《大学-数学专业-空间解析几何-第二章--平面与方程课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大学-数学专业-空间解析几何-第二章--平面与方程课件（96页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高等院校本科数学课程 空间解析几何 大 学 数 学（一一）第六讲第六讲第六讲第六讲 平面的方程平面的方程平面的方程平面的方程 脚本编写：教案制作： 如果一非零向量垂直于一平面，这如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的向量就叫做该平面的法向量法向量.(垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量)已知平面已知平面 的法向量的法向量一、平面的方程一、平面的方程则平面上的任一点则平面上的任一点满足几何条件满足几何条件代入向量的坐标代入向量的坐标1. 平面的点法式和一般式平面的点法式和一般式方程方程是平面是平面 上的一定点，上的一定点，平面的点法式方程平面的点法式方程 平面上的点都满足上述方
2、程，不在平面平面上的点都满足上述方程，不在平面上的点都不满足上述方程，上述方程称为平上的点都不满足上述方程，上述方程称为平面的方程，平面称为方程的图形面的方程，平面称为方程的图形其中法向量其中法向量已知已知定定点点解：解：由点法式方程，得所求平面方程为2(x 1)+3(y 3) 4(z+2)=0,2x+3y 4z19=0.例例4.1 求过点 M0(1, 3, 2) 且以 n=(2, 3, 4) 为法向的平面方程. 即例3、已知两点M1(1,-2,3),M2(3,0,-1)，求线段的垂直平分面的方程。解：因为矢量M1M2=2，2，-4=21，1，-2垂直于平面，所以平面的一个法矢量为n=1,1,
3、-2.又所求平面过点M1M2的中点M0(2,-1,1)，故平面的点法式方程为(x-2)+(y+1)-2(z-1)=0整理得x+y-2z+1=0由平面的点法式方程由平面的点法式方程平面的一般平面的一般(式式)方程方程法向量法向量结论：平面方程是三元一次方程，任意三元一次结论：平面方程是三元一次方程，任意三元一次方程的图形是一平面方程的图形是一平面.zyOx Ax+Cz+D=0,B=0特殊三元一次方程表示图形特点这个平面平行y 轴. 平面的一般方程平面的一般方程平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过坐标原点； 平面过平面过 轴；轴；平面平行于平面平行于
4、坐标面；坐标面；类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.平面平行于平面平行于 轴；轴；例3: 求通过x 轴和点(4, 3, 1)的平面方程.解: 由于平面过x 轴, 所以 A = D = 0.设所求平面的方程是 By + Cz = 0又点(4, 3, 1)在平面上, 所以3B C = 0 C = 3B所求平面方程为 By 3Bz = 0即: y 3z = 0 平面的一般方程平面的一般方程xzyO平面的一般方程平面的一般方程例2求通过点且平行于轴的平面的方程.解解:设平行于轴的平面的方程为因为通过点所以有因此所求方程为例2求通过点且平行于轴的平面的方程.解法二：轴
5、方向为即因此平面方程为即设平面为设平面为将三点坐标代入得将三点坐标代入得解解将将代入所设方程代入所设方程平面的截距式方程平面的截距式方程得得把平面方程化为截距式把平面方程化为截距式解解例例6 6例例4.2. 求过点 M1(2, 1, 4), M2(1, 3, 2) 和 M3(0, 2, 3) 的平面方程.OxyzM1M2M3从图知，M1, M2, M3 不共线，即三点不在同一直线故可唯一确定一平面. 如何验证？如何求？解解：由于 =(3, 4, 6)(2, 3, 1)=(14, 9, 1) 0.故 M1, M2, M3 不共线.为所求平面之法向.过点 M1(2, 1, 4), M2(1, 3,
