工程力学+西南交通大学出版社课件

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1、工程力学2第七章 梁的强度问题第八章 梁的位移分析与刚度设计第九章 圆轴扭转时的应力变形分析 与强度刚度设计第十章 复杂受力时构件的强度设计第十一章 拉杆的稳定性分析与设计第一章 工程静力学基础第二章 力系的简化第三章 工程构建的静力学平衡问题第四章 材料力学的基本概念第五章 杠件的内力图第十二章 动载荷与疲劳强度分析第六章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计工工程程力力学学第第1 1章章 工程静力学基础工程静力学基础1.1 力和力矩力和力矩1.2 力偶及其性力偶及其性质1.3 约束与束与约束力束力1.4 平衡的概念平衡的概念1.5 受力分析方法与受力分析方法与过程程1.6 结论与与讨论第第一一

2、章章工工程程力力学学1.1 1.1 力和力矩力和力矩l1.1.1 1.1.1 力的概念力的概念力对物体的作用效应取决于力的大小、方向和作用力对物体的作用效应取决于力的大小、方向和作用点。点。（1）力的大小反映了物体间相互作用的强弱程度。）力的大小反映了物体间相互作用的强弱程度。国际单位制中力的计量单位是国际单位制中力的计量单位是“牛顿牛顿”简称简称“牛牛”，英文字母，英文字母N和和kN分别表示牛和千牛。分别表示牛和千牛。（2）力的方向指的是静止质点在该力作用下开始）力的方向指的是静止质点在该力作用下开始运动的方向。沿该方向画出的直线称为力的作用运动的方向。沿该方向画出的直线称为力的作用线，力的

3、方向包含力的作用线在空间的方位和指线，力的方向包含力的作用线在空间的方位和指向。向。工工程程力力学学1.1 1.1 力和力矩力和力矩（3）力的作用点是物体相互作用位置的抽象化。实际）力的作用点是物体相互作用位置的抽象化。实际上两物体接触处总会占有一定面积，力总是作用于物上两物体接触处总会占有一定面积，力总是作用于物体的一定面积上的。如果这个面积很小，则可将其抽体的一定面积上的。如果这个面积很小，则可将其抽象为一个点，这时作用力称为集中力；如果接触面积象为一个点，这时作用力称为集中力；如果接触面积比较大，力在整个接触面上分布作用，这时的作用力比较大，力在整个接触面上分布作用，这时的作用力称为分布

4、力，通常用单位长度的力表示沿长度方向上称为分布力，通常用单位长度的力表示沿长度方向上的分布力的强弱程度，称为载荷集度，用记号的分布力的强弱程度，称为载荷集度，用记号q表示，表示，单位为单位为Nm。工工程程力力学学1.1 1.1 力和力矩力和力矩l1.1.2 1.1.2 作用在刚体上的力的效应与力的可传性作用在刚体上的力的效应与力的可传性力使物体产生两种运动效应：力使物体产生两种运动效应：（1）若力的作用线通过物体质心，则使物体在力）若力的作用线通过物体质心，则使物体在力的方向发生平移见图的方向发生平移见图1-3(a)。（2）若力的作用线不通过物体质心，则使物体既）若力的作用线不通过物体质心，则

5、使物体既发生平移又发生转动见图发生平移又发生转动见图1-3(b)。图图1-3力的运动效应力的运动效应工工程程力力学学1.1 1.1 力和力矩力和力矩当研究力对刚体的运动效应时，只要保持力的大小当研究力对刚体的运动效应时，只要保持力的大小和方向不变，可以将力的作用点沿力的作用线移动，和方向不变，可以将力的作用点沿力的作用线移动，刚体的运动效应不会发生变化如图刚体的运动效应不会发生变化如图1-41-4所示。力的这所示。力的这一性质称为力的可传性。一性质称为力的可传性。图图1-4作用在刚体上的力产生相同的运动效应作用在刚体上的力产生相同的运动效应工工程程力力学学1.1 1.1 力和力矩力和力矩应该指

6、出，力的可传性对于变形体并不适用。如图应该指出，力的可传性对于变形体并不适用。如图1-5(a)1-5(a)所示直杆，在所示直杆，在A A、B B二处施加大小相等、方向二处施加大小相等、方向相反、沿同一作用线作用的两个力相反、沿同一作用线作用的两个力F1F1和和F2F2，这时，这时，杆件将产生拉伸变形。若将力杆件将产生拉伸变形。若将力F1F1和和F2F2分别沿其作用分别沿其作用线移至线移至B B点和点和A A点，如图点，如图1-5(b)1-5(b)所示，则这时杆件产所示，则这时杆件产生压缩变形。这两种变形效应显然是不同的。因此，生压缩变形。这两种变形效应显然是不同的。因此，力的可传性只限于研究力

7、的运动效应。力的可传性只限于研究力的运动效应。图图1-5作用在变形体上的力产生不同的变形效应作用在变形体上的力产生不同的变形效应工工程程力力学学1.1 1.1 力和力矩力和力矩l1.1.3 1.1.3 力对点之矩力对点之矩力矩概念最早是由人们使用滑车、杠杆这些简单机力矩概念最早是由人们使用滑车、杠杆这些简单机械而产生的。使用过扳手的读者都能体会到：用扳械而产生的。使用过扳手的读者都能体会到：用扳手拧紧螺母手拧紧螺母( (见图见图1-6)1-6)时，作用在扳手上的力时，作用在扳手上的力F F使螺使螺母绕母绕O O点的转动效应不仅与力的大小成正比，而且也点的转动效应不仅与力的大小成正比，而且也与点

8、与点O O到力作用线的垂直距离到力作用线的垂直距离h h成正比。点成正比。点O O到力作用到力作用线的垂直距离称为力臂。线的垂直距离称为力臂。图图1-6扳手拧紧螺母时的转动效应扳手拧紧螺母时的转动效应工工程程力力学学1.1 1.1 力和力矩力和力矩由此，规定力由此，规定力F F与力臂与力臂h h的乘积作为力的乘积作为力F F使螺母绕点使螺母绕点O O转动效应的度量，称为力转动效应的度量，称为力F F对对O O点之矩，简称力矩，点之矩，简称力矩，用符号用符号MO(F)MO(F)表示。即表示。即 M MO O(F)=(F)=Fh=Fh=2A2AABO ABO (1-1)(1-1)其中，其中，O点称

9、为力矩中心，简称矩心；点称为力矩中心，简称矩心；AABO为三为三角形角形ABO的面积；式中的面积；式中号表示力矩的转动方向。号表示力矩的转动方向。通常规定：若力通常规定：若力F使物体绕矩心使物体绕矩心O点逆时针转动，点逆时针转动，取正号；反之，若力取正号；反之，若力F使物体绕矩心使物体绕矩心O点顺时针转点顺时针转动，取负号。这时，力矩是代数量。动，取负号。这时，力矩是代数量。力矩的国际单位记号是力矩的国际单位记号是Nm或或kNm。工工程程力力学学1.1 1.1 力和力矩力和力矩以上所讨论的是在确定的平面里力对物体的转动效以上所讨论的是在确定的平面里力对物体的转动效应，因而可以用代数量应，因而可

10、以用代数量M MO O(F)=(F)=F Fh h度量。度量。在空间力系问题中，度量力对物体的转动效应，不在空间力系问题中，度量力对物体的转动效应，不仅要考虑力矩的大小和转向，而且还要确定力使物仅要考虑力矩的大小和转向，而且还要确定力使物体转动的方位，也就是力使物体绕着什么轴转动以体转动的方位，也就是力使物体绕着什么轴转动以及沿着什么方向转动，即力的作用线与矩心组成的及沿着什么方向转动，即力的作用线与矩心组成的平面的方位。平面的方位。工工程程力力学学1.1 1.1 力和力矩力和力矩例如，作用在飞机机翼上的力和作用在飞机尾翼上例如，作用在飞机机翼上的力和作用在飞机尾翼上的力，对飞机的转动效应不同

11、：作用在机翼上的力的力，对飞机的转动效应不同：作用在机翼上的力使飞机发生侧倾；而作用在尾翼上的力则使飞机发使飞机发生侧倾；而作用在尾翼上的力则使飞机发生俯仰。生俯仰。因此，在研究力对物体的空间转动时，必须使力对因此，在研究力对物体的空间转动时，必须使力对点之矩这个概念除了包括力矩的大小和转向外，还点之矩这个概念除了包括力矩的大小和转向外，还应包括力的作用线与矩心所组成的平面的方位。这应包括力的作用线与矩心所组成的平面的方位。这表明，必须用力矩矢量描述力的转动效应，即表明，必须用力矩矢量描述力的转动效应，即 M MO O(F)=r(F)=rF F (1-2)(1-2)式中，矢量式中，矢量r为自矩

12、心至力作用点的位置矢径，见为自矩心至力作用点的位置矢径，见图图1-7(a)。工工程程力力学学1.1 1.1 力和力矩力和力矩图图1-7力矩矢量力矩矢量工工程程力力学学1.1 1.1 力和力矩力和力矩力矩矢量力矩矢量MO(F)MO(F)的模可描述转动效应的大小，它等于的模可描述转动效应的大小，它等于力的大小与矩心到力作用线的垂直距离力的大小与矩心到力作用线的垂直距离( (力臂力臂) )的乘的乘积，即积，即MO(F)=Fh=Frsin式中，式中，为矢径为矢径r与力与力F之间的夹角。之间的夹角。力矩矢量的作用线与力和矩心所组成的平面的法线力矩矢量的作用线与力和矩心所组成的平面的法线方向一致，它表示物

13、体将绕着这一平面的法线转动方向一致，它表示物体将绕着这一平面的法线转动见图见图1-7(a)1-7(a)。力矩矢量的方向由右手定则确定：右。力矩矢量的方向由右手定则确定：右手握拳，手指指向表示力矩转动方向，拇指指向为手握拳，手指指向表示力矩转动方向，拇指指向为力矩矢量的方向见图力矩矢量的方向见图1-7(b)1-7(b)。工工程程力力学学1.1 1.1 力和力矩力和力矩l1.1.4 1.1.4 力系的概念力系的概念两个或两个以上力的集两个或两个以上力的集合称为力系，由合称为力系，由F1F1，F2F2，FnFn等等n n个所组成个所组成的力系，可以用记号的力系，可以用记号(F1(F1，F2F2，Fn

14、)Fn)表示。表示。图图1-91-9中所示为三个力中所示为三个力所组成的力系。所组成的力系。图1-9 由三个力组成的力系工工程程力力学学1.1 1.1 力和力矩力和力矩如果力系中的所有力的作用线都处于同一平面内，如果力系中的所有力的作用线都处于同一平面内，这种力系称为平面力系。这种力系称为平面力系。两个力系如果分别作用在同一刚体上，所产生的运两个力系如果分别作用在同一刚体上，所产生的运动效应是相同的，这两个力系称为等效力系。动效应是相同的，这两个力系称为等效力系。作用于刚体并使之保持平衡的力系称为平衡力系，作用于刚体并使之保持平衡的力系称为平衡力系，或称为零力系。或称为零力系。工工程程力力学学

15、1.1 1.1 力和力矩力和力矩l1.1.5 1.1.5 合力矩定理合力矩定理如果平面力系如果平面力系(F1(F1，F2F2，Fn)Fn)可以合成为一个合可以合成为一个合力力FRFR，则可以证明：，则可以证明： M MO O(FR)=M(FR)=MO O(F1)+M(F1)+MO O(F2)+(F2)+M+MO O(Fn) (Fn) (1-3a)(1-3a)或者简写成：或者简写成： M MO O(FR)= MO(Fi) (FR)= MO(Fi) (1-3b)(1-3b)这表明：平面力系的合力对平面上任一点之矩等于这表明：平面力系的合力对平面上任一点之矩等于力系中所有的力对同一点之矩的代数和。这

16、一结论力系中所有的力对同一点之矩的代数和。这一结论称为合力矩定理。称为合力矩定理。工工程程力力学学1.2 1.2 力偶及其性力偶及其性质l1.2.1 1.2.1 力偶力偶最简单、最基本的力系最简单、最基本的力系两个力大小相等、方向相反、作用线互相平行但不两个力大小相等、方向相反、作用线互相平行但不在同一直线上，这两个力组成的力系称为力偶。在同一直线上，这两个力组成的力系称为力偶。力偶可以用记号力偶可以用记号(F(F，F F) )表示，其中表示，其中F=-FF=-F。组成。组成力偶力偶(F(F，F F) )的两个力作用线所在的平面称为力偶的两个力作用线所在的平面称为力偶作用面；力作用面；力F F

17、和和F F作用线之间的距离作用线之间的距离h h称为力偶臂。称为力偶臂。工工程程力力学学1.2 1.2 力偶及其性力偶及其性质图图1-11力偶及其作用面图力偶及其作用面图1-12力偶实例力偶实例工工程程力力学学1.2 1.2 力偶及其性力偶及其性质力偶对物体产生的绕某点力偶对物体产生的绕某点O O的转动效应，可用组成力的转动效应，可用组成力偶的两个力对该点之矩的和度量。偶的两个力对该点之矩的和度量。设有力偶设有力偶(F，F)作用在物体上，如图作用在物体上，如图1-13所示。二所示。二力作用点分别为力作用点分别为A和和B，力偶臂为，力偶臂为h，二力数值相等，二力数值相等，F=F。任取一点。任取一

18、点O为矩心，自为矩心，自O点分别作力点分别作力F和和F的的垂线垂线OC与与OD。显然，力偶臂。显然，力偶臂ODh=OC+OD力力F和和F对对O点之矩的和为点之矩的和为M=MO(F)+MO(F)=FOC+FOD于是，得到于是，得到M=MO(F)+MO(F)=Fh这就是组成力偶的两个力对同一点之矩的代数和，这就是组成力偶的两个力对同一点之矩的代数和，称为这一力偶的力偶矩。力偶矩用以度量力偶使物称为这一力偶的力偶矩。力偶矩用以度量力偶使物体产生转动效应的大小。体产生转动效应的大小。工工程程力力学学1.2 1.2 力偶及其性力偶及其性质图图1-13力偶矩力偶矩工工程程力力学学1.2 1.2 力偶及其性

19、力偶及其性质考虑到力偶的不同转向，上式应改写为考虑到力偶的不同转向，上式应改写为M=Fh(1-4)这是计算力偶矩的一般公式。式中，这是计算力偶矩的一般公式。式中，F F为组成力偶的为组成力偶的一个力；一个力；h h为力偶臂；正负号表示力偶的转动方向：为力偶臂；正负号表示力偶的转动方向：逆时针方向转动者为正；顺时针方向转动者为负。逆时针方向转动者为正；顺时针方向转动者为负。上述结果还表明：力偶矩的大小和转向与矩心上述结果还表明：力偶矩的大小和转向与矩心O O的位的位置无关，即力偶对任一点之矩均相等，即等于力偶置无关，即力偶对任一点之矩均相等，即等于力偶中的一个力乘以力偶臂。因此，在考虑力偶对物体

20、中的一个力乘以力偶臂。因此，在考虑力偶对物体的转动效应时，不需要指明矩心。的转动效应时，不需要指明矩心。工工程程力力学学1.2 1.2 力偶及其性力偶及其性质l1.2.2 1.2.2 力偶的性质力偶的性质根据力偶的定义，可以证明，力偶具有如下性质：根据力偶的定义，可以证明，力偶具有如下性质：性质一：由于力偶只产生转动效应，不产生移动性质一：由于力偶只产生转动效应，不产生移动效应，因此力偶不能与一个力等效效应，因此力偶不能与一个力等效(即力偶无合力即力偶无合力)，当然也不能与一个力平衡。，当然也不能与一个力平衡。性质二：只要保持力偶的转向和力偶矩的大小不性质二：只要保持力偶的转向和力偶矩的大小不

21、变，可以同时改变力和力偶臂的大小，或在其作变，可以同时改变力和力偶臂的大小，或在其作用面内任意移动或转动，而不改变力偶对物体作用面内任意移动或转动，而不改变力偶对物体作用的效应。力偶的这一性质是很明显的，因为力用的效应。力偶的这一性质是很明显的，因为力偶的这些变化并没有改变力偶矩的大小和转向，偶的这些变化并没有改变力偶矩的大小和转向，因此也就不会改变对物体作用的效应。因此也就不会改变对物体作用的效应。工工程程力力学学1.2 1.2 力偶及其性力偶及其性质l1.2.3 1.2.3 力偶系及其合成力偶系及其合成由两个或两个以上的力偶所组成的系统，称为力偶由两个或两个以上的力偶所组成的系统，称为力偶

22、系。系。对于所有力偶的作用面都处于同一平面内的力偶系，对于所有力偶的作用面都处于同一平面内的力偶系，其转动效应可以用一合力偶的转动效应代替，这表其转动效应可以用一合力偶的转动效应代替，这表明：力偶系可以合成一合力偶。可以证明：合力偶明：力偶系可以合成一合力偶。可以证明：合力偶的力偶矩等于力偶系中所有力偶的力偶矩的代数和。的力偶矩等于力偶系中所有力偶的力偶矩的代数和。工工程程力力学学1.3 1.3 约束与约束力约束与约束力l1.3.1 1.3.1 约束与约束力的概念约束与约束力的概念工程结构中构件或机器的零部件都不是孤立存在的，工程结构中构件或机器的零部件都不是孤立存在的，而是通过一定的方式连接

23、在一起，因而一个构件的而是通过一定的方式连接在一起，因而一个构件的运动或位移一般都受到与之相连接物体的阻碍、限运动或位移一般都受到与之相连接物体的阻碍、限制，不能自由运动。各种连接方式在力学中称为约制，不能自由运动。各种连接方式在力学中称为约束。束。工工程程力力学学1.3 1.3 约束与约束力约束与约束力l1.3.2 1.3.2 柔性约束柔性约束由链条、带、钢丝绳等所构成的约束统称为柔性约由链条、带、钢丝绳等所构成的约束统称为柔性约束，这种约束的特点是只能限制物体沿绳索或带伸束，这种约束的特点是只能限制物体沿绳索或带伸长方向的位移，因而只能承受拉力，不能承受压力。长方向的位移，因而只能承受拉力

24、，不能承受压力。柔性约束的约束力作用在与物体的连接点上，作用柔性约束的约束力作用在与物体的连接点上，作用线沿拉紧的方向，背向物体。通常用线沿拉紧的方向，背向物体。通常用FTFT表示。表示。工工程程力力学学1.3 1.3 约束与约束力约束与约束力例如，图例如，图1-15(a)1-15(a)所示用链条所示用链条AOAO和和BOBO悬吊的重物，链悬吊的重物，链条条AOAO和和BO(BO(它们对于重物都是约束它们对于重物都是约束) )给重物的约束力给重物的约束力分别为分别为FTAFTA和和FTBFTB，见图，见图1-15(b)1-15(b)。图图1-15柔性约束实例之一柔性约束实例之一工工程程力力学学

25、1.3 1.3 约束与约束力约束与约束力又如，图又如，图1-16(a)1-16(a)所示带轮传动系统中，上、下两边所示带轮传动系统中，上、下两边的传动带分别为紧边和松边，紧边的拉力大于松边的传动带分别为紧边和松边，紧边的拉力大于松边的拉力。作用在两轮上的约束力分别为的拉力。作用在两轮上的约束力分别为FT1FT1，FT2FT2和和F FT1T1，F FT2T2，约束力的方向沿着带，约束力的方向沿着带( (与轮相切与轮相切) )而而背向带轮，如图背向带轮，如图1-16(b)1-16(b)所示。所示。图图1-16柔性约束实例之二柔性约束实例之二工工程程力力学学1.3 1.3 约束与约束力约束与约束力

26、l1.3.3 1.3.3 光滑刚性面约束光滑刚性面约束构件与约束的接触面如果是光滑的，即它们之间的构件与约束的接触面如果是光滑的，即它们之间的摩擦力可以忽略时，这时的约束称为光滑刚性面约摩擦力可以忽略时，这时的约束称为光滑刚性面约束。这种约束不能阻止物体沿接触点切面任何方向束。这种约束不能阻止物体沿接触点切面任何方向的运动或位移，而只能限制沿接触点处公法线指向的运动或位移，而只能限制沿接触点处公法线指向约束方向的运动或位移。约束方向的运动或位移。所以，光滑面约束的约束力是通过接触点、沿该点所以，光滑面约束的约束力是通过接触点、沿该点公法线并指向被约束物体。公法线并指向被约束物体。工工程程力力学

27、学1.3 1.3 约束与约束力约束与约束力l1.3.4 1.3.4 光滑铰链约束光滑铰链约束1 1固定铰链支座固定铰链支座构件的端部与支座有相同直径的圆孔，用一圆柱构件的端部与支座有相同直径的圆孔，用一圆柱形销钉连接起来，支座固定在地基或者其他结构形销钉连接起来，支座固定在地基或者其他结构上。这种连接方式称为固定铰链支座如图上。这种连接方式称为固定铰链支座如图1-18(a)所示，简称为固定铰支。桥梁上的固定支座就是所示，简称为固定铰支。桥梁上的固定支座就是固定铰链支座。图固定铰链支座。图1-18(b)所示为固定铰链支座的所示为固定铰链支座的简图。简图。工工程程力力学学1.3 1.3 约束与约束

28、力约束与约束力图图1-18固定铰支座固定铰支座工工程程力力学学1.3 1.3 约束与约束力约束与约束力2 2辊轴支座辊轴支座工程结构中为了减少因温度变化而引起的约束力，工程结构中为了减少因温度变化而引起的约束力，通常在固定铰链支座的底部安装一排辊轮或辊轴通常在固定铰链支座的底部安装一排辊轮或辊轴如图如图1-19(a)所示，可使支座沿固定支承面自由移所示，可使支座沿固定支承面自由移动，这种约束称为滚动铰链支座，又称辊轴支座。动，这种约束称为滚动铰链支座，又称辊轴支座。当构件的长度由于温度变化而改变时，这种支座当构件的长度由于温度变化而改变时，这种支座允许构件的一端沿支承面自由移动。图允许构件的一

29、端沿支承面自由移动。图1-19(b)所所示为滚动铰链支座的示意图。这类约束只限制沿示为滚动铰链支座的示意图。这类约束只限制沿支承面法线方向的位移，如果不考虑辊轮与接触支承面法线方向的位移，如果不考虑辊轮与接触面之间的摩擦，辊轴支座实际上也是光滑面约束。面之间的摩擦，辊轴支座实际上也是光滑面约束。所以，其约束力的作用线必然沿支承面法线方向，所以，其约束力的作用线必然沿支承面法线方向，通过铰链中心。通过铰链中心。工工程程力力学学1.3 1.3 约束与约束力约束与约束力图图1-19辊轴支座辊轴支座工工程程力力学学1.3 1.3 约束与约束力约束与约束力3 3铰链约束铰链约束将具有相同圆孔的两构件用圆

30、柱形销钉连接起来将具有相同圆孔的两构件用圆柱形销钉连接起来如图如图1-20(a)所示，称为铰链约束或铰链连接，其所示，称为铰链约束或铰链连接，其简图如图简图如图1-20(b)所示。这种情形下，约束力也可所示。这种情形下，约束力也可以用两个互相垂直的分力以用两个互相垂直的分力Fx和和Fy表示，如图表示，如图1-20(c)所示。所示。图图1-20中间铰链中间铰链工工程程力力学学1.3 1.3 约束与约束力约束与约束力4 4球形铰链支座球形铰链支座构件的一端为球形构件的一端为球形(称为球头称为球头)，能在固定的球窝中转动如图，能在固定的球窝中转动如图1-21(a)所示，这种空间类型的约束称为球形铰链

31、支座，简称所示，这种空间类型的约束称为球形铰链支座，简称球铰。图球铰。图1-21b所示为球铰的简图。球铰约束限制了被约束所示为球铰的简图。球铰约束限制了被约束构件在空间三个方向的运动，但不限制转动。如果球头与球构件在空间三个方向的运动，但不限制转动。如果球头与球窝的接触面是光滑的，通常将约束力分解为三个互相垂直的窝的接触面是光滑的，通常将约束力分解为三个互相垂直的分力分力Fx、Fy和和Fz。图图1-21球铰球铰工工程程力力学学1.3 1.3 约束与约束力约束与约束力l1.3.5 1.3.5 滑动轴承与推力轴承滑动轴承与推力轴承机器中常见各类轴承，如滑动轴承见图机器中常见各类轴承，如滑动轴承见图

32、1-22(a)1-22(a)或径向轴承等。这些轴承允许轴承转动，但限制与或径向轴承等。这些轴承允许轴承转动，但限制与轴线垂直方向的运动和位移，其简图如图轴线垂直方向的运动和位移，其简图如图1-22(b)1-22(b)所所示。轴承约束力的特点与光滑圆柱铰链相同，因此，示。轴承约束力的特点与光滑圆柱铰链相同，因此，这类约束可归入固定铰支座。这类约束可归入固定铰支座。图图1-22滑动轴承滑动轴承工工程程力力学学1.3 1.3 约束与约束力约束与约束力推力轴承也是机器中常见的一种约束，其结构简图推力轴承也是机器中常见的一种约束，其结构简图如图如图1-23(a)1-23(a)所示。这种约束不仅限制转轴在

33、垂直轴所示。这种约束不仅限制转轴在垂直轴线方向线方向( (径向径向) )的位移，而且也限制轴向的位移，图的位移，而且也限制轴向的位移，图1-23(b)1-23(b)所示为其示意图。其约束力需用三个分力表所示为其示意图。其约束力需用三个分力表示，见图示，见图1-23(c)1-23(c)。图图1-23推力轴承推力轴承工工程程力力学学1.4 1.4 平衡的概念平衡的概念l1.4.1 1.4.1 二力平衡与二力构件二力平衡与二力构件作用在刚体上的两个力平衡的必要与充分条件是：作用在刚体上的两个力平衡的必要与充分条件是：两个力大小相等、方向相反，并沿同一直线作用。两个力大小相等、方向相反，并沿同一直线作

34、用。这一结论是显而易见的。以图这一结论是显而易见的。以图1-24(a)1-24(a)所示吊车结构所示吊车结构中的直杆中的直杆BCBC为例，如果是平衡的，杆两端的约束力为例，如果是平衡的，杆两端的约束力F FRCRC和和F FRBRB必然大小相等、方向相反，并且同时必然大小相等、方向相反，并且同时沿着同一直线沿着同一直线( (对于直杆即为杆的轴线对于直杆即为杆的轴线) )作用，如图作用，如图1-24(b)1-24(b)所示。另外，如果作用在构件两端的力如果所示。另外，如果作用在构件两端的力如果大小相等、方向相反，并且是同时沿着同一直线的大小相等、方向相反，并且是同时沿着同一直线的拉作用，则构件一

35、定处于平衡状态。拉作用，则构件一定处于平衡状态。工工程程力力学学1.4 1.4 平衡的概念平衡的概念图图1-24二力平衡与三力平衡汇交实例二力平衡与三力平衡汇交实例工工程程力力学学1.4 1.4 平衡的概念平衡的概念l1.4.2 1.4.2 不平行的三力平衡条件不平行的三力平衡条件作用在刚体上、作用线处于同一平面内的三个互不作用在刚体上、作用线处于同一平面内的三个互不平行力如平衡，则三力的作用线必须汇交于一点。平行力如平衡，则三力的作用线必须汇交于一点。因为这三个力是平衡的，所以，三个力矢量按首尾因为这三个力是平衡的，所以，三个力矢量按首尾相连的顺序构成一封闭三角形，或称为力三角形封相连的顺序

36、构成一封闭三角形，或称为力三角形封闭。闭。设作用在刚体上同一平面内的三个互不平行的力分设作用在刚体上同一平面内的三个互不平行的力分别为别为F1F1、F2F2和和F3F3，如图，如图1-27(a)1-27(a)所示。为了证明上述所示。为了证明上述结论，首先将其中的两个力合成，例如将结论，首先将其中的两个力合成，例如将F1F1和和F2F2分分别沿其作用线移至二者作用线的交点别沿其作用线移至二者作用线的交点O O处，将二力按处，将二力按照平行四边形法则合成一合力照平行四边形法则合成一合力F=F1+F2F=F1+F2这时的刚体就可以看作只受这时的刚体就可以看作只受F F和和F3F3两个力作用。两个力作

37、用。工工程程力力学学1.4 1.4 平衡的概念平衡的概念图图1-27三力平衡汇交的条件三力平衡汇交的条件工工程程力力学学1.4 1.4 平衡的概念平衡的概念l1.4.3 1.4.3 加减平衡力系原理加减平衡力系原理加减平衡力系原理加减平衡力系原理: :在承受任意力或力系作用的刚体上，加上任意平在承受任意力或力系作用的刚体上，加上任意平衡力系或减去任意平衡力系，都不会改变原来的衡力系或减去任意平衡力系，都不会改变原来的力或力系对刚体的作用效应。力或力系对刚体的作用效应。工工程程力力学学1.5 1.5 受力分析方法与过程受力分析方法与过程l1.5.1 1.5.1 受力分析概述受力分析概述对单个构件

38、进行受力分析，首先要将这一构件从所对单个构件进行受力分析，首先要将这一构件从所受的约束或与之相联系的物体中分离出来。这一过受的约束或与之相联系的物体中分离出来。这一过程称为解除约束，解除约束后的构件称为隔离体。程称为解除约束，解除约束后的构件称为隔离体。其次，要分析隔离体上作用有几个力，每个力的大其次，要分析隔离体上作用有几个力，每个力的大小、作用线和指向，特别是要根据约束性质确定各小、作用线和指向，特别是要根据约束性质确定各约束力的作用线和指向，这一过程称为受力分析。约束力的作用线和指向，这一过程称为受力分析。进行受力分析时，要在所选择的隔离体上画出全部进行受力分析时，要在所选择的隔离体上画

39、出全部主动力和约束力。这种表示物体受力状况的图形称主动力和约束力。这种表示物体受力状况的图形称为受力图。为受力图。工工程程力力学学1.5 1.5 受力分析方法与过程受力分析方法与过程l1.5.2 1.5.2 受力图绘制方法应用举例受力图绘制方法应用举例【例题【例题1-31-3】具有光滑表面、重力为】具有光滑表面、重力为F FW W的圆柱体，放的圆柱体，放置在刚性光滑墙面与刚性凸台之间，接触点分别为置在刚性光滑墙面与刚性凸台之间，接触点分别为A A和和B B二点，如图二点，如图1-29(a)1-29(a)所示。试画出圆柱体的受力所示。试画出圆柱体的受力图。图。图图1-29例题例题1-3图图工工程

40、程力力学学1.5 1.5 受力分析方法与过程受力分析方法与过程解解:（1）选择研究对象。本例中要求画出圆柱体的受力图，所以，只能）选择研究对象。本例中要求画出圆柱体的受力图，所以，只能以圆柱以圆柱体作为研究对象。体作为研究对象。（2）取隔离体，画受力图。将圆柱体从图）取隔离体，画受力图。将圆柱体从图1-2(a)所示约束中分离出来，所示约束中分离出来，即得到隔离体即得到隔离体圆柱体。作用在圆柱体上的力有：圆柱体。作用在圆柱体上的力有：（1）主动力：圆柱体所受的重力）主动力：圆柱体所受的重力FW，沿铅垂方向向下，作用点在圆柱，沿铅垂方向向下，作用点在圆柱体的重心处。体的重心处。（2）约束力：因为墙

41、面和圆柱体表面都是光滑的，所以，在）约束力：因为墙面和圆柱体表面都是光滑的，所以，在A、B两处两处均为光滑面约束，约束力垂直于墙面，指向圆柱体中心；圆柱与凸台均为光滑面约束，约束力垂直于墙面，指向圆柱体中心；圆柱与凸台间接触也是光滑的，也属于光滑面约束，约束力作用线沿二者的公法间接触也是光滑的，也属于光滑面约束，约束力作用线沿二者的公法线方向，即沿线方向，即沿B点与点与O点的连线方向，指向点的连线方向，指向O点。于是，可以画出圆柱点。于是，可以画出圆柱体的受力图，如图体的受力图，如图1-29(b)所示。所示。工工程程力力学学1.6 1.6 结论与讨论结论与讨论l1.6.1 1.6.1 关于约束

42、与约束力关于约束与约束力约束力决定于约束的性质，也就是有什么样的约束，约束力决定于约束的性质，也就是有什么样的约束，就有什么样的约束力。因此，分析构件上的约束力就有什么样的约束力。因此，分析构件上的约束力时，首先要分析构件所受约束属于哪一类约束。时，首先要分析构件所受约束属于哪一类约束。约束力的方向在某些情形下是可以确定的，但是，约束力的方向在某些情形下是可以确定的，但是，在很多情形下约束力的作用线与指向都是未知的。在很多情形下约束力的作用线与指向都是未知的。当约束力的作用线或指向仅凭约束性质不能确定时，当约束力的作用线或指向仅凭约束性质不能确定时，可将其分解为两个相互垂直的约束分力。可将其分

