课件第3部分图像变换

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1、第第3 3章章 图像变换图像变换莲膘秘吕抛禾艰烹炒棋执哟糕鹤姥幌酶冰敛洒个伐镰刘姥怖币戏葛顷剪寓课件第3部分图像变换课件第3部分图像变换3.1 3.1 二维离散傅里叶变换（二维离散傅里叶变换（DFTDFT）3.1.1 二维连续傅里叶变换二维连续傅里叶变换l二维连续函数二维连续函数 f (x, y)的傅里叶变换定义如下：的傅里叶变换定义如下：l设设 是独立变量是独立变量 的函数，且在的函数，且在 上绝对可上绝对可积，则定义积分积，则定义积分 为二维连续函数为二维连续函数 的付里叶变换，并定义的付里叶变换，并定义 为为 的反变换。的反变换。 和和 为傅里叶变换对为傅里叶变换对。（3.1） （3.2

2、） 婚爪妥爵擒纽梆唯鼓饿龙蔓码妥阮染妆梧蹬讹挡推揍姑承霹汀屏迹蛆殃婚课件第3部分图像变换课件第3部分图像变换【例【例3.1】求图】求图3.1所示函数所示函数 的傅里叶变换。的傅里叶变换。 解：将函数代入到解：将函数代入到(3.1)式中，得式中，得 其幅度谱为其幅度谱为钡差敞振缚喂弗宙泼茅贿渠惹粳械琢欲娟势孩轻颓菇岛拆疚怀妹骚糕天猖课件第3部分图像变换课件第3部分图像变换二维信号的图形表示图图3.1 二维信号二维信号f (x, y) 狡靖吮潮惩馁毡尉憨产倚层摸蒂纷婚涉筹阵囚纬款唆撂荐儡酮殿竭厢蓖紫课件第3部分图像变换课件第3部分图像变换（a）信号的频谱图）信号的频谱图 （b）图（）图（a）的灰度

3、图）的灰度图图图3.2 信号的频谱图信号的频谱图 二维信号的频谱图锋殖橱九冒忿锤柏漆换哆庇雀没傣医蛤声苑九牛底晕泰刹戳枫狙躺丘扩蛔课件第3部分图像变换课件第3部分图像变换3.1.2 3.1.2 二维离散傅里叶变换二维离散傅里叶变换l尺寸为尺寸为MN的离散图像函数的的离散图像函数的DFT l反变换可以通过对反变换可以通过对F(u,v) 求求IDFT获得获得 （3.3） （3.4） 剪凉权士荐铜乃痊徘慎弦聪沫刮梢质驼海彼谜撵焙侄追型虎旅详矽瓮巡孰课件第3部分图像变换课件第3部分图像变换 lDFT变换进行图像处理时有如下特点：变换进行图像处理时有如下特点：l（1）直流成分为）直流成分为F(0,0)。

4、l（2）幅度谱）幅度谱|F(u,v)|对称于原点。对称于原点。l（3）图像）图像f (x, y)平移后，幅度谱不发生平移后，幅度谱不发生变化，仅有相位发生了变化。变化，仅有相位发生了变化。 （3.5） （3.6） 战葵焚唱渊俐民呕谍时国琢蜗憨耍炭捣竭眩车砍趁蛛击劳简男讫迹丰浸旷课件第3部分图像变换课件第3部分图像变换3.1.3 3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质二维离散傅里叶变换的性质1 1周期性和共轭对称性周期性和共轭对称性l周期性和共轭对称性来了许多方便。周期性和共轭对称性来了许多方便。l我们首先来看一维的情况。我们首先来看一维的情况。l设有一矩形函数为设有一矩形函数为, ,求出它的傅里

5、叶变换：求出它的傅里叶变换： 鲸夜尿莲运希役傈噶硕笋雄寺卷雅优谐绑眨吭贝支逃粹鹊摸急沸环前能谎课件第3部分图像变换课件第3部分图像变换幅度谱：幅度谱： （a）幅度谱）幅度谱 （b）原点平移后的幅度谱）原点平移后的幅度谱 图图3.4 频谱图频谱图 破罐扔北窄废渔援罐粉贼曹靶氢露迸账每继敞毒背走仍缴振赁柔劫诗樟啼课件第3部分图像变换课件第3部分图像变换nDFT取的区间是取的区间是0,N-1，在这个区间内频，在这个区间内频谱是由两个背靠背的半周期组成的谱是由两个背靠背的半周期组成的 ，要显，要显示一个完整的周期，必须将变换的原点移至示一个完整的周期，必须将变换的原点移至u=N/2点。点。n根据定义，

6、有根据定义，有 n在进行在进行DFT之前用之前用(-1)x 乘以输入的信号乘以输入的信号 f (x) ，可以在一个周期的变换中（，可以在一个周期的变换中（u0，1，2，N1），求得一个完整的频谱。），求得一个完整的频谱。（3.7） 挫剖关谚谦仑羊式鹰劲话蘸鸯奏悬碉抢嘲当兼缺焕福姨章铬肘砾壹壬痊仲课件第3部分图像变换课件第3部分图像变换l推广到二维情况。在进行傅里叶变换之前用推广到二维情况。在进行傅里叶变换之前用(-1)x+y 乘以输入的图像函数，则有：乘以输入的图像函数，则有： lDFT的原点，即的原点，即F(0,0)被设置在被设置在u=M/2和和v=N/2上。上。l(0,0)点的变换值为：点

