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1、证明(zhngmng): 都是 上的范数,并且还有引理(Hoider不等式):设第1页/共83页第一页,共84页。则 其中(qzhng) 且 。引理(Minkowski不等式):设则 第2页/共83页第二页,共84页。其中实数 。几种常用的范数定义(dngy):设向量 ,对任意的数 ,称为向量 的 范数。常用的 范数:(1)1范数 第3页/共83页第三页,共84页。(2)2范数也称为欧氏范数。(3) 范数 定理(dngl):证明:令 ,则第4页/共83页第四页,共84页。于是(ysh)有另一方面第5页/共83页第五页,共84页。故由此可知定义:设 是 维线性空间 上定义的两种向量范数,如果存在
2、两个与 无关的正数(zhngsh) 使得第6页/共83页第六页,共84页。定理:有限维线性空间 上的任意两个向量范数都是等价的。利用向量范数可以去构造(guzo)新的范数。例 :设 是 上的向量范数,且 ,则由所定义的 是 上的向量范数。例 : 设 数域 上的 维线性空间, 第7页/共83页第七页,共84页。 为其一组基底,那么对于 中的任意(rny)一个向量 可唯一地表示成又设 是 上的向量范数,则由所定义的 是 上的向量范数。 矩阵范数第8页/共83页第八页,共84页。定义:对于(duy)任何一个矩阵 ,用 表示按照某一确定法则与矩阵 相对应的一个实数,且满足(1)非负性:当 只有且仅有当
3、 (2) 齐次性: 为任意复数(fsh)。(3) 三角不等式:对于任意两个同种形状矩阵 都有第9页/共83页第九页,共84页。(4)矩阵乘法的相容性:对于任意两个可以相乘的矩阵 ,都有那么我们(w men)称 是矩阵 的范数。例 1:对于任意 ,定义可以证明如此定义的 的确为矩阵 的范数。第10页/共83页第十页,共84页。证明:只需要验证(ynzhng)此定义满足矩阵范数的四条性质即可。非负性,齐次性与三角不等式容易证明。现在我们验证(ynzhng)乘法的相容性。设 ,则第11页/共83页第十一页,共84页。第12页/共83页第十二页,共84页。例 2 :设矩阵(j zhn) ,证明:是矩阵
4、(j zhn)范数。证明:非负性,齐次性和三角不等式容易证得。现在我们考虑乘法的相容性。设 ,那么第13页/共83页第十三页,共84页。因此(ync) 为矩阵 的范数。第14页/共83页第十四页,共84页。例 3 :对于(duy)任意 ,定义可以证明 也是矩阵 的范数。我们称此范数为矩阵 的Frobenious范数。证明:此定义的非负性,齐次性是显然的。利用Minkowski不等式容易证明三角不等式。现在我们验证乘法的相容性。 设 ,则 第15页/共83页第十五页,共84页。于是(ysh)有 第16页/共83页第十六页,共84页。例 4 :对于任意 ,定义证明如此定义的 是矩阵 的范数。证明:
5、 首先注意到这样一个基本事实(shsh),即由上一个例题可知此定义满足范数的性质。第17页/共83页第十七页,共84页。Frobenious范数的性质(xngzh):(1)如果 ,那么(2) (3)对于任何 阶酉矩阵 与 阶酉矩阵 第18页/共83页第十八页,共84页。 都有等式关于矩阵范数的等价性定理。定理:设 是矩阵 的任意(rny)两种范数,则总存在正数 使得第19页/共83页第十九页,共84页。 诱导范数定义(dngy):设 是向量范数, 是矩阵范数,如果对于任何矩阵 与向量 都有则称矩阵范数 与向量范数 是相容的。例 1 :矩阵的Frobenius范数与向量的2-范数是相容的.证明
6、: 因为 第20页/共83页第二十页,共84页。根据(gnj)Hoider不等式可以得到第21页/共83页第二十一页,共84页。第22页/共83页第二十二页,共84页。于是有 例 2 :设 是向量的范数,则满足矩阵范数的定义,且 是与向量范 相容的矩阵范数。证明(zhngmng):首先我们验证此定义满足范数的四条性质。非负性,齐次性与三角不等式易证。现在考虑矩阵范数的相容性。第23页/共83页第二十三页,共84页。设 ,那么(n me) 因此(ync) 的确满足矩阵范数的定义。 第24页/共83页第二十四页,共84页。 最后证明 与 是相容的。由上面的结论可知这说明 与 是相容的。 定义:上面
7、所定义的矩阵范数称为由向量范数 所诱导(yudo)的诱导(yudo)范数或算子范数。由 第25页/共83页第二十五页,共84页。向量 P-范数 所诱导的矩阵(j zhn)范数称为矩阵(j zhn)P-范数。即常用的矩阵(j zhn)P-范数为 , 和 。定理:设 ,则(1)我们称此范数为矩阵(j zhn) 的列和范数。第26页/共83页第二十六页,共84页。(2) 表示矩阵(j zhn) 的第 个特征值。我们称此范数为矩阵(j zhn) 的谱范数。(3)我们称此范数为矩阵(j zhn) 的行和范数。例 1 :设 第27页/共83页第二十七页,共84页。计算(j sun) , , 和 。解:第2