43、解为两个相互垂直的约束分力。至于约束力的大小，则需要根据作用在构件上的主至于约束力的大小，则需要根据作用在构件上的主动力与约束力之间必须满足的平衡条件确定，这将动力与约束力之间必须满足的平衡条件确定，这将在第在第3 3章介绍。章介绍。工工程程力力学学1.6 1.6 结论与讨论结论与讨论l1.6.2 1.6.2 关于受力分析关于受力分析受力分析的方法是：受力分析的方法是：（1）确定研究对象所受的主动力或外加载荷。）确定研究对象所受的主动力或外加载荷。（2）根据约束性质确定约束力，当约束力作用线）根据约束性质确定约束力，当约束力作用线可以确定，而指向不能确定时，可以假设某一方可以确定，而指向不能确

44、定时，可以假设某一方向，最后根据计算结果的正负号确定假设方向是向，最后根据计算结果的正负号确定假设方向是否与实际方向一致。否与实际方向一致。受力分析过程是：受力分析过程是：（1）选择合适的研究对象，取隔离体。）选择合适的研究对象，取隔离体。（2）画出受力图。）画出受力图。（3）考察研究对象的平衡，确定全部未知力。）考察研究对象的平衡，确定全部未知力。工工程程力力学学1.6 1.6 结论与讨论结论与讨论受力分析时注意以下两点是很重要的：受力分析时注意以下两点是很重要的：一是研究对象的选择有时不是唯一的，需要根据一是研究对象的选择有时不是唯一的，需要根据不同的问题，区别对待。基本原则是：所选择的不

45、同的问题，区别对待。基本原则是：所选择的研究对象上应当既有未知力，又有已知力，或者研究对象上应当既有未知力，又有已知力，或者已经求得的力；同时，通过研究对象的平衡分析，已经求得的力；同时，通过研究对象的平衡分析，能够求得尽可能多的未知力。能够求得尽可能多的未知力。二是分析相互连接的构件受力时，要注意构件与二是分析相互连接的构件受力时，要注意构件与构件之间的作用力与反作用力。构件之间的作用力与反作用力。工工程程力力学学1.6 1.6 结论与讨论结论与讨论l1.6.3 1.6.3 关于二力构件关于二力构件作用在刚体上的两个力平衡的充要条件：二力大小作用在刚体上的两个力平衡的充要条件：二力大小相等、

46、方向相反且共线。实际结构中，只要构件的相等、方向相反且共线。实际结构中，只要构件的两端是铰链连接，两端之间没有其他外力作用，则两端是铰链连接，两端之间没有其他外力作用，则这一构件必为二力构件。这一构件必为二力构件。需要指出的是，充分应用二力平衡和三力平衡的概需要指出的是，充分应用二力平衡和三力平衡的概念，可以使受力分析与计算过程简化。念，可以使受力分析与计算过程简化。工工程程力力学学1.6 1.6 结论与讨论结论与讨论l1.6.4 1.6.4 关于工程静力学中某些原理的适用性关于工程静力学中某些原理的适用性工程静力学中的某些原理，例如，力的可传性、平工程静力学中的某些原理，例如，力的可传性、平

47、衡的充要条件等，对于柔性体是不成立的，而对于衡的充要条件等，对于柔性体是不成立的，而对于弹性体则是在一定的前提下成立。弹性体则是在一定的前提下成立。图图1-33(a)1-33(a)所示拉杆所示拉杆ACBACB，当，当B B端作用有拉力端作用有拉力FPFP时，整时，整个拉杆个拉杆ACBACB都会产生伸长变形。但是，如果将拉力都会产生伸长变形。但是，如果将拉力FPFP，沿其作用线从，沿其作用线从C C端传至端传至B B点时如图点时如图1-33(b)1-33(b)所示，则所示，则只有只有ACAC端杆产生伸长变形，端杆产生伸长变形，CBCB端却不会产生变形。端却不会产生变形。可见，两种情形下的变形效应

48、是完全不同的。因此，可见，两种情形下的变形效应是完全不同的。因此，当研究构件的变形效应时，力的可传性是不适用的，当研究构件的变形效应时，力的可传性是不适用的，如图如图1-331-33研究变形效应时力的可传性不适用。研究变形效应时力的可传性不适用。工工程程力力学学1.6 1.6 结论与讨论结论与讨论图图1-33研究变形效应时力的可传性不适用研究变形效应时力的可传性不适用工工程程力力学学第二章第二章 力系的力系的简化化2.1 力系等效与力系等效与简化的概念化的概念2.2 力系力系简化的基化的基础方向一点平移方向一点平移2.3 平面力系的平面力系的简化化2.4 固定端固定端约束的束的约束力束力2.5

49、 结论与与讨论第第二二章章工工程程力力学学2.1 2.1 力系等效与简化的概念力系等效与简化的概念l2.1.1 2.1.1 力系的主矢与主矩力系的主矢与主矩主矢的概念：由任意多个力所组成的力系主矢的概念：由任意多个力所组成的力系(F1(F1，F2F2，Fn)Fn)中所有力的矢量和，称为力系的主矢量，简中所有力的矢量和，称为力系的主矢量，简称为主矢，用称为主矢，用FRFR表示，即表示，即 F FR R = F= Fi i (2-1)(2-1)主矩的概念：力系中所有力对于同一点主矩的概念：力系中所有力对于同一点(D)(D)之矩的矢之矩的矢量和，称为力系对这一点的主矩量和，称为力系对这一点的主矩(p

50、rincipal (principal moment)moment)，用，用M MO O表示，即表示，即M MO O= M= MO OF Fi i (2-2)(2-2)需要指出的是，主矢只有大小和方向，并未涉及作需要指出的是，主矢只有大小和方向，并未涉及作用点；主矩却是对于确定点的。因此，对于一个确用点；主矩却是对于确定点的。因此，对于一个确定的力系，主矢是唯一的；主矩并不是唯一的，同定的力系，主矢是唯一的；主矩并不是唯一的，同一个力系对于不同的点，其主矩一般不相同。一个力系对于不同的点，其主矩一般不相同。工工程程力力学学2.1 2.1 力系等效与简化的概念力系等效与简化的概念l2.1.2 2

51、.1.2 等效的概念等效的概念如果两个力系的主矢和主矩分别对应相等，二者对如果两个力系的主矢和主矩分别对应相等，二者对于同一刚体就会产生相同的运动效应，因而称这两于同一刚体就会产生相同的运动效应，因而称这两个力系为等效力系。个力系为等效力系。l2.1.3 2.1.3 简化的概念简化的概念所谓力系的简化，就是将由若干个力和力偶所组成所谓力系的简化，就是将由若干个力和力偶所组成的力系，变为一个力或一个力偶，或者一个力与一的力系，变为一个力或一个力偶，或者一个力与一个力偶的简单而等效的情形。这一过程称为力系的个力偶的简单而等效的情形。这一过程称为力系的简化。力系简化的基础是力向一点平移定理。简化。力

52、系简化的基础是力向一点平移定理。工工程程力力学学2.2 2.2 力系简化的基础力系简化的基础力向一点平移力向一点平移l2.2 2.2 力系简化的基础力系简化的基础力向一点平移力向一点平移作用于刚体上的力可以平移到任一点，而不改变它对作用于刚体上的力可以平移到任一点，而不改变它对刚体的作用效应，但平移后必须附加一个力偶，附加刚体的作用效应，但平移后必须附加一个力偶，附加力偶的力偶矩等于原来的力对新作用点之矩。此即为力偶的力偶矩等于原来的力对新作用点之矩。此即为力向一点平移定理。力向一点平移定理。力向一点平移结果表明，一个力向任一点平移，得到力向一点平移结果表明，一个力向任一点平移，得到与之等效的

53、一个力和一个力偶；反之，作用于同一平与之等效的一个力和一个力偶；反之，作用于同一平面内的一个力和一个力偶，也可以合成作用于另一点面内的一个力和一个力偶，也可以合成作用于另一点的一个力。的一个力。需要指出的是，力偶矩与力矩一样也是矢量。因此，需要指出的是，力偶矩与力矩一样也是矢量。因此，力向一点平移所得到的力偶矩矢量可以表示成力向一点平移所得到的力偶矩矢量可以表示成 M=rM=rBABAF F (2-4)(2-4)式中，式中，rBA为为A点到点到B点的矢径。点的矢径。工工程程力力学学2.3 2.3 平面力系的简化平面力系的简化l2.3.1 2.3.1 平面汇交力系与平面力偶系的合成结果平面汇交力

54、系与平面力偶系的合成结果力系中所有力的作用线都汇交于一点，这种力系称为力系中所有力的作用线都汇交于一点，这种力系称为汇交力系。对于作用线都通过汇交力系。对于作用线都通过O O点的平面汇交力系，点的平面汇交力系，利用矢量合成的方法可以将这一力系合成为一通过利用矢量合成的方法可以将这一力系合成为一通过O O点的合力，如图点的合力，如图2-2(d)2-2(d)所示，这一合力等于力系中所所示，这一合力等于力系中所有力的矢量和，即有力的矢量和，即 F= F F= Fi i (2-5)(2-5)工工程程力力学学2.3 2.3 平面力系的简化平面力系的简化对于平面汇交力系，在对于平面汇交力系，在OxyOxy

55、坐标系中，上式可以写成坐标系中，上式可以写成力的投影形式，即力的投影形式，即 Fx= Fix Fx= Fix Fy= Fiy Fy= Fiy (2-6)(2-6)式中，式中，Fx、Fy为合力为合力F分别在分别在x轴和轴和y轴上的投影，轴上的投影，等号右边的项等号右边的项Fix、Fiy分别为力系中所有的力分别为力系中所有的力在在x轴和轴和y轴上投影的代数和。轴上投影的代数和。平面力偶系，只能合成一合力偶，合力偶的力偶矩平面力偶系，只能合成一合力偶，合力偶的力偶矩等于各力偶的力偶矩的代数和，即等于各力偶的力偶矩的代数和，即 M MO O= Mi= M= Mi= MO O(Fi) (Fi) (2-7

56、)(2-7)工工程程力力学学2.3 2.3 平面力系的简化平面力系的简化l2.3.2 2.3.2 平面一般力系向一点简化平面一般力系向一点简化设刚体上作用有由任意多个力所组成的平面力系设刚体上作用有由任意多个力所组成的平面力系(F1(F1，F2F2，Fn)Fn)，如图，如图2-2(a)2-2(a)所示。现将力系向其作所示。现将力系向其作用平面内任一点简化，这一点称为简化中心，通常用平面内任一点简化，这一点称为简化中心，通常用用O O表示。表示。图图2-2平面力系的简化过程与简化结果平面力系的简化过程与简化结果工工程程力力学学2.3 2.3 平面力系的简化平面力系的简化简化的方法是：将力系中所有

57、的力逐个向简化中心简化的方法是：将力系中所有的力逐个向简化中心O O点平移，每平移一个力，便得到一个力和一个力偶，点平移，每平移一个力，便得到一个力和一个力偶，如图如图2-2(b)2-2(b)所示。所示。简化的结果，得到一个作用线都处于同一平面内，简化的结果，得到一个作用线都处于同一平面内，并且通过同一并且通过同一O O点的平面汇交力系点的平面汇交力系(F1(F1，F2F2，Fn),Fn),如图如图2-2(c)2-2(c)所示，这种由作用线处于同一平面所示，这种由作用线处于同一平面并且汇交于一点的力所组成的力系，称为平面汇交并且汇交于一点的力所组成的力系，称为平面汇交力系；同时还得到由若干作用

58、面在同一平面内的力力系；同时还得到由若干作用面在同一平面内的力偶所组成的平面力偶系偶所组成的平面力偶系(M1(M1，M2M2，Mn)Mn)，如图，如图2-2-2(c)2(c)所示。平面力系向一点简化所得到的平面汇交所示。平面力系向一点简化所得到的平面汇交力系和平面力偶系，还可以进一步合成为一个合力力系和平面力偶系，还可以进一步合成为一个合力和一个合力偶。和一个合力偶。工工程程力力学学2.3 2.3 平面力系的简化平面力系的简化l2.3.3 2.3.3 平面力系的简化结果平面力系的简化结果上述分析结果表明：平面力系向作用面内任意一点上述分析结果表明：平面力系向作用面内任意一点简化，一般情形下，得

59、到一个力和一个力偶。所得简化，一般情形下，得到一个力和一个力偶。所得力的作用线通过简化中心，这一力称为力系的主矢，力的作用线通过简化中心，这一力称为力系的主矢，它等于力系中所有力的矢量和；所得力偶仍作用于它等于力系中所有力的矢量和；所得力偶仍作用于原平面内，其力偶矩称为原力系对于简化中心的主原平面内，其力偶矩称为原力系对于简化中心的主矩，数值等于力系中所有力对简化中心之矩的代数矩，数值等于力系中所有力对简化中心之矩的代数和。和。工工程程力力学学2.4 2.4 固定端约束的约束力固定端约束的约束力l2.4 2.4 固定端约束的约束力固定端约束的约束力本节应用平面力系的简化方法分析一种约束力比较本

60、节应用平面力系的简化方法分析一种约束力比较复杂的约束。这种约束叫做固定端或插入端约束。复杂的约束。这种约束叫做固定端或插入端约束。固定端对于被约束的构件，在约束处所产生的约束固定端对于被约束的构件，在约束处所产生的约束力，是一种比较复杂的分布力系。在平面问题中，力，是一种比较复杂的分布力系。在平面问题中，如果主动力为平面力系，这一分布约束力系也是平如果主动力为平面力系，这一分布约束力系也是平面力系，如图面力系，如图2-7(a)2-7(a)所示。将这一分布力系向被约所示。将这一分布力系向被约束构件根部束构件根部( (例如例如A A点点) )简化，可得到一约束力简化，可得到一约束力F FA A和一

61、和一约束力偶约束力偶M MA A，约束力，约束力F FA A的方向以及约束力偶的方向以及约束力偶M MA A的转向的转向均不确定，如图均不确定，如图2-7(b)2-7(b)所示。所示。固定端方向未知的约束力固定端方向未知的约束力F FA A也可以用两个互相垂直分也可以用两个互相垂直分力力F FAxAx和和F FAyAy表示见图表示见图2-7(c)2-7(c)。工工程程力力学学2.4 2.4 固定端约束的约束力固定端约束的约束力图图2-7固定端的约束力及其简化固定端的约束力及其简化工工程程力力学学2.5 2.5 结论与讨论结论与讨论l2.5.1 2.5.1 关于力的矢量性质的讨论关于力的矢量性质

62、的讨论本章所涉及的力学矢量较多，因而比较容易混淆。本章所涉及的力学矢量较多，因而比较容易混淆。根据这些矢量对刚体所产生的运动效应，以及这些根据这些矢量对刚体所产生的运动效应，以及这些矢量大小、方向、作用点或作用线，可以将其归纳矢量大小、方向、作用点或作用线，可以将其归纳为三类：定位矢、滑动矢、自由矢。为三类：定位矢、滑动矢、自由矢。请读者判断力矢、主矢、力偶矩矢以及主矩分别属请读者判断力矢、主矢、力偶矩矢以及主矩分别属于哪一类矢量。于哪一类矢量。工工程程力力学学2.5 2.5 结论与讨论结论与讨论l2.5.2 2.5.2 关于平面力系简化结果的讨论关于平面力系简化结果的讨论本章介绍了力系简化的

63、理论以及平面一般力系向某本章介绍了力系简化的理论以及平面一般力系向某一确定点的简化结果。但是，在很多情形下，这并一确定点的简化结果。但是，在很多情形下，这并不是力系简化的最后结果。不是力系简化的最后结果。所谓力系简化的最后结果，是指力系向某一确定点所谓力系简化的最后结果，是指力系向某一确定点简化所得到的主矢和主矩，还可以进一步简化，最简化所得到的主矢和主矩，还可以进一步简化，最后得到一个合力、一个合力偶或二者均为零。后得到一个合力、一个合力偶或二者均为零。工工程程力力学学2.5 2.5 结论与讨论结论与讨论l2.5.3 2.5.3 关于实际约束的讨论关于实际约束的讨论在上一章和这一章中，分别介

64、绍了铰链约束与固定端在上一章和这一章中，分别介绍了铰链约束与固定端约束。这两种约束的差别就在于：铰链约束只限制了约束。这两种约束的差别就在于：铰链约束只限制了被约束物体的移动，没有限制被约束物体的转动；固被约束物体的移动，没有限制被约束物体的转动；固定端约束既限制了被约束物体的移动，又限制了被约定端约束既限制了被约束物体的移动，又限制了被约束物体的转动。可见，固定端约束与铰链约束相比，束物体的转动。可见，固定端约束与铰链约束相比，增加了一个约束力偶。增加了一个约束力偶。实际结构中的约束，被约束物体的转动不可能完全被实际结构中的约束，被约束物体的转动不可能完全被限制。因而，很多约束可能既不属于铰

65、链约束，也不限制。因而，很多约束可能既不属于铰链约束，也不属于固定端约束，而是介于二者之间。这时，可以简属于固定端约束，而是介于二者之间。这时，可以简化为铰链上附加一扭转弹簧，表示被约束物体既不能化为铰链上附加一扭转弹簧，表示被约束物体既不能自由转动，又不是完全不能转动。实际结构中的约束，自由转动，又不是完全不能转动。实际结构中的约束，简化为哪一种约束，需要通过试验加以验证。简化为哪一种约束，需要通过试验加以验证。工工程程力力学学第三章第三章 工程构建的静力学平衡工程构建的静力学平衡问题3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程平面力系的平衡条件与平衡方程3.2 简单的的刚体系体系统平衡平衡问题3.

66、3 考考虑摩擦摩擦时的平衡的平衡问题3.4 结论与与讨论第第三三章章工工程程力力学学3.1 3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程平面力系的平衡条件与平衡方程l3.1.1 3.1.1 平面一般力系的平衡条件与平衡方程平面一般力系的平衡条件与平衡方程力系平衡的必要与充分条件是力系的主矢和对任意力系平衡的必要与充分条件是力系的主矢和对任意一点的主矩同时等于零。这一条件简称为平衡条件。一点的主矩同时等于零。这一条件简称为平衡条件。满足平衡条件的力系称为平衡力系。满足平衡条件的力系称为平衡力系。平面力系的平衡方程简写成平面力系的平衡方程简写成 Fx=0Fx=0 Fy=0 Fy=0 M MO O(F)=0

67、 (F)=0 (3-3b)(3-3b)平面力系平衡的必要与充分条件是：力系中所有的平面力系平衡的必要与充分条件是：力系中所有的力在直角坐标系力在直角坐标系OxyOxy的各坐标轴上的投影的代数和以的各坐标轴上的投影的代数和以及所有的力对任意点之矩的代数和同时等于零。及所有的力对任意点之矩的代数和同时等于零。工工程程力力学学3.1 3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程平面力系的平衡条件与平衡方程l3.1.2 3.1.2 平面一般力系平衡方程的其他形式平面一般力系平衡方程的其他形式根据平衡的充分和必要条件，可以证明，平衡方程除根据平衡的充分和必要条件，可以证明，平衡方程除了式了式(3-3)(3-3)

68、的形式外，还有以下两组形式：的形式外，还有以下两组形式： Fx=0Fx=0 MA(F)=0 MA(F)=0 MB(F)=0 MB(F)=0 (3-4)(3-4)其中，其中，A A、B B两点的连线不能垂直于两点的连线不能垂直于x x轴轴 MA(F)=0MA(F)=0 MB(F)=0 MB(F)=0 MC(F)=0 MC(F)=0 (3-5)(3-5)式中，式中，A、B、C三点不能位于同一条直线上。三点不能位于同一条直线上。式式(3-4)(3-4)和式和式(3-5)(3-5)分别称为平衡方程的分别称为平衡方程的“二矩式二矩式”和和“三矩式三矩式”。工工程程力力学学3.2 3.2 简单的刚体系统平

69、衡问题简单的刚体系统平衡问题l3.2.1 3.2.1 刚体系统静定与超静定的概念刚体系统静定与超静定的概念实际工程结构中，为了提高结构的强度和刚度，或实际工程结构中，为了提高结构的强度和刚度，或者为了满足其他工程要求，常常需要在静定结构上者为了满足其他工程要求，常常需要在静定结构上再加上一些构件或者约束，从而使作用在刚体上未再加上一些构件或者约束，从而使作用在刚体上未知约束力的数目多于独立的平衡方程数目，因而仅知约束力的数目多于独立的平衡方程数目，因而仅仅依靠刚体平衡条件不能求出全部未知量。这类问仅依靠刚体平衡条件不能求出全部未知量。这类问题称为超静定问题，相应的结构称为超静定结构题称为超静定

70、问题，相应的结构称为超静定结构。工工程程力力学学3.2 3.2 简单的刚体系统平衡问题简单的刚体系统平衡问题l3.2.2 3.2.2 刚体系统的平衡问题的特点与解法刚体系统的平衡问题的特点与解法1 1整体平衡与局部平衡的概念整体平衡与局部平衡的概念某些刚体系统的平衡问题中，若仅考虑整体平衡，某些刚体系统的平衡问题中，若仅考虑整体平衡，其未知约束力的数目多于平衡方程的数目。但是，其未知约束力的数目多于平衡方程的数目。但是，如果将刚体系统中的构件分开，依次考虑每个构如果将刚体系统中的构件分开，依次考虑每个构件的平衡，则可以求出全部未知约束力。这种情件的平衡，则可以求出全部未知约束力。这种情形下的刚

71、体系统依然是静定的。形下的刚体系统依然是静定的。求解刚体系统的平衡问题需要将平衡的概念加以求解刚体系统的平衡问题需要将平衡的概念加以扩展，即：系统如果整体是平衡的，则组成系统扩展，即：系统如果整体是平衡的，则组成系统的每一个局部以及每一个刚体也必然是平衡的。的每一个局部以及每一个刚体也必然是平衡的。工工程程力力学学3.2 3.2 简单的刚体系统平衡问题简单的刚体系统平衡问题2 2研究对象有多种选择研究对象有多种选择由于刚体系统是由多个刚体组成的，因此，研究由于刚体系统是由多个刚体组成的，因此，研究对象的选择对于能不能求解以及求解过程的繁简对象的选择对于能不能求解以及求解过程的繁简程度有很大关系

72、。一般先以整个系统为研究对象，程度有很大关系。一般先以整个系统为研究对象，虽然不能求出全部未知约束力，但可求出其中一虽然不能求出全部未知约束力，但可求出其中一个或几个未知力。个或几个未知力。工工程程力力学学3.2 3.2 简单的刚体系统平衡问题简单的刚体系统平衡问题3 3分析刚体系统受力时，要分清内力和外力分析刚体系统受力时，要分清内力和外力内力和外力是相对的，需视选择的研究对象而定。内力和外力是相对的，需视选择的研究对象而定。研究对象以外的物体作用于研究对象上的力称为外研究对象以外的物体作用于研究对象上的力称为外力；研究对象内部各部分间的相互作用力称为内力。力；研究对象内部各部分间的相互作用

73、力称为内力。内力总是成对出现，它们大小相等、方向相反、作内力总是成对出现，它们大小相等、方向相反、作用线同在一直线上，分别作用在两个相连接的物体用线同在一直线上，分别作用在两个相连接的物体上。上。考虑以整体为研究对象的平衡时，由于内力在任意考虑以整体为研究对象的平衡时，由于内力在任意轴上的投影之和以及对任意点的力矩之和始终为零，轴上的投影之和以及对任意点的力矩之和始终为零，因而不必考虑。但是，一旦将系统拆开，以局部或因而不必考虑。但是，一旦将系统拆开，以局部或单个刚体作为研究对象时，在拆开处，原来的内力单个刚体作为研究对象时，在拆开处，原来的内力变成了外力，建立平衡方程时必须考虑这些力。变成了

74、外力，建立平衡方程时必须考虑这些力。工工程程力力学学3.2 3.2 简单的刚体系统平衡问题简单的刚体系统平衡问题4 4刚体系统的受力分析过程刚体系统的受力分析过程必须严格根据约束的性质确定约束力，特别要注必须严格根据约束的性质确定约束力，特别要注意互相连接物体之间的作用力与反作用力，使作意互相连接物体之间的作用力与反作用力，使作用在平衡系统整体上的力系和作用在每个刚体上用在平衡系统整体上的力系和作用在每个刚体上的力系都满足平衡条件。的力系都满足平衡条件。常常有这样的情形，作用在系统上的力系似乎满常常有这样的情形，作用在系统上的力系似乎满足平衡条件，但由此而得到的单个刚体本身的力足平衡条件，但由

75、此而得到的单个刚体本身的力系却是不平衡的，这显然是不正确的。这种情形系却是不平衡的，这显然是不正确的。这种情形对于初学者时有发生。对于初学者时有发生。工工程程力力学学3.3 3.3 考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题l3.3.1 3.3.1 滑动摩擦定律滑动摩擦定律考察图考察图3-8(a)3-8(a)中所示质量为中所示质量为m m、静止地放置于水平面、静止地放置于水平面上的物块，设两者接触面都是非光滑面。上的物块，设两者接触面都是非光滑面。图图3-8静滑动摩擦力静滑动摩擦力工工程程力力学学3.3 3.3 考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题在物块上施加水平力在物块上施加水平力FPFP

76、，并令其自零开始连续增大，并令其自零开始连续增大，当力较小时，物块具有相对滑动的趋势。这时，物当力较小时，物块具有相对滑动的趋势。这时，物块的受力如图块的受力如图3-8(b)3-8(b)所示。因为是非光滑面接触，所示。因为是非光滑面接触，故作用在物块上的约束力除法向力故作用在物块上的约束力除法向力FNFN外，还有一与外，还有一与运动趋势相反的力，称为静滑动摩擦力，简称静摩运动趋势相反的力，称为静滑动摩擦力，简称静摩擦力，用擦力，用F F表示。表示。当当FP=0FP=0时，由于两者无相对滑动趋势，故静摩擦力时，由于两者无相对滑动趋势，故静摩擦力F=0F=0。当。当FPFP开始增加时，静摩擦力开始

77、增加时，静摩擦力F F随之增加，因为随之增加，因为存在存在F=FPF=FP，物块仍然保持静止。，物块仍然保持静止。FPFP再继续增加，达到某一临界值再继续增加，达到某一临界值FPmaxFPmax时，摩擦力达时，摩擦力达到最大值，到最大值，F=FmaxF=Fmax，物块处于临界状态。其后，物，物块处于临界状态。其后，物块开始沿力块开始沿力FPFP的作用方向滑动。的作用方向滑动。工工程程力力学学3.3 3.3 考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题物块开始运动后，静滑动摩擦力突变至动滑动摩擦物块开始运动后，静滑动摩擦力突变至动滑动摩擦力力FdFd。此后，主动力。此后，主动力FPFP的数值若再增加

78、，则摩擦力的数值若再增加，则摩擦力基本上保持为常值基本上保持为常值FdFd。上述过程中，主动力与摩擦力之间的关系曲线如图上述过程中，主动力与摩擦力之间的关系曲线如图3-93-9所示。所示。图图3-9滑动摩擦力与主动力之间的关系滑动摩擦力与主动力之间的关系工工程程力力学学3.3 3.3 考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题根据库仑摩擦定律，最大静摩擦力与正压力成正比，根据库仑摩擦定律，最大静摩擦力与正压力成正比，其方向与相对滑动趋势的方向相反，而与接触面积的其方向与相对滑动趋势的方向相反，而与接触面积的大小无关，即大小无关，即 Fmax=f Fmax=fs sF FN N (3-6)(3-6

79、)式中，式中，fs称为静摩擦因数。静摩擦因数称为静摩擦因数。静摩擦因数fs主要与材料主要与材料和接触面的粗糙程度有关，其数值可在机械工程手和接触面的粗糙程度有关，其数值可在机械工程手册中查到。但由于影响摩擦因数的因素比较复杂，册中查到。但由于影响摩擦因数的因素比较复杂，所以如果需要较准确的所以如果需要较准确的fs数值，则应由实验测定。数值，则应由实验测定。工工程程力力学学3.3 3.3 考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题上述分析表明，开始运动之前，即物体保持静止时，上述分析表明，开始运动之前，即物体保持静止时，静摩擦力的数值在零与最大静摩擦力之间，即静摩擦力的数值在零与最大静摩擦力之间，

80、即 0 0F FFmax Fmax （3-73-7）从约束的角度，静滑动摩擦力也是一种约束力，而从约束的角度，静滑动摩擦力也是一种约束力，而且是在一定范围内取值的约束力。且是在一定范围内取值的约束力。工工程程力力学学3.3 3.3 考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题l3.3.2 3.3.2 考虑摩擦时构件的平衡问题考虑摩擦时构件的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题，与不考虑摩擦时的平衡问考虑摩擦时的平衡问题，与不考虑摩擦时的平衡问题有着共同特点，即：物体平衡时应满足平衡条件，题有着共同特点，即：物体平衡时应满足平衡条件，解题方法与过程也基本相同。解题方法与过程也基本相同。但是，这类平衡问题的分

81、析过程也有其特点：但是，这类平衡问题的分析过程也有其特点：首先，受力分析时必须考虑摩擦力，而且要注意首先，受力分析时必须考虑摩擦力，而且要注意摩擦力的方向与相对滑动趋势的方向相反；摩擦力的方向与相对滑动趋势的方向相反；其次，在滑动之前，即处于静止状态时，摩擦力其次，在滑动之前，即处于静止状态时，摩擦力不是一个定值，而是在一定的范围内取值。不是一个定值，而是在一定的范围内取值。工工程程力力学学3.4 3.4 结论与讨论结论与讨论l3.4.1 3.4.1 关于坐标系和力矩中心的选择关于坐标系和力矩中心的选择选择适当的坐标系和力矩中心，可以减少每个平衡方选择适当的坐标系和力矩中心，可以减少每个平衡方

82、程中所包含未知量的数目。在平面力系的情形下，力程中所包含未知量的数目。在平面力系的情形下，力矩中心应尽量选在两个或多个未知力的交点上，这样矩中心应尽量选在两个或多个未知力的交点上，这样建立的力矩平衡方程中将不包含这些未知力；坐标系建立的力矩平衡方程中将不包含这些未知力；坐标系中坐标轴取向应尽量与多数未知力相垂直，从而使这中坐标轴取向应尽量与多数未知力相垂直，从而使这些未知力在这一坐标轴上的投影等于零，这同样可以些未知力在这一坐标轴上的投影等于零，这同样可以减少一个力的平衡方程中未知力的数目。减少一个力的平衡方程中未知力的数目。工工程程力力学学3.4 3.4 结论与讨论结论与讨论l3.4.2 3

83、.4.2 关于受力分析的重要性关于受力分析的重要性从本章关于单个刚体与简单刚体系统平衡问题的分析从本章关于单个刚体与简单刚体系统平衡问题的分析中可以看出，受力分析是决定分析平衡问题成败的关中可以看出，受力分析是决定分析平衡问题成败的关键，只有当受力分析正确无误时，其后的分析才能取键，只有当受力分析正确无误时，其后的分析才能取得正确的结果。得正确的结果。l3.4.3 3.4.3 关于求解刚体系统平衡问题时注意事项关于求解刚体系统平衡问题时注意事项（1 1）认真理解、掌握并能灵活运用）认真理解、掌握并能灵活运用“系统整体平衡，系统整体平衡，组成系统的每个局部必然平衡组成系统的每个局部必然平衡”的重

84、要概念。的重要概念。（2 2）要灵活选择研究对象。）要灵活选择研究对象。（3 3）注意区分内力与外力、作用力与反作用力。）注意区分内力与外力、作用力与反作用力。（4 4）注意对分布载荷进行等效简化。）注意对分布载荷进行等效简化。工工程程力力学学3.4 3.4 结论与讨论结论与讨论l3.4.4 3.4.4 摩擦角与自锁的概念摩擦角与自锁的概念1 1摩擦角摩擦角摩擦角是全反力摩擦角是全反力FR偏离接触面法线的最大角度；偏离接触面法线的最大角度；摩擦角的正切值等于静摩擦因数。摩擦角的正切值等于静摩擦因数。图图3-14摩擦角摩擦角工工程程力力学学3.4 3.4 结论与讨论结论与讨论2 2自锁现象自锁现

85、象当主动力合力的作用线位当主动力合力的作用线位于摩擦角的范围以内时，于摩擦角的范围以内时，无论主动力有多大，物体无论主动力有多大，物体也保持平衡也保持平衡(见图见图3-15)；反；反之，如果主动力合力的作之，如果主动力合力的作用线位于摩擦角的范围以用线位于摩擦角的范围以外时，无论主动力有多小，外时，无论主动力有多小，物体也会产生运动。上述物体也会产生运动。上述现象分别称为自锁和不自现象分别称为自锁和不自锁。介于自锁与不自锁之锁。介于自锁与不自锁之间者为临界状态。间者为临界状态。 图3-15 自锁的条件工工程程力力学学3.4 3.4 结论与讨论结论与讨论l3.4.5 3.4.5 空间力系平衡条件

86、与平衡方程简述空间力系平衡条件与平衡方程简述1 1力对轴之矩力对轴之矩如图如图3-18所示所示，力力F对对O点之矩就是力点之矩就是力F使刚体绕使刚体绕Oz轴转动效应的度量，称为力轴转动效应的度量，称为力F对对Oz轴之矩。轴之矩。空间力对轴之矩的定义为：空间力对轴之矩的定义为：力对轴之矩是力使刚体绕此轴转动效应的度量，力对轴之矩是力使刚体绕此轴转动效应的度量，它等于该力在垂直于此轴的任一平面上的分量对它等于该力在垂直于此轴的任一平面上的分量对该轴与平面交点之矩，即该轴与平面交点之矩，即 Mz(F)=M Mz(F)=MO O(F(Fxyxy)=)=F Fxyxyh=h=2 2OAb OAb (3-

