的，具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数字及其它数学符号建立起来的用字母、数字及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。构表达式。3车身与车轮两个自由度振动系统模型及其运动方程车身与车轮两个自由度振动系统模型及其运动方程42.1.2 系统类型系统类型v1.连续或离散系统连续或离散系统连续系统连续系统-RLC串联电路串联电路5离散系统离散系统62.1.2 系统类型系统类型v2.线性或非线性系统线性或非线

3、性系统v非线性系统用非线性微分方程表示非线性系统用非线性微分方程表示 线性定常系统线性定常系统 线性时变系统线性时变系统 72.1.2 系统类型系统类型v3.集中参数或分布参数系统集中参数或分布参数系统v可以用有限个变量描述的系统，称为可以用有限个变量描述的系统，称为集中参数集中参数系统系统或集总参数系统。或集总参数系统。 v状态变化不能只用有限个参数而必须用场（一状态变化不能只用有限个参数而必须用场（一维或多维空间变量的函数）来描述的系统，称维或多维空间变量的函数）来描述的系统，称为分布参数系统。为分布参数系统。 8分布参数系统问题分布参数系统问题-风洞试验研究机翼颤振风洞试验研究机翼颤振9

4、2.1.2 系统类型系统类型v 4.确定或随机系统确定或随机系统v确定系统指用确定性的数学模型来描述，输出确定系统指用确定性的数学模型来描述，输出和输入变量之间有完全确定的函数关系。和输入变量之间有完全确定的函数关系。 v随机系统则由于系统内部或环境发生不确定的随机系统则由于系统内部或环境发生不确定的变动，影响输出变量。变动，影响输出变量。 102.1.2 系统类型系统类型v5.单变量或多变量系统单变量或多变量系统 单变量系统，是指只有一个输入量和一个单变量系统，是指只有一个输入量和一个输出量的系统。输出量的系统。v例：压力或流量调节系统例：压力或流量调节系统v 天线的随动系统天线的随动系统v

5、 坦克的火炮稳定装置坦克的火炮稳定装置 11v具有多个输入量或输出量的系统，称多变具有多个输入量或输出量的系统，称多变量系统量系统 汽轮机的蒸汽压力和转速控制汽轮机的蒸汽压力和转速控制 12涡轮螺旋桨发动机转速和涡轮进气温度的控制涡轮螺旋桨发动机转速和涡轮进气温度的控制132.1.3 建模要求建模要求v1.真实完整真实完整v2.简明实用简明实用v3.适应变化适应变化142.2 数学模型数学模型 现实问题现实问题 数学问题数学问题 建立数学模型建立数学模型各各种种分分析析方方法法和和计计算算机机工具工具 对系统进行分析、综合和仿真对系统进行分析、综合和仿真152.2.1 数学模型的作用数学模型的

6、作用v首先帮助人们加深对客现世界的认识首先帮助人们加深对客现世界的认识 v其次提高人们的决策和对客现世界的干预其次提高人们的决策和对客现世界的干预能力能力 数学模型的作用数学模型的作用 16根据建模目标建立真实世界系统根据建模目标建立真实世界系统172.2.2 集合、抽象与数学模型真实世界的现象真实世界的现象数学模型数学模型相互关系如何建立抽象 18v集合的概念是建立在抽象基础上的，集合集合的概念是建立在抽象基础上的，集合的运算允许我们不必详细说明细节而去处的运算允许我们不必详细说明细节而去处理抽象后的关系。理抽象后的关系。v有限集合：如有限集合：如v无限集合无限集合 ：如整数集合，：如整数集

7、合， 19现象现象抽象抽象集合集合输入输入输出输出状态变量状态变量复合集合结构 定义函数关系理论构造理论构造 具体化202.2.3 数学模型的形式化表示方式v一个系统可以被定义成下面的七元集合结构一个系统可以被定义成下面的七元集合结构vT为时间基；为时间基；X为输入集；为输入段集；为输入集；为输入段集；Q为内部状为内部状态集；态集；Y为输出集；为输出集；为状态转移函数；为状态转移函数；为输出函为输出函数。数。 21v(1)时间基：时间基：T是描述时间和为事件排序的一是描述时间和为事件排序的一个集合。个集合。 22v(2)输入集：输入集：X代表系统界面的一部分，外部代表系统界面的一部分，外部环境

