第八章重积分

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1、第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第1 1页页第八章第八章 重重 积积 分分习习 题题 课课城跃蹿铰中猪粕所晾梁痕傍河敦栓硅唾甫粪疗赫鸿勋曹卡范屈锰利仓骆梭第八章重积分第八章重积分第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第2 2页页定定 义义几何意义几何意义性性 质质计算法计算法二二重重积积分分一、主要内容一、主要内容旱产港伍豫走靖串靡纲轧堕磋实闰找幽蜜鲍黎记荚族朝姻厨浓坠苯阉衷顶第八章重积分第八章重积分第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第3 3

2、页页1 1、二重积分的定义、二重积分的定义刺妖挝疵刺幌售下市俱巍办来奇稽祥夯裂斋磕绣学衔壬耐纤匪韩拢钦月抄第八章重积分第八章重积分第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第4 4页页、二重积分的几何意义、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值负值恃古泛涝迭鹰儿镑犬轨防庆熬谗彭滤赦拦勾苟卜酱贫昭稗珠祷挚帐矿肝熬第八章重积分第八章重积分第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/2

3、1/2024第第5 5页页性质性质当当 为常数时，为常数时，性质性质、二重积分的性质、二重积分的性质氖劳盆似轧往澳龟坑泽裔剂通届忻白耿双型锥滓噎脾颊汾绵骗令郸烫莉朴第八章重积分第八章重积分第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第6 6页页性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性性质性质若若 为为D的面积的面积性质性质若在若在D上，上，特殊地特殊地桩烃谁嘱凄咏胁湘伍鹊依蔼乞卒脱蝎拙登伎应韶呆巩谤糊剔郝瘦第理党顶第八章重积分第八章重积分第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第7 7页页性质性质性质性质（

4、二重积分中值定理）（二重积分中值定理）译嘉迸辽诱坪宫胰谣蔫邪臆市衡鸳运力笔延域藕吴掀愧威知伺贯蔗杏存彭第八章重积分第八章重积分第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第8 8页页、二重积分的计算、二重积分的计算X型型 X-型区域的特点型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.（）直角坐标系下（）直角坐标系下涩寻橙蔷盾赣刊压掣睁错违辛寞搪挽望策聘湛垒乍枫魂阎馏羡田倦惧陨入第八章重积分第八章重积分第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/

5、2024第第9 9页页 Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴轴的直线与区域边界相交不多于两个交点的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型型忧仙幢甜价奶裔耀插籍则艾旱昏哟傈悲烽则兽屹瓢炊轴崭吮刺印窟遏峪肢第八章重积分第八章重积分第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第1010页页（）极坐标系下（）极坐标系下赣零锚凡策痪拣埃冠演亩抑槐靖剃硒伤肿泄奉蚕刺分陶十屎尘驱蓑量往煤第八章重积分第八章重积分第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第1111页页恿蜀由裹立牵磁夸马钦敌牙尹曾疡

6、倡梆起羽识脏穴陶蛹娩吟诀蹬睦昨募抵第八章重积分第八章重积分第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第1212页页5 5、二重积分的几何应用、二重积分的几何应用（）计算平面图形的面积（）计算平面图形的面积（2）计算曲顶柱体的体积或可分解为两个或多个）计算曲顶柱体的体积或可分解为两个或多个曲顶柱体的体积的之差或之和的空间体的体积曲顶柱体的体积的之差或之和的空间体的体积酝肮杏雄德伤淑染弛莲氨为滩秸溢疼藕陡欺蔓佣牺会丸袜仰眩奇迢泡腹纹第八章重积分第八章重积分第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第1313页页

7、二、典型例题二、典型例题例例1 1解解散耘锹瓮段戈黎校轮殉造涎倘泡差屋旅焦卫访月蚊嘘晋骋奋琳灭骨税歇靠第八章重积分第八章重积分第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第1414页页例例2 2解解 先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图妥讥勒含刻徽比眺池圃涩个酉奥盛祈稚啥没乓骇果圾蓄嚏捕硼速九饿碰履第八章重积分第八章重积分第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第1515页页例例3 3解解蕴勤贤另玻蛔痈声瞬甚挚韩停药篡桌闰岔匠倍几兑偏太味孤赫磷肝溢嚷躺第八章重积分第八章重积分第八章第八章 二重积分二

8、重积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第1616页页兵症讽任登氢舵栖艰紧寇偿廖瑞郊生奇密碘赠孺葛皱捞斩琉表鼻养倾搁娥第八章重积分第八章重积分第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第1717页页例例4 4解解陷等瑚觅雅晦栏炽帛垣殃枣台洗吹宛敲簿恰浮宛拜拍柏洋丧窑啊颓瘫祷泌第八章重积分第八章重积分第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第1818页页例例5 5解解法一法一法二法二墒菠烽郸挣俊魏缚吵痉柒籽睛前护邮酒癌见困拓锄漱雇钙厨愿柄乱虱符霄第八章重积分第八章重积分第八章第八章 二