87、14)(3-14)式中，式中，h为为O至力至力Fxy作用线的距离。作用线的距离。工工程程力力学学3.4 3.4 结论与讨论结论与讨论图图3-18力对点之矩与力对轴之矩力对点之矩与力对轴之矩图图3-19力对轴之矩的计算力对轴之矩的计算工工程程力力学学3.4 3.4 结论与讨论结论与讨论2 2空间力系的平衡方程空间力系的平衡方程 Fx=0Fx=0 Fy=0Fy=0 Fz=0 Fz=0Mx(F)=0Mx(F)=0My(F)=0My(F)=0Mz(F)=0 Mz(F)=0 (3-15)(3-15)其中，前三式表示力系中所有力在任选的三个直角其中，前三式表示力系中所有力在任选的三个直角坐标轴上投影的代数

88、和等于零，称为力的投影式平坐标轴上投影的代数和等于零，称为力的投影式平衡方程；后三式表示力系中所有力对三个直角坐标衡方程；后三式表示力系中所有力对三个直角坐标轴之矩的代数和等于零，称为力矩式平衡方程。轴之矩的代数和等于零，称为力矩式平衡方程。工工程程力力学学第四章第四章 材料力学的基本概念材料力学的基本概念4.1 关于材料的基本假定关于材料的基本假定4.2 弹性杆件的外力与内力性杆件的外力与内力4.3 弹性体受力与性体受力与变形特征形特征4.4 杆件横截面上的杆件横截面上的应力力4.5 正正应变与切与切应变4.6 线弹性材料的性材料的应力力应变关系关系4.7 杆件受力与杆件受力与变形的基本形式

89、形的基本形式4.8 结论与与讨论第第四四章章工工程程力力学学4.14.1关于材料的基本假定关于材料的基本假定l4.1.14.1.1均匀连续性假定均匀连续性假定均匀连续性假定：假定材料无空隙、均匀地分布于均匀连续性假定：假定材料无空隙、均匀地分布于物体所占的整个空间。物体所占的整个空间。从微观结构看，材料的粒子当然不是处处连续分布从微观结构看，材料的粒子当然不是处处连续分布的，但从统计学的角度看，只要所考察的物体之几的，但从统计学的角度看，只要所考察的物体之几何尺寸足够大，而且所考察的物体中的每一何尺寸足够大，而且所考察的物体中的每一“点点”都是宏观上的点，则可以认为物体的全部体积内材都是宏观上

90、的点，则可以认为物体的全部体积内材料是均匀、连续分布的。根据这一假定，物体内的料是均匀、连续分布的。根据这一假定，物体内的受力、变形等力学量可以表示为各点坐标的连续函受力、变形等力学量可以表示为各点坐标的连续函数，从而有利于建立相应的数学模型。数，从而有利于建立相应的数学模型。工工程程力力学学4.14.1关于材料的基本假定关于材料的基本假定l4.1.24.1.2各向同性假定各向同性假定各向同性假定：各向同性假定：假定弹性体在所有方向上均具有相同的物理和力假定弹性体在所有方向上均具有相同的物理和力学性能。根据这一假定，可以用参数表述各点在学性能。根据这一假定，可以用参数表述各点在各个方向上的某种

91、力学性能。各个方向上的某种力学性能。大多数工程材料虽然微观上不是各向同性的，例如大多数工程材料虽然微观上不是各向同性的，例如金属材料，其单个晶粒呈结晶各向异性，但当它们金属材料，其单个晶粒呈结晶各向异性，但当它们形成多晶聚集体的金属时，呈随机取向，因而在宏形成多晶聚集体的金属时，呈随机取向，因而在宏观上表现为各向同性。观上表现为各向同性。工工程程力力学学4.14.1关于材料的基本假定关于材料的基本假定l4.1.34.1.3小变形假定小变形假定小变形假定：假定物体在外力作用下所产生的变形与物小变形假定：假定物体在外力作用下所产生的变形与物体本身的几何尺寸相比是很小的。根据这一假定，当考体本身的几

92、何尺寸相比是很小的。根据这一假定，当考察变形固体的平衡问题时，一般可以略去变形的影响，察变形固体的平衡问题时，一般可以略去变形的影响，因而可以直接应用工程静力学方法。因而可以直接应用工程静力学方法。读者不难发现，在工程静力学中，实际上已经采用了上读者不难发现，在工程静力学中，实际上已经采用了上述关于小变形的假定。因为实际物体都是可变形物体，述关于小变形的假定。因为实际物体都是可变形物体，所谓刚体便是实际物体在变形很小时的理想化，即忽略所谓刚体便是实际物体在变形很小时的理想化，即忽略了变形对平衡和运动规律的影响。从这个意义上讲，在了变形对平衡和运动规律的影响。从这个意义上讲，在材料力学中，当讨论

93、大多数平衡问题时，仍将沿用刚体材料力学中，当讨论大多数平衡问题时，仍将沿用刚体概念，而在其他场合，必须代之以变形体的概念。此外，概念，而在其他场合，必须代之以变形体的概念。此外，读者还会在以后的分析中发现，小变形假定在分析变形读者还会在以后的分析中发现，小变形假定在分析变形几何关系等问题时将使问题大为简化。几何关系等问题时将使问题大为简化。工工程程力力学学4.24.2弹性杆件的外力与内力弹性杆件的外力与内力l4.2.14.2.1外力外力作用在结构构件上的外力包括外加载荷和约束力，二作用在结构构件上的外力包括外加载荷和约束力，二者组成平衡力系。外力分为体积力和表面力，简称体者组成平衡力系。外力分

94、为体积力和表面力，简称体力和面力。体力分布于整个物体内，并作用在物体的力和面力。体力分布于整个物体内，并作用在物体的每一个质点上。重力、磁力以及由于运动加速度在质每一个质点上。重力、磁力以及由于运动加速度在质点上产生的惯性力都是体力。面力是研究对象周围物点上产生的惯性力都是体力。面力是研究对象周围物体直接作用在其表面上的力。体直接作用在其表面上的力。工工程程力力学学4.24.2弹性杆件的外力与内力弹性杆件的外力与内力l4.2.24.2.2内力内力考察图考察图4-14-1所示两根材料和尺寸都完全相同的直杆，所示两根材料和尺寸都完全相同的直杆，所受的载荷所受的载荷(F(FP P) )大小亦相同，但

95、方向不同。图大小亦相同，但方向不同。图4-1(4-1(a a) )所示梁将远先于图所示梁将远先于图4-1(4-1(b b) )所示拉杆发生破坏，而且两所示拉杆发生破坏，而且两者的变形形式也是完全不同的。可见，在材料力学中者的变形形式也是完全不同的。可见，在材料力学中不仅要分析外力，而且要分析内力。不仅要分析外力，而且要分析内力。图图4-1大小相等的外力产生不同的变形和内力大小相等的外力产生不同的变形和内力工工程程力力学学4.24.2弹性杆件的外力与内力弹性杆件的外力与内力材料力学中的内力不同于工程静力学中物体系统中材料力学中的内力不同于工程静力学中物体系统中各个部分之间的相互作用力，也不同于物

96、理学中基各个部分之间的相互作用力，也不同于物理学中基本粒子之间的相互作用力，而是指构件受力后发生本粒子之间的相互作用力，而是指构件受力后发生变形，其内部各点变形，其内部各点( (宏观上的点宏观上的点) )的相对位置发生变的相对位置发生变化，由此而产生的附加内力，即变形体因变形而产化，由此而产生的附加内力，即变形体因变形而产生的内力。这种内力确实存在，例如受拉的弹簧，生的内力。这种内力确实存在，例如受拉的弹簧，其内力使弹簧恢复原状；人用手提起重物时，手臂其内力使弹簧恢复原状；人用手提起重物时，手臂肌肉便产生内力，等等。肌肉便产生内力，等等。工工程程力力学学4.24.2弹性杆件的外力与内力弹性杆件

97、的外力与内力l4.2.34.2.3截面法内力分量截面法内力分量确定杆件横截面上的内力分量的基本方法确定杆件横截面上的内力分量的基本方法截面法，截面法，一般包含下列步骤：一般包含下列步骤：(1)应用工程静力学方法，确定作用在杆件上的所有应用工程静力学方法，确定作用在杆件上的所有未知的外力。未知的外力。(2)在所要考察的横截面处，用假想截面将杆件截开，在所要考察的横截面处，用假想截面将杆件截开，分为两部分。分为两部分。(3)考察其中任意一部分的平衡，在截面形心处建立考察其中任意一部分的平衡，在截面形心处建立合适的直角坐标系，由平衡方程计算出各个内力分合适的直角坐标系，由平衡方程计算出各个内力分量的

98、大小与方向。量的大小与方向。(4)考察另一部分的平衡，以验证所得结果的正确性。考察另一部分的平衡，以验证所得结果的正确性。工工程程力力学学4.34.3弹性体受力与变形特征弹性体受力与变形特征l4.34.3弹性体受力与变形特征弹性体受力与变形特征由于整体平衡的要求，对于截开的每一部分也必须是由于整体平衡的要求，对于截开的每一部分也必须是平衡的。因此，作用在每一部分上的外力必须与截面平衡的。因此，作用在每一部分上的外力必须与截面上分布内力相平衡，组成平衡力系。这是弹性体受力、上分布内力相平衡，组成平衡力系。这是弹性体受力、变形的第一个特征。这表明，弹性体由变形引起的内变形的第一个特征。这表明，弹性

99、体由变形引起的内力不能是任意的。力不能是任意的。在外力作用下，弹性体的变形应使弹性体各相邻部分，在外力作用下，弹性体的变形应使弹性体各相邻部分，既不能断开，也不能发生重叠的现象。图既不能断开，也不能发生重叠的现象。图4-54-5所示为所示为从一弹性体中取出的两相邻部分的三种变形状况，其从一弹性体中取出的两相邻部分的三种变形状况，其中图中图4-5(4-5(a a) )所示两部分在变形后发生互相重叠，这当所示两部分在变形后发生互相重叠，这当然是不正确的；图然是不正确的；图4-5(4-5(b)b)所示两部分在变形后分离，所示两部分在变形后分离，显然也是不正确的；图显然也是不正确的；图4-5(4-5(

100、c)c)所示两部分在变形后协所示两部分在变形后协调一致，所以是正确的。调一致，所以是正确的。工工程程力力学学4.34.3弹性体受力与变形特征弹性体受力与变形特征图图4-5弹性体变形后各相邻部分之间的相互关系弹性体变形后各相邻部分之间的相互关系上述分析表明，弹性体受力后各部分所发生的变形也上述分析表明，弹性体受力后各部分所发生的变形也不是任意的，必须满足协调一致的要求。这是弹性体不是任意的，必须满足协调一致的要求。这是弹性体受力、变形的第二个特征。此外，弹性体受力后发生受力、变形的第二个特征。此外，弹性体受力后发生的变形还与材料的力学性能有关。这表明，受力与变的变形还与材料的力学性能有关。这表明

101、，受力与变形之间存在确定的关系，称为物性关系。形之间存在确定的关系，称为物性关系。工工程程力力学学4.44.4杆件横截面上的应力杆件横截面上的应力l4.4.14.4.1正应力与切应力定义正应力与切应力定义考察图考察图4-64-6所示杆件横截面上微小面积所示杆件横截面上微小面积A A，设其上总，设其上总内力为内力为F FR R，于是在此微小面积上，内力的平均值为，于是在此微小面积上，内力的平均值为FR/A(4-1) 称为平均应力。当所取面积为无限小时，上述平称为平均应力。当所取面积为无限小时，上述平均应力便趋于一极限值，这一极限值便能反映内力在均应力便趋于一极限值，这一极限值便能反映内力在该点处

102、的强弱程度，内力在一点的强弱程度，称为集该点处的强弱程度，内力在一点的强弱程度，称为集度，应力就是内力在一点处的集度。度，应力就是内力在一点处的集度。工工程程力力学学4.44.4杆件横截面上的应力杆件横截面上的应力图图4-6横截面上的应力定义横截面上的应力定义将将F FR R分解为分解为x x、y y、z z三个方向的分量三个方向的分量F FN N、F FQ Qy y、F FQ Qz z，其中，其中F FN N垂直于横截面，垂直于横截面，F FQ Qy y、F FQ Qz z平行于平行于横截面。横截面。工工程程力力学学4.44.4杆件横截面上的应力杆件横截面上的应力根据上述应力定义，可以得到两

103、种应力：一种垂直于根据上述应力定义，可以得到两种应力：一种垂直于横截面；另一种平行于横截面。前者称为正应力，用横截面；另一种平行于横截面。前者称为正应力，用希腊字母希腊字母表示；后者称为切应力，用希腊字母表示；后者称为切应力，用希腊字母表表示。示。、的数学表达式为的数学表达式为FN/A(4-2)FQ/A(4-3)其中，其中，FQ可以是可以是FQy，也可以是，也可以是FQz。需要指出的是，上述二式只是作为应力定义的表达式，需要指出的是，上述二式只是作为应力定义的表达式，对于实际应力计算并无意义。对于实际应力计算并无意义。应力的国际单位制单位记号为应力的国际单位制单位记号为PaPa( (N N/

104、/m m2 2) )或或MPaMPa( (MNMN/ /m m2 2) )。工工程程力力学学4.44.4杆件横截面上的应力杆件横截面上的应力l4.4.24.4.2正应力、切应力与内力分量之间的关系正应力、切应力与内力分量之间的关系以正应力为例，应用积分方法以正应力为例，应用积分方法( (见图见图4-7)4-7)，不难得出正，不难得出正应力与轴力、弯矩之间存在如下关系式：应力与轴力、弯矩之间存在如下关系式：dA=FN(dA)y=-Mx(dA)x=My(4-4)上述表达式一方面表示应力与内力分量间的关系；另上述表达式一方面表示应力与内力分量间的关系；另一方面也表明，如果已知内力分量并且能够确定横截

105、一方面也表明，如果已知内力分量并且能够确定横截面上的应力是怎样分布的，就可以确定横截面上各点面上的应力是怎样分布的，就可以确定横截面上各点处的应力数值。处的应力数值。工工程程力力学学4.44.4杆件横截面上的应力杆件横截面上的应力同时，上述关系式还表明，仅仅根据平衡条件，只能同时，上述关系式还表明，仅仅根据平衡条件，只能确定横截面上的内力分量与外力之间的关系，不能确确定横截面上的内力分量与外力之间的关系，不能确定各点处的应力。因此，确定横截面上的应力还需增定各点处的应力。因此，确定横截面上的应力还需增加其他条件。加其他条件。图图4-7正应力与轴力、弯矩之间的关系正应力与轴力、弯矩之间的关系工工

106、程程力力学学4.54.5正应变与切应变正应变与切应变l4.54.5正应变与切应变正应变与切应变对于正应力作用下的微元，如图对于正应力作用下的微元，如图4-8(4-8(a a) )所示，沿着正所示，沿着正应力方向和垂直于正应力方向将产生伸长和缩短，这应力方向和垂直于正应力方向将产生伸长和缩短，这种变形称为线变形。描写弹性体在各点处线变形程度种变形称为线变形。描写弹性体在各点处线变形程度的量，称为线应变或正应变，用的量，称为线应变或正应变，用x x表示。根据微元变表示。根据微元变形前后形前后x x方向长度方向长度d dx x的相对改变量，有的相对改变量，有xdu/dx(4-5)式中，式中，dx为变

107、形前微元在正应力作用方向的长度；为变形前微元在正应力作用方向的长度；du为微元体变形后相距为微元体变形后相距dx的两截面沿正应力方向的的两截面沿正应力方向的相对位移；相对位移；x的下标的下标x表示应变方向。表示应变方向。工工程程力力学学4.54.5正应变与切应变正应变与切应变图图4-8正应变与切应变正应变与切应变切应力作用下的微元体将发生剪切变形，剪切变形程切应力作用下的微元体将发生剪切变形，剪切变形程度用微元体直角的改变量度量。微元直角改变量称为度用微元体直角的改变量度量。微元直角改变量称为切应变，用切应变，用表示。在图表示。在图4-8(4-8(b b) )中，中，的单位为弧度。的单位为弧度

108、。工工程程力力学学4.64.6线弹性材料的应力线弹性材料的应力- -应变关系应变关系l4.64.6线弹性材料的应力线弹性材料的应力- -应变关系应变关系 对于工程中常用材料，试验结果表明：若在弹性范围对于工程中常用材料，试验结果表明：若在弹性范围内加载内加载( (应力小于某一极限值应力小于某一极限值) )，对于只承受单方向正，对于只承受单方向正应力或承受切应力的微元体，正应力与正应变以及切应力或承受切应力的微元体，正应力与正应变以及切应力与切应变之间存在着线性关系应力与切应变之间存在着线性关系( (见图见图4-9)4-9)：x=Ex或或x=x/E(4-6)x=Gx或或x=x/G(4-7)式中，

109、式中，E和和G为与材料有关的弹性常数：为与材料有关的弹性常数：E称为弹性称为弹性模量或杨氏模量；模量或杨氏模量；G称为切变模量。式称为切变模量。式(4-6)和和(4-7)即为描述线弹性材料物性关系的方程。上述二式都即为描述线弹性材料物性关系的方程。上述二式都称为胡克定律。所谓线弹性材料，是指弹性范围内称为胡克定律。所谓线弹性材料，是指弹性范围内加载时应力加载时应力-应变满足线性关系的材料。应变满足线性关系的材料。工工程程力力学学4.64.6线弹性材料的应力线弹性材料的应力- -应变关系应变关系图图4-9线性的应力线性的应力-应变关系应变关系工工程程力力学学4.74.7杆件受力与变形的基本形式杆

110、件受力与变形的基本形式l4.7.14.7.1拉伸或压缩拉伸或压缩当杆件两端承受沿轴线方向的拉力或压力载荷时，杆当杆件两端承受沿轴线方向的拉力或压力载荷时，杆件将产生轴向伸长或压缩变形。这种受力与变形形式件将产生轴向伸长或压缩变形。这种受力与变形形式称为轴向拉伸或压缩，简称拉伸或压缩。拉伸和压缩称为轴向拉伸或压缩，简称拉伸或压缩。拉伸和压缩时的变形分别如图时的变形分别如图4-10(4-10(a a)()(b b) )所示。所示。拉伸和压缩时，杆横截面上只有轴力拉伸和压缩时，杆横截面上只有轴力F FN N一个内力分量。一个内力分量。图图4-10拉伸和压缩时的受力与变形拉伸和压缩时的受力与变形工工程

111、程力力学学4.74.7杆件受力与变形的基本形式杆件受力与变形的基本形式l4.7.24.7.2剪切剪切作用线垂直于杆件轴线的力，称为横向力。大小相等、作用线垂直于杆件轴线的力，称为横向力。大小相等、方向相反、作用线互相平行、相距很近的两个横向力方向相反、作用线互相平行、相距很近的两个横向力作用在杆件上，当这两个力相互错动并保持二者作用作用在杆件上，当这两个力相互错动并保持二者作用线之间的距离不变时，杆件的两个相邻截面将产生相线之间的距离不变时，杆件的两个相邻截面将产生相互错动，这种变形称为剪切变形，如图互错动，这种变形称为剪切变形，如图4-114-11所示。这所示。这种受力与变形形式称为剪切。种

112、受力与变形形式称为剪切。剪切时，杆件横截面上只有剪力剪切时，杆件横截面上只有剪力F FQ Q，可以是，可以是F FQ Qy y或或F FQ Qz z一一个内力分量。个内力分量。工工程程力力学学4.74.7杆件受力与变形的基本形式杆件受力与变形的基本形式l4.7.34.7.3扭转扭转当作用面互相平行的两个力偶作用在杆件的两个横截当作用面互相平行的两个力偶作用在杆件的两个横截面内时，杆件的横截面将产生绕杆件轴线的相互转动，面内时，杆件的横截面将产生绕杆件轴线的相互转动，这种变形称为扭转变形，如图这种变形称为扭转变形，如图4-124-12所示。杆件的这种所示。杆件的这种受力与变形形式称为扭转。受力与

113、变形形式称为扭转。杆件承受扭转变形时，其横截面上只有扭矩杆件承受扭转变形时，其横截面上只有扭矩M Me e一个内一个内力分量。力分量。工工程程力力学学4.74.7杆件受力与变形的基本形式杆件受力与变形的基本形式图图4-11剪切时的受力与变形剪切时的受力与变形图图4-12杆件在扭转时的受力与变形杆件在扭转时的受力与变形工工程程力力学学4.74.7杆件受力与变形的基本形式杆件受力与变形的基本形式l4.7.44.7.4平面弯曲平面弯曲当外加力偶或横向力作用于杆件当外加力偶或横向力作用于杆件纵向的某一平面内时纵向的某一平面内时( (见图见图4-13)4-13)，杆件的轴线将在加载平面内弯，杆件的轴线将

114、在加载平面内弯曲成曲线。这种变形形式称为平曲成曲线。这种变形形式称为平面弯曲，简称弯曲。面弯曲，简称弯曲。图图4-13(4-13(a a) )所示的情形下，杆件所示的情形下，杆件横截面上只有弯矩一个内力分量横截面上只有弯矩一个内力分量M M(M(My y或或M Mz z) )，这时的平面弯曲称为，这时的平面弯曲称为纯弯曲。纯弯曲。对于图对于图4-13(4-13(b b) )所示情形，横截所示情形，横截面上除弯矩外尚有剪力存在。这面上除弯矩外尚有剪力存在。这种弯曲称为横向弯曲，简称横弯。种弯曲称为横向弯曲，简称横弯。图4-13平面弯曲时杆件的受力与变形工工程程力力学学4.74.7杆件受力与变形的

115、基本形式杆件受力与变形的基本形式l4.7.54.7.5组合受力与变形组合受力与变形由上述基本受力形式中的两种或两种以上所共同形成由上述基本受力形式中的两种或两种以上所共同形成的受力形式即称为组合受力与变形。例如，图的受力形式即称为组合受力与变形。例如，图4-144-14所所示杆件的受力即为拉伸与弯曲的组合受力，其中力示杆件的受力即为拉伸与弯曲的组合受力，其中力F FP P、力偶、力偶M M都作用在同一平面内，这种情形下，杆件将都作用在同一平面内，这种情形下，杆件将同时承受拉伸变形与弯曲变形。同时承受拉伸变形与弯曲变形。图图4-14承受拉伸与弯曲共同作用的杆件承受拉伸与弯曲共同作用的杆件工工程程

116、力力学学4.74.7杆件受力与变形的基本形式杆件受力与变形的基本形式杆件承受组合受力与变形时，其横截面上将存在两个杆件承受组合受力与变形时，其横截面上将存在两个或两个以上的内力分量。或两个以上的内力分量。实际杆件的受力不管多么复杂，在一定的条件下，都实际杆件的受力不管多么复杂，在一定的条件下，都可以简化为基本受力形式的组合。可以简化为基本受力形式的组合。前面已经提到，工程上将只承受拉伸的杆件统称为杆；前面已经提到，工程上将只承受拉伸的杆件统称为杆；只承受压缩的杆件统称为压杆或柱；主要承受扭转的只承受压缩的杆件统称为压杆或柱；主要承受扭转的杆件统称为轴；主要承受弯曲的杆件统称为梁。杆件统称为轴；

117、主要承受弯曲的杆件统称为梁。工工程程力力学学4.84.8结论与讨论结论与讨论l4.8.14.8.1关于工程静力学模型与材料力学模型关于工程静力学模型与材料力学模型所有工程结构的构件，实际上都是可变形的变形体，所有工程结构的构件，实际上都是可变形的变形体，当变形很小时，变形对物体运动效应的影响甚小，因当变形很小时，变形对物体运动效应的影响甚小，因而在研究运动和平衡问题时一般可将变形略去，从而而在研究运动和平衡问题时一般可将变形略去，从而将变形体抽象为刚体。从这一意义上讲，刚体和变形将变形体抽象为刚体。从这一意义上讲，刚体和变形体都是工程构件在确定条件下的力学简化模型。体都是工程构件在确定条件下的

118、力学简化模型。l4.8.24.8.2关于弹性体受力与变形特点关于弹性体受力与变形特点弹性体在载荷作用下，将产生连续分布的内力。弹性弹性体在载荷作用下，将产生连续分布的内力。弹性体内力应满足：与外力的平衡关系，弹性体自身变形体内力应满足：与外力的平衡关系，弹性体自身变形协调关系，力与变形之间的物性关系。这是材料力学协调关系，力与变形之间的物性关系。这是材料力学与工程静力学的重要区别。与工程静力学的重要区别。工工程程力力学学4.84.8结论与讨论结论与讨论l4.8.34.8.3关于工程静力学概念与原理在材料力学关于工程静力学概念与原理在材料力学中的可用性与限制性中的可用性与限制性工程中绝大多数构件

119、受力后所产生的变形相对于构件工程中绝大多数构件受力后所产生的变形相对于构件的尺寸都是很小的，这种变形通常称为的尺寸都是很小的，这种变形通常称为“小变形小变形”。在小变形条件下，工程静力学中关于平衡的理论和方在小变形条件下，工程静力学中关于平衡的理论和方法能否应用于材料力学，下列问题的讨论对于回答这法能否应用于材料力学，下列问题的讨论对于回答这一问题是有益的：一问题是有益的：(1)若将作用在弹性杆上的力，如图若将作用在弹性杆上的力，如图4-15(a)所示，沿所示，沿其作用线方向移动，见图其作用线方向移动，见图4-15(b)所示。所示。(2)若将作用在弹性杆上的力，如图若将作用在弹性杆上的力，如图

120、4-16(a)所示，向所示，向另一点平移，见图另一点平移，见图4-16(b)所示。所示。工工程程力力学学4.84.8结论与讨论结论与讨论请读者分析：上述两种情形下对弹性杆的平衡和变形请读者分析：上述两种情形下对弹性杆的平衡和变形将会产生什么影响？将会产生什么影响？图图4-15力沿作用线移动的结果力沿作用线移动的结果图图4-16力沿作用线向一点平移的结果力沿作用线向一点平移的结果工工程程力力学学第五章第五章 杆件的内力杆件的内力图5.1 基本概念与基本方法基本概念与基本方法5.2 轴力力图与扭矩与扭矩图5.3 弹力力图与弯矩与弯矩图5.4 结论与与讨论第第五五章章工工程程力力学学5.15.1基本

121、概念与基本方法基本概念与基本方法l5.1.15.1.1整体平衡与局部平衡的概念整体平衡与局部平衡的概念弹性杆件在外力作用下若保持平衡，则从其上截取的弹性杆件在外力作用下若保持平衡，则从其上截取的任意部分也必须保持平衡。前者称为整体平衡或总体任意部分也必须保持平衡。前者称为整体平衡或总体平衡；后者称为局部平衡。平衡；后者称为局部平衡。整体是指杆件所代表的某一构件。局部是指可以是用整体是指杆件所代表的某一构件。局部是指可以是用一截面将杆截成的两部分中的任一部分，也可以是无一截面将杆截成的两部分中的任一部分，也可以是无限接近的两个截面所截出的一微段，还可以是围绕某限接近的两个截面所截出的一微段，还可

122、以是围绕某一点截取的微元或微元的局部等。一点截取的微元或微元的局部等。这种整体平衡与局部平衡的关系，不仅适用于弹性杆这种整体平衡与局部平衡的关系，不仅适用于弹性杆件，而且适用于所有弹性体，因而可以称为弹性体平件，而且适用于所有弹性体，因而可以称为弹性体平衡原理。衡原理。工工程程力力学学5.15.1基本概念与基本方法基本概念与基本方法l5.1.25.1.2杆件横截面上的内力与外力的相依关系杆件横截面上的内力与外力的相依关系应用第应用第4 4章中所介绍的截面法，不难证明，当杆件上章中所介绍的截面法，不难证明，当杆件上的外力的外力( (包括载荷与约束力包括载荷与约束力) )沿杆的轴线方向发生突变沿杆

123、的轴线方向发生突变时，内力的变化规律也将发生变化。时，内力的变化规律也将发生变化。所谓外力突变，是指有集中力、集中力偶作用的情形；所谓外力突变，是指有集中力、集中力偶作用的情形；分布载荷间断或分布载荷集度发生突变的情形。分布载荷间断或分布载荷集度发生突变的情形。所谓内力变化规律，是指表示内力变化的函数或变化所谓内力变化规律，是指表示内力变化的函数或变化的图线。这表明，如果在两个外力作用点之间的杆件的图线。这表明，如果在两个外力作用点之间的杆件上没有其他外力作用，则这一段杆件所有横截面上的上没有其他外力作用，则这一段杆件所有横截面上的内力可以用同一个数学方程或者同一图线描述。内力可以用同一个数学

124、方程或者同一图线描述。工工程程力力学学5.15.1基本概念与基本方法基本概念与基本方法图图5-1杆件内力与外力的变化有关杆件内力与外力的变化有关例如，图例如，图5-1(5-1(a a) )所示平面载荷作用的杆，其上的所示平面载荷作用的杆，其上的A AB B、C CD D、D DE E、E EF F、G GH H、I IJ J等各段内力分别按等各段内力分别按不同的函数规律变化。不同的函数规律变化。工工程程力力学学5.15.1基本概念与基本方法基本概念与基本方法l5.1.35.1.3控制面控制面根据以上分析，在一段杆上，内力按一种函数规律变根据以上分析，在一段杆上，内力按一种函数规律变化，这一段杆

125、的两个端截面称为控制面。控制面也就化，这一段杆的两个端截面称为控制面。控制面也就是函数定义域的两个端点。据此，下列截面均可能为是函数定义域的两个端点。据此，下列截面均可能为控制面：控制面：(1)集中力作用点两侧截面。集中力作用点两侧截面。(2)集中力偶作用点两侧截面。集中力偶作用点两侧截面。(3)集度相同、连续变化的分布载荷起点和终点处截集度相同、连续变化的分布载荷起点和终点处截面。面。图图5-1(5-1(a a) )中所示杆件上的中所示杆件上的A A、B B、C C、D D、E E、F F、G G、H H、I I、J J等截面都是控制面等截面都是控制面工工程程力力学学5.15.1基本概念与基

126、本方法基本概念与基本方法l5.1.45.1.4杆件内力分量的正负号规则杆件内力分量的正负号规则为了保证杆件同一处左、右两侧截面上具有相同的正为了保证杆件同一处左、右两侧截面上具有相同的正负号，不仅要考虑内力分量的方向，而且要看它作用负号，不仅要考虑内力分量的方向，而且要看它作用在哪一侧截面上。于是，上述内力分量的正负号规则在哪一侧截面上。于是，上述内力分量的正负号规则约定如图约定如图5-25-2所示。所示。轴力轴力F FN N：无论作用在哪一侧截面上，使杆件受拉者为：无论作用在哪一侧截面上，使杆件受拉者为正；受压者为负。正；受压者为负。剪力剪力F FQ Q(F(FQ Qy y或或F FQ Qz

127、 z) )：使截开部分杆件产生顺时针方向转：使截开部分杆件产生顺时针方向转动者为正；逆时针方向转动者为负。动者为正；逆时针方向转动者为负。工工程程力力学学5.15.1基本概念与基本方法基本概念与基本方法弯矩弯矩M(MM(My y或或M Mz z) )：作用在左侧面上使截开部分逆时针方：作用在左侧面上使截开部分逆时针方向转动或者作用在右侧截面上使截开部分顺时针方向向转动或者作用在右侧截面上使截开部分顺时针方向转动者为正；反之为负。转动者为正；反之为负。扭矩扭矩M Mx x：扭矩矢量方向与截面外法线方向一致者为正；：扭矩矢量方向与截面外法线方向一致者为正；反之为负。反之为负。图图5-25-2所示所

128、示F FN N、F FQ Q、M M、M Mx x都是正方向。都是正方向。图图52内力分量的正负号规则内力分量的正负号规则工工程程力力学学5.15.1基本概念与基本方法基本概念与基本方法l5.1.55.1.5截面法确定指定横截面上的内力分量截面法确定指定横截面上的内力分量以平面载荷作用情形以平面载荷作用情形 见图见图5-1(5-1(a a)为例，为了确定为例，为了确定C CD D之间的某一横截面上的内力分量，用一假想横截之间的某一横截面上的内力分量，用一假想横截面将杆件截开，考察左边部分的平衡，其受力如图面将杆件截开，考察左边部分的平衡，其受力如图5-5-1(1(b b) )所示，这时截面上只

129、有所示，这时截面上只有F FN N、F FQ Qy y和和M Mz z三个内力分量，三个内力分量，假设这些内力分量都是正方向。由于这三个内力分量假设这些内力分量都是正方向。由于这三个内力分量都作用在外力所在的平面内，所以，应用平面力系的都作用在外力所在的平面内，所以，应用平面力系的三个平衡方程，即可求得全部内力分量：三个平衡方程，即可求得全部内力分量：Fx0，Fy0，M0其中，力矩平衡方程的矩心可以取为所截开截面的其中，力矩平衡方程的矩心可以取为所截开截面的几何中心。几何中心。工工程程力力学学5.25.2轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图l5.2.15.2.1轴力图轴力图沿着杆件轴线方向作用的载荷，