6、 2) 和 M3(0, 2, 3) 的平面方程.n故得平面方程为：=14(x2)+9(y+1) (z4)=14x+9y z15= 0,或=14(x+1)+9(y 3) ( z+2)=14x+9yz15= 0.(xx1, yy1, zz1)n(xx2, yy2, zz2)n过点 M1(2, 1, 4), M2(1, 3, 2) 和 M3(0, 2, 3) 的平面方程.n根据向量混合积的计算公式即得：平面的三点式方程. n一般地，设平面 过 M1, M2, M3 三点, M1, M2, M3 不共线. 即则得平面方程为：平面的点向式方程. n三向量共面根据向量混合积的计算公式即得：1 1、平面的方
7、向向量、平面的方向向量 在空间给定一个点在空间给定一个点M0与两个不共线的向量与两个不共线的向量a,b，则，则通过点通过点M0且与且与a,b平行的平面平行的平面 就被唯一确定。向量就被唯一确定。向量a,b称为平面称为平面 的方向向量。的方向向量。bxyzaM0O2 2、平面的向量式参数方程、平面的向量式参数方程 在空间，取标架O；e1,e2,e3,并设点M0的向径OM0=r0,平面上的任意一点M的向径为OM=r，M0M=ua+vb又因为M0M=r-r0所以r-r0= ua+vb即r=r0+ ua+vb （1）方程（1）称为平面的向量式参数方程向量式参数方程。bxyzaM0MOr0r显然点M在平
8、面上的充要条件为矢量M0M与a,b共面，因为a,b不共线，所以这个共面的条件可写成：3 3、平面的坐标式参数方程、平面的坐标式参数方程若设M0，M的坐标分别为(x0,y0,z0),(x,y,z),则r0=x0,y0,z0,r=x,y,z并设a=X1,Y1,Z1,b=X2,Y2,Z2， 则由（1）可得（2）式称为平面的坐标式参数方程坐标式参数方程。r=r0+ ua+vb （1）bxyzaM0MOr0rx,y,z= x0,y0,z0+uX1,Y1,Z1+vX2,Y2,Z2，作业 P1181. (1)2. 6.高等院校本科数学课程 空间解析几何 大 学 数 学（一一）第七讲第七讲第七讲第七讲 空间直
9、线的方程空间直线的方程空间直线的方程空间直线的方程脚本编写：教案制作：确定空间直线的条件确定空间直线的条件 由两个平面确定一条直线；由两个平面确定一条直线； 由空间的两点确定一条直线；由空间的两点确定一条直线； 由空间的一点和一个方向来确定一条直线由空间的一点和一个方向来确定一条直线. .空间直线的方程空间直线的方程定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线空间直线的一般方程空间直线的一般方程 2.2 空间直线的方程（注：两平面不平行）（注：两平面不平行）一一、空间直线的一般方程、空间直线的一般方程方向向量的定义：方向向量的定义： 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一条
10、已知直线，这个向量称一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量二、空间直线的对称式方程2. 2. 直线的对称式方程直线的对称式方程已知直线L过M0(x0, y0, z0)点方向向量 s =m, n, p所以得比例式(2)称为空间直线的点向式方程./整理得：整理得：由由直线的点向式方程直线的点向式方程直线的另外一种表达式两点式设 l: 过点 M0(x0, y0, z0), M1(x1, y1, z1).则 l :三、空间直线的参数式方程直线的一组直线的一组方向数方向数令令方向向量的余弦称为直方向向量的余弦称为直线的线的方向余弦方向余弦.直线的坐标式参数方程直线的坐标式参数方
11、程由由直线的点向式方程直线的点向式方程直线的坐标式参数方程直线的坐标式参数方程直线的向量式参数方程直线的向量式参数方程例例4.7 求过点 A(1, 1, 1)，B(1, 2, 3) 的直线 l 的点向式方程、坐标式参数方程.解：解：l 的方向则得 l 的点向式方程坐标式参数方程例求两直线和的交点解：解： 交点为将代入(1)得因此交点为例1 求通过点P(1,1,1)且与两直线都相交的直线的方程。解： 因为L与L1，L2都相交，且L1过点M1(0,0,0),方向向量为s1=1,2,3,L2过点M2(1,2,3)，方向为s2=2,1,4PL1L2vM1M2s1s2故所求直线的方程为因为L与L1，L2
