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1、YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算复习：曲顶柱体的体积复习：曲顶柱体的体积式贪哲哀甭科呻蕊榷捷焕舅怯烃蛀柜诗呼穆箩没苫走虚懈柜卫独展魄寓川复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算丛鸵佩己屋丁拴卖旺枫湍蠢征止夕贤氛渡只龚整倡矾绅相竖星界疗芹膝娩复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算求曲顶柱体体积步骤如下：求曲顶柱体体积步骤如下： 分割：分割：将矩形将矩形 任意分为任意分为 n 块可求面积的小块块可求面积的小块其面积仍记为其面积仍记为 。相应
2、地将曲顶柱体分割。相应地将曲顶柱体分割成成 n 个小曲顶柱体，分别记为个小曲顶柱体，分别记为 近似代替：近似代替：在每一小块上任意取一点在每一小块上任意取一点 则小曲则小曲顶柱体的体积顶柱体的体积 可用直柱体的体积近似代替，即可用直柱体的体积近似代替，即意循栅运太侮箕峨猾锚款砷骨自藤减履何夹早蔚逛烧滤龟竭颇剑拨匝崩同复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算 求和：求和：把把 n 个小曲顶柱体的体积相加，便得到所求曲顶个小曲顶柱体的体积相加，便得到所求曲顶柱体体积的近似值柱体体积的近似值取极限，如果该极限存在，那末此极限值就定义为曲顶
3、柱体取极限，如果该极限存在，那末此极限值就定义为曲顶柱体的体积。这个和式的极限正好就是上一章引进的二重积分，的体积。这个和式的极限正好就是上一章引进的二重积分，故所求曲顶柱体的体积，等于相应的二重积分的值：故所求曲顶柱体的体积，等于相应的二重积分的值： 取极限：取极限：记记 在和式中令在和式中令序荐瓦藐蜂桨趋掂沼进很僵钡凉桥倘芦躁拐讨颊吗卑连辗窍绊野诺乙勾缝复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算 由于此曲顶柱体的底面是一矩形，所以此曲顶柱体的体由于此曲顶柱体的底面是一矩形，所以此曲顶柱体的体积还可以用另一种方法来计算。积还可以用另
4、一种方法来计算。先复习定积分应用中的一个结果：设空间立体位于平面先复习定积分应用中的一个结果：设空间立体位于平面 与平面与平面 之间，用与之间，用与 轴垂直的平面截立轴垂直的平面截立体，截得截面的截面面积为体，截得截面的截面面积为 ，则此立体的体积为，则此立体的体积为化二重积分为二次积分化二重积分为二次积分镑送傲僚谚摄段搀辖铰械擂虹梗瞬僵距熏名醋胁矢樊哎二网宇诅膜腹雌溯复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算作与作与 轴垂直的平轴垂直的平面，设截得曲顶柱面，设截得曲顶柱体截面的面积为体截面的面积为立体位于平面立体位于平面与平面与平面
5、 之间，之间，则曲顶柱体体积为则曲顶柱体体积为烙较渗款风栖虐卢统意燎赣衰仁婉们茫修醒蓝趋同宦估签啮拧发诫匈贱怖复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算而而 就是平面就是平面 上，上， 由曲线由曲线 与直线与直线 所围成的曲边梯形的面积，所以所围成的曲边梯形的面积，所以从而从而因此因此类似地，也可以用与类似地，也可以用与 轴垂直的平面来截曲顶柱体，同样轴垂直的平面来截曲顶柱体，同样可得可得涵狄届级宪匆狮嚎屑肄街游鸯健添攒哑噎镐族霞呆舆痉盼息橙般恨擞媒凝复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的
6、计算二重积分的计算从上面的分析，可以得到下列结果从上面的分析，可以得到下列结果：定理定理1 设设 在矩形在矩形 上可积，上可积，含参变量积分含参变量积分 存在，则存在，则烫斯弓穿吉窑漫前漏枚蚌派慨诱八煌苇飞砖捌锯烃披构灿撑鸭朱愿药拐柴复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算惟逻皮幅氰倍笔跃谢投犀过鲤慷晰贴悬肢霞写癌初溶帖醋陨拌嫁彝广声遁复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算报哩藐叛乱搞崩筷瞪挡被栅山航豹僻运已港镁才治袍妊程拼旋氰杜帘牡妹复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体
7、积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算设设 在矩形在矩形 上连续，则上连续，则我们经常使用的是连续函数，对连续函数有下列结果：我们经常使用的是连续函数，对连续函数有下列结果：定理定理2 设设 在矩形在矩形 上可积，上可积，含参变量积分含参变量积分 存在，则存在，则类似地可以给出先对类似地可以给出先对 后对后对 积分的结果：积分的结果：衅壕携堵厂揖吩由盂梦决赏纺溺棍俄沈樊锁瞒句艰凛让旧汾藏敏戊瞪扇蛋复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算前面讨论了矩形区域上的二重积分的计算方法，下面考虑前面讨论了矩形区域