130、通常称为轴向载荷。沿着杆件轴线方向作用的载荷，通常称为轴向载荷。杆件承受轴向载荷作用时，横截面上只有轴力一种内杆件承受轴向载荷作用时，横截面上只有轴力一种内力分量力分量F FN N。杆件只在两个端截面处承受轴向载荷时，则杆件的所杆件只在两个端截面处承受轴向载荷时，则杆件的所有横截面上的轴力都是相同的。如果杆件上作用有两有横截面上的轴力都是相同的。如果杆件上作用有两个以上的轴向载荷，就只有两个轴向载荷作用点之间个以上的轴向载荷，就只有两个轴向载荷作用点之间的横截面上的轴力是相同的。的横截面上的轴力是相同的。表示轴力沿杆件轴线方向变化的图形，称为轴力图。表示轴力沿杆件轴线方向变化的图形，称为轴力图

131、。工工程程力力学学5.25.2轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图l5.2.25.2.2扭矩图扭矩图作用在杆件上的外力偶矩，可以由外力向杆的轴线简作用在杆件上的外力偶矩，可以由外力向杆的轴线简化而得；但是对于传递功率的轴，通常都不是直接给化而得；但是对于传递功率的轴，通常都不是直接给出力或力偶矩，而是给定功率和转速。出力或力偶矩，而是给定功率和转速。因为力偶矩在单位时间内所做之功即为功率，于是有因为力偶矩在单位时间内所做之功即为功率，于是有TWP式中，式中，T为外力偶矩；为外力偶矩；为轴转动的角速度；为轴转动的角速度；P为轴为轴传递的功率。传递的功率。考虑到：考虑到：1 1kWkW10001000N

132、Nm m/ /s s，上式可以改写为，上式可以改写为T9549P/n(Nm)(5-1)式中，功率式中，功率P的单位为的单位为kW；n为轴的转速，单位为为轴的转速，单位为r/min。工工程程力力学学5.25.2轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图在扭转外力偶作用下，圆轴横截面上将产生扭矩。在扭转外力偶作用下，圆轴横截面上将产生扭矩。确定扭矩的方法也是截面法，即假想截面将杆截开分确定扭矩的方法也是截面法，即假想截面将杆截开分成两部分，横截面上的扭矩与作用在轴的任一部分上成两部分，横截面上的扭矩与作用在轴的任一部分上的所有外力偶矩组成平衡力系。据此，即可求得扭矩的所有外力偶矩组成平衡力系。据此，即可求得扭矩

133、的大小与方向。的大小与方向。如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩，则沿轴线如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩，则沿轴线方向所有横截面上的扭矩都是相同的，并且都等于作方向所有横截面上的扭矩都是相同的，并且都等于作用在轴上的外力偶矩。用在轴上的外力偶矩。当轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，轴当轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，轴各段横截面上的扭矩将是不相等的，这时需用截面法各段横截面上的扭矩将是不相等的，这时需用截面法确定各段横截面上的扭矩。确定各段横截面上的扭矩。工工程程力力学学5.35.3剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图l5.3.15.3.1剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程一

134、般受力情形下，梁内剪力和弯矩将随横截面位置的一般受力情形下，梁内剪力和弯矩将随横截面位置的改变而发生变化。描述梁的剪力和弯矩沿长度方向变改变而发生变化。描述梁的剪力和弯矩沿长度方向变化的代数方程，分别称为剪力方程和弯矩方程。化的代数方程，分别称为剪力方程和弯矩方程。为了建立剪力方程和弯矩方程，必须首先建立为了建立剪力方程和弯矩方程，必须首先建立OxyOxy坐坐标系，其中标系，其中O O坐标原点，坐标原点，x x坐标轴与梁的轴线一致，坐坐标轴与梁的轴线一致，坐标原点标原点O O一般取在梁的左端，一般取在梁的左端，x x坐标轴的正方向自左至坐标轴的正方向自左至右，右，y y坐标轴铅垂向上。坐标轴铅

135、垂向上。工工程程力力学学5.35.3剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图在建立剪力方程和弯矩方程时，需要根据梁上的外在建立剪力方程和弯矩方程时，需要根据梁上的外力力( (包括载荷和约束力包括载荷和约束力) )作用状况确定控制面，从而作用状况确定控制面，从而确定要不要分段以及分几段建立剪力方程和弯矩方确定要不要分段以及分几段建立剪力方程和弯矩方程。确定了分段之后，首先在每一段中任意取一横程。确定了分段之后，首先在每一段中任意取一横截面，假设这一横截面的坐标为截面，假设这一横截面的坐标为x x；然后，从这一横；然后，从这一横截面处将梁截开，并假设所截开的横截面上的剪力截面处将梁截开，并假设所截开的横截面上

136、的剪力F FQ Q( (x x) )和弯矩和弯矩M M( (x x) )都是正方向；最后，分别应用力的都是正方向；最后，分别应用力的平衡方程和力矩的平衡方程，即可得到剪力平衡方程和力矩的平衡方程，即可得到剪力F FQ Q( (x x) )和和弯矩弯矩M M( (x x) )的表达式，这就是所要求的剪力方程和弯的表达式，这就是所要求的剪力方程和弯矩方程。矩方程。工工程程力力学学5.35.3剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图这一方法和过程实际上与前面所介绍的确定指定横这一方法和过程实际上与前面所介绍的确定指定横截面上的内力分量的方法和过程是相似的，所不同截面上的内力分量的方法和过程是相似的，所不同的是指

137、定横截面是坐标为的是指定横截面是坐标为x x的横截面。的横截面。需要特别注意的是，在剪力方程和弯矩方程中，需要特别注意的是，在剪力方程和弯矩方程中，x x是变量，而是变量，而F FQ Q( (x x) )和和M M( (x x) )则是则是x x的函数。的函数。工工程程力力学学5.35.3剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图l5.3.25.3.2载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系作用在梁上的平面载荷，如果不包含纵向力，这时梁作用在梁上的平面载荷，如果不包含纵向力，这时梁的横截面上将只有弯矩和剪力。表示剪力和弯矩沿梁的横截面上将只有弯矩和剪力。表示剪力和弯矩沿梁轴线方向

138、变化的图线，分别称为剪力图和弯矩图。轴线方向变化的图线，分别称为剪力图和弯矩图。绘制剪力图和弯矩图有两种方法：绘制剪力图和弯矩图有两种方法：第一种方法是根据剪力方程和弯矩方程，在第一种方法是根据剪力方程和弯矩方程，在FQ-x和和M-x坐标系中首先标出剪力方程和弯矩方程定义域坐标系中首先标出剪力方程和弯矩方程定义域两个端点的剪力值和弯矩值，得到相应的点；然后，两个端点的剪力值和弯矩值，得到相应的点；然后，按照剪力和弯矩的类型，绘制出相应的图线，便得按照剪力和弯矩的类型，绘制出相应的图线，便得到所需要的剪力图与弯矩图。到所需要的剪力图与弯矩图。工工程程力力学学5.35.3剪力图与弯矩图剪力图与弯矩

139、图第二种方法是：先在第二种方法是：先在FQ-x和和M-x坐标系中标出控制坐标系中标出控制面上的剪力和弯矩数值；然后，应用载荷集度、剪面上的剪力和弯矩数值；然后，应用载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系，确定控制面之间的剪力力、弯矩之间的微分关系，确定控制面之间的剪力和弯矩图线的形状，无需先建立剪力方程和弯矩方和弯矩图线的形状，无需先建立剪力方程和弯矩方程。程。根据相距根据相距d dx x的两个横截面处微段的平衡，可以得到载的两个横截面处微段的平衡，可以得到载荷集度、剪力、弯矩之间存在下列的微分关系：荷集度、剪力、弯矩之间存在下列的微分关系：dFQ/dx=qdM/dx=FQdM/dx=q(5-2)

140、对于向上的均布载荷，微分关系式对于向上的均布载荷，微分关系式(5-2)(5-2)中的载荷集中的载荷集度度q q为正值；对于向下的均布载荷，载荷集度为正值；对于向下的均布载荷，载荷集度q q为负值。为负值。工工程程力力学学5.35.3剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图上述微分关系式上述微分关系式(5-2)(5-2)，也说明剪力图和弯矩图图线，也说明剪力图和弯矩图图线的几何形状与作用在梁上的载荷集度有关：的几何形状与作用在梁上的载荷集度有关：（1）剪力图的斜率等于作用在梁上的均布载荷集）剪力图的斜率等于作用在梁上的均布载荷集度；弯矩图在某一点处斜率等于对应截面处剪力的度；弯矩图在某一点处斜率等于对应截面

141、处剪力的数值。数值。（2）如果一段梁上没有分布载荷作用，即）如果一段梁上没有分布载荷作用，即q=0，这，这一段梁上剪力的一阶导数等于零，弯矩的一阶导数一段梁上剪力的一阶导数等于零，弯矩的一阶导数等于常数。因此，这一段梁的剪力图为平行于等于常数。因此，这一段梁的剪力图为平行于x轴轴的水平直线，弯矩图为斜直线。的水平直线，弯矩图为斜直线。工工程程力力学学5.35.3剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图（3）如果一段梁上作用有均布载荷，即）如果一段梁上作用有均布载荷，即q=常数，这一常数，这一段梁上剪力的一阶导数等于常数，弯矩的一阶导数为段梁上剪力的一阶导数等于常数，弯矩的一阶导数为x的线性函数。因此，这一

142、段梁的剪力图为斜直线，弯的线性函数。因此，这一段梁的剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。矩图为二次抛物线。（4）弯矩图二次抛物线的凸凹性，与载荷集度）弯矩图二次抛物线的凸凹性，与载荷集度q的正的正负有关：当负有关：当q为正为正(向上向上)时，抛物线为凹曲线，凹的方时，抛物线为凹曲线，凹的方向与向与M坐标正方向一致；当坐标正方向一致；当q为负为负(向下向下)时，抛物线为时，抛物线为凸曲线，凸的方向与凸曲线，凸的方向与M坐标正方向一致。坐标正方向一致。工工程程力力学学5.35.3剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图l5.3.35.3.3剪力图与弯矩图的绘制剪力图与弯矩图的绘制用载荷集度、剪力、弯矩之间的微

143、分关系绘制剪力图用载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法，与绘制轴力图和扭矩图的方法大体与弯矩图的方法，与绘制轴力图和扭矩图的方法大体相似，但略有差异。主要步骤如下：相似，但略有差异。主要步骤如下：(1)根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。(2)应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值。应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值。(3)建立建立FQ-x和和M-x坐标系坐标系(其中其中FQ坐标向上，坐标向上，M坐标坐标向下向下)，并将控制面上的剪力和弯矩值标在上述坐，并将控制面上的剪力和弯矩值标在上述坐标系中，得到若干相应的点。标系中，得到若

144、干相应的点。(4)应用微分关系确定各段控制面之间的剪力图和弯应用微分关系确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的图线，得到所需要的剪力图与弯矩图。矩图的图线，得到所需要的剪力图与弯矩图。工工程程力力学学5.45.4结论与讨论结论与讨论l5.4.15.4.1几点重要结论几点重要结论(1)(1)根据弹性体的平衡原理，应用刚体静力学中的平根据弹性体的平衡原理，应用刚体静力学中的平衡方程，可以确定静定杆件上任意横截面上的内力分衡方程，可以确定静定杆件上任意横截面上的内力分量。量。(2)(2)内力分量正负号的规则不同于刚体静力学，但在内力分量正负号的规则不同于刚体静力学，但在建立平衡方程时，依然可以规定某一

145、方向为正、相反建立平衡方程时，依然可以规定某一方向为正、相反者为负。者为负。(3)(3)剪力方程与弯矩方程都是横截面位置坐标剪力方程与弯矩方程都是横截面位置坐标x x的函数的函数表达式，不是某一个指定横截面上剪力与弯矩的数值。表达式，不是某一个指定横截面上剪力与弯矩的数值。工工程程力力学学5.45.4结论与讨论结论与讨论(4)(4)无论是写剪力与弯矩方程，还是画剪力与弯矩图，无论是写剪力与弯矩方程，还是画剪力与弯矩图，都需要注意分段。因此，正确确定控制面是很重要的。都需要注意分段。因此，正确确定控制面是很重要的。(5)(5)在轴力图、扭矩图、剪力图和弯矩图中，最重要在轴力图、扭矩图、剪力图和弯

146、矩图中，最重要也最难的是剪力图与弯矩图。可以根据剪力方程和弯也最难的是剪力图与弯矩图。可以根据剪力方程和弯矩方程绘制剪力图和弯矩图，也可以不写方程直接利矩方程绘制剪力图和弯矩图，也可以不写方程直接利用载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系绘制剪力图用载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系绘制剪力图和弯矩图。和弯矩图。工工程程力力学学5.45.4结论与讨论结论与讨论l5.4.25.4.2正确应用力系简化方法确定控制面上的正确应用力系简化方法确定控制面上的内力分量内力分量本章介绍了用局部平衡的方法确定控制面上内力分量。本章介绍了用局部平衡的方法确定控制面上内力分量。某些情形下，采用力系简化方法，确定控制面

147、上的内某些情形下，采用力系简化方法，确定控制面上的内力分量，可能更方便一些。力分量，可能更方便一些。以图以图5-10(5-10(a a) )所示的简支梁为例：为求截面所示的简支梁为例：为求截面BB上的内上的内力分量，可以将梁从力分量，可以将梁从BB处截开，考察左边部分，将处截开，考察左边部分，将其上的外力向其上的外力向BB处简化，得到一力和一力偶，其值处简化，得到一力和一力偶，其值分别为分别为 F FP P/2/2，F FP Pl l/4/4但是，这并不是但是，这并不是BB截面上的内力，而是其左边外力截面上的内力，而是其左边外力的简化结果，仍然是外力。内力分量的简化结果，仍然是外力。内力分量F

148、 FQ Q和和M M分别与二者分别与二者大小相等、方向相反。大小相等、方向相反。工工程程力力学学5.45.4结论与讨论结论与讨论如果考察如果考察BB右侧截面，右侧截面，其上的内力应与其上的内力应与BB左侧左侧截面上内力大小相等、截面上内力大小相等、方向相反，见图方向相反，见图5-10(5-10(b b) )。可见，。可见，BB左边部分的左边部分的外力简化结果，即为其外力简化结果，即为其右侧截面上的内力分量。右侧截面上的内力分量。反之，反之，BB右边部分的外右边部分的外力简化结果即为左侧截力简化结果即为左侧截面上的内力分量。面上的内力分量。 图5-10力系简化应用于确定控制面上的内力工工程程力力

149、学学5.45.4结论与讨论结论与讨论l5.4.35.4.3剪力、弯矩与载荷集度之间的微分关系剪力、弯矩与载荷集度之间的微分关系的证明的证明考察仅在考察仅在O Oxyxy平面有外力作用的情形，如图平面有外力作用的情形，如图5-11(5-11(a a) )所所示，假设载荷集度示，假设载荷集度q q向上为正。向上为正。用坐标为用坐标为x x和和x xd dx x的两个相邻横截面从受力的梁上截的两个相邻横截面从受力的梁上截取长度为取长度为d dx x的微段，如图的微段，如图5-11(5-11(b b) )所示。微段的两侧所示。微段的两侧横截面上的剪力和弯矩分别为横截面上的剪力和弯矩分别为 x x横截面

150、横截面F FQ Q，M M x xd dx x横截面横截面F FQ Qd dF FQ Q，M Md dM M工工程程力力学学5.45.4结论与讨论结论与讨论由于由于dxdx为无穷小距离，因此微段梁上的分布载荷可以为无穷小距离，因此微段梁上的分布载荷可以看做是均匀分布的，即看做是均匀分布的，即 q(x)=q(x)=常数常数考察考察dxdx微段的平衡，由平衡方程微段的平衡，由平衡方程Fy=0,FQ+q(x)dx-(FQ+dFQ)=0 M MC C=0,-M-F=0,-M-FQ Qdx+q(x)dx(dx/2)+(M+dM)=0dx+q(x)dx(dx/2)+(M+dM)=0图图5-11载荷集度、剪

151、力、弯矩之间的微分关系载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系工工程程力力学学5.45.4结论与讨论结论与讨论忽略力矩平衡方程中的高阶小量，得到忽略力矩平衡方程中的高阶小量，得到 d dF FQ Q/ /d dx xq q d dM/M/d dx xF FQ Q将其中的第将其中的第2 2式再对式再对x x求一次导数，便得到求一次导数，便得到 d d2 2M/M/d dx x2 2q q这就是载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系。因为这就是载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系。因为是根据平衡原理和平衡方法得到的，是整体平衡与局是根据平衡原理和平衡方法得到的，是整体平衡与局部平衡概念的进一步扩展。所以，式部

152、平衡概念的进一步扩展。所以，式(5-3)(5-3)所示微分所示微分关系式又称为平衡微分方程。关系式又称为平衡微分方程。工工程程力力学学第六章第六章 拉拉压杆件的杆件的应力力变形分析与形分析与强度度设计6.1 拉伸与拉伸与压缩杆件的杆件的应力与力与变形形6.2 拉伸与拉伸与压缩杆件的杆件的强度度设计6.3 拉伸与拉伸与压缩时材料的力学性能材料的力学性能6.4 结论与与讨论第第六六章章工工程程力力学学6.16.1拉伸与压缩杆件的应力与变形拉伸与压缩杆件的应力与变形l6.1.16.1.1应力计算应力计算当外力沿着杆件的轴线作用时，其横截面上只有轴力当外力沿着杆件的轴线作用时，其横截面上只有轴力一个内

153、力分量一个内力分量轴力轴力F FN N。与轴力相对应，杆件横截面。与轴力相对应，杆件横截面上将只有正应力。上将只有正应力。在很多情形下，杆件在轴力作用下产生均匀的伸长或在很多情形下，杆件在轴力作用下产生均匀的伸长或缩短变形。因此，根据材料均匀性的假定，杆件横截缩短变形。因此，根据材料均匀性的假定，杆件横截面上的应力均匀分布，如图面上的应力均匀分布，如图6-36-3所示。这时横截面上所示。这时横截面上的正应力为的正应力为FN/A(6-1)式中，式中，FN为横截面上的轴力，由截面法求得；为横截面上的轴力，由截面法求得；A为为横截面面积。横截面面积。工工程程力力学学6.16.1拉伸与压缩杆件的应力与

154、变形拉伸与压缩杆件的应力与变形图图6-3杆件横截面上的应力均匀分布杆件横截面上的应力均匀分布工工程程力力学学6.16.1拉伸与压缩杆件的应力与变形拉伸与压缩杆件的应力与变形l6.1.26.1.2变形计算变形计算1.1.绝对变形弹性模量绝对变形弹性模量设一长度为设一长度为l、横截面面积为、横截面面积为A的等截面直杆，承受的等截面直杆，承受轴向载荷后，其长度变为轴向载荷后，其长度变为ll，其中，其中l为杆的伸长为杆的伸长量，见图量，见图6-4(a)。试验结果表明：如果所施加的载。试验结果表明：如果所施加的载荷使杆件的变形处于弹性范围内，杆的伸长量荷使杆件的变形处于弹性范围内，杆的伸长量l与与杆所承

155、受的轴向载荷成正比，如图杆所承受的轴向载荷成正比，如图6-4(b)所示。写所示。写成关系式为成关系式为lFNl/EA(6-2)工工程程力力学学6.16.1拉伸与压缩杆件的应力与变形拉伸与压缩杆件的应力与变形这是描述弹性范围内杆件承受轴向载荷时力与变形的这是描述弹性范围内杆件承受轴向载荷时力与变形的胡克定律。其中，胡克定律。其中，FN为杆横截面上的轴力，当杆件只为杆横截面上的轴力，当杆件只在两端承受轴向载荷在两端承受轴向载荷FP作用时，作用时，FNFP；E为杆材料的为杆材料的弹性模量，它与正应力具有相同的单位；弹性模量，它与正应力具有相同的单位；EA称为杆件称为杆件的拉伸的拉伸(或压缩或压缩)刚

156、度。式中刚度。式中“”号表示伸长变形；号表示伸长变形；“”号表示缩短变形。号表示缩短变形。当拉、压杆有两个以上的外力作用时，需要先画出轴当拉、压杆有两个以上的外力作用时，需要先画出轴力图，然后按式力图，然后按式(6-2)分段计算各段的变形，各段变形分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的总伸长量的代数和即为杆的总伸长量(或缩短量或缩短量)lFNili/(EA)i(6-3)工工程程力力学学6.16.1拉伸与压缩杆件的应力与变形拉伸与压缩杆件的应力与变形图图6-4轴向载荷作用下杆件的变形轴向载荷作用下杆件的变形工工程程力力学学6.16.1拉伸与压缩杆件的应力与变形拉伸与压缩杆件的应力与变形2.

157、2.相对变形正应变相对变形正应变对于杆件沿长度方向均匀变对于杆件沿长度方向均匀变形的情形，其相对伸长量形的情形，其相对伸长量l/l表示轴向变形的程度，即这表示轴向变形的程度，即这种情形下杆件的正应变：种情形下杆件的正应变：xl/l(6-4)将式将式(6-2)代入上式，考虑到代入上式，考虑到xFN/A得到得到xl/lFNl/EA/lx/E(6-5)图6-5杆件轴向变形不均匀的情行工工程程力力学学6.16.1拉伸与压缩杆件的应力与变形拉伸与压缩杆件的应力与变形需要指出的是，上述关于正应变的表达式需要指出的是，上述关于正应变的表达式(6-5)只适用只适用于杆件各处均匀变形的情形。对于各处变形不均匀的

158、于杆件各处均匀变形的情形。对于各处变形不均匀的情形情形(见图见图6-5)，则必须考察杆件上沿轴向的微段，则必须考察杆件上沿轴向的微段dx的的变形，并以微段变形，并以微段dx的相对变形作为杆件局部的变形程的相对变形作为杆件局部的变形程度。这时度。这时xdx/dxx/E可见，无论变形均匀还是不均匀，正应力与正应变之可见，无论变形均匀还是不均匀，正应力与正应变之间的关系都是相同的。间的关系都是相同的。工工程程力力学学6.16.1拉伸与压缩杆件的应力与变形拉伸与压缩杆件的应力与变形3.3.横向变形泊松比横向变形泊松比杆件承受轴向载荷时，除了轴向变形外，在垂直于杆件承受轴向载荷时，除了轴向变形外，在垂直

159、于杆件轴线方向也同时产生变形，称为横向变形。图杆件轴线方向也同时产生变形，称为横向变形。图6-6中双点画线所示为拉伸杆件的纵向和横向变形的中双点画线所示为拉伸杆件的纵向和横向变形的情形。情形。试验结果表明，若在弹性范围内加载，轴向应变试验结果表明，若在弹性范围内加载，轴向应变x与与横向应变横向应变y之间存在下列关系：之间存在下列关系：yvx(6-6)式中，式中，v为材料的另一个弹性常数，称为泊松比。为材料的另一个弹性常数，称为泊松比。泊松比是量纲为泊松比是量纲为1的量。式中的负号表示：纵向伸的量。式中的负号表示：纵向伸长时横向缩短；纵向缩短时则横向伸长。长时横向缩短；纵向缩短时则横向伸长。工工

160、程程力力学学6.16.1拉伸与压缩杆件的应力与变形拉伸与压缩杆件的应力与变形图图6-6轴向变形与横向变形轴向变形与横向变形工工程程力力学学6.26.2拉伸与压缩杆件的强度设计拉伸与压缩杆件的强度设计l6.2.16.2.1强度设计准则、安全因数与许用应力强度设计准则、安全因数与许用应力所谓强度设计，是指将杆件中的最大应力限制在允许所谓强度设计，是指将杆件中的最大应力限制在允许的范围内，以保证杆件正常工作，不仅不发生强度失的范围内，以保证杆件正常工作，不仅不发生强度失效，而且还要具有一定的安全裕度。对于拉伸与压缩效，而且还要具有一定的安全裕度。对于拉伸与压缩杆件，也就是杆件中的最大正应力满足：杆件

161、，也就是杆件中的最大正应力满足：maxmax 这一表达式称为拉伸与压缩杆件的强度设计准则，又这一表达式称为拉伸与压缩杆件的强度设计准则，又称为强度条件。其中称为强度条件。其中 称为许用应力，与杆件的材称为许用应力，与杆件的材料力学性能以及工程对杆件安全裕度的要求有关，由料力学性能以及工程对杆件安全裕度的要求有关，由下式确定：下式确定： 0 0/n /n 式中，式中，0为材料的极限应力或危险应力，由材料的为材料的极限应力或危险应力，由材料的拉伸试验确定；拉伸试验确定；n为安全因数，对于不同的机器或为安全因数，对于不同的机器或结构，在相应的设计规范中都有不同的规定。结构，在相应的设计规范中都有不同

162、的规定。工工程程力力学学6.26.2拉伸与压缩杆件的强度设计拉伸与压缩杆件的强度设计l6.2.26.2.2三类强度计算问题三类强度计算问题应用强度设计准则，可以解决三类强度问题：应用强度设计准则，可以解决三类强度问题：(1)强度校核：已知杆件的几何尺寸、受力大小以及强度校核：已知杆件的几何尺寸、受力大小以及许用应力，校核杆件或结构的强度是否安全，也就许用应力，校核杆件或结构的强度是否安全，也就是验证设计准则式是验证设计准则式(6-7)是否满足。如果满足，则杆是否满足。如果满足，则杆件或结构的强度是安全的；否则，是不安全的。件或结构的强度是安全的；否则，是不安全的。(2)尺寸设计：已知杆件的受力

163、大小以及许用应力，尺寸设计：已知杆件的受力大小以及许用应力，根据设计准则，计算所需要的杆件横截面面积，进根据设计准则，计算所需要的杆件横截面面积，进而设计出合理的横截面尺寸。根据式而设计出合理的横截面尺寸。根据式(6-7)得得max= = FN/A = = AFN/(6-9)式中，式中，FN和和A分别为产生最大正应力的横截面上的分别为产生最大正应力的横截面上的轴力和面积。轴力和面积。工工程程力力学学6.26.2拉伸与压缩杆件的强度设计拉伸与压缩杆件的强度设计(3)确定杆件或结构所能承受的许用载荷确定杆件或结构所能承受的许用载荷(allowableload)：根据设计准则式：根据设计准则式(6-

164、1)，确定杆件或结构所能承，确定杆件或结构所能承受的最大轴力，进而求得所能承受的外加载荷，即受的最大轴力，进而求得所能承受的外加载荷，即max=FN/A=FNA=FP(6-10)式中，式中，FP为许用载荷。为许用载荷。工工程程力力学学6.26.2拉伸与压缩杆件的强度设计拉伸与压缩杆件的强度设计l6.2.36.2.3强度设计准则应用举例强度设计准则应用举例【例题【例题6-36-3】螺纹小径】螺纹小径d d15mm15mm的螺栓，紧固时所承受的螺栓，紧固时所承受的预紧力为的预紧力为F FP P20kN20kN。若已知螺栓的许用应力。若已知螺栓的许用应力 150MPa150MPa，试校核螺栓的强度是

165、否安全。，试校核螺栓的强度是否安全。解：解：(1)(1)确定螺栓所受轴力。确定螺栓所受轴力。应用截面法，很容易求得螺栓所受的轴力即为预紧应用截面法，很容易求得螺栓所受的轴力即为预紧力，即力，即FNFP20kN (2) (2)计算螺栓横截面上的正应力。计算螺栓横截面上的正应力。 根据拉伸与压缩杆件横截面上的正应力公式，根据拉伸与压缩杆件横截面上的正应力公式，螺栓螺栓 在预紧力作用下，横截面上的正应力为在预紧力作用下，横截面上的正应力为工工程程力力学学6.26.2拉伸与压缩杆件的强度设计拉伸与压缩杆件的强度设计 F FN N/A/AF FP P, ,d d2 2/ /4 44 4202010103

166、 3N N, ,(15(1510103 3m)m)2 2 113.2113.210106 6PaPa113.2MPa113.2MPa(3)(3)应用设计准则进行校核。应用设计准则进行校核。 已知许用应力已知许用应力 150MPa150MPa，而上述计算表明，螺，而上述计算表明，螺栓横截面上的实际应力为栓横截面上的实际应力为 113.2MPa113.2MPa 150MPa150MPa 所以，螺栓的强度是安全的。所以，螺栓的强度是安全的。工工程程力力学学6.36.3拉伸与压缩时材料的力学性能拉伸与压缩时材料的力学性能l6.3.16.3.1材料拉伸时的应力材料拉伸时的应力- -应变曲线应变曲线进行拉

167、伸试验，首先需要将被试验的材料按国家标准进行拉伸试验，首先需要将被试验的材料按国家标准制成标准试样；然后将试样安装在试验机上，使试样制成标准试样；然后将试样安装在试验机上，使试样承受轴向拉伸载荷。通过缓慢的加载过程，试验机自承受轴向拉伸载荷。通过缓慢的加载过程，试验机自动记录下试样所受的载荷和变形，得到应力与应变的动记录下试样所受的载荷和变形，得到应力与应变的关系曲线，称为应力关系曲线，称为应力- -应变曲线。应变曲线。不同的材料，其应力不同的材料，其应力- -应变曲线有很大的差异。图应变曲线有很大的差异。图6-6-1010所示为典型的韧性材料所示为典型的韧性材料低碳钢的拉伸应力低碳钢的拉伸应

168、力- -应应变曲线；图变曲线；图6-116-11所示为典型的脆性材料所示为典型的脆性材料灰铸铁的灰铸铁的拉伸应力拉伸应力- -应变曲线。应变曲线。通过分析拉伸应力通过分析拉伸应力- -应变曲线，可以得到材料的若干应变曲线，可以得到材料的若干力学性能指标。力学性能指标。工工程程力力学学6.36.3拉伸与压缩时材料的力学性能拉伸与压缩时材料的力学性能图图6-10低碳钢的拉伸应力低碳钢的拉伸应力-应变曲线应变曲线图图6-11灰铸铁的拉伸应力灰铸铁的拉伸应力-应变曲线应变曲线工工程程力力学学6.36.3拉伸与压缩时材料的力学性能拉伸与压缩时材料的力学性能l6.3.26.3.2韧性材料拉伸时的力学性能韧

169、性材料拉伸时的力学性能1.1.弹性模量弹性模量应力应力-应变曲线中的直线段称为线弹性阶段，如图应变曲线中的直线段称为线弹性阶段，如图6-10所示曲线的所示曲线的OA部分。弹性阶段中的应力与应变部分。弹性阶段中的应力与应变成正比，比例常数即为材料的弹性模量成正比，比例常数即为材料的弹性模量E。对于大。对于大多数脆性材料，其应力多数脆性材料，其应力-应变曲线上没有明显的直应变曲线上没有明显的直线段，图线段，图6-11所示铸铁的应力所示铸铁的应力-应变曲线即属此例。应变曲线即属此例。因为没有明显的直线部分，常用割线因为没有明显的直线部分，常用割线(图中虚线部图中虚线部分分)的斜率作为这类材料的弹性模

170、量，称为割线模的斜率作为这类材料的弹性模量，称为割线模量。量。工工程程力力学学6.36.3拉伸与压缩时材料的力学性能拉伸与压缩时材料的力学性能2.2.比例极限与弹性极限比例极限与弹性极限应力应力-应变曲线上线弹性阶段的应力最高限称为比应变曲线上线弹性阶段的应力最高限称为比例极限，用例极限，用p表示。线弹性阶段之后，应力表示。线弹性阶段之后，应力-应变曲应变曲线上有一小段微弯的曲线线上有一小段微弯的曲线(图图6-10所示的所示的AB段段)，这，这表示应力超过比例极限以后，应力与应变不再成正表示应力超过比例极限以后，应力与应变不再成正比关系；但是如果在这一阶段，卸去试样上的载荷，比关系；但是如果在

171、这一阶段，卸去试样上的载荷，试样的变形将随之消失。这表明，这一阶段内的变试样的变形将随之消失。这表明，这一阶段内的变形都是弹性变形，因而包括线弹性阶段在内，统称形都是弹性变形，因而包括线弹性阶段在内，统称为弹性阶段为弹性阶段(图图6-10所示的所示的OB段段)。弹性阶段的应力。弹性阶段的应力最高限称为弹性极限，用最高限称为弹性极限，用e表示。大部分韧性材料表示。大部分韧性材料比例极限与弹性极限极为接近，只有通过精密测量比例极限与弹性极限极为接近，只有通过精密测量才能加以区分。才能加以区分。工工程程力力学学6.36.3拉伸与压缩时材料的力学性能拉伸与压缩时材料的力学性能3.3.屈服点屈服点许多韧

172、性材料的应力许多韧性材料的应力-应变曲线中，在弹性阶段之应变曲线中，在弹性阶段之后，出现近似的水平段，这一阶段中应力几乎不变，后，出现近似的水平段，这一阶段中应力几乎不变，而变形急剧增加，这种现象称为屈服，例如图而变形急剧增加，这种现象称为屈服，例如图6-10所示曲线的所示曲线的BC段。这一阶段曲线的最低点的应力值段。这一阶段曲线的最低点的应力值称为屈服点或屈服应力，用称为屈服点或屈服应力，用s表示。表示。对于没有明显屈服阶段的韧性材料，工程上则规定对于没有明显屈服阶段的韧性材料，工程上则规定产生产生0.2%塑性应变时的应力值为其屈服点，称为材塑性应变时的应力值为其屈服点，称为材料的条件屈服应