7、的变换值为： 即即 f (x,y) 的平均值。的平均值。l如果是一幅图像，在原点的傅里叶变换如果是一幅图像，在原点的傅里叶变换F(0,0)等于等于图像的平均灰度级，也称作频率谱的直流成分。图像的平均灰度级，也称作频率谱的直流成分。 （3.8） （3.9） 舟淄衔朵蛙垃盂岔忠翁透阴援捡企滴膏矩甭颂感读唤卜鸽猫鞠忆惟禽都雕课件第3部分图像变换课件第3部分图像变换（a）原始图像）原始图像 (b) 中心化前的频谱图中心化前的频谱图 (c) 中心化后的频谱图中心化后的频谱图图图3.5 图像频谱的中心化图像频谱的中心化 螟源何腺呀悍逞融厂申喀靛演轩韦祸窘衣筐租棒攻冠筛命弄拭律斜口曙鸯课件第3部分图像变换课

8、件第3部分图像变换2可分性可分性l离散傅里叶变换可以用可分离的形式表示离散傅里叶变换可以用可分离的形式表示 这里这里l对于每个对于每个x值，当值，当v0，1，2，N1时，时，该等式是完整的一维傅里叶变换。该等式是完整的一维傅里叶变换。 （3.10） （3.11） 傲与使父初涡楔玫爸蚂貌哈讶诺履潮采濒惋堑渭拌鳃儒税签荆硷呆址烃箱课件第3部分图像变换课件第3部分图像变换n二维变换可以通过两次一维变换来实现。二维变换可以通过两次一维变换来实现。n同样可以通过先求列变换再求行变换得到同样可以通过先求列变换再求行变换得到2D DFT。 图图3.6 二维二维DFT变换方法变换方法匈缕辟帽指背段矿许偶晓校闯

9、橡勇蔫慕帧牡栓饲船撰售抹刘孪疹仙获休悔课件第3部分图像变换课件第3部分图像变换3离散卷积定理离散卷积定理l设设f(x,y)和和g(x,y) 是大小分别为是大小分别为AB和和CD的两个数的两个数组，则它们的离散卷积定义为组，则它们的离散卷积定义为l卷积定理卷积定理 （3.12） （3.13） 图蓑排控堤让俞炳虐届遮饥经辅疹亥葱酷离倡甜牺又斋炕睫晃爽纵钠督示课件第3部分图像变换课件第3部分图像变换【例【例3.2】用】用MATLAB实现图像的傅里叶变换。实现图像的傅里叶变换。 解：解：MATLAB程序如下：程序如下： A=imread(pout.tif); %读入图像读入图像 imshow(A);

10、%显示图像显示图像 A2=fft2(A); %计算二维傅里叶变换计算二维傅里叶变换 A2=fftshift(A2); %将直流分量移到频谱图的中心将直流分量移到频谱图的中心figure, imshow(log(abs(A2)+1),0 10); %显示变换后的频谱图显示变换后的频谱图氛耗宦清捕川医奠藩宿觅诬泄替会掌肥侠贾校藤千抠横沏抚叁沿雄皮曙僚课件第3部分图像变换课件第3部分图像变换 （a）原始图像）原始图像 （b）图像频谱）图像频谱图图3.7 傅里叶变换傅里叶变换汇尤碾泌贿蒸班沟注坟麦铣却赔瓣矿冻相恬疯岗嚣铲片玖陛蜀郧遭薪弘茄课件第3部分图像变换课件第3部分图像变换3.2 3.2 二维离散

11、余弦变换（二维离散余弦变换（DCTDCT）l任何实对称函数的傅里叶变换中只含余弦项，余弦变换任何实对称函数的傅里叶变换中只含余弦项，余弦变换是傅里叶变换的特例，余弦变换是简化是傅里叶变换的特例，余弦变换是简化DFT的重要方法。的重要方法。3.2.1 一维离散余弦变换一维离散余弦变换l将将一一个个信信号号通通过过对对折折延延拓拓成成实实偶偶函函数数，然然后后进进行行傅傅里里叶叶变换，我们就可用变换，我们就可用2N点的点的DFT来产生来产生N点的点的DCT。 1以以x=-1/2为对称轴折叠原来的实序列为对称轴折叠原来的实序列f(n) 得：得： （3.14） 沪皖又漠讶掘绸掂汕监玩菇荒微搀萌肮漱哥轨

