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1、第二章第二章 导数与微分导数与微分derivative and differential前言：一元函数微分学简介前言：一元函数微分学简介一导数一导数导数的概念与计算导数的概念与计算导数的应用导数的应用二微分二微分 概念、计算与应用概念、计算与应用2-1 2-1 导数的概念导数的概念 concept of derivative 一导数的引入（两个实例）一导数的引入（两个实例） 1 1变速直线运动的瞬时速率变速直线运动的瞬时速率 2 2细胞的增长率细胞的增长率三导数的几何意义四函数连续性与可导性的关系二导数的定义 1实例分析求函数的变化率 2导数定义表述（定理） 3导数表示方法 4左导数与右导数一
2、一. .导数的引入导数的引入 introduce derivative1.1.变速直线运动的瞬时速率变速直线运动的瞬时速率（1 1）t时间内的路程时间内的路程（2）平均速度（3）瞬时速度例如：自由落体运动，已知A O M BS二导数的定义 definition of derivative 1.同两个实例求出函数的变化率 质点瞬时速率 细胞增长率2.细胞的增长率二二.2.2导数的定义表述导数的定义表述 前提前提 y = f (x) 在在x = x0 点有定义点有定义 当当 x 有增量有增量x , 相应地相应地 y 有增量有增量 y = f ( x0 + x ) - f (x0) 存在存在结论结论
3、 则则 f (x) 在在 x0 点有导数（可导），即点有导数（可导），即3.3.导数的表示方法导数的表示方法（1 1）导数值）导数值 对于定点对于定点x0（2）导函数 对于定义域内任一点4.左导数与右导数(统称为单侧导数) 导数是极限，导数存在的充要条件是对应的左极限=右极限，即左导数=右导数 定义 表 示 式 与 符 号左导数右导数例1.设下列各极限均存在，求各式是否成立？解：成立，这是点x=0的导数的表示式。解：左式是左导数,右式是导数,不一定成立。解：成立，作变换令-x =h，可化为标准式。 三导数的几何意义三导数的几何意义 geometric meaning of derivative
4、对于点对于点M（x0 , y0)割线斜率割线斜率 切线斜率切线斜率（M M）割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置播放播放几何意义几何意义 导数导数 (x0) 等于函数等于函数y = f (x) 曲线在点曲线在点M (x0 ,y0)的切线的斜率的切线的斜率f小结：导数是什么? 函数的（瞬时）变化率 改变量y与x之比的极限 曲线上切线的斜率四函数连续性与可导性的关系四函数连续性与可导性的关系 两条定理的前提条件比较两条定理的前提条件比较 连连 续续可可 导导 f (x)在在x0及其邻域及其邻域 有定义有定义同左同左对增量对增量x,有相应有相应y同左同左结论 可导 连续 y o x例：函数在某一点例：函数在某一点连续连续则不一定在该点则不一定在该点可导可导已知：已知：