173、力，用料的条件屈服应力，用0.2表示。表示。工工程程力力学学6.36.3拉伸与压缩时材料的力学性能拉伸与压缩时材料的力学性能4.4.抗拉强度抗拉强度应力超过屈服点或条件屈服强度后，要使试样继续应力超过屈服点或条件屈服强度后，要使试样继续变形，必须再继续增加载荷。这一阶段称为强化阶变形，必须再继续增加载荷。这一阶段称为强化阶段，例如图段，例如图6-10曲线上的曲线上的CD段。这一阶段应力的最段。这一阶段应力的最高限称为抗拉强度，用高限称为抗拉强度，用b表示。表示。5.5.缩颈与断裂缩颈与断裂某些韧性材料某些韧性材料(例如低碳钢和铜例如低碳钢和铜)，应力超过抗拉强，应力超过抗拉强度以后，试样开始发

174、生局部变形，局部变形区域内度以后，试样开始发生局部变形，局部变形区域内横截面尺寸急剧缩小，这种现象称为缩颈。出现缩横截面尺寸急剧缩小，这种现象称为缩颈。出现缩颈之后，试样变形所需拉力相应减小，应力颈之后，试样变形所需拉力相应减小，应力-应变应变曲线出现下降阶段，如图曲线出现下降阶段，如图6-10所示曲线上的所示曲线上的DE段，段，至至F点试样拉断。点试样拉断。工工程程力力学学6.36.3拉伸与压缩时材料的力学性能拉伸与压缩时材料的力学性能l6.3.36.3.3脆性材料拉伸时的力学性能脆性材料拉伸时的力学性能对于脆性材料，从开始加载直至试样被拉断，试样对于脆性材料，从开始加载直至试样被拉断，试样

175、的变形都很小。而且，大多数脆性材料拉伸的应力的变形都很小。而且，大多数脆性材料拉伸的应力- -应变曲线上都没有明显的直线段，几乎没有塑性变应变曲线上都没有明显的直线段，几乎没有塑性变形，也不会出现屈服和缩颈现象，如图形，也不会出现屈服和缩颈现象，如图6-116-11所示。所示。因而只有断裂时的应力值因而只有断裂时的应力值强度极限强度极限b b。图图6-12(a)6-12(a)、(b)(b)所示为韧性材料试样发生缩颈和断所示为韧性材料试样发生缩颈和断裂时的情形；图裂时的情形；图6-12(c)6-12(c)所示为脆性材料试样断裂时所示为脆性材料试样断裂时的情形。的情形。工工程程力力学学6.36.3

176、拉伸与压缩时材料的力学性能拉伸与压缩时材料的力学性能图图6-12试样的缩颈与断裂试样的缩颈与断裂工工程程力力学学6.36.3拉伸与压缩时材料的力学性能拉伸与压缩时材料的力学性能l6.3.46.3.4强度失效概念与失效应力强度失效概念与失效应力如果构件发生断裂，将完全丧失正常功能，这是强度如果构件发生断裂，将完全丧失正常功能，这是强度失效的一种最明显的形式。如果构件没有发生断裂而失效的一种最明显的形式。如果构件没有发生断裂而是产生明显的塑性变形，这在很多工程中都是不允许是产生明显的塑性变形，这在很多工程中都是不允许的。因此，当发生屈服而产生明显塑性变形时，也是的。因此，当发生屈服而产生明显塑性变

177、形时，也是失效。根据拉伸试验过程中观察的现象，强度失效的失效。根据拉伸试验过程中观察的现象，强度失效的形式可以归纳为：形式可以归纳为：韧性材料的强度失效韧性材料的强度失效屈服与断裂。屈服与断裂。脆性材料的强度失效脆性材料的强度失效断裂。断裂。工工程程力力学学6.36.3拉伸与压缩时材料的力学性能拉伸与压缩时材料的力学性能因此，发生屈服和断裂时的应力就是失效应力因此，发生屈服和断裂时的应力就是失效应力(failure stress)(failure stress)，也就是强度设计中的危险应力。，也就是强度设计中的危险应力。韧性材料与脆性材料的强度失效应力分别为：韧性材料与脆性材料的强度失效应力分

178、别为：韧性材料的强度失效应力韧性材料的强度失效应力屈服点屈服点s(或条件屈服或条件屈服强度强度0.2)、抗拉强度、抗拉强度b。脆性材料的强度失效应力脆性材料的强度失效应力抗拉强度抗拉强度b。某些材料力学中将屈服强度与抗拉强度称为材料的强某些材料力学中将屈服强度与抗拉强度称为材料的强度指标。度指标。工工程程力力学学6.36.3拉伸与压缩时材料的力学性能拉伸与压缩时材料的力学性能此外，通过拉伸试验还可得到衡量材料韧性性能的指此外，通过拉伸试验还可得到衡量材料韧性性能的指标标伸长率伸长率和断面收缩率和断面收缩率：l1l0/l0100%(6-11)A0A1/A0100%(6-12)式中，式中，l0为试

179、样原长为试样原长(规定的标距规定的标距)；A0为试样的初始为试样的初始横截面面积；横截面面积；l1和和A1分别为试样拉断后长度分别为试样拉断后长度(变形后变形后的标距长度的标距长度)和断口处最小的横截面面积。和断口处最小的横截面面积。伸长率和断面收缩率的数值越大，表明材料的韧性越伸长率和断面收缩率的数值越大，表明材料的韧性越好。工程中一般认为好。工程中一般认为5%5%者为韧性材料；者为韧性材料；5%5%者者为脆性材料。为脆性材料。工工程程力力学学6.36.3拉伸与压缩时材料的力学性能拉伸与压缩时材料的力学性能l6.3.56.3.5压缩时材料的力学性能压缩时材料的力学性能材料压缩试验，通常采用短

180、试样。低碳钢压缩时的应材料压缩试验，通常采用短试样。低碳钢压缩时的应力力- -应变曲线如图应变曲线如图6-136-13所示。与拉伸时的应力所示。与拉伸时的应力- -应变曲应变曲线相比较，拉伸和压缩屈服前的曲线基本重合，即拉线相比较，拉伸和压缩屈服前的曲线基本重合，即拉伸、压缩时的弹性模量及屈服应力相同；但屈服后，伸、压缩时的弹性模量及屈服应力相同；但屈服后，由于试样越压越扁，应力由于试样越压越扁，应力- -应变曲线不断上升，试样应变曲线不断上升，试样不会发生破坏。不会发生破坏。灰铸铁压缩时的应力灰铸铁压缩时的应力- -应变曲线如图应变曲线如图6-146-14所示，与拉所示，与拉伸时的应力伸时的

181、应力- -应变曲线不同的是，压缩时的强度极限应变曲线不同的是，压缩时的强度极限却远远大于拉伸时的数值，通常是抗拉强度的却远远大于拉伸时的数值，通常是抗拉强度的4 45 5倍。倍。对于抗拉和抗压强度不等的材料，抗拉强度和抗压强对于抗拉和抗压强度不等的材料，抗拉强度和抗压强度分别用度分别用b b和和bcbc表示。这种抗压强度明显高于抗拉表示。这种抗压强度明显高于抗拉强度的脆性材料，通常用于制作受压构件。强度的脆性材料，通常用于制作受压构件。工工程程力力学学6.36.3拉伸与压缩时材料的力学性能拉伸与压缩时材料的力学性能图图6-13低碳钢压缩时的应力低碳钢压缩时的应力-应变曲线应变曲线图图6-14灰

182、铸铁压缩时的应力灰铸铁压缩时的应力-应变曲线应变曲线工工程程力力学学6.46.4结论与讨论结论与讨论l6.4.16.4.1本章的主要结论本章的主要结论通过拉、压构件的变形与强度问题的分析，可以看出，通过拉、压构件的变形与强度问题的分析，可以看出，材料力学分析问题的思路和方法与静力分析相比，除材料力学分析问题的思路和方法与静力分析相比，除了受力分析与平衡方法的应用方面有共同之处外，还了受力分析与平衡方法的应用方面有共同之处外，还具有自身的特点：具有自身的特点：(1)不仅要应用平衡原理和平衡方法，确定构件所受不仅要应用平衡原理和平衡方法，确定构件所受的外力，而且要应用截面法确定构件内力；要根据的外

183、力，而且要应用截面法确定构件内力；要根据变形的特点确定横截面上的应力分布，建立计算应变形的特点确定横截面上的应力分布，建立计算应力的表达式。力的表达式。(2)还要通过试验确定材料的力学性能，了解材料何还要通过试验确定材料的力学性能，了解材料何时发生失效，进而建立保证构件安全、可靠工作的时发生失效，进而建立保证构件安全、可靠工作的设计准则。设计准则。工工程程力力学学6.46.4结论与讨论结论与讨论对于承受拉伸和压缩的杆件，由于变形的均匀性，因对于承受拉伸和压缩的杆件，由于变形的均匀性，因而比较容易推知杆件横截面上的正应力均匀分布。对而比较容易推知杆件横截面上的正应力均匀分布。对于承受其他变形形式

184、的杆件，同样需要根据变形推知于承受其他变形形式的杆件，同样需要根据变形推知横截面上的应力分布，只不过分析过程要复杂一些。横截面上的应力分布，只不过分析过程要复杂一些。此外，对于承受拉伸和压缩的杆件，直接通过试验就此外，对于承受拉伸和压缩的杆件，直接通过试验就可以建立失效判据，进而建立设计准则。在以后的分可以建立失效判据，进而建立设计准则。在以后的分析中，将会看到材料在一般受力与变形形式下的失效析中，将会看到材料在一般受力与变形形式下的失效判据，是无法直接通过试验建立的。但是，轴向拉伸判据，是无法直接通过试验建立的。但是，轴向拉伸的试验结果，仍然是建立材料在一般受力与变形形式的试验结果，仍然是建

185、立材料在一般受力与变形形式下失效判据的重要依据。下失效判据的重要依据。工工程程力力学学6.46.4结论与讨论结论与讨论l6.4.26.4.2关于应力和变形公式的应用条件关于应力和变形公式的应用条件本章得到了承受拉伸或压缩时杆件横截面上的正应力本章得到了承受拉伸或压缩时杆件横截面上的正应力公式与变形公式：公式与变形公式：xFN/AlFNl/EA对于变形公式对于变形公式l lF FN Nl/EAl/EA，应用时有两点必须注意：，应用时有两点必须注意：一是因为导出这一公式时应用了胡克定律，因此，一是因为导出这一公式时应用了胡克定律，因此，只有杆件在弹性范围内加载时，才能应用上述公式只有杆件在弹性范围

186、内加载时，才能应用上述公式计算杆件的变形；计算杆件的变形；二是公式中的二是公式中的FN为一段杆件内的轴力，只有当杆件为一段杆件内的轴力，只有当杆件仅在两端受力时仅在两端受力时FN才等于外力才等于外力FP。当杆件上有多个。当杆件上有多个外力作用，则必须先计算各段轴力，再分段计算变外力作用，则必须先计算各段轴力，再分段计算变形，然后按代数值相加。形，然后按代数值相加。工工程程力力学学6.46.4结论与讨论结论与讨论l6.4.36.4.3关于加力点附近区域的应力分布关于加力点附近区域的应力分布如果杆端两种外加力静力学等效，则距离加力点稍远如果杆端两种外加力静力学等效，则距离加力点稍远处，静力学等效对

187、应力分布的影响很小，可以忽略不处，静力学等效对应力分布的影响很小，可以忽略不计。这一思想最早是由法国科学家圣维南计。这一思想最早是由法国科学家圣维南( (SaintSaint- -VenantVenant，A A. .J J. .C C. .B B. .dede) )于于18551855年和年和18561856年研究弹性力年研究弹性力学问题时提出的。学问题时提出的。18851885年布森涅斯克年布森涅斯克( (BoussinesqBoussinesq，J J. .V V.).)将这一思想加以推广，并称之为圣维南原理将这一思想加以推广，并称之为圣维南原理( (SaintSaint- -Venan

188、tVenant principleprinciple) )。当然，圣维南原理也有。当然，圣维南原理也有不适用的情形，这已超出本书的范围。不适用的情形，这已超出本书的范围。工工程程力力学学6.46.4结论与讨论结论与讨论l6.4.46.4.4关于应力集中的概念关于应力集中的概念对于上面的分析说明，在加力点的附近区域，由于局对于上面的分析说明，在加力点的附近区域，由于局部变形，应力的数值会比一般截面上大。部变形，应力的数值会比一般截面上大。除此而外，当构件的几何形状不连续，诸如开孔或截除此而外，当构件的几何形状不连续，诸如开孔或截面突变等处，也会产生很高的局部应力。图面突变等处，也会产生很高的局部

189、应力。图6-17(6-17(a a) )所示为开孔板条承受轴向载荷时，通过孔中心线的截所示为开孔板条承受轴向载荷时，通过孔中心线的截面上的应力分布；图面上的应力分布；图6-17(6-17(b b) )所示为轴向加载的变宽所示为轴向加载的变宽度矩形截面板条，在宽度突变处截面上的应力分布。度矩形截面板条，在宽度突变处截面上的应力分布。几何形状不连续处应力局部增大的现象，称为应力集几何形状不连续处应力局部增大的现象，称为应力集中。中。工工程程力力学学6.46.4结论与讨论结论与讨论图图6-17几何形状不连续处的应力集中现象几何形状不连续处的应力集中现象应力集中的程度用应力集中因数描述。应力集中处横应

190、力集中的程度用应力集中因数描述。应力集中处横截面上的应力最大值截面上的应力最大值maxmax与不考虑应力集中时的应力与不考虑应力集中时的应力值值a a( (名义应力名义应力) )之比，称为应力集中因数，用之比，称为应力集中因数，用K K表示：表示：Kmax/a(6-13)工工程程力力学学6.46.4结论与讨论结论与讨论l6.4.56.4.5拉伸和压缩超静定问题简述拉伸和压缩超静定问题简述图图6-18简单的超静定问题简单的超静定问题工工程程力力学学6.46.4结论与讨论结论与讨论考察图考察图6-186-18所示两端固定的等截面直杆，杆件沿轴线所示两端固定的等截面直杆，杆件沿轴线方向承受一对大小相

191、等、方向相反的集中力方向承受一对大小相等、方向相反的集中力F FP PFFP P，假设杆件的拉伸与约束刚度为，假设杆件的拉伸与约束刚度为EAEA，其中，其中E E为材料为材料的弹性模量，的弹性模量，A A为杆件的横截面面积。要求各段杆横为杆件的横截面面积。要求各段杆横截面上的轴力，并画出轴力图。截面上的轴力，并画出轴力图。首先，分析约束力，判断超静定次数。在轴向载荷的首先，分析约束力，判断超静定次数。在轴向载荷的作用下，固定端作用下，固定端A A、B B二处各有一个沿杆件轴线方向的二处各有一个沿杆件轴线方向的约束力约束力F FA A和和F FB B，独立的平衡方程只有一个：，独立的平衡方程只有

192、一个：Fx0，FAFPFPFB0，FAFB(a)工工程程力力学学6.46.4结论与讨论结论与讨论因此，超静定次数因此，超静定次数n n2 21 11 1次。所以除了平衡方程次。所以除了平衡方程外还需要一个补充方程。外还需要一个补充方程。其次，为了建立补充方程，需要先建立变形协调方程。其次，为了建立补充方程，需要先建立变形协调方程。杆件在载荷与约束力作用下，杆件在载荷与约束力作用下，ACAC、CDCD、DBDB等三段都要等三段都要发生轴向变形，但是，由于两端都是固定端，杆件总发生轴向变形，但是，由于两端都是固定端，杆件总的轴向变形量必须等于零，即的轴向变形量必须等于零，即 l lABABl lA

193、CACl lCDCDl lDBDB0 (0 (b b) )这就是变形协调条件。这就是变形协调条件。工工程程力力学学6.46.4结论与讨论结论与讨论根据胡克定律，即式根据胡克定律，即式(6-2)(6-2)，杆件各段的轴力与变形，杆件各段的轴力与变形的关系：的关系： l lACACF FN NACACl/EAl/EA，l lCDCDF FN NCDCDl/EAl/EA，l lDBDBF FN NDBDBl/EA (l/EA (c c) )此即物理方程。应用截面法，上式中的轴力分别为此即物理方程。应用截面法，上式中的轴力分别为 F FN NACACF FA A( (压压) )，F FN NCDCDF

194、 FN NF FA A( (拉拉) )，F FN NDBDBF FB B( (压压) ) ( (d d) )最后将式最后将式( (a a) )、式、式( (b b) )、式、式( (c c) )、式、式( (d d) )联立，即可解出联立，即可解出两固定端的约束力两固定端的约束力FAFBFP/3据此即可求得直杆各段的轴力，直杆的轴力如图据此即可求得直杆各段的轴力，直杆的轴力如图6-6-18(18(d d) )所示。所示。工工程程力力学学第七章第七章 梁的强度问题梁的强度问题7.1 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件7.2 与与应力分析相关的截面力分析相关的截面图形的几何性形的几何性质7.3 平面

195、弯曲平面弯曲时梁横截面上的正梁横截面上的正应力力7.4 平面弯曲正平面弯曲正应力公式力公式应用用举例例7.5 梁的梁的强度度计算算7.6 斜弯曲斜弯曲7.7 弯矩与弯矩与轴力同力同时作用作用时横截面上的正横截面上的正应力力7.8 结论与与讨论第第七七章章工工程程力力学学7.17.1工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件l7.17.1工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件工程中可以看作梁的杆件是工程中可以看作梁的杆件是很多的。例如，图很多的。例如，图7-1(7-1(a a) )所所示桥式吊车的大梁可以简化示桥式吊车的大梁可以简化为两端铰支的简支梁。在起为两端铰支的简支梁。在起吊重量吊重量( (集中力集中力F

196、 FP P) )及大梁自及大梁自身重量身重量( (均布载荷均布载荷q)q)的作用的作用下，大梁将发生弯曲，如图下，大梁将发生弯曲，如图7-1(7-1(b b) )中双点画线所示。中双点画线所示。图7-1可以简化为简支梁的吊车大梁工工程程力力学学7.17.1工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件石油、化工设备中各种石油、化工设备中各种直立式反应塔，如图直立式反应塔，如图7-7-2(2(a a) )所示，底部与地面所示，底部与地面固定成一体，因此，可固定成一体，因此，可以简化为一端固定的悬以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷作用臂梁。在风力载荷作用下，反应塔的变形如图下，反应塔的变形如图7-2(7-2(

197、b b) )所示。所示。图7-2可以简化为悬臂梁的化工塔工工程程力力学学7.17.1工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件火车轮轴支撑在铁轨上，火车轮轴支撑在铁轨上，铁轨对车轮的约束，可以铁轨对车轮的约束，可以看作铰链支座，因此，火看作铰链支座，因此，火车轮轴可以简化为两端外车轮轴可以简化为两端外伸梁。由于轴自身重量与伸梁。由于轴自身重量与车厢以及车厢内装载的人、车厢以及车厢内装载的人、货物的重量相比要小得多，货物的重量相比要小得多，可以忽略不计，因此火车可以忽略不计，因此火车轮轴的受力和变形如图轮轴的受力和变形如图7-37-3所示。所示。图7-3火车车轴可以简化为两端外伸梁工工程程力力学学7.27

198、.2与应力分析相关的截面图形的几何性质与应力分析相关的截面图形的几何性质l7.2.17.2.1静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系关于静矩的定义以及静矩与形心之间的关系可以看出：关于静矩的定义以及静矩与形心之间的关系可以看出：(1)静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩。对某些坐标轴静矩为正；对另标轴有不同的静矩。对某些坐标轴静矩为正；对另外一些坐标，轴静矩则可能为负；对于通过形心的外一些坐标，轴静矩则可能为负；对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于零。坐标轴，图形对其静矩等于零。(2)如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位

199、置；如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，如果已知形心在某一坐标系中的位置，则可反之，如果已知形心在某一坐标系中的位置，则可计算图形对于这一坐标系中坐标轴的静矩。计算图形对于这一坐标系中坐标轴的静矩。工工程程力力学学7.27.2与应力分析相关的截面图形的几何性质与应力分析相关的截面图形的几何性质l7.2.27.2.2惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径根据上述定义可知：根据上述定义可知：(1)惯性矩和极惯性矩恒为正；而惯性积则由于坐标惯性矩和极惯性矩恒为正；而惯性积则由于坐标轴位置的不同，可能为正，也可能为负。三者的单轴位置的不同，可能为正，也可能为负

200、。三者的单位均为位均为m4或或mm4。(2)因为因为r2x2y2，所以由上述定义不难得到惯性，所以由上述定义不难得到惯性矩与极惯性矩之间的下列关系：矩与极惯性矩之间的下列关系：IPIyIz(7-10)工工程程力力学学7.27.2与应力分析相关的截面图形的几何性质与应力分析相关的截面图形的几何性质(3)根据极惯性矩的定义式根据极惯性矩的定义式(7-7)，以及图，以及图7-5所示的微所示的微面积取法，不难得到圆截面对其中心的极惯性矩：面积取法，不难得到圆截面对其中心的极惯性矩：IPd4/32(7-11)或或IPR4/2(7-12)式中，式中，d为圆截面的直径；为圆截面的直径；R为半径。为半径。(4

201、)根据惯性矩的定义式，注意微面积的取法，不难根据惯性矩的定义式，注意微面积的取法，不难求得矩形截面对于通过其形心、平行于矩形周边坐求得矩形截面对于通过其形心、平行于矩形周边坐标轴的惯性矩：标轴的惯性矩：Iy=Iz=(7-15)工工程程力力学学7.27.2与应力分析相关的截面图形的几何性质与应力分析相关的截面图形的几何性质l7.2.37.2.3惯性矩与惯性积的移轴定理惯性矩与惯性积的移轴定理移轴定理表明：移轴定理表明：(1)图形对任意轴的惯性矩，等于图形对于与该轴平图形对任意轴的惯性矩，等于图形对于与该轴平行的通过形心轴的惯性矩，加上图形面积与两平行行的通过形心轴的惯性矩，加上图形面积与两平行轴

202、间距离平方的乘积。轴间距离平方的乘积。(2)图形对于任意一对直角坐标轴的惯性积，等于图图形对于任意一对直角坐标轴的惯性积，等于图形对于平行于该坐标轴的一对通过形心的直角坐标形对于平行于该坐标轴的一对通过形心的直角坐标轴的惯性积，加上图形面积与两对平行轴间距离的轴的惯性积，加上图形面积与两对平行轴间距离的乘积。乘积。工工程程力力学学7.27.2与应力分析相关的截面图形的几何性质与应力分析相关的截面图形的几何性质(3)因为面积及包含因为面积及包含a2、b2的项恒为正，故自形心轴的项恒为正，故自形心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。移至与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。(4)a、b为原坐标

203、系原点在新坐标系中的坐标，要为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，要注意二者的正负号；二者同号时注意二者的正负号；二者同号时abA为正，异号时为正，异号时为负。所以，移轴后惯性积有可能增加也可能减为负。所以，移轴后惯性积有可能增加也可能减少。少。工工程程力力学学7.27.2与应力分析相关的截面图形的几何性质与应力分析相关的截面图形的几何性质l7.2.47.2.4惯性矩与惯性积的转轴定理惯性矩与惯性积的转轴定理所谓转轴定理，指研究坐标轴绕原点转动时，图形对所谓转轴定理，指研究坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。图图7-87-8所示的图

204、形对于所示的图形对于y y、z z轴的惯性矩和惯性积分别轴的惯性矩和惯性积分别为为I Iy y、I Iz z和和I Iyzyz。图图7-8转轴定理转轴定理工工程程力力学学7.27.2与应力分析相关的截面图形的几何性质与应力分析相关的截面图形的几何性质将将OyzOyz坐标系绕坐标原点坐标系绕坐标原点O O反时针方向转过反时针方向转过角，得到角，得到一新的坐标系一新的坐标系OyOy1 1z z1 1。通过坐标变换。通过坐标变换(y(y1 1、z z1 1与与y y、z z之间之间的关系的关系) )，可以证明，图形对新坐标系的，可以证明，图形对新坐标系的IyIy1 1、IzIz1 1、IyIy1 1

205、z z1 1与图形对原坐标系与图形对原坐标系I Iy y、I Iz z、I Iyzyz之间存在下列关系：之间存在下列关系： I Iy1y1=(Iy+Iz)/2-(Iy-Iz)/2cos2=(Iy+Iz)/2-(Iy-Iz)/2cos2-Iyzsin2Iyzsin2 I Iz1z1=(Iy+Iz)/2+(Iy-Iz)/2cos2=(Iy+Iz)/2+(Iy-Iz)/2cos2-Iyzsin2Iyzsin2 I Iy1z1y1z1=(Iy+Iz)/2+sin2=(Iy+Iz)/2+sin2+Iyzcos2Iyzcos2 (7-17)(7-17)上述由转轴定理得到的式上述由转轴定理得到的式(7-17

206、)(7-17)与移轴定理所得到的与移轴定理所得到的式式(7-16)(7-16)不同，它不要求不同，它不要求y y、z z通过形心。当然，式通过形心。当然，式(7-17)(7-17)对于绕形心转动的坐标系也是适用的，而且也对于绕形心转动的坐标系也是适用的，而且也是实际应用中最感兴趣的。是实际应用中最感兴趣的。工工程程力力学学7.27.2与应力分析相关的截面图形的几何性质与应力分析相关的截面图形的几何性质l7.2.57.2.5主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩性矩从式从式(7-17)(7-17)的第三式可以看出，对于确定的点的第三式可以看出，对于确定的点( (

207、坐标坐标原点原点) )，当坐标轴旋转时，随着角度，当坐标轴旋转时，随着角度a a的改变，惯性积的改变，惯性积也发生变化，并且根据惯性积可能为正，也可能为负也发生变化，并且根据惯性积可能为正，也可能为负的特点，总可以找到一角度的特点，总可以找到一角度0 0以及相应的以及相应的y y0 0、z z0 0轴，轴，图形对于这一对坐标轴的惯性积等于零。图形对于这一对坐标轴的惯性积等于零。如果图形对于过一点的一对坐标轴的惯性积等于零，如果图形对于过一点的一对坐标轴的惯性积等于零，则称这一对坐标轴为过这一点的主轴。图形对于主轴则称这一对坐标轴为过这一点的主轴。图形对于主轴的惯性矩称为主惯性矩。主惯性矩具有极

208、大值或极小的惯性矩称为主惯性矩。主惯性矩具有极大值或极小值的特征。值的特征。工工程程力力学学7.27.2与应力分析相关的截面图形的几何性质与应力分析相关的截面图形的几何性质主惯性矩由下式计算：主惯性矩由下式计算：Iy0=ImaxIz0=Imin=(Iy+Iz)/21/2(7-18)需要指出的是，对于任意一点需要指出的是，对于任意一点( (图形内或图形外图形内或图形外) )都有都有主轴，而通过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴，而通过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩，简称为形心主矩。主轴的惯性矩称为形心主惯性矩，简称为形心主矩。工程计算中有意义的是形心主轴与形心

209、主矩。工程计算中有意义的是形心主轴与形心主矩。工工程程力力学学7.27.2与应力分析相关的截面图形的几何性质与应力分析相关的截面图形的几何性质当图形有一根对称轴时，对当图形有一根对称轴时，对称轴及与之垂直的任意轴即称轴及与之垂直的任意轴即为过二者交点的主轴。例如为过二者交点的主轴。例如图图7-97-9所示的具有一根对称轴所示的具有一根对称轴的图形，位于对称轴的图形，位于对称轴y y一侧的一侧的部分图形对于部分图形对于y y、z z轴的惯性轴的惯性积与位于另一侧的图形对于积与位于另一侧的图形对于y y、z z轴的惯性积，二者数值相轴的惯性积，二者数值相等，但正负反号。所以，整等，但正负反号。所以

210、，整个图形对于个图形对于y y、z z轴的惯性积轴的惯性积I Iyzyz0 0，故，故y y、z z轴为主轴。如轴为主轴。如果果C C为形心，则为形心，则y y、z z轴为形心轴为形心主轴。主轴。图79对称轴为主轴图7-9对称轴为主轴工工程程力力学学7.37.3平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力l7.3.17.3.1平面弯曲与纯弯曲的概念平面弯曲与纯弯曲的概念对称面：梁的横截面具有对称轴，所有相同的对称轴对称面：梁的横截面具有对称轴，所有相同的对称轴组成的平面，称为梁的对称面。组成的平面，称为梁的对称面。主轴平面：梁的横截面没有对称轴，但是都有通过横主轴平面：梁的横截面没

211、有对称轴，但是都有通过横截面形心的形心主轴，所有相同的形心主轴组成的平截面形心的形心主轴，所有相同的形心主轴组成的平面，称为梁的主轴平面。如果对称轴是主轴，则对称面，称为梁的主轴平面。如果对称轴是主轴，则对称面是主轴平面；反之则不然。以下的分析和叙述中均面是主轴平面；反之则不然。以下的分析和叙述中均使用主轴平面。使用主轴平面。平面弯曲：所有外力平面弯曲：所有外力( (包括力、力偶包括力、力偶) )都作用在梁的同都作用在梁的同一主轴平面内时，梁的轴线弯曲后将弯曲成平面曲线，一主轴平面内时，梁的轴线弯曲后将弯曲成平面曲线，这一曲线位于外力作用平面内。这一曲线位于外力作用平面内。工工程程力力学学7.