12、都相交，且L1过点M1(0,0,0),方向矢为s1=1,2,3,L2过点M2(1,2,3)，方向为s2=2,1,4P(1,1,1)过与的平面方程为即过与的平面方程为即PL1L2M1M2s1s2作业 P1189.(1) 10.(1) 14.(1) 18.(1)(2) 高等院校本科数学课程 空间解析几何 大 学 数 学（一一）第八讲第八讲第八讲第八讲 点、直线和平面点、直线和平面点、直线和平面点、直线和平面的相关位置的相关位置的相关位置的相关位置 脚本编写：教案制作：12n2n1两个法向量相互垂直两个法向量相互垂直21n1n2这时两个平面的法向量这时两个平面的法向量相互平行相互平行/定义定义（通常
13、取锐角）（通常取锐角）两平面法向量之间的夹角称为两平面的两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角夹角. . 2.3 两平面的相关位置按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：例例1 1 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：解解两平面相交，夹角两平面相交，夹角两平面平行两平面平行两平面平行但不重合两平面平行但不重合解：例例1 1 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：两平面重合两平面重合.解：例例1 1 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：设平
14、面为设平面为由平面过原点知由平面过原点知所求平面方程为所求平面方程为解解取法向量取法向量化简得化简得所求平面方程为所求平面方程为解解定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹角角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角 2.4 直线与平面的相关位置直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系：/例1: 判定下列各组直线与平面的关系.解: L的方向向量 s =2, 7, 3 的法向量 n =4, 2, 2s n = (2) 4 + (7) (2) + 3 (2) = 0又M0(3, 4, 0)在直线L上, 但不满足平面方程,所以L
15、与 平行, 但L不在 内.解: L的方向向量 s =3, 2, 7 的法向量 n =6, 4, 14 L 与 垂直. L的方向向量与 的法向量平行， 解: L的方向向量 s =3, 1, 4 的法向量 n =1, 1, 1s n = 3 1 + 1 1 + (4) 1 = 0又L上的点 M0(2, 2, 3)满足平面方程，所以 , L 在平面内 .解解为所求夹角为所求夹角例例8 8 用用点法点法式方程及参数方程表示直线式方程及参数方程表示直线解解在直线上任取一点在直线上任取一点取取解得解得点坐标点坐标因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取因所求直线与两平面的法向量
16、都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取点法点法式方程式方程参数方程参数方程解题思路解题思路: :先找直线上一点先找直线上一点; ;再找直线的方向向量再找直线的方向向量. .点坐标点坐标解解例例4 4直线与平面的交点分析分析: : 关键是求得直线上另外关键是求得直线上另外一个点一个点 M M1 1. M. M1 1在过在过M M且平行且平行于于 平面平面 P P 的一个平面的一个平面P P1 1上上, ,待求直线又与已知直线相交待求直线又与已知直线相交, ,交点既在交点既在P P1 1上上, ,又在又在 L L上上, ,因此因此M M1 1是是L L与与P P1 1的交点的交点. . 例例2