8、通过它作用于系统。环境通过它作用于系统。 外部环境外部环境信息流和物质流信息流和物质流 系统系统23v(3)输入段集：一个输入段描述某时间间隔内系统输入段集：一个输入段描述某时间间隔内系统的输入模式的输入模式 。v 是时间基中从初始时刻到终止时刻的一个区是时间基中从初始时刻到终止时刻的一个区间，所有上述输入片段所构成的集合都记作间，所有上述输入片段所构成的集合都记作（X,T），输入段集是），输入段集是(X,T)的一个子集。的一个子集。24v(4)内部状态集：表示系统的记忆，即过去内部状态集：表示系统的记忆，即过去历史的遗留物，它影响着现在和将来的响历史的遗留物，它影响着现在和将来的响应。是内部

9、结构建模的核心。应。是内部结构建模的核心。v例例 X为状态集，是系统建模的核心。为状态集，是系统建模的核心。25v(5)状态转移矩阵：状态转移矩阵函数是一个映射状态状态q 时刻系统状态时刻系统状态输入集输入集 施加输入集施加输入集状态状态q时刻系统状态时刻系统状态26v(6)输出集：除方向不同外，输出集的含义输出集：除方向不同外，输出集的含义和输入集的完全相同。和输入集的完全相同。v (7)输出函数：输入函数使假想的系统内部输出函数：输入函数使假想的系统内部状态与系统对其环境的影响相关联。状态与系统对其环境的影响相关联。或或272.2.4 模型的有效性与建模形式化实际系统数据实际系统数据 模型

10、产生的数据模型产生的数据 二者的符合程度度量模型的有效性二者的符合程度度量模型的有效性 三个不同级别的模型有效：三个不同级别的模型有效：复制有效、预测有效和结构有效复制有效、预测有效和结构有效 28(1)行为水平行为水平v人们在这个水平上描述系统，是将它看成人们在这个水平上描述系统，是将它看成一个黑盒，并且对它施加一个输入信号，一个黑盒，并且对它施加一个输入信号，然后对它的输出信号进行测量与记录。然后对它的输出信号进行测量与记录。29(2)状态结构水平状态结构水平v人们在这个水平上描述系统，建模者对实人们在这个水平上描述系统，建模者对实际系统的内部工作情况了解清楚，且掌握际系统的内部工作情况了

11、解清楚，且掌握了实际系统的内部状态及其总体结构。了实际系统的内部状态及其总体结构。 30(3)分解结构水平分解结构水平v把实际系统描述为由许多子系统相互连接把实际系统描述为由许多子系统相互连接起来而构成的一个整体。起来而构成的一个整体。 312.3 数学建模的基本方法数学建模的基本方法322.3.1 建模过程的信息源建模过程的信息源真实世界中的物体真实世界中的物体或与此有关的信息或与此有关的信息 加工处理模型描述模型描述数学建模的信息源33v(1)目标和目的目标和目的 v(2)先验知识先验知识 牛顿说过：牛顿说过：“假如我看得远，那假如我看得远，那是因为我站在巨人的肩上是因为我站在巨人的肩上”

12、。 v(3)实验数据实验数据 342.3.2 建模途径建模途径v(1)演绎法：从一般到特殊演绎法：从一般到特殊 v(2)归纳法：从特殊到一般归纳法：从特殊到一般v(3)目标法：直接指向建模的特定目标目标法：直接指向建模的特定目标 v单纯采用上述方法很难获得有效的结果，单纯采用上述方法很难获得有效的结果，所以通常是综合采用之。所以通常是综合采用之。 352.3.3 模型可信度模型可信度v可信度一方面取决于模型的种类，另一方可信度一方面取决于模型的种类，另一方面又取决于模型的构造过程。面又取决于模型的构造过程。v1) 在行为水平上的可信度在行为水平上的可信度v2) 在状态结构水平上的可信度在状态结

13、构水平上的可信度v3) 在分解结构水平上的可信度在分解结构水平上的可信度362.3.4 建模过程建模过程372.3.5 建模的逻辑思维方法建模的逻辑思维方法v(1)分析综合能力；分析综合能力；v(2)抽象概括能力；抽象概括能力；v(3)想象洞察能力；想象洞察能力；v(4)运用数学工具的能力；运用数学工具的能力；v(5)通过实践验证数学模型的能力。通过实践验证数学模型的能力。382.3.5 建模的逻辑思维方法建模的逻辑思维方法v建立数学模型是建立数学模型是一种积极的思维一种积极的思维活动，从认识论活动，从认识论角度看，它是一角度看，它是一种极为复杂且应种极为复杂且应变能力很强的心变能力很强的心理

