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1、2021/6/161 本章在达朗伯原理和虚位移原理的基础上,进一步导本章在达朗伯原理和虚位移原理的基础上,进一步导出动力学普遍方程和拉格朗日第二类方程(简称拉格朗日出动力学普遍方程和拉格朗日第二类方程(简称拉格朗日方程)。动力学普遍方程和拉格朗日方程是研究动力学问方程)。动力学普遍方程和拉格朗日方程是研究动力学问题的有力手段,在解决非自由质点系的动力学问题时,显题的有力手段,在解决非自由质点系的动力学问题时,显得十分简捷、规范。得十分简捷、规范。2021/6/162 171 动力学普遍方程动力学普遍方程 172 拉格朗日第二类方程拉格朗日第二类方程 173 拉格朗日第二类方程的积分拉格朗日第二
2、类方程的积分 第十七章第十七章 拉格朗日方程拉格朗日方程2021/6/163 设质点系有设质点系有n个质点个质点,第i个质点 若质点系受有理想约束若质点系受有理想约束,将 作为主动力处理,则:解析式解析式:17-1动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程。动力学普遍方程。2021/6/164 例例1 三棱柱B沿三棱柱A的光滑斜面滑动,三棱柱A置于光滑水平面上,A和B的质量分别为M和m,斜面倾角为 。试求三棱柱A的加速度。 解解:研究两三棱柱组成的系统。该系统受理想约束,具有两个自由度。 在理想约束的条件下,质点系的各质点在任一瞬时受到的在理想约束的条件下,质点系的各质点在任一瞬时受到的主动力
3、与惯性力在任意虚位移上所作的虚功之和为零。主动力与惯性力在任意虚位移上所作的虚功之和为零。2021/6/165 由动力学普遍方程: 系统为二自由度,取互不相关的 为独立虚位移,且 ,所以 解得:2021/6/16617-2拉格朗日第二类方程拉格朗日第二类方程 设质点系有n个质点,受s个完整约束且系统所受的约束是理想约束,自由度 k=3n- s 。下面推导以广义坐标表示的动力学普遍方程的形式。质点 。若取系统的一组广义坐标为 ,则称 为广义速度广义速度。2021/6/167 代入质点系动力学普遍方程,得:2021/6/168 称 为广义力广义力 广义惯性力2021/6/169 广义惯性力可改变为
4、用质点系的动能表示 , 因此为简化计算 , 需要用到以下两个关系式:下面来推导这两个关系式: 第一式只须将(b)式两边对 求偏导数即可得到。 2021/6/1610 第二式可比较(a)式先对ql求偏导数 再对t求导数与(b)式对ql求偏导数的结论得出。拉格朗日第二类动力学方程,简称拉格朗日方程。拉格朗日第二类动力学方程,简称拉格朗日方程。2021/6/1611 如果作用于质点系的力是有势力,则广义力 可用质点系的势能来表达。而拉氏方程为:引入拉格朗日函数:引入拉格朗日函数:L=T-U 则:保守系统的拉格朗日方程。保守系统的拉格朗日方程。2021/6/1612 应用拉氏方程解题的步骤:应用拉氏方
5、程解题的步骤: 1. 判定质点系的自由度判定质点系的自由度k,选取适宜的广义坐标。必须注意:,选取适宜的广义坐标。必须注意:不能遗漏独立的坐标,也不能有多余的(不独立)坐标。不能遗漏独立的坐标,也不能有多余的(不独立)坐标。 2. 计算质点系的动能计算质点系的动能T,表示为广义速度和广义坐标的函数。,表示为广义速度和广义坐标的函数。 3. 计算广义力计算广义力 ,计算公式为:,计算公式为:或 若主动力为有势力,须将势能若主动力为有势力,须将势能U表示为广义坐标的函数。表示为广义坐标的函数。 4. 建立拉氏方程并加以整理,得出建立拉氏方程并加以整理,得出k个二阶常微分方程。个二阶常微分方程。 5
6、. 求出上述一组微分方程的积分。求出上述一组微分方程的积分。2021/6/1613 例例1 水平面内运动的行星齿轮机构。均质杆OA:重P,可绕O点转动;均质小齿轮:重Q,半径 r ,沿半径为R的固定大齿轮滚动。系统初始静止,系杆OA位于图示OA0位置。系杆OA受大小不变力偶M作用后,求系杆OA的运动方程。 所受约束皆为完整、理想、定常的,可取OA杆转角 为广义坐标。解解:图示机构只有一个自由度2021/6/1614 2021/6/1615 代入拉氏方程:积分,得:故:代入初始条件,t =0 时, 得2021/6/1616 例例2 与刚度为k 的弹簧相连的滑块A,质量为m1,可在光滑水平面上滑动