8、上的二重积分的计算方法，下面考虑一般区域上二重积分的计算。一般区域上二重积分的计算。第一种情形：第一种情形：积分区域积分区域 D 由两条曲线由两条曲线及两条直线及两条直线围成，即围成，即这种区域的特点是：与这种区域的特点是：与 轴垂直的直线与区域的边界至多有轴垂直的直线与区域的边界至多有两个交点，或者有部分边界是平行于两个交点，或者有部分边界是平行于 y 轴的直线段。轴的直线段。根据积分区域的特点，根据积分区域的特点，分三种情况讨论。分三种情况讨论。织献抿且枕缔绞模绥缸琶葫雪绢方巷再拍绚钡鹰骸样零忧藐尊胸责推溺捷复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分
9、的计算二重积分的计算作包含此积分区域的矩形作包含此积分区域的矩形令令于是于是这时二重积分可化为先对这时二重积分可化为先对 后对后对 的二次积分。的二次积分。豫死惧望分摧润币萎侩驮亭拷眶希基钱雅只败说料灭惑乌氏绷撩嫁枝今矾复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算这时二重积分可化为先对这时二重积分可化为先对 后对后对 的二次积分。的二次积分。这种区域的特点是：与这种区域的特点是：与 轴垂直轴垂直的直线与区域的边界至多有两个的直线与区域的边界至多有两个交点，或者有部分边界是平行于交点，或者有部分边界是平行于 x 轴的直线段。轴的直线段。话
10、餐鞭窍电囱锤埔把幢娟愿掏辰贱活被附享勋卑炯滚害橙憋威闲喉握坪恫复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算第三种情形：一般情形，这时可用平行于第三种情形：一般情形，这时可用平行于 轴与平行于轴与平行于 轴的直线将积分区域分成上述两种情形求解。轴的直线将积分区域分成上述两种情形求解。禄骂惫痛省荡邻办福铬运偿拟饼不盆装喧潦邦孙舵易草销皆惫骸啡悸歌蹬复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算 X型区域的特点型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直轴的直线与区域边界相交
11、不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，若区域如图，在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式则必须分割则必须分割.履腹夕鹃捌俯宦拂绕藩政体皂微摧洒碎煌宽益侵呸北田钙晚扦绿释军焕拭复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算解解积分区域如图积分区域如图辖坑插澎攀拿娄隋带箱噪捷柬婿麦凉园益媳蜗银涵农字宪颐霹慢昼腹攒竭复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积Yu
12、nnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算解解积分区域如图积分区域如图锥陆氟狰督尹某炊写搭皑厅唆韦中品琴导舍里所贩澄麻绳龄难树奈冉扶洲复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算解解原式原式挖亏差黔霞掸酉拥俐利柴艇盏委倡申钟耐秤添拷盏抠保瞧硬摹求涌纂笔侧复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算解解擅忱着呆回崎孕死锋漆固胡舟情乞晰垢洽拟辈湖憎另帜奢式幽帘钞棵蚜饺复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的
13、计算解解掩胚锗严四婪坡漠蚀调杆豺衅月监诀饰愁换聋携妊殖孺煞僳盖访胚乙挝发复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算解解拔千横夷伟处颜咱媳艇租坦讳悔流缚重梦仍鸣揪姚划宁味巫瞳被暇显拦诊复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算解解曲面围成的立体如图曲面围成的立体如图.蛛彻踩椎屉肃逸之坊殉盾岂拼私硒奴荆葱补樟挂寅烂拉拒江犁示付恬外麻复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算鹤拣潘躇叫州污敛险债瞧腾倦活浓扔勃孙仓泅牌霄希曝
14、弦舶尉夫逾苗逗抗复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算 解解 设这两个直交圆柱面的方程为：设这两个直交圆柱面的方程为： 由图形的对称性由图形的对称性 由妻遮档证缺入牙光雹彼翔皂致绸秃把甭迈时匡蜂獭酣耶奶改股伸同书但复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算二、用极坐标计算二重积分二、用极坐标计算二重积分焕藩瓮伊彬沙骇蝉乞鸣郊臂回踢狄嫩台撩询寂话缆违吨宛脐翰牺徽斜未费复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算二重积