14、现象。理现象。 39几种逻辑思维方法几种逻辑思维方法v抽象抽象:从众多的事物中抽取出共同的、本质性从众多的事物中抽取出共同的、本质性的特征，而舍弃其非本质的特征。的特征，而舍弃其非本质的特征。 抽抽象象出出共共同同特特征征：水水果果40v归纳：归纳：从特殊的具体的认识推进到一般的抽象从特殊的具体的认识推进到一般的抽象认识的一种思维方式。认识的一种思维方式。多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间有什么关系呢？ 41分析这些特例数据的基础上就可归纳出一个结论：42v 演绎：演绎：由一般性的命题推出特殊命题的推理由一般性的命题推出特殊命题的推理方法。方法。 十角形确定它十角形确定它有多少条对角有多少条

15、对角线线 ？43v一般原理 v本例，n=10，n-角数，L-对角线数44v类比：类比：由两个对象的某些相同或相似的性质，由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其它性质上也有可能相同或相似的推断它们在其它性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。一种推理形式。 v例：汽车悬架系统汽车悬架系统 力学类比力学类比45汽车悬架系统质量汽车悬架系统质量-弹簧弹簧-减振器二阶线性微分方程减振器二阶线性微分方程 RLC串联电路的数学模型为串联电路的数学模型为46vRLC并联电路的数学模型v比较上述三式，不难得到所示的类比关系 v汽车悬挂系统可以采用电路类比模型，改变电路中元汽车悬挂系统可以采用电路类比模

16、型，改变电路中元件数值来预测汽车的性能，从而为汽车的设计提供依件数值来预测汽车的性能，从而为汽车的设计提供依据。据。 47v移植：移植：将某个学科、领域中的原理、技术、方将某个学科、领域中的原理、技术、方法等，应用或渗透到其它学科、领域中，为解法等，应用或渗透到其它学科、领域中，为解决某一问题提供启迪、帮助的创新思维方法。决某一问题提供启迪、帮助的创新思维方法。 手术拉链代替线缝合手术拉链代替线缝合48材料移植：玻璃纤维取代钢来制造坦克的外壳材料移植：玻璃纤维取代钢来制造坦克的外壳 492.4 数学模型常用的表述形式数学模型常用的表述形式v 差分方程的模型形式差分方程的模型形式 差分方程是在离

17、散时段上描述现实世界中差分方程是在离散时段上描述现实世界中变化过程的数学模型。变化过程的数学模型。k阶差分(k为正整数)定义为50微分方程的模型形式微分方程的模型形式 普通普通n阶线性微分方程式可写为：阶线性微分方程式可写为： RLC串联电路微分方程串联电路微分方程51 偏微分方程的模型形式偏微分方程的模型形式v为得到更精确的描述采用偏微分方程为得到更精确的描述采用偏微分方程专业数值分析软件包专业数值分析软件包FEMAB，以偏微分方程，以偏微分方程(PDEs） 为基础，来建立模型并且解决科学及工程问题。为基础，来建立模型并且解决科学及工程问题。 522.5 工程系统常用的数学模型工程系统常用的

18、数学模型v工程上常用的数学模型可分为连续系统的工程上常用的数学模型可分为连续系统的数学模型和离散系统的数学模型。数学模型和离散系统的数学模型。 532.5.1 连续系统连续系统 v连续系统的数学模型通常可用几种形式表连续系统的数学模型通常可用几种形式表示：示：v微分方程微分方程v传递函数传递函数v状态空间表达式状态空间表达式v线性结构图线性结构图v非线性结构图非线性结构图54微分方程微分方程v一个连续系统可以表示为高阶微分方程，一个连续系统可以表示为高阶微分方程，即即v连续系统本来就是和时间联系在一起的，连续系统本来就是和时间联系在一起的，因此微分方程及其时域解是最基本的描述因此微分方程及其时

19、域解是最基本的描述方式。方式。 55传递函数传递函数v单输入单输入-单输出线性定常系统的传递函数定单输出线性定常系统的传递函数定义为系统松弛（初始条件为零的系统称初义为系统松弛（初始条件为零的系统称初始松弛系统）时，输出量的拉普拉斯变换始松弛系统）时，输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比。与输入量的拉普拉斯变换之比。 56状态空间表达式状态空间表达式 v状态空间表达式由状态方程和输出方程组状态空间表达式由状态方程和输出方程组成成57权函数（脉冲过渡函数）权函数（脉冲过渡函数）v一个零初始条件的连续系统，受到一个狄拉克函一个零初始条件的连续系统，受到一个狄拉克函数的作用后，其响应就称为