7、。滑块A上又连一单摆,摆长l , 摆锤质量为m2 ,试列出该系统的运动微分方程。解解:将弹簧力计入主动力,则系统成为具有完整、理想约束的二自由度系统。保守系统。取x , 为广义坐标,x 轴 原点位于弹簧自然长度位置, 逆时针转向为正。2021/6/1617 系统动能:系统动能:2021/6/1618 系统势能系统势能:(以弹簧原长为弹性势能零点,滑块A所在平面为重力势能零点)拉格朗日函数:拉格朗日函数:2021/6/1619 代入:并适当化简得:2021/6/1620 系统的运动微分方程。系统的运动微分方程。上式为系统在平衡位置(x =0, =0)附近微幅运动的微分方程。 若系统在平衡位置附近
8、作微幅运动,此时 1o, cos 1, sin ,略去二阶以上无穷小量,则2021/6/1621 17-3 拉格朗日第二类方程的积分拉格朗日第二类方程的积分 对于保守系统,可以得到拉格朗日方程的某些统一形式的首次积分,从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一步简化。 保守系统拉格朗日方程的首次积分包括:能量积分、循环积分。 一、能量积分一、能量积分 设系统所受的主动力是有势力,且拉格朗日函数L = T - U 中不显含t ,则2021/6/1622 广义能量积分。广义能量积分。 保守系统的拉格朗日函数不显含时间t 时,保守系统的广义能量守恒。可以证明,当系统约束为定常时,上式为= 02021/
9、6/1623系统的广义能量积分式就是系统的机械能守恒方程式。二、循环积分二、循环积分 如果拉格朗日函数L中不显含某一广义坐标 qr , 则该坐标称为保守系统的循环坐标或可遗坐标。 当 为系统的循环坐标时,必有于是拉氏方程成为2021/6/1624 积分得:循环积分循环积分因L = T - U,而U中不显含 ,故上式可写成Pr称为广义动量,因此循环积分也可称为系统的广义动量积分。保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒。 一个系统的能量积分只可能有一个;而循环积分可能不止一个,有几个循环坐标,便有几个相应的循环积分。 能量积分和循环积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一次得到的,它们都是比拉格朗日方程
10、低一阶的微分方程。2021/6/1625 例例 3 楔形体重P,斜面倾角,置于光滑水平面上。均质圆柱体重Q,半径为 r ,在楔形体的斜面上只滚不滑。初始系统静止,且圆柱体位于斜面最高点。试求:(1)系统的运动微分方程;(2)楔形体的加速度;(3)系统的能量积分与循环积分。解:解:研究楔形体与圆柱体组成的系统。系统受理想、完整、定常约束,具有两个自由度。取广义坐标为x, s ;各坐标原点均在初始位置。 2021/6/1626 系统的动能系统的动能:系统的势能系统的势能:取水平面为重力势能零点。拉格朗日函数:拉格朗日函数:2021/6/1627 代入保守系统拉氏方程,并适当化简,得到系统的运动微分方程。(d)解得楔形体的加速度为解得楔形体的加速度为拉格朗日函数L中不显含 t ,故系统存在能量积分。2021/6/1628 当t =0时, ,x = s = 0 , 代入上式中,得 2021/6/1629 由于拉格朗日函数L中不显含广义坐标x,故 x 为系统循环坐标,故有循环积分: t = 0时 ,故上式中C2 = 0 ,可得 (f ), ( g ) 式即为系统的能量积分和循环积分。 ( f ) 式实际上是系统的机械能守恒方程。 ( g )式实质上是系统的动量在x方向守恒。 2021/6/1630 2021/6/1631 结束语结束语若有不当之处,请指正,谢谢!若有不当之处,请指正,谢谢!