212、37.3平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲：一般情形下，平面弯曲时，梁的横截面上纯弯曲：一般情形下，平面弯曲时，梁的横截面上一般将有两个内力分量，即剪力和弯矩。如果梁的一般将有两个内力分量，即剪力和弯矩。如果梁的横截面上只有弯矩一个内力分量，这种平面弯曲称横截面上只有弯矩一个内力分量，这种平面弯曲称为纯弯曲。为纯弯曲。横向弯曲：梁在垂直梁轴线的横向力作用下，其横横向弯曲：梁在垂直梁轴线的横向力作用下，其横截面上将同时产生剪力和弯矩。这时，梁的横截面截面上将同时产生剪力和弯矩。这时，梁的横截面上不仅有正应力，还有切应力。这种弯曲称为横向上不仅有正应力，还有切应力。这种

213、弯曲称为横向弯曲，简称横弯曲。弯曲，简称横弯曲。工工程程力力学学7.37.3平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力l7.3.27.3.2纯弯曲时梁横截面上正应力分析纯弯曲时梁横截面上正应力分析1.1.平面假定与应变分布平面假定与应变分布如果用容易变形的材料，如橡胶、海绵，制成梁的如果用容易变形的材料，如橡胶、海绵，制成梁的模型，然后让梁的模型产生纯弯曲，如图模型，然后让梁的模型产生纯弯曲，如图7-14所示。所示。可以看到梁弯曲后，一些层发生伸长变形，另一些可以看到梁弯曲后，一些层发生伸长变形，另一些层则发生缩短变形，在伸长层与缩短层交界处的那层则发生缩短变形，在伸长层与缩短层

214、交界处的那一层既不伸长也不缩短的这一层称为梁的中性层或一层既不伸长也不缩短的这一层称为梁的中性层或中性面。中性层与梁的横截面的交线，称为截面的中性面。中性层与梁的横截面的交线，称为截面的中性轴。中性轴垂直于加载方向，对于横截面具有中性轴。中性轴垂直于加载方向，对于横截面具有对称轴的梁，平面弯曲时中性轴垂直于横截面的对对称轴的梁，平面弯曲时中性轴垂直于横截面的对称轴。称轴。工工程程力力学学7.37.3平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力图图7-14梁横截面上的正应力分析梁横截面上的正应力分析工工程程力力学学7.37.3平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力如

215、果用相邻的两个横截面从梁上截取长度为如果用相邻的两个横截面从梁上截取长度为d dx x的一微的一微段，如图段，如图7-15(7-15(a a) )所示，假定梁发生弯曲变形后，微段所示，假定梁发生弯曲变形后，微段的两个横截面仍然保持平面，但是绕各自的中性轴转的两个横截面仍然保持平面，但是绕各自的中性轴转过一角度过一角度d d，如图，如图7-15(7-15(b b) )所示。这一假定称为平面所示。这一假定称为平面假定。假定。在横截面上建立在横截面上建立OxyzOxyz坐标系，其中坐标系，其中z z轴与中性轴重合轴与中性轴重合( (中性轴的位置尚未确定中性轴的位置尚未确定) )，y y轴沿横截面高度

216、方向并与轴沿横截面高度方向并与加载方向重合。加载方向重合。在图在图7-157-15所示的坐标系中，微段上到中性面的距离为所示的坐标系中，微段上到中性面的距离为y y处长度的改变量为处长度的改变量为 d dx xy yd d (7-19)(7-19)式中的负号表示在图示坐标系中，式中的负号表示在图示坐标系中，y坐标为正的线段坐标为正的线段产生压缩变形；产生压缩变形；y坐标为负的线段产生伸长变形。坐标为负的线段产生伸长变形。工工程程力力学学7.37.3平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力图图7-15弯曲时微段梁的变形弯曲时微段梁的变形工工程程力力学学7.37.3平面弯曲时梁横截

217、面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力将线段的长度改变量除以原长将线段的长度改变量除以原长dx，即为线段的正应，即为线段的正应变。于是，由式变。于是，由式(7-20)得到得到 ddx/x/d dx xy yd d/d dx xy/ y/ (7-20)(7-20)这就是正应变沿横截面高度方向分布的数学表达式。这就是正应变沿横截面高度方向分布的数学表达式。其中：其中： 1/1/d d/d dx x (7-21)(7-21)从图从图7-15(b)中可以看出，中可以看出，就是中性面弯曲后的曲率就是中性面弯曲后的曲率半径，也就是梁的轴线弯曲后的曲率半径。因为半径，也就是梁的轴线弯曲后的曲率半径。因为与

218、与y坐标无关，所以在式坐标无关，所以在式(7-20)和式和式(7-21)中，中，为常数。为常数。工工程程力力学学7.37.3平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力2.2.胡克定律与应力分布胡克定律与应力分布应用弹性范围内的应力应用弹性范围内的应力-应变关系应变关系胡克定律：胡克定律：E(7-22)将上面所得到的正应变分布的数学表达式将上面所得到的正应变分布的数学表达式(7-20)代代入后，便得到正应力沿横截面高度分布的数学表达入后，便得到正应力沿横截面高度分布的数学表达式：式： E/yE/yCy Cy (7-23)(7-23)式中，式中，C为待定的比例常数，即为待定的比例常数

219、，即 C CE/ E/ (7-24)(7-24)其中，其中，E为材料的弹性模量；为材料的弹性模量；是待定的量。是待定的量。工工程程力力学学7.37.3平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力式式(7-23)表明，横截面上的弯曲正应力沿横截面的高表明，横截面上的弯曲正应力沿横截面的高度方向从中性轴为零开始呈线性分布。度方向从中性轴为零开始呈线性分布。这一表达式虽然给出了横截面上的应力分布，但仍然这一表达式虽然给出了横截面上的应力分布，但仍然不能用于计算横截面上各点的正应力。这是因为尚有不能用于计算横截面上各点的正应力。这是因为尚有两个问题没有解决：两个问题没有解决：一是一是y坐标

220、是从中性轴开始计算的，中性轴的位置还坐标是从中性轴开始计算的，中性轴的位置还没有确定；没有确定；二是中性面的曲率半径二是中性面的曲率半径也没有确定。也没有确定。工工程程力力学学7.37.3平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力3.3.应用静力方程确定待定常数应用静力方程确定待定常数根据截面惯性矩的定义，式中的积分就是梁的横截根据截面惯性矩的定义，式中的积分就是梁的横截面对于面对于z轴的惯性矩，即轴的惯性矩，即Ay2dAIz(7-28)代入上式后，得到常数代入上式后，得到常数CMz/Iz(7-29)再将式再将式(7-29)代入式代入式(7-23)，最后得到弯曲时梁横截，最后得到

221、弯曲时梁横截面上的正应力的计算公式为面上的正应力的计算公式为Mzy/Iz(7-30)式中，弯矩式中，弯矩M由截面法平衡求得；截面对于中性由截面法平衡求得；截面对于中性轴的惯性矩轴的惯性矩Iz既与截面的形状有关，又与截面的尺既与截面的形状有关，又与截面的尺寸有关。寸有关。工工程程力力学学7.37.3平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力4.4.中性轴的位置中性轴的位置中性轴中性轴z通过截面形心，并且垂直于对称轴，所以，通过截面形心，并且垂直于对称轴，所以，确定中性轴的位置，就是确定截面的形心位置。确定中性轴的位置，就是确定截面的形心位置。对于有两根对称轴的截面，两根对称轴的交点

222、就对于有两根对称轴的截面，两根对称轴的交点就是截面的形心。例如，矩形截面、圆截面、圆环是截面的形心。例如，矩形截面、圆截面、圆环截面等，这些截面的形心很容易确定。截面等，这些截面的形心很容易确定。对于只有一根对称轴的截面，或者没有对称轴的对于只有一根对称轴的截面，或者没有对称轴的截面的形心，也可以从有关的设计手册中查到。截面的形心，也可以从有关的设计手册中查到。工工程程力力学学7.37.3平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力5.5.最大正应力公式与弯曲截面模量最大正应力公式与弯曲截面模量工程上最感兴趣的是横截面上的最大正应力，也工程上最感兴趣的是横截面上的最大正应力，也就是

223、横截面上到中性轴最远点上的正应力。这些就是横截面上到中性轴最远点上的正应力。这些点的点的y坐标值最大，即坐标值最大，即yymax将将yymax代入正应力代入正应力式式(7-30)得到得到maxMzymax/IzMz/Wz(7-33)式中，式中，WzIz/ymax，称为弯曲截面系数，单位是，称为弯曲截面系数，单位是mm3或或m3。工工程程力力学学7.37.3平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力对于宽度为对于宽度为b、高度为、高度为h的矩形截面有的矩形截面有Wzbh2/6(7-34)对于直径为对于直径为d的圆截面有的圆截面有WzWyWd3/32(7-35)对于外径为对于外径为D

224、，内径为，内径为d的圆环截面有的圆环截面有WzWyWD3/32(14)，d/D(7-36)对于轧制型钢对于轧制型钢(工字型钢等工字型钢等)，弯曲截面系数，弯曲截面系数W可直接可直接从型钢表中查得。从型钢表中查得。工工程程力力学学7.37.3平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力6.6.梁弯曲后其轴线的曲率计算公式梁弯曲后其轴线的曲率计算公式将上面所得到的式将上面所得到的式(7-29)代入式代入式(7-24)，得到梁弯，得到梁弯曲时的另一个重要公式曲时的另一个重要公式梁的轴线弯曲后的曲梁的轴线弯曲后的曲率的数学表达式：率的数学表达式：1/Mz/Eiz(7-37)式中，式中，EI

225、z称为梁的弯曲刚度。称为梁的弯曲刚度。这一结果表明，梁的轴线弯曲后的曲率与弯矩成这一结果表明，梁的轴线弯曲后的曲率与弯矩成正比，与弯曲刚度成反比。正比，与弯曲刚度成反比。工工程程力力学学7.37.3平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力l7.3.37.3.3梁的弯曲正应力公式的应用与推广梁的弯曲正应力公式的应用与推广1.1.计算梁的弯曲正应力需要注意的几个问题计算梁的弯曲正应力需要注意的几个问题计算梁弯曲时横截面上的最大正应力，注意以下几计算梁弯曲时横截面上的最大正应力，注意以下几点是很重要的。点是很重要的。首先是关于正应力的正负号：根据正应力的正负首先是关于正应力的正负号：

226、根据正应力的正负号决定正应力是拉应力还是压应力。确定正应力号决定正应力是拉应力还是压应力。确定正应力正负号比较简单的方法是，首先确定横截面上弯正负号比较简单的方法是，首先确定横截面上弯矩的实际方向，确定中性轴的位置；然后根据所矩的实际方向，确定中性轴的位置；然后根据所要求应力的那一点的位置以及要求应力的那一点的位置以及“弯矩是由分布正应弯矩是由分布正应力合成的合力偶矩力合成的合力偶矩”这一关系，就可以确定这一点这一关系，就可以确定这一点的正应力是拉应力还是压应力。的正应力是拉应力还是压应力。工工程程力力学学7.37.3平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力其次是关于最大正应力

227、计算：其次是关于最大正应力计算：如果梁的横截面具有一对相互垂直的对称轴，并且如果梁的横截面具有一对相互垂直的对称轴，并且加载方向与其中一根对称轴一致时，则中性轴与另一加载方向与其中一根对称轴一致时，则中性轴与另一对称轴一致。此时最大拉应力与最大压应力绝对值相对称轴一致。此时最大拉应力与最大压应力绝对值相等，由式等，由式(7-33)计算。计算。如果梁的横截面只有一根对称轴，而且加载方向与如果梁的横截面只有一根对称轴，而且加载方向与对称轴一致，则中性轴过截面形心并垂直对称轴。这对称轴一致，则中性轴过截面形心并垂直对称轴。这时，横截面上最大拉应力与最大压应力绝对值不相等，时，横截面上最大拉应力与最大

228、压应力绝对值不相等，可由下列二式分别计算：可由下列二式分别计算：bmax=Mzybmax/Iz(拉拉)bcmax=Mzybcmax/Iz(压压)(7-38)工工程程力力学学7.37.3平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力2.2.纯弯曲正应力可以推广到横向弯曲纯弯曲正应力可以推广到横向弯曲以上有关纯弯曲的正应力公式，对于非纯弯曲，以上有关纯弯曲的正应力公式，对于非纯弯曲，也就是横截面上除了弯矩之外还有剪力的情形同也就是横截面上除了弯矩之外还有剪力的情形同样适用。如果是细长杆，也是近似适用的。理论样适用。如果是细长杆，也是近似适用的。理论与试验结果都表明，由于切应力的存在，梁的

229、横与试验结果都表明，由于切应力的存在，梁的横截面在梁变形之后将不再保持平面，而是要发生截面在梁变形之后将不再保持平面，而是要发生翘曲，这种翘曲对正应力分布的影响是很小的。翘曲，这种翘曲对正应力分布的影响是很小的。对细长梁更小，通常都可以忽略不计。对细长梁更小，通常都可以忽略不计。工工程程力力学学7.47.4平面弯曲正应力公式应用举例平面弯曲正应力公式应用举例l7.47.4平面弯曲正应力公式应用举例平面弯曲正应力公式应用举例【例题【例题7-37-3】图】图7-19(7-19(a a) )中的矩形截面悬臂梁有两个中的矩形截面悬臂梁有两个对称面：由横截面铅垂对称轴所组成的平面，称为对称面：由横截面铅

230、垂对称轴所组成的平面，称为铅垂对称面；由横截面水平对称轴所组成的平面，铅垂对称面；由横截面水平对称轴所组成的平面，称为水平对称面。梁在自由端承受外加力偶作用，称为水平对称面。梁在自由端承受外加力偶作用，力偶矩为力偶矩为M Me e，力偶作用在铅垂对称面内。试画出梁在，力偶作用在铅垂对称面内。试画出梁在固定端处横截面上正应力分布图。固定端处横截面上正应力分布图。工工程程力力学学7.47.4平面弯曲正应力公式应用举例平面弯曲正应力公式应用举例图图7-19例题例题7-3图图工工程程力力学学7.47.4平面弯曲正应力公式应用举例平面弯曲正应力公式应用举例解：解：(1)确定固定端处横截面上的弯矩。确定固

231、定端处横截面上的弯矩。根据梁的受力，从固定端处将梁截开，考虑右边部分根据梁的受力，从固定端处将梁截开，考虑右边部分的平衡，可以求得固定端处梁截面上的弯矩：的平衡，可以求得固定端处梁截面上的弯矩：MMe方向如图方向如图7-19(b)所示。所示。读者不难证明，这一梁的所有横截面上的弯矩都等读者不难证明，这一梁的所有横截面上的弯矩都等于外加力偶的力偶矩于外加力偶的力偶矩Me。(2)确定中性轴的位置。确定中性轴的位置。因为载荷施加在铅垂平面内因为载荷施加在铅垂平面内(y方向方向)，所以中性轴通，所以中性轴通过截面形心并与截面的铅垂对称轴过截面形心并与截面的铅垂对称轴(y)垂直。因此，图垂直。因此，图7

232、-19(c)所示的所示的z轴就是中性轴。轴就是中性轴。工工程程力力学学7.47.4平面弯曲正应力公式应用举例平面弯曲正应力公式应用举例(3)判断横截面上承受拉应力和压应力的区域。判断横截面上承受拉应力和压应力的区域。根据弯矩的方向可判断横截面中性轴以上各点均根据弯矩的方向可判断横截面中性轴以上各点均受压应力，横截面中性轴以下各点均受拉应力。受压应力，横截面中性轴以下各点均受拉应力。(4)画梁在固定端截面上正应力分布图。画梁在固定端截面上正应力分布图。根据正应力公式，横截面上正应力沿截面高度根据正应力公式，横截面上正应力沿截面高度(y)按直线分布。在上、下边缘正应力值最大。本例题中，按直线分布。

233、在上、下边缘正应力值最大。本例题中，上边缘承受最大压应力；下边缘承受最大拉应力。于上边缘承受最大压应力；下边缘承受最大拉应力。于是可以画出固定端截面上的正应力分布图，如图是可以画出固定端截面上的正应力分布图，如图7-19(c)所示。所示。工工程程力力学学7.57.5梁的强度计算梁的强度计算l7.5.17.5.1梁的失效判据梁的失效判据与拉伸或压缩杆件失效类似，对于韧性材料制成的梁，与拉伸或压缩杆件失效类似，对于韧性材料制成的梁，当梁的危险截面上的最大正应力达到材料的屈服点当梁的危险截面上的最大正应力达到材料的屈服点(s s) )时，便认为梁发生失效；对于脆性材料制成的梁，时，便认为梁发生失效；

234、对于脆性材料制成的梁，当梁的危险截面上的最大正应力达到材料的抗拉强度当梁的危险截面上的最大正应力达到材料的抗拉强度(b b) )时，便认为梁发生失效，即时，便认为梁发生失效，即maxs(韧性材料韧性材料)(7-39)maxb(脆性材料脆性材料)(7-40)这就是判断梁是否失效的准则。其中，这就是判断梁是否失效的准则。其中，s s和和b b都由都由拉伸试验确定。拉伸试验确定。工工程程力力学学7.57.5梁的强度计算梁的强度计算l7.5.27.5.2梁的弯曲强度计算准则梁的弯曲强度计算准则与拉、压杆的强度计算相类似，工程设计中，为了保与拉、压杆的强度计算相类似，工程设计中，为了保证梁具有足够的安全

235、裕度，梁的危险截面上的最大正证梁具有足够的安全裕度，梁的危险截面上的最大正应力，必须小于许用应力，许用应力等于应力，必须小于许用应力，许用应力等于s s或或b b除除以一个大于以一个大于1 1的安全因数。于是，有的安全因数。于是，有maxs/ns(7-38)maxb/nb(7-39)上述二式就是基于最大正应力的梁弯曲强度计算准则，上述二式就是基于最大正应力的梁弯曲强度计算准则，又称为弯曲强度条件。式中，又称为弯曲强度条件。式中，为弯曲许用应力；为弯曲许用应力；n ns s和和n nb b分别为对应于屈服点和抗拉强度的安全因数。分别为对应于屈服点和抗拉强度的安全因数。根据上述强度条件，同样可以解

236、决三类强度问题：强根据上述强度条件，同样可以解决三类强度问题：强度校核、截面尺寸设计、确定许用载荷。度校核、截面尺寸设计、确定许用载荷。工工程程力力学学7.57.5梁的强度计算梁的强度计算l7.5.37.5.3梁的弯曲强度计算步骤梁的弯曲强度计算步骤根据梁的弯曲强度设计准则，进行弯曲强度计算的一根据梁的弯曲强度设计准则，进行弯曲强度计算的一般步骤如下：般步骤如下：(1)根据梁的约束性质，分析梁的受力，确定约束力根据梁的约束性质，分析梁的受力，确定约束力。(2)画出梁的弯矩图；根据弯矩图，确定可能的危险画出梁的弯矩图；根据弯矩图，确定可能的危险截面。截面。(3)根据应力分布和材料的拉伸与抗压强度

237、性能是否根据应力分布和材料的拉伸与抗压强度性能是否相等，确定可能的危险点相等，确定可能的危险点。工工程程力力学学7.57.5梁的强度计算梁的强度计算(4)应用强度条件进行强度计算：对于抗拉和抗压强度应用强度条件进行强度计算：对于抗拉和抗压强度相等的材料，应用强度条件式相等的材料，应用强度条件式(7-41)和式和式(7-42)；对于；对于抗拉和抗压强度不相等的材料，强度条件式抗拉和抗压强度不相等的材料，强度条件式(7-41)和式和式(7-42)可以改写为可以改写为maxb(7-43)bcmaxbc(7-44)其中，其中，b和和bc分别称为抗拉许用应力和抗压许用分别称为抗拉许用应力和抗压许用应力：

238、应力：bb/nb(7-45)bcbc/nbc(7-46)式中，式中，b和和bc分别为材料的抗拉强度和抗压强度分别为材料的抗拉强度和抗压强度工工程程力力学学7.67.6斜弯曲斜弯曲l7.67.6斜弯曲斜弯曲当外力施加在梁的对称面当外力施加在梁的对称面( (或主轴平面或主轴平面) )内时，梁将产内时，梁将产生平面弯曲。所有外力都作用在同一平面内，但是这生平面弯曲。所有外力都作用在同一平面内，但是这一平面不是对称面一平面不是对称面( (或主轴平面或主轴平面) )，例如图，例如图7-25(7-25(a a) )所所示的情形，梁也将会产生弯曲，但不是平面弯曲，这示的情形，梁也将会产生弯曲，但不是平面弯曲

239、，这种弯曲称为斜弯曲。还有一种情形也会产生斜弯曲，种弯曲称为斜弯曲。还有一种情形也会产生斜弯曲，这就是所有外力都作用于对称面这就是所有外力都作用于对称面( (或主轴平面或主轴平面) )内，但内，但不是同一对称面不是同一对称面( (梁的截面具有两个或两个以上对称梁的截面具有两个或两个以上对称轴轴) )或主轴平面内，图或主轴平面内，图7-25(7-25(b b) )所示情形即为一例。所示情形即为一例。工工程程力力学学7.67.6斜弯曲斜弯曲图图7-25产生斜弯曲的受力方式产生斜弯曲的受力方式工工程程力力学学7.67.6斜弯曲斜弯曲为了确定斜弯曲时梁横截面上的应力，在小变形的条为了确定斜弯曲时梁横截

240、面上的应力，在小变形的条件下，可以将斜弯曲分解成两个纵向对称面内件下，可以将斜弯曲分解成两个纵向对称面内( (或主或主轴平面轴平面) )的平面弯曲，然后将两个平面弯曲引起的同的平面弯曲，然后将两个平面弯曲引起的同一点应力的代数值相加，便得到斜弯曲在该点的应力一点应力的代数值相加，便得到斜弯曲在该点的应力值。值。以矩形截面为例，如图以矩形截面为例，如图7-26(7-26(a a) )所示，当梁的横截面所示，当梁的横截面上同时作用两个弯矩上同时作用两个弯矩M My y和和M Mz z( (二者分别都作用在梁的两二者分别都作用在梁的两个对称面内个对称面内) )时，两个弯矩在同一点引起的正应力叠时，两

241、个弯矩在同一点引起的正应力叠加后，得到如图加后，得到如图7-26(7-26(b b) )所示的应力分布图。由于两所示的应力分布图。由于两个弯矩引起的最大拉应力发生在同一点，最大压应力个弯矩引起的最大拉应力发生在同一点，最大压应力也发生在同一点，因此，叠加后横截面上的最大拉伸也发生在同一点，因此，叠加后横截面上的最大拉伸和压缩正应力必然发生在矩形截面的角点处。最大拉和压缩正应力必然发生在矩形截面的角点处。最大拉伸和压缩正应力值由下式确定：伸和压缩正应力值由下式确定：工工程程力力学学7.67.6斜弯曲斜弯曲图图7-26斜弯曲时梁横截面上的应力分布斜弯曲时梁横截面上的应力分布工工程程力力学学7.67

242、.6斜弯曲斜弯曲bmax=MyWy+MzWz(7-47a)bcmax=MyWy+MzWz(7-47b)上式不仅矩形截面适用，而且对于槽形截面、工字上式不仅矩形截面适用，而且对于槽形截面、工字形截面也是适用的。因为这些截面上由两个主轴平形截面也是适用的。因为这些截面上由两个主轴平面内的弯矩引起的最大拉应力和最大压应力都发生面内的弯矩引起的最大拉应力和最大压应力都发生在同一点。在同一点。对于圆截面，上述计算公式是不适用的。这是因为对于圆截面，上述计算公式是不适用的。这是因为两个对称面内的弯矩所引起的最大拉应力不发生在两个对称面内的弯矩所引起的最大拉应力不发生在同一点，最大压应力也不发生在同一点。同

243、一点，最大压应力也不发生在同一点。工工程程力力学学7.67.6斜弯曲斜弯曲对于圆截面，因为过形心的任意轴均为截面的对称对于圆截面，因为过形心的任意轴均为截面的对称轴，所以当横截面上同时作用有两个弯矩时，可以轴，所以当横截面上同时作用有两个弯矩时，可以将弯矩用矢量表示，然后求二者的矢量和。这一合将弯矩用矢量表示，然后求二者的矢量和。这一合矢量仍然沿着横截面的对称轴方向，合弯矩的作用矢量仍然沿着横截面的对称轴方向，合弯矩的作用面仍然与对称面一致，所以平面弯曲的公式依然适面仍然与对称面一致，所以平面弯曲的公式依然适用。于是，圆截面上的最大拉应力和最大压应力计用。于是，圆截面上的最大拉应力和最大压应力

244、计算公式为算公式为bmaxM/WMM/W(7-48a)bcmaxM/WMM/W(7-48b)工工程程力力学学7.67.6斜弯曲斜弯曲此外，还可以证明，斜弯曲此外，还可以证明，斜弯曲情形下横截面依然存在中性情形下横截面依然存在中性轴，而且中性轴一定通过横轴，而且中性轴一定通过横截面的形心，但不垂直于加截面的形心，但不垂直于加载方向。这是斜弯曲与平面载方向。这是斜弯曲与平面弯曲的重要区别。弯曲的重要区别。由于最大应力作用点处只有由于最大应力作用点处只有正应力作用，因此，斜弯曲正应力作用，因此，斜弯曲时的强度条件与平面弯曲时时的强度条件与平面弯曲时完全相同，即式完全相同，即式(7-38)(7-38)

245、或式或式(7-39)(7-39)依然适用，即依然适用，即max 图7-27例题7-9图工工程程力力学学7.77.7弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力l7.77.7弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力当杆件同时承受垂直于轴线的横向力和沿着轴线方向当杆件同时承受垂直于轴线的横向力和沿着轴线方向的纵向力时，如图的纵向力时，如图7-28(7-28(a a) )所示，杆件的横截面上将所示，杆件的横截面上将同时产生轴力、弯矩和剪力。忽略剪力的影响，轴力同时产生轴力、弯矩和剪力。忽略剪力的影响，轴力和弯矩都将在横截面上产生正应力。和弯

246、矩都将在横截面上产生正应力。图图7-28杆件横截面上同时产生轴力和弯矩的受力形式杆件横截面上同时产生轴力和弯矩的受力形式工工程程力力学学7.77.7弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力此外，如果作用在杆件上的纵向力与杆件的轴线不一此外，如果作用在杆件上的纵向力与杆件的轴线不一致，这种情形称为偏心加载。图致，这种情形称为偏心加载。图7-28(7-28(b b) )所示即为偏所示即为偏心加载的一种情形。这时，如果将纵向力向横截面的心加载的一种情形。这时，如果将纵向力向横截面的形心简化，同样，将在杆件的横截面上产生轴力和弯形心简化，同样，将在杆件的横截面上产生轴力

247、和弯矩。矩。在梁的横截面上同时产生轴力和弯矩的情形下，根据在梁的横截面上同时产生轴力和弯矩的情形下，根据轴力图和弯矩图，可以确定杆件的危险截面以及危险轴力图和弯矩图，可以确定杆件的危险截面以及危险截面上的轴力截面上的轴力F FN N和弯矩和弯矩M Mmaxmax。轴力轴力F FN N引起的正应力沿整个横截面均匀分布，轴力为引起的正应力沿整个横截面均匀分布，轴力为正时，产生拉应力；轴力为负时产生压应力，即正时，产生拉应力；轴力为负时产生压应力，即 F FN N/A /A (7-49)(7-49)工工程程力力学学7.77.7弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力弯

248、矩弯矩M Mmaxmax引起的正应力沿横截面高度方向线性分布为引起的正应力沿横截面高度方向线性分布为 M Mz zy/Iy/Iz z (7-50)(7-50)应用叠加法，将二者分别引起的同一点的正应力相应用叠加法，将二者分别引起的同一点的正应力相加，所得到的应力就是二者在同一点引起的总应力。加，所得到的应力就是二者在同一点引起的总应力。由于轴力由于轴力F FN N和弯矩和弯矩M Mmaxmax的方向有不同形式的组合，因的方向有不同形式的组合，因此，横截面上的最大拉伸和压缩正应力的计算式也此，横截面上的最大拉伸和压缩正应力的计算式也不完全相同。不完全相同。最大正应力点的强度条件与弯曲时相同，即最

249、大正应力点的强度条件与弯曲时相同，即max工工程程力力学学7.87.8结论与讨论结论与讨论l7.8.17.8.1关于弯曲正应力公式的应用条件关于弯曲正应力公式的应用条件第一，平面弯曲正应力公式只能应用于平面弯曲情形。第一，平面弯曲正应力公式只能应用于平面弯曲情形。第二，只有在弹性范围内加载，横截面上的正应力才第二，只有在弹性范围内加载，横截面上的正应力才会线性分布，才会得到平面弯曲正应力公式。会线性分布，才会得到平面弯曲正应力公式。第三，平面弯曲正应力公式是在纯弯情形下得到的，第三，平面弯曲正应力公式是在纯弯情形下得到的，但是，对于细长杆，由于剪力引起的切应力比弯曲正但是，对于细长杆，由于剪力

250、引起的切应力比弯曲正应力小得多，对强度的影响很小，通常都可以忽略。应力小得多，对强度的影响很小，通常都可以忽略。由此，平面弯曲正应力公式也适用于横截面上有剪力由此，平面弯曲正应力公式也适用于横截面上有剪力作用的情形。也就是对于细长梁纯弯曲的正应力公式作用的情形。也就是对于细长梁纯弯曲的正应力公式也适用于横弯曲。也适用于横弯曲。工工程程力力学学7.87.8结论与讨论结论与讨论l7.8.27.8.2弯曲切应力的概弯曲切应力的概念念当梁发生横向弯曲时，横截当梁发生横向弯曲时，横截面上一般都有剪力存在，截面上一般都有剪力存在，截面上与剪力对应的分布内力面上与剪力对应的分布内力在各点的强弱程度称为切应在

251、各点的强弱程度称为切应力，用希腊字母力，用希腊字母表示。切表示。切应力的方向一般与剪力的方应力的方向一般与剪力的方向相同，作用线位于横截面向相同，作用线位于横截面内，如图内，如图7-307-30所示。所示。图7-30横弯曲时横截面上的切应力工工程程力力学学7.87.8结论与讨论结论与讨论弯曲切应力在截面上的分布是不均匀的，分布状况与弯曲切应力在截面上的分布是不均匀的，分布状况与截面的形状有关，一般情形下，最大切应力发生在横截面的形状有关，一般情形下，最大切应力发生在横截面中性轴上的各点。截面中性轴上的各点。对于宽度为对于宽度为b b、高度为、高度为h h的矩形截面，最大切应力为的矩形截面，最大

252、切应力为max3/2FQ/(bh)(7-52)对于直径为对于直径为d d的圆截面，最大切应力：的圆截面，最大切应力：max4/3FQ/A，Ad2/4(7-53)对于内径为对于内径为d d、外径为、外径为D D的空心圆截面，最大切应力为的空心圆截面，最大切应力为max2.0FQ/A，A(D2d2)/4(7-54)工工程程力力学学7.87.8结论与讨论结论与讨论l7.8.37.8.3关于截面的惯性矩关于截面的惯性矩横截面对于某一轴的惯性矩，不仅与横截面的面积大横截面对于某一轴的惯性矩，不仅与横截面的面积大小有关，而且还与这些面积到这一轴的距离的远近有小有关，而且还与这些面积到这一轴的距离的远近有关

253、。同样的面积，到轴的距离远者，惯性矩大；到轴关。同样的面积，到轴的距离远者，惯性矩大；到轴的距离近者，惯性矩小。为了使梁能够承受更大的弯的距离近者，惯性矩小。为了使梁能够承受更大的弯矩，当然希望截面的惯性矩越大越好。矩，当然希望截面的惯性矩越大越好。l7.8.47.8.4提高梁强度的措施提高梁强度的措施1.1.选择合理的截面形状选择合理的截面形状2.2.采用变截面梁或等强度梁采用变截面梁或等强度梁3.3.改善受力状况改善受力状况工工程程力力学学第八章第八章 梁的位移分析与梁的位移分析与刚度度设计8.1 基本概念基本概念8.2 小小挠度微分方程及其度微分方程及其积分分8.3 工程中的叠加法工程中

254、的叠加法8.4 简单的超静定梁的超静定梁8.5 梁的梁的刚度度设计8.6 结论与与讨论第第八八章章工工程程力力学学8.18.1基本概念基本概念l8.1.18.1.1梁弯曲后的挠度曲线梁弯曲后的挠度曲线梁在弯矩梁在弯矩(M(My y或或M Mz z) )的作用下发生弯曲变形，为叙述简的作用下发生弯曲变形，为叙述简便起见，以下讨论只有一个方向的弯矩作用的情形，便起见，以下讨论只有一个方向的弯矩作用的情形，并略去下标，只用并略去下标，只用M M表示弯矩，所得到的结果适用于表示弯矩，所得到的结果适用于M My y或或M Mz z单独作用的情形。单独作用的情形。图图8-1(8-1(a a) )所示梁的变

255、形，若在弹性范围内加载，梁的所示梁的变形，若在弹性范围内加载，梁的轴线在梁弯曲后变成一连续光滑曲线，如图轴线在梁弯曲后变成一连续光滑曲线，如图8-1(8-1(b b) )所所示。这一连续光滑曲线称为弹性曲线或挠度曲线，简示。这一连续光滑曲线称为弹性曲线或挠度曲线，简称弹性线或挠曲线。称弹性线或挠曲线。工工程程力力学学8.18.1基本概念基本概念图图8-1梁的弹性曲线与梁的位移梁的弹性曲线与梁的位移工工程程力力学学8.18.1基本概念基本概念根据上一章所得到的结果，弹性范围内的挠度曲线在根据上一章所得到的结果，弹性范围内的挠度曲线在一点的曲率与这一点处横截面上的弯矩、弯曲刚度之一点的曲率与这一点

256、处横截面上的弯矩、弯曲刚度之间存在下列关系：间存在下列关系：1/M/EI(8-1)其中，其中，、M都是横截面位置都是横截面位置x的函数的函数(x)，MM(x)式式(8-1)中的中的EI为横截面的弯曲刚度。为横截面的弯曲刚度。工工程程力力学学8.18.1基本概念基本概念l8.1.28.1.2梁的挠度与转角梁的挠度与转角梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置的改变称为位移。梁的位移包括三部分：置的改变称为位移。梁的位移包括三部分：(1)横截面形心处的铅垂位移，称为挠度，用横截面形心处的铅垂位移，称为挠度，用表示。表示。(2)梁变形后，横截面相

257、对于梁变形前的位置绕中性梁变形后，横截面相对于梁变形前的位置绕中性轴转过的角度，称为转角用轴转过的角度，称为转角用表示。表示。(3)横截面形心沿水平方向的位移，称为轴向位移或横截面形心沿水平方向的位移，称为轴向位移或水平位移，用水平位移，用u表示。表示。工工程程力力学学8.18.1基本概念基本概念在小变形情形下，上述位移中，水平位移在小变形情形下，上述位移中，水平位移u u与挠度与挠度相比为高阶小量，故通常不予考虑。相比为高阶小量，故通常不予考虑。在图在图8-1(8-1(b b) )所示所示OxOx坐标系中坐标系中( (注意：注意：坐标向下为坐标向下为正正) )，挠度与转角存在下列关系：，挠度

258、与转角存在下列关系：D/dxtan(8-2)在小变形条件下，挠曲线较为平坦，即在小变形条件下，挠曲线较为平坦，即很小，因很小，因而上式中而上式中tantan。于是。于是D/dx(8-3)上述二式中上述二式中(x)(x)，称为挠度方程。，称为挠度方程。工工程程力力学学8.18.1基本概念基本概念l8.1.38.1.3梁的位移与约束密切相关梁的位移与约束密切相关图图8-28-2所示三种承受弯曲的梁，在这三种情形下，所示三种承受弯曲的梁，在这三种情形下，ABAB段各横截面都受有相同的弯矩段各横截面都受有相同的弯矩(M(MF FP Pa)a)作用。作用。根据式根据式(8-1)(8-1)，在上述三种情形

259、下，在上述三种情形下，ABAB段梁的曲率段梁的曲率(1/)(1/)处处对应相等，因而挠度曲线具有相同的形处处对应相等，因而挠度曲线具有相同的形状。但是，在三种情形下，由于约束的不同，梁的状。但是，在三种情形下，由于约束的不同，梁的位移则不完全相同。对于图位移则不完全相同。对于图8-2(8-2(a a) )所示的无约束梁，所示的无约束梁，因其在空间的位置不确定，故无从确定其位移。因其在空间的位置不确定，故无从确定其位移。工工程程力力学学8.18.1基本概念基本概念图图8-2梁的位移与约束的关系梁的位移与约束的关系工工程程力力学学8.18.1基本概念基本概念l8.1.48.1.4梁的位移分析的工程