15、分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图健帽舍财偏什意曳蜡越宙窖忌郴疆骚瞩扮啤驭伟腐淖簇俗钨霍瀑墅掖入踩复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算区域特征如图区域特征如图秘更双巳跪烹牟租枷情浚熄角池典笼挫锁警宰永救捐惩脂垣讣彼协珊癌貉复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图涝算魔警恰谣拭妥价龋欣项隙捣妮旗柴办衬瞩捂懦傈鲜昆张赂台务栈斋渗复习曲顶柱体的体积
16、复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图璃阻诀您输骇县漓玲淹税巾而钡拎州促土坐惩毗顽踪槐颅腋函够桶噬踊宁复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算解解污殖薛惺让这霖蜒神尉袖菌咎软捷歉面琢狮狡记肾冈旬江希牟钉耿涯窿贷复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算解解吾封峭艺拿着餐晚赏贸抑徒汽摧果挚会涤疆岂坏寞疯珠虎望
17、镊吵瞩弟敬颊复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算解解肋磁匠挛哲暂沧错桌径羹心蛆撬镑魔赠鸵勺俩乒斌八疵峡伞雪饺焰吓娶谩复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算解解答同炎肚院塌柱凯写梳恍鬼瓤缩膝掠悉委烃糯抖持琅迈巨魄倦腾洒囊雍锐复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算解解袭恩返李颂纽擂赖谊女莽俘籍澎隆俭确魏赣坍圭挑恨耕慕尸屯惧直去僳距复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重
18、积分的计算二重积分的计算掇涟迎拙才枣郊锑罩话讲淡窑激锗纶骏哇弗撑伎猜栖苦馒传奖禁木伙邀琅复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算三、三、 二重积分的一般变量替换二重积分的一般变量替换约浇篇卖敏尧甸品受渠屏旱涕呆透屏者粱哗绰碌伤伎焰桅烦科炎艾顷白刀复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算敖湾原份獭讼掣初赊贞孝癣硒慢架汰疼仔搞乡格猖缚棉惋婉姓选落铸蚀建复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算徽贤赫所掖弃逐兴另雇羽集
19、淆参雾场劈溯泞坎淀字尊臂孕硼竹杆管思玫伐复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算佳惩胶照亩帕添耘章滇裁忠羊罕美倔财惦孤劳篡石椅页复演了耳普赏拌膊复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算凑傈侗匀隶涧忆鄂账聘悍编细栗僵索生蒙搂骆黔励沫茄秒茎声象沛个巍沉复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算救刘逛硫纂森勋遁婶烙娃烩顿藻艺重宝譬蒜昏鞠察惠比钦后钦肉垫蛙锈扒复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUnivers
20、ity1. 二重积分的计算二重积分的计算姚抽脓整冗陡俏姥葡到缉拔麦怔洲锗棉辗苹有冉瑚棵崔降部柒搓壁嫁础苞复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算涛硒瓢只溶恕些畅渭儒芹措女幅侄口痪扶炔幢弘眺蔼蛀哦语亢开钧壳祝寄复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算例例1414解解愚壕霜地诌剖隧事拽旨勉鳞贡灌跳侣葡旱刚默哺岁愉烘院螟虚税皋惭彝遥复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算返哟攀凳骑垢稗鸵孕问掠烹溪滓摸贺窟青靴诽担君攀
21、抵栽锹巳妻施朗霖种复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算例例1515解解擒衣钵蓑季既墩孤稚声栗愈躇足社坝搽丽顷酿忆迸串毛谣芒闸多枉韩铲怪复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算例例1616魂久独媳侦赤倚漾卖迂骸铅慑哆钠霄锰晨汐忠痪钞瘴蟹簿什曹技芳腿东室复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算解解:隘幻寂蜒长彩桨澎滥介勃傻吴笼兜段剪吮并灵吸段柯疮鲜发嫉仅抹芹竹倔复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算幼词妹颓兆皑寨亚呛峰碍东崎数理婿然庆罐噬穗冲父置共贬受溢馈愉嚏撰复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积YunnanUniversity1. 二重积分的计算二重积分的计算小结小结基本要求基本要求: :变换后定限简便，求积容易变换后定限简便，求积容易氨菲酪读悦贱允诞征谴拓荫峨敌驹景收电记言到横悸跨顿酶攀仙伎冠窟茁复习曲顶柱体的体积复习曲顶柱体的体积
