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1、第三节一、一、 变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功二、二、 液体的侧压力液体的侧压力三、三、 引力问题引力问题机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分在物理学上的应用 第六六章 一、一、 变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 xa 移动到力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 .在其上所作的功元素为因此变力F(x) 在区间 上所作的功为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1一个单求电场力所作的功 . 解解: 当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律库仑定律电场力为则功的元素为所求功为说明说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 位正电荷沿
2、直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a b) , 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 例例2体, 求移动过程中气体压力所解解:由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从点 a 处移动到点 b 处 (如图), 作的功 .建立坐标系如图. 由波义耳马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比 , 即功元素为故作用在活塞上的所求功为机动 目录 上页 下页 返回 结束 力为在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气 例例3试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解解: 建立坐标系如图. 在任一小区间上的一薄层水的重力为这薄层水吸出桶外所作的功(功元素功元素)为故所求功为( KJ )设
3、水的密度为机动 目录 上页 下页 返回 结束 (KN)一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m, 面积为 A 的平板二、液体侧压力二、液体侧压力设液体密度为 深为 h 处的压强: 当平板与水面平行时, 当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 平板一侧所受的压力为小窄条上各点的压强例例4 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力. 解解: 建立坐标系如图. 所论半圆的利用对称性 , 侧压力元素端面所受侧压力为机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程为一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 说明说明: 当桶内充满液体时,小窄条上的压强
4、为侧压力元素故端面所受侧压力为奇函数奇函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、三、 引力问题引力问题质量分别为的质点 , 相距 r ,二者间的引力 :大小:方向:沿两质点的连线若考虑物体物体对质点的引力, 则需用积分解决 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直棒,其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M,该棒对质点的引力.解解: 建立坐标系如图. 细棒上小段对质点的引力大小为故垂直分力元素为机动 目录 上页 下页 返回 结束 在试计算利用对称性利用对称性棒对质点引力的水平分力机动 目录 上页 下页 返回 结束 故棒对质点的引力大小为棒
5、对质点的引力的垂直分力为 说明说明:2) 若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处1) 当细棒很长时,可视 l 为无穷大 ,此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒 .移到 b (a b) 处时克服引力作的功,机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有引力大小为机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意正负号3) 当质点位于棒的左端点垂线上时, 内容小结内容小结(1) 先用微元分析法求出它的微分表达式 dQ(2) 然后用定积分来表示整体量 Q , 并计算之. 用定积分求一个分布在某区间上的整体量 Q 的步骤:2. 定积分的物理应用:变力作功 , 侧压力 , 引力等.机动 目录 上页 下页 返回 结束
6、1. 定积分在几何上的应用平面图形的面积 ,体积 , 弧长等.微元分析法 设星形线上每一点处线密度的大小等于该点到原点距离的立方,提示提示: 如图.在点O 处有一单 位质点 ,求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习同理故星形线在第一象限的弧段对该质点的习题课 目录 上页 下页 返回 结束 引力大小为作业作业: P287 4 , 5 , 7锐角 取多大时, 薄板所受的压力 F 最大 .拓展题拓展题斜边为定长的直角三角形薄板, 垂直放置于解解: 选取坐标系如图. 设斜边长为 l ,水中, 并使一直角边与水面相齐, 则其方程为问斜边与水面交成的机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故得唯一驻点 故此唯一驻点即为所求. 由实际意义可知最大值存在 ,即