260、意义梁的位移分析的工程意义位移分析中所涉及的梁的变形和位移，都是弹性的。位移分析中所涉及的梁的变形和位移，都是弹性的。尽管变形和位移都是弹性的，但工程设计中对于结构尽管变形和位移都是弹性的，但工程设计中对于结构或构件的弹性位移都有一定的限制。弹性位移过大，或构件的弹性位移都有一定的限制。弹性位移过大，也会使结构或构件丧失正常功能，即发生刚度失效。也会使结构或构件丧失正常功能，即发生刚度失效。工程设计中还有另外一类问题，所考虑的不是限制构工程设计中还有另外一类问题，所考虑的不是限制构件的弹性位移，而是希望在构件不发生强度失效的前件的弹性位移，而是希望在构件不发生强度失效的前提下，尽量产生较大的弹

261、性位移。例如，各种车辆中提下，尽量产生较大的弹性位移。例如，各种车辆中用于减振的板簧，都是采用厚度不大的板条叠合而成。用于减振的板簧，都是采用厚度不大的板条叠合而成。采用这种结构，板簧既可以承受很大的力而不发生破采用这种结构，板簧既可以承受很大的力而不发生破坏，同时又能产生较大的弹性变形，吸收车辆受到振坏，同时又能产生较大的弹性变形，吸收车辆受到振动和冲击时产生的动能，收到抗振和抗冲击的效果动和冲击时产生的动能，收到抗振和抗冲击的效果工工程程力力学学8.28.2小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分l8.2.1 8.2.1 小挠度曲线微分方程小挠度曲线微分方程应用挠度曲线的曲率与弯矩和弯

262、曲刚度之间的关系式应用挠度曲线的曲率与弯矩和弯曲刚度之间的关系式(8-1)(8-1)以及数学中关于曲线的曲率公式有以及数学中关于曲线的曲率公式有(8-4)得到得到(8-5)在小变形情形下，在小变形情形下，d ddx=dx=1,1,上式将变为上式将变为(8-6)此式即为确定梁的挠度和转角的微分方程，称为小此式即为确定梁的挠度和转角的微分方程，称为小挠度微分方程。式中的正负号与坐标取向有关。挠度微分方程。式中的正负号与坐标取向有关。工工程程力力学学8.28.2小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分对于图对于图8-48-4（a a）所示坐标系，弯矩与挠度的二阶导数）所示坐标系，弯矩与挠度的二阶

263、导数同号，所以式同号，所以式(8-6)(8-6)中取正号；对于图中取正号；对于图8-48-4（b b）所示）所示坐标系，弯矩与挠度的二阶导数异号，所以式坐标系，弯矩与挠度的二阶导数异号，所以式(8-6)(8-6)中取负号。中取负号。图图8-4不同的不同的坐标取向坐标取向工工程程力力学学8.28.2小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分本书采用本书采用向下、向下、x x向右的坐标系，如图向右的坐标系，如图8-48-4（b b）所示，）所示，故有故有(8-7)需要指出的是，剪力对梁的位移是有影响的。但是，需要指出的是，剪力对梁的位移是有影响的。但是，对于细长梁，这种影响很小，因而常常忽略不计

264、。对于细长梁，这种影响很小，因而常常忽略不计。对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法写出弯矩方对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法写出弯矩方程程M(x)M(x)，代入上式后，分别对，代入上式后，分别对x x作不定积分，得到包含作不定积分，得到包含积分常数的挠度方程与转角方程为积分常数的挠度方程与转角方程为(8-8)(8-9)式中式中,C、D为积分常数。为积分常数。工工程程力力学学8.28.2小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分l8.2.28.2.2积分常数的确定约束条件与连续条件积分常数的确定约束条件与连续条件积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定：约束积分法中常数由梁的约束条件与连续

265、条件确定：约束条件是指约束对于挠度和转角的限制：条件是指约束对于挠度和转角的限制：(1)在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠度等在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠度等于零：于零：0。(2)在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零：在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零：0，0。连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线。因此，在集中力、集中力偶以成一条连续光滑曲线。因此，在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：1 12 2，1 12 2，等等。，等等。

266、上述方法称为积分法。下面举例说明积分法的应用。上述方法称为积分法。下面举例说明积分法的应用。工工程程力力学学8.38.3工程中的叠加法工程中的叠加法l8.3.18.3.1叠加法应用于多个载荷作用的情形叠加法应用于多个载荷作用的情形当梁上受有几种不同的载荷作用时，都可以将其分解当梁上受有几种不同的载荷作用时，都可以将其分解为各种载荷单独作用的情形，由挠度表查得这些情形为各种载荷单独作用的情形，由挠度表查得这些情形下的挠度和转角，再将所得结果叠加后，便得到几种下的挠度和转角，再将所得结果叠加后，便得到几种载荷同时作用的结果。载荷同时作用的结果。l8.3.28.3.2叠加法应用于间断性分布载荷作用的

267、情叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形形对于间断性分布载荷作用的情形，根据受力与约束等对于间断性分布载荷作用的情形，根据受力与约束等效的要求，可以将间断性分布载荷变为梁全长上连续效的要求，可以将间断性分布载荷变为梁全长上连续分布载荷，然后在原来没有分布载荷的梁段上加上集分布载荷，然后在原来没有分布载荷的梁段上加上集度相同但方向相反的分布载荷，最后应用叠加法。度相同但方向相反的分布载荷，最后应用叠加法。工工程程力力学学8.48.4简单的超静定梁简单的超静定梁l8.4.18.4.1求解超静定梁的基本方法求解超静定梁的基本方法与求解拉伸、压缩杆件的超静定问题相似，求解超静与求解拉伸、压缩杆件的超静定

268、问题相似，求解超静定梁时，除了平衡方程外，还需要根据多余约束对位定梁时，除了平衡方程外，还需要根据多余约束对位移或变形的限制，建立各部分位移或变形之间的几何移或变形的限制，建立各部分位移或变形之间的几何关系，即建立几何方程，称为变形协调方程，并建立关系，即建立几何方程，称为变形协调方程，并建立力与位移或变形之间的物理关系，即物理方程或称本力与位移或变形之间的物理关系，即物理方程或称本构方程。将这二者联立才能找到求解超静定问题所需构方程。将这二者联立才能找到求解超静定问题所需的补充方程。的补充方程。工工程程力力学学8.48.4简单的超静定梁简单的超静定梁据此，首先要判断超静定的次数，也就是确定有

269、几据此，首先要判断超静定的次数，也就是确定有几个多余约束；然后选择合适的多余约束，将其去除，个多余约束；然后选择合适的多余约束，将其去除，使超静定梁变成静定梁；在解除约束处代之以多余使超静定梁变成静定梁；在解除约束处代之以多余约束力；最后将解除约束后的梁与原来的超静定梁约束力；最后将解除约束后的梁与原来的超静定梁相比较，多余约束处应当满足什么样的变形条件才相比较，多余约束处应当满足什么样的变形条件才能使解除约束后的系统的受力和变形与原来的系统能使解除约束后的系统的受力和变形与原来的系统弯曲等效，从而写出变形协调方程。弯曲等效，从而写出变形协调方程。工工程程力力学学8.48.4简单的超静定梁简单

270、的超静定梁l8.4.28.4.2几种简单的超几种简单的超静定问题示例静定问题示例【例题【例题8-48-4】图】图8-8(8-8(a a) )所所示三支承梁，示三支承梁，A A处为固定处为固定铰链支座，铰链支座，B B、C C两处为辊两处为辊轴支座。梁作用有均布载轴支座。梁作用有均布载荷。已知：均布载荷集度荷。已知：均布载荷集度q q1515N N/ /mmmm，l l4 4m m，梁圆，梁圆截面的直径截面的直径d d100100mmmm，100100MPaMPa，试校核该，试校核该梁的强度是否安全。梁的强度是否安全。图8-8例题8-4图工工程程力力学学8.48.4简单的超静定梁简单的超静定梁解

271、：解：(1)判断超静定次数。判断超静定次数。梁在梁在A、B、C三处共有四个未知约束力，而梁在平三处共有四个未知约束力，而梁在平面一般力系作用下，只有三个独立的平衡方程，故为一面一般力系作用下，只有三个独立的平衡方程，故为一次超静定梁。次超静定梁。(2)解除多余约束，使超静定梁变成静定梁。解除多余约束，使超静定梁变成静定梁。本例中本例中B、C两处的辊轴支座，可以选择其中的一个两处的辊轴支座，可以选择其中的一个作为多余约束，现在将支座作为多余约束，现在将支座B作为多余约束去除，在作为多余约束去除，在B处代之以相应的多余约束力处代之以相应的多余约束力FB。解除约束后所得到的静。解除约束后所得到的静定

272、梁为一简支梁，如图定梁为一简支梁，如图8-8(b)所示。所示。(3)建立平衡方程。建立平衡方程。工工程程力力学学8.48.4简单的超静定梁简单的超静定梁以图以图8-8(b)中所示静定梁作为研究对象，可以写出下列中所示静定梁作为研究对象，可以写出下列平衡方程：平衡方程：Fx0，FAx0Fy0FAyFBFCyql0(a)MC0FAylFBl/2qll/20(b)(4)比较解除约束前的超静定梁和解除约束后的静定梁，比较解除约束前的超静定梁和解除约束后的静定梁，建立变形协调条件。建立变形协调条件。工工程程力力学学8.48.4简单的超静定梁简单的超静定梁比较图比较图8-8(a)、(b)中所示两根梁，可以

273、看出，图中所示两根梁，可以看出，图8-8(b)中中的静定梁在的静定梁在B处的挠度必须等于零，梁的受力与变形才处的挠度必须等于零，梁的受力与变形才能相当。于是，可以写出变形协调条件为能相当。于是，可以写出变形协调条件为BB(q)B(FB)(c)式中，式中，B(q)为均布载荷为均布载荷q作用在静定梁上引起的作用在静定梁上引起的B处的处的挠度；挠度；B(FB)为多余约束力为多余约束力FB作用在静定梁上引起的作用在静定梁上引起的B处的挠度。处的挠度。(5)查表确定查表确定B(q)和和B(FC)。由挠度表由挠度表8-1查得查得B(q)5/384ql4/EI，B(FB)1/48FBl3/EI(d)联立求解

274、式联立求解式(a)、式、式(c)、式、式(d)，得到全部约束力：，得到全部约束力：FAx0，FAy3/16ql；FB5/8ql；FCy3/16ql。工工程程力力学学8.48.4简单的超静定梁简单的超静定梁(6)校核梁的强度。校核梁的强度。作梁的弯矩图，如图作梁的弯矩图，如图8-8(c)所示。由图可知，支座所示。由图可知，支座口处的截面为危险面，其上的弯矩值为口处的截面为危险面，其上的弯矩值为|M|max7.5106Nmm危险面上的最大正应力：危险面上的最大正应力：max|M|max/W32|M|max/d3327.5106103Nm/(100103m)3)76.4106Pa76.4MPamax

275、76.4MPa2 23 3。根据主应力的大小与方向可以确定材料何时发生失效根据主应力的大小与方向可以确定材料何时发生失效或破坏，确定失效或破坏的形式。因此，可以说主应或破坏，确定失效或破坏的形式。因此，可以说主应力是反映应力状态本质内涵的特征量。力是反映应力状态本质内涵的特征量。工工程程力力学学10.310.3应力状态中的主应力与最大切应力应力状态中的主应力与最大切应力l10.3.3 10.3.3 平面内最大切应力与一点的最大切应力平面内最大切应力与一点的最大切应力应用式应用式(10-8)(10-8)，可以得到，可以得到、和和三组方向面内的最三组方向面内的最大切应力分别为大切应力分别为(23)

276、/2(10-9)(13)/2(10-10)(12)/2(10-11)应用弹性力学理论可以证明，一点应力状态中的最大切应用弹性力学理论可以证明，一点应力状态中的最大切应力，必然是上述三者中最大的，即应力，必然是上述三者中最大的，即 maxmax(1 13 3)/2 )/2 (10-12)(10-12) 图10-5三组平面内的最大切应力工工程程力力学学10.410.4分析应力状态的应力圆方法分析应力状态的应力圆方法l10.4.110.4.1应力圆方程应力圆方程根据微元任意方向面上的正应力与切应力表达式根据微元任意方向面上的正应力与切应力表达式(10-(10-1)1)，有，有(x xy y)/2)/

277、2(x xy y)/2)/2coscos22sinsin22(xy)/2sin2cos2将第将第1 1式等号右边的第式等号右边的第1 1项移至等号的左边，然后将两项移至等号的左边，然后将两式平方后再相加，得到一个新的方程：式平方后再相加，得到一个新的方程： (x xy y)/2)/2(x xy y)/2)/2coscos22sinsin22 (x xy y)/2)/2sinsin22coscos2 2 (10-13)(10-13)工工程程力力学学10.410.4分析应力状态的应力圆方法分析应力状态的应力圆方法在以在以为横轴、为横轴、为纵轴的坐标系中，上述方程为纵轴的坐标系中，上述方程为圆方程。

278、这种圆称为应力圆为圆方程。这种圆称为应力圆( (stressstress circlecircle) )。应。应力圆的圆心坐标为力圆的圆心坐标为(x xy y)/2,0)/2,0)。应力圆的半径。应力圆的半径为为 。应力圆最早由德国工程师莫尔应力圆最早由德国工程师莫尔( (MohrMohr. .O,O,183518351918)1918)提出的，故又称为莫尔应力圆，也可简称为莫尔圆。提出的，故又称为莫尔应力圆，也可简称为莫尔圆。工工程程力力学学10.410.4分析应力状态的应力圆方法分析应力状态的应力圆方法l10.4.210.4.2应力圆的画法应力圆的画法假设应力圆上点假设应力圆上点a a的坐

279、标对应着微元的坐标对应着微元A A面上的应力面上的应力(x x，)。将点。将点a a与圆心与圆心c c相连，并延长相连，并延长acac交应力圆于点交应力圆于点d d。根据图中的几何关系，不难证明，应力圆上点。根据图中的几何关系，不难证明，应力圆上点d d坐坐标对应微元标对应微元D D面上的应力面上的应力(y y，)。根据上述类比，不难得到平面应力状态与其应力圆的根据上述类比，不难得到平面应力状态与其应力圆的几种对应关系：几种对应关系：(1)点面对应：应力圆上某一点的坐标值对应着微元点面对应：应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和切应力值。某一方向面上的正应力和切应力值。工工程程

280、力力学学10.410.4分析应力状态的应力圆方法分析应力状态的应力圆方法(2)转向对应：应力圆半径旋转时，半径端点的坐标转向对应：应力圆半径旋转时，半径端点的坐标随之改变，对应地，微元上方向面的法线亦沿相同随之改变，对应地，微元上方向面的法线亦沿相同方向旋转，才能保证方向面上的应力与应力圆上半方向旋转，才能保证方向面上的应力与应力圆上半径端点的坐标相对应。径端点的坐标相对应。(3)二倍角对应：应力圆上半径转过的角度，等于方二倍角对应：应力圆上半径转过的角度，等于方向面法线旋转角度的二倍。向面法线旋转角度的二倍。l10.4.310.4.3应力圆的应用应力圆的应用基于上述对应关系，不仅可以根据微元

281、两相互垂直面基于上述对应关系，不仅可以根据微元两相互垂直面上的应力确定应力圆上一直径上的两端点，并由此确上的应力确定应力圆上一直径上的两端点，并由此确定圆心定圆心c c，进而画出应力圆，从而使应力图绘制过程，进而画出应力圆，从而使应力图绘制过程大为简化，而且还可以确定任意方向面上的正应力和大为简化，而且还可以确定任意方向面上的正应力和切应力以及主应力和面内最大切应力。切应力以及主应力和面内最大切应力。工工程程力力学学10.5 10.5 复杂应力状态下的应力复杂应力状态下的应力- -应变关系应变能密度应变关系应变能密度l10.5.110.5.1广义胡克定律广义胡克定律根据各向同性材料在弹性范围内

282、应力根据各向同性材料在弹性范围内应力- -应变关系的试应变关系的试验结果，可以得到单向应力状态下微元沿正应力方向验结果，可以得到单向应力状态下微元沿正应力方向的正应变为的正应变为 x xx x/E/E试验结果还表明，在试验结果还表明，在x x作用下，除作用下，除x x方向的正应变外，方向的正应变外，在与其垂直的在与其垂直的y y、z z方向亦有反号的正应变方向亦有反号的正应变y y、z z存存在，二者与在，二者与x x之间存在下列关系：之间存在下列关系：yxx/Ezxx/E式中，式中，v为材料的泊松比，对于各向同性材料，上为材料的泊松比，对于各向同性材料，上述二式中的泊松比是相同的。述二式中的

283、泊松比是相同的。工工程程力力学学10.5 10.5 复杂应力状态下的应力复杂应力状态下的应力- -应变关系应变能密度应变关系应变能密度对于纯切应力状态，前已提到切应力和切应变在弹性范对于纯切应力状态，前已提到切应力和切应变在弹性范围也存在比例关系，即围也存在比例关系，即/G/G在小变形条件下，考虑到正应力与切应力所引起的正应在小变形条件下，考虑到正应力与切应力所引起的正应变和切应变，都是相互独立的。因此，应用叠加原理，变和切应变，都是相互独立的。因此，应用叠加原理，可以得到图可以得到图10-10(10-10(a a) )所示一般应力所示一般应力( (三向应力三向应力) )状态下的状态下的应力应

284、力- -应变关系，即应变关系，即 x x1/E(1/E(x x(y yz z) y y1/E(1/E(y y(z zx x) z z1/E(1/E(z z(x xy y) xyxyxyxy/G/G xzxzxzxz/G/G yzyzyzyz/G /G (10-14)(10-14)上式称为一般应力状态下的广义胡克定律。上式称为一般应力状态下的广义胡克定律。工工程程力力学学10.5 10.5 复杂应力状态下的应力复杂应力状态下的应力- -应变关系应变能密度应变关系应变能密度l10.5.210.5.2各向同性材料各弹性常数之间的关系各向同性材料各弹性常数之间的关系对于同一种各向同性材料，广义胡克定律

285、中的三个弹对于同一种各向同性材料，广义胡克定律中的三个弹性常数并不完全独立，它们之间存在下列关系：性常数并不完全独立，它们之间存在下列关系： G GE/2(1E/2(1) ) (10-17)(10-17)需要指出的是，对于绝大多数各向同性材料，泊松比需要指出的是，对于绝大多数各向同性材料，泊松比一般在一般在0 00.50.5之间取值。因此，切变模量之间取值。因此，切变模量G G的取值范的取值范围为：围为：E/3GE/2E/3GFFPcrPcr时，发生弹性屈曲，即当载荷去除时，发生弹性屈曲，即当载荷去除后，杆仍能由弯曲平衡构形回复到初始直线平衡构形。后，杆仍能由弯曲平衡构形回复到初始直线平衡构形

286、。细长杆承受压缩载荷时，载荷与侧向屈曲位移之间的细长杆承受压缩载荷时，载荷与侧向屈曲位移之间的关系如图关系如图11-2(11-2(a a) )所示。所示。(2)(2)中长杆：发生弹塑性屈曲。当外加载荷中长杆：发生弹塑性屈曲。当外加载荷F FP PFFPcrPcr时，时，中长杆也会发生屈曲，但不再是弹性的，这是因为此中长杆也会发生屈曲，但不再是弹性的，这是因为此时压杆上的某些部分已经出现塑性变形。中长杆承受时压杆上的某些部分已经出现塑性变形。中长杆承受压缩载荷时，载荷与侧向屈曲位移之间的关系如图压缩载荷时，载荷与侧向屈曲位移之间的关系如图11-11-2(2(b b) )所示。所示。(3)(3)粗

287、短杆：不发生屈曲，而发生屈服。粗短杆承受压粗短杆：不发生屈曲，而发生屈服。粗短杆承受压缩载荷时，载荷与轴向变形关系曲线如图缩载荷时，载荷与轴向变形关系曲线如图11-2(11-2(c c) )所示所示。工工程程力力学学11.111.1弹性平衡稳定性的基本概念弹性平衡稳定性的基本概念显然，上述三类压杆的失效形式不同，临界载荷也各显然，上述三类压杆的失效形式不同，临界载荷也各不相同。不相同。图图11-2三类压杆不同的临界状态三类压杆不同的临界状态工工程程力力学学11.211.2细长压杆的临界载荷细长压杆的临界载荷欧拉临界力欧拉临界力l11.2.111.2.1两端铰支的细长压杆两端铰支的细长压杆当当n

288、 n1 1时，所得到的就是具有实际意义的、最小的临时，所得到的就是具有实际意义的、最小的临界载荷计算公式：界载荷计算公式：FPcr2EI/l2(11-6)上述二式中，上述二式中，E E为压杆材料的弹性模量；为压杆材料的弹性模量；I I为压杆横截为压杆横截面的形心主惯性矩，如果两端在各个方向上的约束都面的形心主惯性矩，如果两端在各个方向上的约束都相同，相同，I I则为压杆横截面的最小形心主惯性矩。则为压杆横截面的最小形心主惯性矩。工工程程力力学学11.211.2细长压杆的临界载荷细长压杆的临界载荷欧拉临界力欧拉临界力从式从式( (c c) )中的第中的第1 1式解出式解出B B0 0，连同，连同

289、k kn n/l/l一起代一起代入式入式(11-3)(11-3)，得到与直线平衡构形无限接近的屈曲，得到与直线平衡构形无限接近的屈曲位移函数，又称为屈曲模态位移函数，又称为屈曲模态( (bucklingbuckling modemode) )：(x)Asin(11-7)式中，式中，A为不定常数，称为屈曲模态幅值；为不定常数，称为屈曲模态幅值；n为屈为屈曲模态的正弦半波数。曲模态的正弦半波数。式式(11-7)(11-7)表明，与直线平衡构形无限接近的微弯屈表明，与直线平衡构形无限接近的微弯屈曲位移是不确定的，这与本小节一开始所假定的任曲位移是不确定的，这与本小节一开始所假定的任意微弯屈曲构形是一

290、致的。意微弯屈曲构形是一致的。工工程程力力学学11.211.2细长压杆的临界载荷细长压杆的临界载荷欧拉临界力欧拉临界力l11.2.211.2.2其他刚性支承细长压杆临界载荷的通其他刚性支承细长压杆临界载荷的通用公式用公式不同刚性支承条件下的压杆，由静力学平衡方法得到不同刚性支承条件下的压杆，由静力学平衡方法得到的平衡微分方程和端部的约束条件都可能各不相同，的平衡微分方程和端部的约束条件都可能各不相同，确定临界载荷的表达式亦因此而异，但基本分析方法确定临界载荷的表达式亦因此而异，但基本分析方法和分析过程却是相同的。和分析过程却是相同的。对于细长杆，这些公式可以写成通用形式：对于细长杆，这些公式可

291、以写成通用形式：FPcr2EI/(l)2(11-8)这一表达式称为欧拉公式。其中这一表达式称为欧拉公式。其中ll为不同压杆屈曲为不同压杆屈曲后挠曲线上正弦半波的长度，称为有效长度；后挠曲线上正弦半波的长度，称为有效长度；为反为反映不同支承影响的系数，称为长度系数，可由屈曲后映不同支承影响的系数，称为长度系数，可由屈曲后的正弦半波长度与两端铰支压杆初始屈曲时的正弦半的正弦半波长度与两端铰支压杆初始屈曲时的正弦半波长度的比值确定。波长度的比值确定。工工程程力力学学11.311.3长细比的概念、三类不同压杆的判断长细比的概念、三类不同压杆的判断l11.3.111.3.1长细比的定义与概念长细比的定义

292、与概念长细比用长细比用表示，由下式确定：表示，由下式确定：l/I(11-10)式中，式中，i为压杆横截面的惯性半径：为压杆横截面的惯性半径：iI/A(11-11)上述二式中：上述二式中：为反映不同支承影响的长度系数；为反映不同支承影响的长度系数；l l为压杆的长度；为压杆的长度；i i是全面反映压杆横截面形状与尺寸是全面反映压杆横截面形状与尺寸的几何量。所以，长细比是一个综合反映压杆长度、的几何量。所以，长细比是一个综合反映压杆长度、约束条件、截面尺寸和截面形状对压杆临界载荷影响约束条件、截面尺寸和截面形状对压杆临界载荷影响的量。的量。工工程程力力学学11.311.3长细比的概念、三类不同压杆

293、的判断长细比的概念、三类不同压杆的判断l11.3.211.3.2三类不同压杆的区分三类不同压杆的区分根据长细比的大小可以将压杆分成三类，并且可以判根据长细比的大小可以将压杆分成三类，并且可以判断和预测三类压杆将发生不同形式的失效。三类压杆断和预测三类压杆将发生不同形式的失效。三类压杆是：是：(1)细长杆：当压杆的长细比细长杆：当压杆的长细比大于或等于某个极限大于或等于某个极限值值P时，即时，即P压杆将发生弹性屈曲。这时，压杆在直线平衡压杆将发生弹性屈曲。这时，压杆在直线平衡构形下横截面上的正应力不超过材料的比例极限，构形下横截面上的正应力不超过材料的比例极限，这类压杆称为细长杆。这类压杆称为细

294、长杆。工工程程力力学学11.311.3长细比的概念、三类不同压杆的判断长细比的概念、三类不同压杆的判断(2)中长杆：当压杆的长细比中长杆：当压杆的长细比小于小于P，但大于或等于另，但大于或等于另一个极限值一个极限值s时，即时，即sP压杆也会发生屈曲。这时，压杆在直线平衡构形压杆也会发生屈曲。这时，压杆在直线平衡构形下横截面上的正应力已经超过材料的比例极限，截面下横截面上的正应力已经超过材料的比例极限，截面上某些部分已进入塑性状态。这种屈曲称为非弹性屈上某些部分已进入塑性状态。这种屈曲称为非弹性屈曲。这类压杆称为中长杆。曲。这类压杆称为中长杆。(3)粗短杆：柔度粗短杆：柔度小于极限值小于极限值s

295、时，即时，即s压杆不会发生屈曲，但将会发生屈服。这类压杆压杆不会发生屈曲，但将会发生屈服。这类压杆称为粗短杆。称为粗短杆。工工程程力力学学11.311.3长细比的概念、三类不同压杆的判断长细比的概念、三类不同压杆的判断l11.3.311.3.3三类压杆的临界应力公式三类压杆的临界应力公式对于细长杆，根据临界应力公式对于细长杆，根据临界应力公式(11-9)(11-9)和欧拉公式和欧拉公式(11-8)(11-8)有有cr2E/2(11-12)对于中长杆，由于发生了塑性变形，理论计算比较复对于中长杆，由于发生了塑性变形，理论计算比较复杂，工程中大多采用经验公式计算其临界应力，最常杂，工程中大多采用经

296、验公式计算其临界应力，最常用是直线公式：用是直线公式：crab(11-13)式中，式中，a和和b为与材料有关的常数，单位为为与材料有关的常数，单位为MPa。常。常用工程材料的用工程材料的a和和b数值列于表数值列于表11-1中。中。工工程程力力学学11.311.3长细比的概念、三类不同压杆的判断长细比的概念、三类不同压杆的判断对于粗短杆，因为不发生屈曲，而只发生屈服对于粗短杆，因为不发生屈曲，而只发生屈服( (韧性韧性材料材料) )，故其临界应力即为材料的屈服应力，亦即，故其临界应力即为材料的屈服应力，亦即crs(11-14)将上述各式乘以压杆的横截面面积，即得到三类压将上述各式乘以压杆的横截面

297、面积，即得到三类压杆的临界载荷。杆的临界载荷。工工程程力力学学11.311.3长细比的概念、三类不同压杆的判断长细比的概念、三类不同压杆的判断l11.3.411.3.4临界应力总图与临界应力总图与p p、s s值的确定值的确定根据三种压杆的临界应力表达式，在根据三种压杆的临界应力表达式，在OOcrcr坐标系中坐标系中可以作出可以作出crcr-关系曲线，称为临界应力总图，如图关系曲线，称为临界应力总图，如图11-511-5所示。所示。根据临界应力总图中所示之根据临界应力总图中所示之crcr-关系，可以确定区关系，可以确定区分不同材料三类压杆长细比的极限值分不同材料三类压杆长细比的极限值P P、s

298、 s。令细长杆的临界应力等于材料的比例极限令细长杆的临界应力等于材料的比例极限( (图图11-511-5中中的的B B点点) )：cr2E/2PP(11-15)工工程程力力学学11.311.3长细比的概念、三类不同压杆的判断长细比的概念、三类不同压杆的判断对于不同的材料，由于对于不同的材料，由于E E、P P各不相同，各不相同，P P的数值的数值亦不相同。一旦给定亦不相同。一旦给定E E、P P，即可算得，即可算得P P。例如，。例如，对于对于Q Q235235钢，钢，E E206206GPaGPa、P P200200MPaMPa，由式，由式(11-15)(11-15)算得算得P P10110

299、1。若令中长杆的临界应力等于屈服强度若令中长杆的临界应力等于屈服强度( (图图11-511-5中的中的A A点点) )得到得到 crcra abbs s得到得到 s s(a(as s)/b )/b (11-16)(11-16)例如，对于例如，对于Q Q235235钢，钢，s s235235MPaMPa，a a304304MPaMPa，b b1.121.12MPaMPa，由上式可以算得，由上式可以算得s s61.661.6。工工程程力力学学11.411.4压杆的稳定性设计压杆的稳定性设计l11.4.111.4.1压杆稳定性设计内容压杆稳定性设计内容稳定性设计一般包括：稳定性设计一般包括：(1)确

300、定临界载荷：当压杆的材料、约束以及几何尺确定临界载荷：当压杆的材料、约束以及几何尺寸已知时，根据三类不同压杆的临界应力公式寸已知时，根据三类不同压杆的临界应力公式式式(11-12)式式(11-14)，确定压杆的临界载荷。，确定压杆的临界载荷。(2)稳定性安全校核：当外加载荷、杆件各部分尺寸、稳定性安全校核：当外加载荷、杆件各部分尺寸、约束以及材料性能均为已知时，验证压杆是否满足约束以及材料性能均为已知时，验证压杆是否满足稳定性设计准则。稳定性设计准则。工工程程力力学学11.411.4压杆的稳定性设计压杆的稳定性设计l11.4.211.4.2安全因数法与稳定性设计准则安全因数法与稳定性设计准则为

301、了保证压杆具有足够的稳定性，设计中必须使杆件为了保证压杆具有足够的稳定性，设计中必须使杆件所承受的实际压缩载荷所承受的实际压缩载荷( (又称为工作载荷又称为工作载荷) )小于杆件的小于杆件的临界载荷，并且具有一定的安全裕度。临界载荷，并且具有一定的安全裕度。压杆的稳定性设计一般采用安全因数法与稳定系数法。压杆的稳定性设计一般采用安全因数法与稳定系数法。本书只介绍安全因数法。本书只介绍安全因数法。采用安全因数法时，稳定性设计准则一般可表示为采用安全因数法时，稳定性设计准则一般可表示为nwnst(11-17)工工程程力力学学11.411.4压杆的稳定性设计压杆的稳定性设计式中，式中，n nw w为

302、工作安全因数，由下式确定：为工作安全因数，由下式确定：nwFPcr/FcrA/F(11-18)其中，其中，F F为压杆的工作载荷；为压杆的工作载荷；A A为压杆的横截面面积。为压杆的横截面面积。式式(11-17)(11-17)中，中，nnstst为规定的稳定安全因数。在静载为规定的稳定安全因数。在静载荷作用下，稳定安全因数应略高于强度安全因数。这荷作用下，稳定安全因数应略高于强度安全因数。这是因为，实际压杆不可能是理想直杆，而是具有一定是因为，实际压杆不可能是理想直杆，而是具有一定的初始缺陷的初始缺陷( (例如初曲率例如初曲率) )，压缩载荷也可能具有一定，压缩载荷也可能具有一定的偏心度。这些

303、因素都会使压杆的临界载荷降低。对的偏心度。这些因素都会使压杆的临界载荷降低。对于钢材，取于钢材，取nnstst1.81.83.03.0；对于铸铁，取；对于铸铁，取nnstst5.05.05.55.5；对于木材，取；对于木材，取nnstst2.82.83.23.2。工工程程力力学学11.411.4压杆的稳定性设计压杆的稳定性设计l11.4.311.4.3压杆稳定性设计过程压杆稳定性设计过程根据上述设计准则，进行压杆的稳定性设计，首先必根据上述设计准则，进行压杆的稳定性设计，首先必须根据材料的弹性模量与比例极限须根据材料的弹性模量与比例极限E E、p p、s s由式由式(11-15)(11-15)

304、和式和式(11-16)(11-16)计算出长细比的极限值计算出长细比的极限值p p、s s；再根据压杆的长度再根据压杆的长度l l、横截面的惯性矩、横截面的惯性矩I I和面积和面积A A以及两以及两端的支承条件端的支承条件，计算压杆的实际长细比，计算压杆的实际长细比；然后比；然后比较压杆的实际长细比值与极限值，判断属于哪一类压较压杆的实际长细比值与极限值，判断属于哪一类压杆，选择合适的临界应力公式，确定临界载荷；最后，杆，选择合适的临界应力公式，确定临界载荷；最后，由式由式(11(1118)18)计算压杆的工作安全因数，并验算是否计算压杆的工作安全因数，并验算是否满足稳定性设计准则式满足稳定性