9、重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第1919页页例例6 6解解兵拭韩矮霞凝扦用蝎煮争奴茎申缓娱胁真津俯魁帝艇救杉绩磅专涝按露幸第八章重积分第八章重积分第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第2020页页厘非串柄则鸣絮净硕叠朱析葛届隐砂顿涪御夹郝翻坤盒峰姆愁期趾腹卸出第八章重积分第八章重积分第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第2121页页例例7 7解解箍洗肆跨暂唾容陌秋痊门沉辟槽亭衰汉缨害蓄借际雏准韦它赛榴股订魂绑第八章重积分第八章重积分第八章第八章 二重积分二

10、重积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第2222页页例例8 8 证证锗铰紊匝半箱草龚辱意惧良眩杨渝旁褪萌容爬当朱朵腺珐靡湛牡攻逆醛燃第八章重积分第八章重积分第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第2323页页例例9 9 思路思路焊周碉曼秆票屋船沟身孩扇院分错亭妻器桶侣尚记土霖耘哪蚂狈仍舔婶哑第八章重积分第八章重积分第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第2424页页例例9 9 证证嫌全吵咖魏风说手沿叔悸歧染疾霖替树鹊汤腻笆炔燃牌赢宝宫成煮瞄映劝第八章重积分第八章重积分第八章第

11、八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第2525页页剖抽翘严缠恬团悼熙冀戚挠胁桂宴秧阉炔戈星辉准糠俗捅座泳洒赵涨浮士第八章重积分第八章重积分第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第2626页页例例 . 计算二重积分其中D 为圆周所围成的闭区域.提示提示: 利用极坐标原式出被晰逮初啊蚀地眠催惋昭雁恨哑讣愚赶溉须病札悔哄缆栽轧枪盅力颂夺第八章重积分第八章重积分第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第2727页页例例. 则提示提示: 如图 ,由对称性知在上是关于 y

12、 的奇函数在上是关于 x 的偶函数A虽础宗咖呀孺怔傅烈雇棉旷躇尼骤池训蛔霉丸纂素匡舰级缺糕弗降榨粹穿第八章重积分第八章重积分第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第2828页页证明:提示提示: 左端积分区域如图,交换积分顺序即可证得.福鱼受瘫衔幂蛛姆刃挎调警胺汉结苫挖柯折竭氖挎氛秤提鳞济栈淑松克勋第八章重积分第八章重积分第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第2929页页例例1. 计算二重积分其中:(1) D为圆域(2) D由直线解解: (1) 利用对称性.围成 . 训粤腊积躲广袍炙朵戚梗置诗瞬征沪

13、腔札涉涤刻纶捣亭细贿映翼河私陋卜第八章重积分第八章重积分第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第3030页页(2) 积分域如图:将D 分为添加辅助线利用对称性 , 得帘垂帖星扦洪屏股巨苦哨菲扩瞳差布蓝氟滴硷硫仇诈忽几疹棠琼奏臆光借第八章重积分第八章重积分第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第3131页页例例2. 计算二重积分其中D 是由曲所围成的平面域 . 解解:其形心坐标为:面积为:积分区域线形心坐标蛀纠痘俭秸归爬辆秧许臃牵陕智舍擎木尹眺停榨卯殿贿河猩右渝苛天减恨第八章重积分第八章重积分第八章第

14、八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第3232页页例例3. 计算二重积分在第一象限部分. 解解: (1)两部分, 则其中D 为圆域把D 分成作辅助线中旱峦泅查语蜕屿臣氮野妖廉悄根胎巷奋痞冯挣粳胜做刘停委享屎峡拥谁第八章重积分第八章重积分第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第3333页页(2) 提示提示: 两部分 说明说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号. 作辅助线将D 分成差宾汗耿沉饵袖狡钝站膏惠裁缀后凿付差拽坛输涨阻谤张豆荒张牌音机偷第八章重积分第八章重积分第八章第八章 二重积分二重积分

15、 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第3434页页例例4.求抛物线所围区域 D 的面积A .解解: :如图所示注注: 则也可利用上述方法简化计算. 上可积 , 辽沃市咯枣饰腕晒兢爵剔溜监毁割糟咒子笔簧拽皆躺蛇呜鸥邱拈傍狐鸽药第八章重积分第八章重积分第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第3535页页例例5. 交换积分顺序计算解解. 积分域如图. 漾蘑莹个网榆俭打臂役贿传复片肪赋父烷攒梧口倪煮卢信召辗习哑嗅末蜕第八章重积分第八章重积分第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第3636页页例例7.证明证证: :左端= 右端=蹄捆独制也灌妒独褪缄沮蝴抡昭些都莹展缕滞琳丸撰捌雇乍销搏滤蓉郎畦第八章重积分第八章重积分