17、 2 求过点求过点 M (-1,2,-3), 且平行于平面且平行于平面 又与直线又与直线相交的直线方程相交的直线方程.PMLP1M1 例例2 2 求过点求过点 M (-1,2,-3), 且平行于平面且平行于平面 又与直线又与直线相交的直线方程相交的直线方程.解解 过过M作平行于作平行于 平面平面 P 的一个平面的一个平面P1 PMLP1M1求平面求平面 P1与已知直线与已知直线 L的交点的交点P1: 即即P1: 例例2 2 求过点求过点 M (-1,2,-3), 且平行于平面且平行于平面 又与直线又与直线相交的直线方程相交的直线方程.PMLP1M1求平面求平面 P1与已知直线与已知直线 L的交
18、点的交点PMLP1M1 例例2 2 求过点求过点 M (-1,2,-3), 且平行于平面且平行于平面 又与直线又与直线相交的直线方程相交的直线方程.因此所求直线方程为定理定理3.93.9 判定空判定空间间两直两直线线相关位置相关位置: :直线直线直线直线(1)异面：异面： 2.5 空间两直线的相关位置定理定理2 2. .6 6 判定空判定空间间两直两直线线相关位置的充要条件相关位置的充要条件为为(2)(2)相交：相交：(4)(4)平行：平行：(3)重合：重合： L1L2P1P2定义定义直线直线直线直线两直线的方向向量的夹角两直线的方向向量的夹角（锐角锐角）称为称为则两直线的则两直线的夹角公式：
19、夹角公式：三、两直线的夹角两直线的夹角两直线的夹角. .两直线夹角两直线夹角的特殊情况的特殊情况：直线直线直线直线例如，例如，s1 =m1, n1, p1s2 =m2, n2, p2解: 直线L1, L2的方向向量 s1=1, 4, 1 s2=2, 2, 1有:所以:解解先作一过点先作一过点M且与已知且与已知直线垂直的平面直线垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点N,令令MNL解解令令MNL代入平面方程得代入平面方程得 , 交点交点取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为可以推出解解MNL代入平面方程得代入平面方程得 ,交点交点取所求直线的方向向量为取所求直线的方
20、向向量为所求直线方程为所求直线方程为因此因此,所求直线方程为所求直线方程为 例例1 1 求过点求过点(1,0,-2)且与平面且与平面3x+4y-z+6=0平行平行,又与又与直直线线 垂直的直线方程垂直的直线方程.解解: 设所求线的方向向量为设所求线的方向向量为已知平面的法向量已知平面的法向量已知直线的方向向量已知直线的方向向量取取作业 P11913.(1) 12.(1)(2)16. (2)18.(3)(4) 26.(1)高等院校本科数学课程 空间解析几何 大 学 数 学（一一）第九讲第九讲第九讲第九讲 点、直线和平面之间的距离点、直线和平面之间的距离点、直线和平面之间的距离点、直线和平面之间的
21、距离 平面束平面束平面束平面束脚本编写：教案制作：外一点外一点, ,求求 设设解解: :设平面法向量为设平面法向量为在平面上取一点在平面上取一点是平面是平面到平面的距离到平面的距离d. .,则则P0 到平面的距离为到平面的距离为点到平面的距离公式点到平面的距离公式一、一、点到平面的距离点到平面的距离例如: 求点A(1, 2, 1)到平面: x + 2y + 2z 10 = 0的距离在第一个平面内任取一点，比如（在第一个平面内任取一点，比如（0，0，1），），空间直线与点距离LdP1是是L外一点外一点,设直线设直线L,求求P0到到L的距离的距离d . 设设 为为L上上任一点，如图任一点，如图SS
22、又又于是于是点到直线的距离公式点到直线的距离公式例例1010 求点求点(5,4,2)到直线到直线的距离的距离d.解解LdP1二二、两异面直线间的距离与公垂线的方程、两异面直线间的距离与公垂线的方程1、两异面直线间的距离、两异面直线间的距离设两异面直线L1，L2与其公垂线L0的交点为N1，N2，则L1与L2之间的距离L0L2L1N2N1M2M1s2s1L0L2L1N2N1M2M1s2s1L1L22、两直线的公垂线方程、两直线的公垂线方程 公垂线可看为由过L1上的点M1，以s1,s1s2为方位矢量的平面与过L2上的点M2，以s2,s1s2为方位矢量的平面的交线，因此，公垂线的方程为：其中X，Y，Z