20、系统的权函数或称脉数的作用后，其响应就称为系统的权函数或称脉冲过渡函数。冲过渡函数。狄拉克函数狄拉克函数58线性结构图表示线性结构图表示v 线性结构图组合弹性系统组合弹性系统 线性结构图线性结构图59非线性结构图表示非线性结构图表示v在一个线性系统中加入了若干个非线性环在一个线性系统中加入了若干个非线性环节，就构成了非线性结构图。节，就构成了非线性结构图。 死区死区-滞环滞环-开关非线性系统开关非线性系统602.5.2 离散系统离散系统v离散系统常用的数学模型有差分方程、离散系统常用的数学模型有差分方程、z传传递函数、离散状态空间表达式、线性结构递函数、离散状态空间表达式、线性结构图和非线性结

21、构图。图和非线性结构图。61差分方程差分方程 v差分方程的一般表达式为差分方程的一般表达式为62z传递函数（简称传递函数（简称z函数）函数） v对差分方程进行对差分方程进行z变换，得变换，得G(z)称为系统的称为系统的z函数。函数。 63离散状态空间表达式离散状态空间表达式64权序列权序列v一个零初始条件的离散系统，当它受到一一个零初始条件的离散系统，当它受到一个个函数的作用后，其响应称为权序列函数的作用后，其响应称为权序列 函数函数 65线性结构图表示线性结构图表示 SISO离散闭环系统离散闭环系统 66非线性结构图表示非线性结构图表示 带有滞后的调节过程带有滞后的调节过程 672.6 数学

22、模型之间的转换数学模型之间的转换v2.6.1化连续状态方程为离散状态方程化连续状态方程为离散状态方程连续系统方程为其离散状态表达式为682.6.2 化离散状态方程为连续状态方程化离散状态方程为连续状态方程v设已知系统的离散模型为设已知系统的离散模型为相应的连续模型为相应的连续模型为692.6.3 化微分方程为状态方程化微分方程为状态方程v(1)当系统输入量中不含有导数项，即当系统输入量中不含有导数项，即转化为转化为其中其中70v状态空间表达式可写作状态空间表达式可写作状态空间表达式可写作状态空间表达式可写作712.6.4 化状态方程为传递函数化状态方程为传递函数v设系统的状态空间表达式为设系统

23、的状态空间表达式为 相应的传递函数矩阵为相应的传递函数矩阵为 722.6.5 化传递函数为状态方程化传递函数为状态方程v 闭环系统闭环系统 闭环系统传递函数方框图闭环系统传递函数方框图 对应的状态方程对应的状态方程732.6.6 化结构图为状态方程化结构图为状态方程v(1)积分环节积分环节v(2)惯性环节惯性环节v(3)二阶振荡环节二阶振荡环节其对应的状态空间方程为其对应的状态空间方程为 它对应的状态空间方程为它对应的状态空间方程为 它对应的状态空间方程为它对应的状态空间方程为742.6.7 化结构图为传递函数化结构图为传递函数 系统结构图系统结构图其传递函数可按梅逊定理表示为其传递函数可按梅

24、逊定理表示为752.6.8 化传递函数为化传递函数为z函数函数v传递函数和函数的对应关系传递函数和函数的对应关系v 例：得762.6.9 化化z函数为传递函数函数为传递函数vZ函数Z函数与传递函数的关系函数与传递函数的关系得传递函数得传递函数772.7 复杂系统建模的几种方法复杂系统建模的几种方法 v客观事物中有许多复杂系统，它包含非线客观事物中有许多复杂系统，它包含非线性、时变性、不确定性、不稳定性、模糊性、时变性、不确定性、不稳定性、模糊性、难于预测的涌现性等。性、难于预测的涌现性等。 v这种复杂系统在基础科学、应用科学和技这种复杂系统在基础科学、应用科学和技术、工程建设、社会、经济和军事

25、领域大术、工程建设、社会、经济和军事领域大量存在，一般不易直接求解，这也是当前量存在，一般不易直接求解，这也是当前建模与仿真技术中的一个前沿方向。建模与仿真技术中的一个前沿方向。 782.7.1 图解建模法图解建模法v图解建模法是一种采用点和线组成的、用以描述系统的图图解建模法是一种采用点和线组成的、用以描述系统的图形或称图的建模方法。形或称图的建模方法。 v图解建模法是一种非常有用的建模方法。人们可从中获得图解建模法是一种非常有用的建模方法。人们可从中获得变量之间关系的总体图像，并凭借直觉推导出结果。变量之间关系的总体图像，并凭借直觉推导出结果。v它主要用于变量不多（它主要用于变量不多（23