8、8页/共83页第二十八页,共84页。因为(yn wi)所以 。练习 :设 或第29页/共83页第二十九页,共84页。分别计算(j sun)这两个矩阵的 , , 和 。例 2 :证明:对于任何矩阵 都有第30页/共83页第三十页,共84页。如何由矩阵范数构造与之相容的向量范数?定理:设 是矩阵范数,则存在向量范数 使得(sh de)证明:对于任意的非零向量 ,定义向量范数 ,容易验证此定义满足向量范数的三个性质,且第31页/共83页第三十一页,共84页。例:已知矩阵范数求与之相容(xin rn)的一个向量范数。解:取 。设第32页/共83页第三十二页,共84页。那么矩阵(j zhn)的谱半径及其
9、性质定义:设 , 的 个特征值为 ,我们称为矩阵(j zhn) 的谱半径。例 1 :设 ,那么第33页/共83页第三十三页,共84页。这里 是矩阵 的任何一种范数。例 2 :设 是一个正规(zhnggu)矩阵,则证明:因为 第34页/共83页第三十四页,共84页。于是有例 3 :设 是 上的相容(xin rn)矩阵范数。证明: (1) (2) 为可逆矩阵, 为 的特征值则有第35页/共83页第三十五页,共84页。例 5 :如果 ,则 均为可逆矩阵(j zhn),且这里 是矩阵(j zhn) 的算子范数。 第36页/共83页第三十六页,共84页。特征值估计(gj)粗略估计圆盘(yunpn)定理第
10、37页/共83页第三十七页,共84页。(1 1)定理定理1 1 ( (Schur) )设 的特征值为 ,则 (2 2)(3 3)这里 。并且当且仅当 是正规矩阵时,等号成立。第38页/共83页第三十八页,共84页。(1)的证明)的证明(zhngmng):设 的Schur分解为 ,上三角阵 的主对角元就是矩阵 的特征值。所以根据F-范数的酉不变性,有第39页/共83页第三十九页,共84页。(2)的证明)的证明(zhngmng):由于 ,因此第40页/共83页第四十页,共84页。在上述证明中,当且仅当 是正规矩阵时,上三角阵 为对角矩阵,即因此等号都成立。第41页/共83页第四十一页,共84页。(
11、1 1)推论推论1111( (Hirsch) )对 的任意特征值 ,有(2 2)(3 3)第42页/共83页第四十二页,共84页。(1)的证明)的证明(zhngmng):因此(ync(ync) )第43页/共83页第四十三页,共84页。例例 1 1 矩阵矩阵(j zhn)(j zhn)按推论11所得特征值的变化(binhu)范围为带型区域:这个(zh ge)结果显然比相应的Gerschgorin区域差。第44页/共83页第四十四页,共84页。定义定义2 2 对方阵 ,称为矩阵 的行盖尔(Gerschgorin)圆。称并集 为矩阵 的行盖尔(Gerschgorin)区域。这里类似地,可定义矩阵
12、的列盖尔圆。第45页/共83页第四十五页,共84页。定理定理3 3 (Gerschgorin)对方阵 (1 1)矩阵 的特征值都位于其行盖尔区域内;(2 2)若矩阵 有 个盖尔圆构成的并集 是连通区域,并且与其余 个盖尔圆均不相交,则 中恰好有 的 个特征值。第46页/共83页第四十六页,共84页。(1)的证明)的证明(zhngmng):设 有特征对 ,这里 ,则令 ,则 ,因此从而第47页/共83页第四十七页,共84页。例例 2 2 矩阵矩阵(j zhn)(j zhn)的三个行Gerschgorin圆分别(fnbi)是:第48页/共83页第四十八页,共84页。Wilkson在名著代数特征值问
13、题中,先将矩阵在名著代数特征值问题中,先将矩阵变换成变换成Jordan标准型,再用标准型,再用Gerschgorin定理和对定理和对角相似变换,对不同特征值结构的特征值问题进行角相似变换,对不同特征值结构的特征值问题进行了细致了细致(xzh)的扰动分析。的扰动分析。因为相似变换不改变特征值,为了得到特征值的更加准确的估计,Gerschgorin发现可以将矩阵 变换为其相似矩阵 ,以减少Gerschgorin圆的半径,达到隔离Gerschgorin 圆的目的。为计算方便,常常取 为对角矩阵第49页/共83页第四十九页,共84页。例例 3 3 矩阵矩阵(j zhn)(j zhn)经过对角相似变换
14、后,得第50页/共83页第五十页,共84页。三个行Gerschgorin圆分别(fnbi)收缩为:第51页/共83页第五十一页,共84页。%ex801.m j=sqrt(-1); A=20 5 0.8; 4 10 1;1 2 10*jgersch(A) %调用ATLAST程序库函数gerschhold on v=1 1 0.5;D=diag(v);B=inv(D)*A*D %通过对角(du jio)相似变换隔离Gerschgorin圆gersch(B)hold off第52页/共83页第五十二页,共84页。 ,如果 个数列都收敛,则称矩阵序列(xli) 收敛。 进一步,如果那么 我们称矩阵 为