23、为s1s2 的分量。L0L2L1N2N1M2M1s2s1例2 已知两直线试证明它们为异面直线，并求其距离和公垂线的方程。解：所以L1与L2为异面直线。又s1s2=0,0,2,所以公垂线为例2 已知两直线s1s2=0,0,2,所以轴.过与的平面方程为过与的平面方程为L0L2L1N2N1M2M1s2s1第第五五节节 平面束平面束一、平面束一、平面束1、有轴平面束：、有轴平面束： 空间通过同一条直线的所有平面的集合称为有轴平面束，该直线称为平面束的轴。平面束 通过定直线通过定直线 L的所有平面的集合称为该的所有平面的集合称为该直线直线 L 的的平面束平面束. 构造平面族构造平面族: （t为任意实数）
24、为任意实数） A1 x+B1 y+C1 z+D1+ t(A2 x+B2 y+C2 z+D2 )=0 即即 (A1 +t A2 )x+(B1 + t B2 )y+(C1 + t C2 )z+(D1 + t D2 )=0 (*)L设直线设直线 L的一般方程为的一般方程为: A1 x+B1 y+C1 z+D1 =0 A2 x+B2 y+C2 z+D2 =0事实上事实上 设设 为为L外任一点，可取外任一点，可取则则 1. (*)式为过直线式为过直线L的平面方程的平面方程.2. 过过L的任何平面的任何平面( 2除外除外)都包含在都包含在(*)所表示的平面族内所表示的平面族内.构造平面族构造平面族: （t
25、为任意实数）为任意实数） A1 x+B1 y+C1 z+D1+ t(A2 x+B2 y+C2 z+D2 )=0 即即 (A1 +t A2 )x+(B1 + t B2 )y+(C1 + t C2 )z+(D1 + t D2 )=0 (*)L：A1x+B1y+C1z+D1=0：A2x+B2y+C2z+D2=0则则M0满足满足(*).因为L上点的坐标必满足(*).例例3 3 求过直线求过直线L和点和点M0(1,2,3)的平面的平面方程方程.解解 设设的方程为：的方程为：(*)L解解: 显然显然, L是过是过L1且垂直于且垂直于的平面的平面1与与的交线的交线.故先求故先求1.设过直线设过直线L1的平面
26、束方程为的平面束方程为:例例1 求直线求直线 在平面在平面 内的投影直线内的投影直线L的方程的方程. 则则 1的的法向量法向量又又的的法向量法向量L1L1即即:解得解得于是投影平面于是投影平面1：投影直线投影直线L的方程为的方程为:注注: 在求在求过已知直线过已知直线且垂直于已知平面且垂直于已知平面的平面的平面方程方程时时,用平面束方程比较方便用平面束方程比较方便. L1L1则则 1的的法向量法向量又又的的法向量法向量解法二解法二：先求先求1的方程的方程,直线的方向为直线的方向为则则1：在在L1上任取一点上任取一点(3,0,-6),例例2 2 求直线求直线 在平面在平面 内的投影直线内的投影直
27、线L的方程的方程. L1L1推论：由平面：Ax+By+Cz+D=0决定的平行平面束 的方程为Ax+By+Cz+=0其中为任意实数。例2、求与平面3x+y-z+4=0平行且在Oz轴上截距为2的平面的方程。解：设所求平面的方程为3x+y-z+=0因为平面在Oz轴上的截距为2，故平面过点(0,0, 2).由此得 2=0 , =2. 故所求平面的方程为3x+y-z2=0.小结小结空间平面空间直线一般形式法点式截距式(三元一次方程) Ax+By+Cz+D=0.交面式点法式:参数形式:两点式:(一般形式)： 三元一次方程组. x=x0+mt, y=y0+nt , z=z0+pt ;关系直线间夹角：平面间夹角：直线与平面间夹角：直线在平面上的投影： 过直线的平面束中的一条垂直于已知平面的平面与已知平面的交线(交面式)点到直线的距离点到平面的距离 Ax+By+Cz+D=0 s1, s2间夹角 n, n 间夹角与 s1, n 间夹角互余dMlsM0n=(A, B, C)数量积 平行相交垂直两异面直线的距离， 两直线的公垂线方程作业 P12019(1). 24.(1) 22.(1)32.(3)