305、设计准则式(11-17)(11-17)。对于简单结构，则需应用受力分析方法，首先确定哪对于简单结构，则需应用受力分析方法，首先确定哪些杆件承受压缩载荷，然后再按上述过程进行稳定性些杆件承受压缩载荷，然后再按上述过程进行稳定性计算与设计。计算与设计。工工程程力力学学11.511.5压杆稳定性分析与稳定性设计示例压杆稳定性分析与稳定性设计示例l11.511.5压杆稳定性分析与稳定性设计示例压杆稳定性分析与稳定性设计示例【例题【例题11-111-1】图】图11-611-6所示压杆，其直径均为所示压杆，其直径均为d d，材料都，材料都是是Q Q235235钢，但二者长度和约束条件各不相同。试求：钢，但

306、二者长度和约束条件各不相同。试求： (1) (1)分析哪一根杆的临界载荷较大。分析哪一根杆的临界载荷较大。 (2) (2)计算计算d d160160mmmm，E E206206GPaGPa时，两杆的临界载荷。时，两杆的临界载荷。图图11-6例题例题11-1图图工工程程力力学学11.511.5压杆稳定性分析与稳定性设计示例压杆稳定性分析与稳定性设计示例解：解：(1)计算长细比，判断哪一根杆的临界载荷大。计算长细比，判断哪一根杆的临界载荷大。因为因为l/i，其中，其中iI/A，而二者均为圆截面且直径相同，而二者均为圆截面且直径相同，故有故有因二者约束条件和杆长都不相同，所以因二者约束条件和杆长都不

307、相同，所以也不一定相同。也不一定相同。对于两端铰支的压杆对于两端铰支的压杆见图见图11-6(a)，1，l5000mm，即即对于两端固定的压杆，如图对于两端固定的压杆，如图11-6(b)所示，所示，0.5，l9000mm，即，即al/i120m/d可见本例中两端铰支压杆的临界载荷，小于两端固定压可见本例中两端铰支压杆的临界载荷，小于两端固定压杆的临界载荷。杆的临界载荷。工工程程力力学学11.511.5压杆稳定性分析与稳定性设计示例压杆稳定性分析与稳定性设计示例(2)计算各杆的临界载荷。计算各杆的临界载荷。对于两端铰支的压杆对于两端铰支的压杆al/i120m/0.16m125P101属于细长杆，利

308、用欧拉公式计算临界力属于细长杆，利用欧拉公式计算临界力FPcrcrA2E/2d2/4(2206109Pa)/1252(160103m)2/42.6106N2.60103kN对于两端固定的压杆：对于两端固定的压杆：al/i18m/0.16m112.5P101也属于细长杆：也属于细长杆：FPcrcrA2E/2d2/42206109Pa/1252(160103m)2/43.21106N3.21103kN工工程程力力学学11.611.6结论与讨论结论与讨论l11.6.111.6.1稳定性计算的重要性稳定性计算的重要性由于受压杆的失稳而使整个结构发生坍塌，不仅会造由于受压杆的失稳而使整个结构发生坍塌，不

309、仅会造成物质上的巨大损失，而且还危及人民的生命安全。成物质上的巨大损失，而且还危及人民的生命安全。在在1919世纪末，瑞士的一座铁桥，当一辆客车通过时，世纪末，瑞士的一座铁桥，当一辆客车通过时，桥衍架中的压杆失稳，致使桥发生灾难性坍塌，大约桥衍架中的压杆失稳，致使桥发生灾难性坍塌，大约200200人遇难。加拿大和俄国的一些铁路桥梁也曾经由人遇难。加拿大和俄国的一些铁路桥梁也曾经由于压杆失稳而造成灾难性事故。于压杆失稳而造成灾难性事故。工工程程力力学学11.611.6结论与讨论结论与讨论l11.6.211.6.2影响压杆承载能力的因素影响压杆承载能力的因素(1)(1)对于细长杆，由于其临界载荷为

310、对于细长杆，由于其临界载荷为FPcr2EI/(l)2所以，影响承载能力的因素较多。临界载荷不仅与所以，影响承载能力的因素较多。临界载荷不仅与材料的弹性模量材料的弹性模量(E)有关，而且与长细比有关。长细有关，而且与长细比有关。长细比包含了截面形状、几何尺寸以及约束条件等多种比包含了截面形状、几何尺寸以及约束条件等多种因素。因素。工工程程力力学学11.611.6结论与讨论结论与讨论(2)(2)对于中长杆，临界载荷为对于中长杆，临界载荷为FPcrcrA(ab)A影响其承载能力的主要因素是材料常数影响其承载能力的主要因素是材料常数a和和b以及压以及压杆的长细比，当然还有压杆的横截面面积。杆的长细比，

311、当然还有压杆的横截面面积。(3)(3)对于粗短杆，因为不发生屈曲，而只发生屈服或对于粗短杆，因为不发生屈曲，而只发生屈服或破坏，故有破坏，故有 F FPcrPcrcrcrA As sA A临界载荷主要取决于材料的屈服强度和杆件的横截临界载荷主要取决于材料的屈服强度和杆件的横截面面积。面面积。工工程程力力学学11.611.6结论与讨论结论与讨论l11.6.311.6.3提高压杆承载能力的主要途径提高压杆承载能力的主要途径1.1.尽量减小压杆杆长尽量减小压杆杆长2.2.增强支承的刚性增强支承的刚性3.3.选择截面形状选择截面形状4.4.合理选用材料合理选用材料工工程程力力学学11.611.6结论与

312、讨论结论与讨论l11.6.411.6.4稳定性计算中需要注意的几个重要问稳定性计算中需要注意的几个重要问题题(1)(1)正确地进行受力分析，准确地判断结构中哪些杆正确地进行受力分析，准确地判断结构中哪些杆件承受压缩载荷，对于这些杆件必须按稳定性设计准件承受压缩载荷，对于这些杆件必须按稳定性设计准则进行稳定性计算或稳定性设计。则进行稳定性计算或稳定性设计。(2)(2)要根据压杆端部约束条件以及截面的几何形状，要根据压杆端部约束条件以及截面的几何形状，正确判断可能在哪一个平面内发生屈曲，从而确定欧正确判断可能在哪一个平面内发生屈曲，从而确定欧拉公式中的截面惯性矩或压杆的长细比。拉公式中的截面惯性矩

313、或压杆的长细比。(3)(3)确定压杆的长细比，判断属于哪一类压杆，采用确定压杆的长细比，判断属于哪一类压杆，采用合适的临界应力公式计算临界载荷。合适的临界应力公式计算临界载荷。工工程程力力学学11.611.6结论与讨论结论与讨论(4)(4)应用稳定性设计准则进行稳定安全校核或设计应用稳定性设计准则进行稳定安全校核或设计压杆横截面尺寸。压杆横截面尺寸。(5)(5)要注意综合性问题，工程结构中往往既有强度要注意综合性问题，工程结构中往往既有强度问题又有稳定问题；或者既有刚度问题又有稳定问问题又有稳定问题；或者既有刚度问题又有稳定问题。有时稳定问题又包含在超静定问题之中。题。有时稳定问题又包含在超静

314、定问题之中。工工程程力力学学第十二章第十二章 动载荷与疲荷与疲劳强度度简介介12.1 等加速度直等加速度直线运运动时构件上的构件上的动载荷与荷与动应力力12.2 旋旋转构件的构件的动载荷与荷与动应力力12.3 冲冲击荷荷载与冲与冲击应力概述力概述12.4 疲疲劳失效特征与原因分析失效特征与原因分析12.5 影响疲影响疲劳寿命的因素寿命的因素12.6 有限寿命有限寿命设计与无与无线寿命寿命设计12.7 结论与与讨论第第十十二二章章工工程程力力学学12.1 12.1 等加速度直线运动时构件上的动载荷与动应力等加速度直线运动时构件上的动载荷与动应力l12.112.1等加速度直线运动时构件上的动载荷与

315、等加速度直线运动时构件上的动载荷与动应力动应力对于以等加速度作直线运动的构件，只要确定其上各对于以等加速度作直线运动的构件，只要确定其上各点的加速度点的加速度a a，就可以应用达朗贝尔原理施加惯性力，就可以应用达朗贝尔原理施加惯性力，如果为集中质量如果为集中质量m m，则惯性力为集中力，即，则惯性力为集中力，即 F F1 1ma ma (12-1)(12-1)如果是连续分布质量，则作用在质量微元上的惯性力如果是连续分布质量，则作用在质量微元上的惯性力为为 d dF F1 1d(d(mama) ) (12-2)(12-2)然后，按照静载荷作用下的应力分析方法对构件进行然后，按照静载荷作用下的应力

316、分析方法对构件进行应力计算以及强度与刚度设计。应力计算以及强度与刚度设计。工工程程力力学学12.212.2旋转构件的动载荷与动应力旋转构件的动载荷与动应力l12.212.2旋转构件的动载荷与动应力旋转构件的动载荷与动应力旋转构件由于动应力而引起的失效问题在工程中也是旋转构件由于动应力而引起的失效问题在工程中也是很常见的。处理这类问题时，首先是分析构件的运动，很常见的。处理这类问题时，首先是分析构件的运动，确定其加速度；然后应用达朗贝尔原理，在构件上施确定其加速度；然后应用达朗贝尔原理，在构件上施加惯性力；最后按照静载荷的分析方法，确定构件的加惯性力；最后按照静载荷的分析方法，确定构件的内力和应

317、力。内力和应力。为保证飞轮具有足够的强度，对飞轮轮缘点的速度必为保证飞轮具有足够的强度，对飞轮轮缘点的速度必须加以限制，使之满足式须加以限制，使之满足式(12-8)(12-8)。工程上将这一速度。工程上将这一速度称为极限速度，对应的转动速度称为极限转速。称为极限速度，对应的转动速度称为极限转速。飞轮中的总应力与轮缘的横截面积无关。因此，增加飞轮中的总应力与轮缘的横截面积无关。因此，增加轮缘部分的横截面积，无助于降低飞轮轮缘横截面上轮缘部分的横截面积，无助于降低飞轮轮缘横截面上的总应力，对于提高飞轮的强度没有任何意义。的总应力，对于提高飞轮的强度没有任何意义。工工程程力力学学12.312.3冲击

318、载荷与冲击应力概述冲击载荷与冲击应力概述l12.3.112.3.1基本原理基本原理具有一定速度的运动物体，向着静止的构件冲击时，具有一定速度的运动物体，向着静止的构件冲击时，冲击物的速度在很短的时间内发生了很大变化，即：冲击物的速度在很短的时间内发生了很大变化，即：冲击物得到了很大的负值加速度。这表明，冲击物受冲击物得到了很大的负值加速度。这表明，冲击物受到与其运动方向相反的很大的力作用。同时，冲击物到与其运动方向相反的很大的力作用。同时，冲击物也将很大的力施加于被冲击的构件上。这种力，在工也将很大的力施加于被冲击的构件上。这种力，在工程上被称为程上被称为“冲击力冲击力”或或“冲击载荷冲击载荷

319、”。工工程程力力学学12.312.3冲击载荷与冲击应力概述冲击载荷与冲击应力概述由于冲击过程中，构件上的应力和变形分布比较复杂，由于冲击过程中，构件上的应力和变形分布比较复杂，因此，精确地计算冲击载荷以及被冲击构件中由冲击因此，精确地计算冲击载荷以及被冲击构件中由冲击载荷引起的应力和变形是很困难的。工程中大都采用载荷引起的应力和变形是很困难的。工程中大都采用简化计算方法，这种简化计算基于以下假设：简化计算方法，这种简化计算基于以下假设：(1)假设冲击物的变形可以忽略不计；从开始冲击到假设冲击物的变形可以忽略不计；从开始冲击到冲击产生最大位移时，冲击物与被冲击构件一起运冲击产生最大位移时，冲击物

320、与被冲击构件一起运动，而不发生回弹。动，而不发生回弹。(2)忽略被冲击构件的质量，认为冲击载荷引起的应忽略被冲击构件的质量，认为冲击载荷引起的应力和变形，在冲击瞬时遍及被冲击构件；并假设被力和变形，在冲击瞬时遍及被冲击构件；并假设被冲击构件仍处在弹性范围内。冲击构件仍处在弹性范围内。(3)假设冲击过程中没有其他形式的能量转换，机械假设冲击过程中没有其他形式的能量转换，机械能守恒定律仍成立。能守恒定律仍成立。工工程程力力学学12.312.3冲击载荷与冲击应力概述冲击载荷与冲击应力概述l12.3.212.3.2机械能守恒定律的应用机械能守恒定律的应用现以简支梁为例，说明应用机械能守恒定律计算冲现以

321、简支梁为例，说明应用机械能守恒定律计算冲击载荷的简化方法。击载荷的简化方法。图图12-412-4所示之简支梁，在其上方高度所示之简支梁，在其上方高度h h处，有一重力处，有一重力为为F FW W的物体，自由下落后，冲击在梁的中点。的物体，自由下落后，冲击在梁的中点。图图12-4冲击载荷的简化计算方法冲击载荷的简化计算方法工工程程力力学学12.312.3冲击载荷与冲击应力概述冲击载荷与冲击应力概述冲击终了时，冲击载荷及梁中点的位移都达到最大冲击终了时，冲击载荷及梁中点的位移都达到最大值，二者分别用值，二者分别用F Fd d和和d d表示，其中的下标表示，其中的下标d d表示冲击表示冲击力引起的动

322、载荷，以区别惯性力引起的动载荷。力引起的动载荷，以区别惯性力引起的动载荷。该梁可以视为一线性弹簧，弹簧的刚度系数为该梁可以视为一线性弹簧，弹簧的刚度系数为k k。设冲击之前梁没有发生变形时的位置为位置设冲击之前梁没有发生变形时的位置为位置1 1；冲击；冲击终了的瞬时，即梁和重物运动到梁的最大变形时的终了的瞬时，即梁和重物运动到梁的最大变形时的位置为位置位置为位置2 2。考察在这两个位置时系统的动能和势。考察在这两个位置时系统的动能和势能。能。重物下落前和冲击终了时，其速度均为零，因而在重物下落前和冲击终了时，其速度均为零，因而在位置位置1 1和和2 2，系统的动能均为零，即，系统的动能均为零，

323、即 T T1 1T T2 20 0 (a)(a)工工程程力力学学12.312.3冲击载荷与冲击应力概述冲击载荷与冲击应力概述以位置以位置1 1为势能零点，即系统在位置为势能零点，即系统在位置1 1的势能为零，的势能为零，即即V10(b)重物和梁重物和梁( (弹簧弹簧) )在位置在位置2 2时的势能分别记为时的势能分别记为V V2 2( (F FW W) )和和V V2 2( (k k) )，即，即V2(FW)FW(hd)(c)V2(k)(d)上述两式中，上述两式中，V V2 2( (F FW W) )为重物的重力从位置为重物的重力从位置2 2回到位置回到位置1(1(势能零点势能零点) )所做的

324、功，因为力与位移方向相反，故所做的功，因为力与位移方向相反，故为负值；为负值；V V2 2( (k k) )为梁发生变形为梁发生变形( (从位置从位置1 1到位置到位置2)2)后，后，储存在梁内的应变能，又称为弹性势能，数值上等储存在梁内的应变能，又称为弹性势能，数值上等于冲击力从位置于冲击力从位置1 1到位置到位置2 2时所做的功。时所做的功。工工程程力力学学12.312.3冲击载荷与冲击应力概述冲击载荷与冲击应力概述因为假设在冲击过程中，被冲击构件仍在弹性范围因为假设在冲击过程中，被冲击构件仍在弹性范围内，故冲击力内，故冲击力F Fd d和冲击位移和冲击位移d d之间存在线性关系，之间存在

325、线性关系，即即Fdkd(e)这一表达式与静载荷作用下力和位移的关系相似，这一表达式与静载荷作用下力和位移的关系相似，即即Fsks(f)式式(e)(e)、(f)(f)中，中，k k为类似线性弹簧刚度系数，动载与为类似线性弹簧刚度系数，动载与静载时弹簧的刚度系数相同；式静载时弹簧的刚度系数相同；式(f)(f)中的中的s s为为F Fd d作为作为静载施加在冲击处时，梁在该处的位移。静载施加在冲击处时，梁在该处的位移。工工程程力力学学12.312.3冲击载荷与冲击应力概述冲击载荷与冲击应力概述因为系统上只作用有惯性力和重力，二者均为保守因为系统上只作用有惯性力和重力，二者均为保守力。故重物下落前力。

326、故重物下落前( (位置位置1)1)到冲击终了后到冲击终了后( (位置位置2)2)，系统的机械能守恒，即系统的机械能守恒，即T1V1T2V2(g)将式将式(a)(a)、(b)(b)、(c)(c)、(d)(d)代入式代入式(g)(g)后，有后，有 1/2k 1/2kF FW W(h(hd d) )0 0 ( (h h) )再从式再从式(f)(f)中解出常数中解出常数k k，并且考虑到静载荷时，并且考虑到静载荷时F Fs sF FW W，一并代入上式，即可消去常数，一并代入上式，即可消去常数k k，从而得到关于，从而得到关于 d d的二次方程，即的二次方程，即 2 2s sd d2 2s sh h0

327、 (i)0 (i)工工程程力力学学12.312.3冲击载荷与冲击应力概述冲击载荷与冲击应力概述由此解出由此解出ds(12-9)根据解式根据解式(12-9)(12-9)以及式以及式(e)(e)和和(f)(f)，得到，得到FdFsd/sFW(12-10)这一结果表明，最大冲击载荷与静位移有关，即与梁这一结果表明，最大冲击载荷与静位移有关，即与梁的刚度有关：梁的刚度越小，静位移越大，冲击载荷的刚度有关：梁的刚度越小，静位移越大，冲击载荷将相应地减小。设计承受冲击载荷的构件时，应当充将相应地减小。设计承受冲击载荷的构件时，应当充分利用这一特性，以减小构件所承受的冲击力。分利用这一特性，以减小构件所承受

328、的冲击力。若令式若令式(12(1210)10)中中h h0 0，得到，得到Fd2FW(12-11)这等于将重物突然放置在梁上，这时梁上的实际载荷这等于将重物突然放置在梁上，这时梁上的实际载荷是重物重力的两倍。这时载荷称为突加载荷。是重物重力的两倍。这时载荷称为突加载荷。工工程程力力学学12.312.3冲击载荷与冲击应力概述冲击载荷与冲击应力概述l12.3.312.3.3冲击动荷系数冲击动荷系数为计算方便，工程上通常也将式为计算方便，工程上通常也将式(12-10)(12-10)写成动荷系写成动荷系数的形式，即数的形式，即FdKdFa(12-12)式中，式中，Kd为冲击时的动荷系数，它表示构件承受

329、为冲击时的动荷系数，它表示构件承受的冲击载荷是静载荷的若干倍。的冲击载荷是静载荷的若干倍。对于图对于图12-412-4所示简支梁，由式所示简支梁，由式(12-10)(12-10)，动荷系数为，动荷系数为Kd112h/s(12-13)构件中由冲击载荷引起的应力和位移也可以写成动构件中由冲击载荷引起的应力和位移也可以写成动荷系数的形式，即荷系数的形式，即dKds(12-14)dKds(12-15)工工程程力力学学12.412.4疲劳失效特征与原因分析疲劳失效特征与原因分析l12.4.112.4.1交变应力的名词和术语交变应力的名词和术语一点的应力随着时间的改变而变化，这种应力称为交一点的应力随着时

330、间的改变而变化，这种应力称为交变应力。变应力。平均应力：最大应力与最小应力的平均值，用平均应力：最大应力与最小应力的平均值，用S Sm m表示，表示，即即SmSmaxSmin,2(12-17)立力幅值：应力变化的幅度的一半，用立力幅值：应力变化的幅度的一半，用S Sa a表示，即表示，即SaSmaxSmin,2(12-18)最大应力：应力循环中的最大值，即最大应力：应力循环中的最大值，即SmaxSmSa(12-19)工工程程力力学学12.412.4疲劳失效特征与原因分析疲劳失效特征与原因分析最小应力：应力循环中的最小值，即最小应力：应力循环中的最小值，即SminSmSa(12-20)对称循环：

331、应力循环中应力数值与正负号都反复变化，对称循环：应力循环中应力数值与正负号都反复变化，且有且有S SmaxmaxS Sminmin，这种应力循环称为对称循环。这时，这种应力循环称为对称循环。这时r1，Sm0，SaSmax脉冲循环：只是应力数值随时间变化而应力正负号不发脉冲循环：只是应力数值随时间变化而应力正负号不发生变化，且最小应力等于零生变化，且最小应力等于零( (S Sminmin0)0)，这种应力循环称，这种应力循环称为脉冲循环。这时为脉冲循环。这时r0静应力：静应力作为交变应力的特例，在静应力作用下：静应力：静应力作为交变应力的特例，在静应力作用下：r1，SmaxSminSm，Sa0工

332、工程程力力学学12.412.4疲劳失效特征与原因分析疲劳失效特征与原因分析l12.4.212.4.2疲劳失效特征疲劳失效特征大量的试验结果以及实际零件和部件的破坏现象表明，大量的试验结果以及实际零件和部件的破坏现象表明，构件在交变应力作用下发生失效时，具有以下明显的构件在交变应力作用下发生失效时，具有以下明显的特征：特征：(1)破坏时的名义应力值远低于材料在静载荷作用下破坏时的名义应力值远低于材料在静载荷作用下的强度指标。的强度指标。(2)构件在交变应力作用下发生破坏有一个过程，即构件在交变应力作用下发生破坏有一个过程，即需要经过一定数量的应力循环。需要经过一定数量的应力循环。(3)构件在破坏

333、前没有明显的塑性变形，即使塑性很构件在破坏前没有明显的塑性变形，即使塑性很好的材料，也会呈现脆性断裂。好的材料，也会呈现脆性断裂。(4)同一疲劳破坏断口，一般都有明显的光滑区域与同一疲劳破坏断口，一般都有明显的光滑区域与颗粒状区域。颗粒状区域。工工程程力力学学12.412.4疲劳失效特征与原因分析疲劳失效特征与原因分析l12.4.312.4.3疲劳极限与应力疲劳极限与应力- -寿命曲线寿命曲线所谓疲劳极限，是指经过无穷多次应力循环而不发生所谓疲劳极限，是指经过无穷多次应力循环而不发生破坏时的最大应力值，又称为持久极限。破坏时的最大应力值，又称为持久极限。图图12-13一般的应力一般的应力-寿命

334、曲线寿命曲线工工程程力力学学12.512.5影响疲劳寿命的因素影响疲劳寿命的因素l12.5.112.5.1应力集中的影响应力集中的影响有效应力集中因数有效应力集中因数在构件或零件截面形状和尺寸突变处在构件或零件截面形状和尺寸突变处( (如阶梯轴轴肩圆如阶梯轴轴肩圆角、开孔、切槽等角、开孔、切槽等) )，局部应力远远大于按一般理论公，局部应力远远大于按一般理论公式算得的数值，这种现象称为应力集中。显然，应力集式算得的数值，这种现象称为应力集中。显然，应力集中的存在不仅有利于形成初始的疲劳裂纹，而且有利于中的存在不仅有利于形成初始的疲劳裂纹，而且有利于裂纹的扩展，从而降低零件的疲劳极限。裂纹的扩展

335、，从而降低零件的疲劳极限。在弹性范围内，应力集中处的最大应力在弹性范围内，应力集中处的最大应力( (又称峰值应力又称峰值应力) )与名义应力的比值称为理论应力集中因数，用与名义应力的比值称为理论应力集中因数，用K K1 1表示，表示，即即K1Smax/Sn(12-21)式中，式中，Smax为峰值应力；为峰值应力；Sn为名义应力。为名义应力。对于正应力对于正应力K K1 1K K1 1；对于切应力；对于切应力K Kt tK Ktt。工工程程力力学学12.512.5影响疲劳寿命的因素影响疲劳寿命的因素理论应力集中因数只考虑了零件的几何形状和尺寸的理论应力集中因数只考虑了零件的几何形状和尺寸的影响，

336、没有考虑不同材料对于应力集中具有不同的敏影响，没有考虑不同材料对于应力集中具有不同的敏感性。因此，根据理论应力集中因数不能直接确定应感性。因此，根据理论应力集中因数不能直接确定应力集中对疲劳极限的影响程度。考虑应力集中对疲劳力集中对疲劳极限的影响程度。考虑应力集中对疲劳极限的影响，工程上采用有效应力集中因数。极限的影响，工程上采用有效应力集中因数。有效应力集中因数不仅与零件的形状和尺寸有关，而有效应力集中因数不仅与零件的形状和尺寸有关，而且与材料有关。前者由理论应力集中因数反映；后者且与材料有关。前者由理论应力集中因数反映；后者由缺口敏感因数由缺口敏感因数(notch sensitivity

337、factor)(notch sensitivity factor)q q反映。反映。三者之间有如下关系：三者之间有如下关系：Kf1q(K11)(12-22)此式对于正应力和切应力都适用。此式对于正应力和切应力都适用。工工程程力力学学12.512.5影响疲劳寿命的因素影响疲劳寿命的因素l12.5.212.5.2零件尺寸的影响零件尺寸的影响尺寸因数尺寸因数尺寸引起疲劳极限降低的原因主要有以下几种：尺寸引起疲劳极限降低的原因主要有以下几种：一是毛坯质量因尺寸而异，大尺寸毛坯所包含的缩一是毛坯质量因尺寸而异，大尺寸毛坯所包含的缩孔、裂纹、夹杂物等要比小尺寸毛坯多；孔、裂纹、夹杂物等要比小尺寸毛坯多；二

338、是大尺寸零件表面积和表层体积都比较大，而裂二是大尺寸零件表面积和表层体积都比较大，而裂纹源一般都在表面或表面层下，故形成疲劳源的概纹源一般都在表面或表面层下，故形成疲劳源的概率也比较大；率也比较大；三是应力梯度的影响，对于同样的最大应力值，在三是应力梯度的影响，对于同样的最大应力值，在大尺寸构件中，疲劳裂纹形成和扩展的概率比较高。大尺寸构件中，疲劳裂纹形成和扩展的概率比较高。工工程程力力学学12.512.5影响疲劳寿命的因素影响疲劳寿命的因素l12.5.312.5.3表面加工质量的影响表面加工质量的影响表面质量因表面质量因数数零件承受弯曲或扭转时，表层应力最大，对于几何形零件承受弯曲或扭转时，

339、表层应力最大，对于几何形状有突变的拉压构件，表层处也会出现较大的峰值应状有突变的拉压构件，表层处也会出现较大的峰值应力。因此，表面加工质量将会直接影响裂纹的形成和力。因此，表面加工质量将会直接影响裂纹的形成和扩展，从而影响零件的疲劳极限。扩展，从而影响零件的疲劳极限。表面加工质量对疲劳极限的影响，用表面质量因数表面加工质量对疲劳极限的影响，用表面质量因数度量：度量：(1)/1(12-23)式中，式中，1和和(1)分别为磨削加工和其他加工时分别为磨削加工和其他加工时的对称循环疲劳极限。的对称循环疲劳极限。工工程程力力学学12.612.6有限寿命设计与无限寿命设计有限寿命设计与无限寿命设计l12.

340、6.112.6.1基本概念基本概念若将若将S Smaxmax- -N N试验数据标在试验数据标在lglgS S-lg-lgN N坐标中，所得到的应坐标中，所得到的应力力- -寿命曲线可近似视为由两寿命曲线可近似视为由两段直线所组成，如图段直线所组成，如图12-1612-16所所示。两直线的交点之横坐标示。两直线的交点之横坐标值值N N0 0称为循环基数；与循环称为循环基数；与循环基数对应的应力值基数对应的应力值( (交点的纵交点的纵坐标坐标) )即为疲劳极限。因为循即为疲劳极限。因为循环基数都比较大环基数都比较大(10(106 6次以上次以上) )，故按疲劳极限进行强度设，故按疲劳极限进行强度

341、设计，称为无限寿命设计。计，称为无限寿命设计。图12-16双对数坐标中的应力工工程程力力学学12.612.6有限寿命设计与无限寿命设计有限寿命设计与无限寿命设计l12.6.212.6.2无限寿命设计方法简述无限寿命设计方法简述若变应力的应力幅始终保持不变，则称为等幅交变应若变应力的应力幅始终保持不变，则称为等幅交变应力。力。工程设计中一般都是根据静载设计准则首先确定构件工程设计中一般都是根据静载设计准则首先确定构件或零部件的初步尺寸，然后再根据疲劳强度设计准则或零部件的初步尺寸，然后再根据疲劳强度设计准则对危险部位作疲劳强度校核。通常将疲劳强度设计准对危险部位作疲劳强度校核。通常将疲劳强度设计

342、准则写成安全因数的形式，即则写成安全因数的形式，即nn(12-25)式中，式中，n为零部件的工作安全因数，又称计算安全为零部件的工作安全因数，又称计算安全因数；因数；n为规定安全因数，又称许用安全因数。为规定安全因数，又称许用安全因数。工工程程力力学学12.612.6有限寿命设计与无限寿命设计有限寿命设计与无限寿命设计当材料较均匀，且载荷和应力计算精确时，取当材料较均匀，且载荷和应力计算精确时，取 n n 1.31.3；当材料均匀程度较差、载荷和应力计算精确度；当材料均匀程度较差、载荷和应力计算精确度又不高时，取又不高时，取 n n 1.51.51.81.8；当材料均匀程度和载；当材料均匀程度

343、和载荷、应力计算精确度都很差时，取荷、应力计算精确度都很差时，取 n n 1.81.82.52.5。疲劳强度计算的主要工作是计算工作安全因数疲劳强度计算的主要工作是计算工作安全因数n n。工工程程力力学学12.612.6有限寿命设计与无限寿命设计有限寿命设计与无限寿命设计l12.6.312.6.3等幅对称应力循环下的工作安全因数等幅对称应力循环下的工作安全因数在对称应力循环下，应力比在对称应力循环下，应力比r r1 1，对于正应力循环，对于正应力循环，平均应力平均应力m m0 0，应力幅，应力幅a amaxmax；对于切应力循环，；对于切应力循环，则有则有m m0 0，a amaxmax。考虑

344、到上一节中关于应力集中、。考虑到上一节中关于应力集中、尺寸和表面加工质量的影响，正应力和切应力循环时的尺寸和表面加工质量的影响，正应力和切应力循环时的工作安全因数分别为工作安全因数分别为n(12-26)n(12-27)式中，式中，n、n为工作安全因数；为工作安全因数；1、1为光滑小试为光滑小试样在对称应力循环下的疲劳极限；样在对称应力循环下的疲劳极限；Kf、Kf为有效应力为有效应力集中因数；集中因数；为尺寸因数；为尺寸因数；为表面质量因数。为表面质量因数。工工程程力力学学12.712.7结论与讨论结论与讨论l12.7.112.7.1不同情形下动荷系数具有不同的形式不同情形下动荷系数具有不同的形

345、式比较式比较式(12-13)(12-13)和和(12-7)(12-7)，可以看出，冲击载荷的动，可以看出，冲击载荷的动荷系数与等加速度运动构件的动荷系数有着明显的差荷系数与等加速度运动构件的动荷系数有着明显的差别。即使同是冲击载荷，有初速度的落体冲击与没有别。即使同是冲击载荷，有初速度的落体冲击与没有初速度的自由落体冲击时的动荷系数也是不同的。落初速度的自由落体冲击时的动荷系数也是不同的。落体冲击与非落体冲击时的动荷系数也是不同的。体冲击与非落体冲击时的动荷系数也是不同的。因此，使用动荷系数计算动载荷与动应力时一定要选因此，使用动荷系数计算动载荷与动应力时一定要选择与动载荷情形相一致的动荷系数

346、表达式，切勿张冠择与动载荷情形相一致的动荷系数表达式，切勿张冠李戴。李戴。工工程程力力学学12.712.7结论与讨论结论与讨论l12.7.212.7.2提高构件疲劳强度的途径提高构件疲劳强度的途径1.1.缓和应力集中缓和应力集中截面突变处的应力集中是产生裂纹以及裂纹扩展的截面突变处的应力集中是产生裂纹以及裂纹扩展的重要原因，通过适当加大截面突变处的过渡圆角以重要原因，通过适当加大截面突变处的过渡圆角以及其他措施，有利于缓和应力集中，从而可以明显及其他措施，有利于缓和应力集中，从而可以明显地提高构件的疲劳强度。地提高构件的疲劳强度。2.2.提高构件表面层质量提高构件表面层质量在应力非均匀分布的情形在应力非均匀分布的情形(例如弯曲和扭转例如弯曲和扭转)下，疲下，疲劳裂纹大都从构件表面开始形成和扩展。因此，通劳裂纹大都从构件表面开始形成和扩展。因此，通过机械的或化学的方法对构件表面进行强化处理，过机械的或化学的方法对构件表面进行强化处理，改善表面层质量，将使构件的疲劳强度有明显的提改善表面层质量，将使构件的疲劳强度有明显的提高。高。此课件下载可自行编辑修改，供参考！此课件下载可自行编辑修改，供参考！部分内容来源于网络，如有侵权请与我联系删除！部分内容来源于网络，如有侵权请与我联系删除！