26、个），而信息也不充分的条件个），而信息也不充分的条件下分析变量之间的定性关系。下分析变量之间的定性关系。v具体作用有两方面：具体作用有两方面：平衡点分析；平衡点分析；稳定性分析。稳定性分析。79（一）平衡点分析（一）平衡点分析v例例1 蛛网模型蛛网模型v在自由竞争的市场经济中，商品的价格是由供在自由竞争的市场经济中，商品的价格是由供求双方决定的。求双方决定的。 v假定商品的供给量假定商品的供给量S是价格是价格p的函数，由的函数，由p唯一唯一决定，即有决定，即有S=f(p)。商品的需求量。商品的需求量D也是价格也是价格p的函数，由的函数，由p唯一决定，即有唯一决定，即有D=g（p）。）。 一般一

27、般80商品数量和价格将按商品数量和价格将按A-B-C-E方向方向趋向点趋向点M。点。点M是稳定平衡点。是稳定平衡点。需需求求曲曲线线D与与供供应应曲曲线线F商品的数量和价格将按商品的数量和价格将按A-B-C-E方向方向远离点远离点M，点，点M是不稳定平衡点。是不稳定平衡点。 稳定与否取决于点稳定与否取决于点M附近曲线斜率附近曲线斜率 81城市公交线路网络图的最短路径与乘车路线问题城市公交线路网络图的最短路径与乘车路线问题8283城市公交线路网络图的最短路径与乘车路线问题城市公交线路网络图的最短路径与乘车路线问题 八八条条公公交交路路线线 84将一个城市的所有公交站点和公交线路转化为下列元素为将

28、一个城市的所有公交站点和公交线路转化为下列元素为0、1的数表：的数表： 851)对应于单目的地的最短乘车路线对应于单目的地的最短乘车路线假设我们要找乘车路线： 86872)对应于多目的地的最短乘车路线对应于多目的地的最短乘车路线v乘车任务乘车任务 ：目的地是一个站点集合，没有：目的地是一个站点集合，没有先后次序，先后次序， 五个站点的距离矩阵五个站点的距离矩阵88对应的无向网络图对应的无向网络图 容易看出，乘车路线容易看出，乘车路线 最短最短 89城市公交线路网络示意图城市公交线路网络示意图 902.7.2 层次分析法层次分析法v层次分析法层次分析法(Analytic Hierarchy Pr

29、ocess，AHP)是美国著名运筹学家、匹兹堡大学教是美国著名运筹学家、匹兹堡大学教授授T.L.Saaty于于20世纪世纪70年代提出的一种简年代提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法，是便、灵活而又实用的多准则决策方法，是一种定性和定量相结合的，系统化、层次一种定性和定量相结合的，系统化、层次化的分析方法。化的分析方法。 91例例1 防空导弹射击指挥中的目标威胁评估与排序防空导弹射击指挥中的目标威胁评估与排序v目标威胁评估与排序是防空导弹作战中的关键问目标威胁评估与排序是防空导弹作战中的关键问题之一，是火力分配的主要依据。题之一，是火力分配的主要依据。 威胁排序的层次结构模型威胁排序的

30、层次结构模型威胁程度威胁程度到达时间到达时间航程捷径航程捷径目标类型目标类型机动特性机动特性目标目标1目标目标n92v判断矩阵v求特征权向量及最大特征值93v)进行一致性检验进行一致性检验 表明判断矩阵具有满意的一致性，即特征权向量表明判断矩阵具有满意的一致性，即特征权向量 较客观的反映了到达时间、航程捷径、目标类型和机较客观的反映了到达时间、航程捷径、目标类型和机动特征对威胁的动特征对威胁的“贡献贡献”。94例例2 公交车天然气发动机选型公交车天然气发动机选型v(1)基本数据对比基本数据对比v发动机的经济性发动机的经济性v发动机的动力性发动机的动力性95v发动机的可靠性发动机的可靠性v(2)

31、建立层次模型建立层次模型96v计算得到计算得到v可以确定上柴可以确定上柴T6114ZLQ4B型发动机为所型发动机为所选择的发动机。选择的发动机。972.7.3 概率统计法概率统计法v随机模型最合理的建模方法是采用概率统随机模型最合理的建模方法是采用概率统计的手段。计的手段。 v采用哪种分布，或必须拒绝哪些分布采用哪种分布，或必须拒绝哪些分布 ？v利用足够的观测数据可以合理选择概率分利用足够的观测数据可以合理选择概率分布布 98复合系统可靠度复合系统可靠度也可写成也可写成99v计算得即即代入代入100，得，得即该小型计算机系统可靠工作即该小型计算机系统可靠工作100h的概率为的概率为0.5。100