15、矩阵序列(xli) 的极限。 矩阵序列与极限(jxin)定义:设矩阵序列 ,其中第53页/共83页第五十三页,共84页。例 :如果(rgu)设 ,其中那么第54页/共83页第五十四页,共84页。定理: 矩阵序列(xli) 收敛于 的充分必要条件是其中 为任意一种矩阵范数。证明:取矩阵范数必要性:设 第55页/共83页第五十五页,共84页。那么由定义(dngy)可知对每一对 都有从而有上式记为第56页/共83页第五十六页,共84页。充分性:设那么(n me)对每一对 都有即第57页/共83页第五十七页,共84页。故有现在(xinzi)已经证明了定理对于所设的范数成立,如果 是另外一种范数,那么由
16、范数的等价性可知第58页/共83页第五十八页,共84页。这样,当时同样可得因此定理对于任意一种范数都成立。 同数列的极限(jxin)运算一样,关于矩阵序列的极限(jxin)运算也有下面的性质。(1)一个收敛的矩阵序列的极限(jxin)是唯一的。(2)设第59页/共83页第五十九页,共84页。则(3)设,其中(qzhng) ,那么 (4)设 ,其中(qzhng) 第60页/共83页第六十页,共84页。那么(5)设 ,且 , 均可逆,则 也收敛(shulin),且例 1:若对矩阵 的某一范数 ,则第61页/共83页第六十一页,共84页。例 2:已知矩阵(j zhn)序列: 则 的充要条件是 。证明
17、: 设 的Jordan标准形其中第62页/共83页第六十二页,共84页。于是(ysh)显然, 的充要条件是又因第63页/共83页第六十三页,共84页。其中(qzhng)第64页/共83页第六十四页,共84页。于是(ysh) 的充要条件是 。因此 的充要条件是 矩阵的幂级数第65页/共83页第六十五页,共84页。定义(dngy):设 ,如果 个常数项级数都收敛, 则称矩阵级数收敛。如果 个个常数项级数第66页/共83页第六十六页,共84页。都绝对收敛(shulin), 则称矩阵级数绝对收敛(shulin)。 例 : 如果设 ,其中第67页/共83页第六十七页,共84页。那么矩阵级数(j sh)是
18、收敛的。第68页/共83页第六十八页,共84页。定理:设 ,则矩阵级数绝对收敛的充分(chngfn)必要条件是正项级数收敛,其中 为任意一种矩阵范数。证明:取矩阵范数 第69页/共83页第六十九页,共84页。那么(n me)对每一对 都有因此如果收敛,则对每一对 常数项级数第70页/共83页第七十页,共84页。都是收敛(shulin)的,于是矩阵级数绝对收敛(shulin)。 反之,若矩阵级数绝对收敛(shulin),则对每一对 都有第71页/共83页第七十一页,共84页。于是根据范数等价性定理知结论对任何(rnh)一种范数都正确。第72页/共83页第七十二页,共84页。定义(dngy):设
19、,称形如的矩阵级数为矩阵幂级数。第73页/共83页第七十三页,共84页。定理:设幂级数 的收敛(shulin)半径为为 阶方阵。若 ,则矩阵幂级数 绝对收敛(shulin);若 ,则 发散。 第74页/共83页第七十四页,共84页。证明: 设 的Jordan标准形为其中(qzhng)于是第75页/共83页第七十五页,共84页。所以(suy)第76页/共83页第七十六页,共84页。其中(qzhng)第77页/共83页第七十七页,共84页。第78页/共83页第七十八页,共84页。当 时,幂级数都是绝对(judu)收敛的,故矩阵幂级数 绝对(judu)收敛。第79页/共83页第七十九页,共84页。当
20、 时,幂级数发散,所以 发散。定理(dngl):矩阵幂级数绝对收敛的充分必要条件是 。且其和为 。第80页/共83页第八十页,共84页。例 1 : (1)求下面级数的收敛(shulin)半径(2)设判断矩阵幂级数 的敛散性。解:设此级数的收敛(shulin)半径为 ,利用公式第81页/共83页第八十一页,共84页。容易(rngy)求得此级数的收敛半径为2。而。所以由上面的定理可知矩阵幂级数绝对收敛。 第82页/共83页第八十二页,共84页。感谢您的欣赏(xnshng)第83页/共83页第八十三页,共84页。内容(nirng)总结证明:。(1)1范数。利用向量范数可以去构造新的范数。证明:此定义的非负性,齐次性是显然的。利用Minkowski不等式容易证明三角不等式。如何由矩阵范数构造与之相容的向量范数。B=inv(D)*A*D %通过对角相似变换(binhun)隔离Gerschgorin圆。根据范数等价性定理知结论对任何一种范数都正确。的矩阵级数为矩阵幂级数。感谢您的欣赏第八十四页,共84页。