12、阳卸氓讥片蜀馒卧焉判舷锄课件第3部分图像变换课件第3部分图像变换-N-10N-1NN+1f (n)图图3.8 延拓示意图延拓示意图 2以以2N为周期将其周期延拓，其中为周期将其周期延拓，其中f（0）f（1），），f（N1）f（N） （3.15） （3.16） 扎绎翻麦兑疡政卸蹭柳杠吱矛堕稿傲向加肺疑孰所出蕊冉哩卑图族建邹仕课件第3部分图像变换课件第3部分图像变换3对对0到到2N1的的2N个点的离散周期序列个点的离散周期序列 作作DFT，得，得令令i2Nm1，则上式为，则上式为 南钵嘶弊尧蝗闸自目鄂击慧耽派店满捶蕾以悼候福泳烬翔妻砰顿飞锗挖哩课件第3部分图像变换课件第3部分图像变换l 为了保证变

13、换基的规范正交性，引入常量，定义：为了保证变换基的规范正交性，引入常量，定义：F(k)C(k) C(k)= （3.17） 其中其中（3.18） 3.2.2 3.2.2 二维离散余弦变换二维离散余弦变换 （3.19） 瓶笺桥旺讹汕毯晚收膳鸽缆差廊忍沁镰轮败颗臂冕佃喻汰安芝谊愈砷准姐课件第3部分图像变换课件第3部分图像变换DCT逆变换为逆变换为 【例【例3.3】应用】应用MATLAB实现图像的实现图像的DCT变换。变换。 解：解：MATLAB程序如下：程序如下： A=imread(pout.tif); %读入图像读入图像 I=dct2(A); %对图像作对图像作DCT变换变换 subplot(1,

14、2,1),imshow(A); %显示原图像显示原图像 subplot(1,2,2),imshow(log(abs(I),0 5); （3.20） 狐自邪悉豆矩煎妇障涛缕膛亨失佰楞洪涟辖秤近般嘶掳途盐球柜贺疆缅痹课件第3部分图像变换课件第3部分图像变换（a）原图）原图 （b）DCT系数系数图图3.10 离散余弦变换离散余弦变换艳加互跑勘滴傀厅感解哮辞淖硬助壁仗遥著裔铣橙惕潞勇政坷析碰颁德适课件第3部分图像变换课件第3部分图像变换3.3 3.3 二维离散沃尔什二维离散沃尔什- -哈达玛变换（哈达玛变换（DHTDHT）l前面的变换都是余弦型变换，基底函数选用的都是余弦型。前面的变换都是余弦型变换，

15、基底函数选用的都是余弦型。l图像处理中还有许多变换常常选用方波信号或者它的变形。图像处理中还有许多变换常常选用方波信号或者它的变形。l沃尔什（沃尔什（Walsh）变换。）变换。l沃尔什函数是一组矩形波，其取值为沃尔什函数是一组矩形波，其取值为1和和-1，非常便于计，非常便于计算机运算。算机运算。l沃尔什函数有三种排列或编号方式，以哈达玛排列最便于沃尔什函数有三种排列或编号方式，以哈达玛排列最便于快速计算。快速计算。l采用哈达玛排列的沃尔什函数进行的变换称为沃尔什采用哈达玛排列的沃尔什函数进行的变换称为沃尔什-哈哈达玛变换，简称达玛变换，简称WHT或直称哈达玛变换。或直称哈达玛变换。 涤砒掂缀奢

16、载砚髓篡悔哎岗塌莽辕湃泡徊赣荡巨剧辣拆父且播廓践共辐疚课件第3部分图像变换课件第3部分图像变换3.3.1 3.3.1 哈达玛变换哈达玛变换l哈达玛矩阵：元素仅由哈达玛矩阵：元素仅由1和和1组成的正交方阵。组成的正交方阵。l正交方阵：指它的任意两行（或两列）都彼此正交，或正交方阵：指它的任意两行（或两列）都彼此正交，或者说它们对应元素之和为零。者说它们对应元素之和为零。l哈达玛变换要求图像的大小为哈达玛变换要求图像的大小为N2n 。l一维哈达玛变换核为一维哈达玛变换核为 其中，其中， 代表代表z的二进制表示的第的二进制表示的第k位值。位值。（3.21） 聪泊佬抛猫好颂费虞艳脾疚副一贱叭惑渗雕龄挞

17、饼啸礼毋荚炽冤抵锥珊挥课件第3部分图像变换课件第3部分图像变换l一维哈达玛正变换为一维哈达玛正变换为 l一维哈达玛反变换为一维哈达玛反变换为 l二维哈达玛正反变换为二维哈达玛正反变换为 （3.22） （3.23） （3.24） （3.25） 差稠懈竣腑衷酌税微刨赏街终姓也呈托渣仲毕蓟晋文存宇蜜袜幼靡夜令担课件第3部分图像变换课件第3部分图像变换l二维哈达玛正、反变换也具有相同形式。二维哈达玛正、反变换也具有相同形式。l正反变换都可通过两个一维变换实现。正反变换都可通过两个一维变换实现。l高阶哈达玛矩阵可以通过如下方法求得：高阶哈达玛矩阵可以通过如下方法求得：lN8的哈达玛矩阵为的哈达玛矩阵为

18、（3.26） （3.27） 惭型裸副郑幻蹬凶力圣趟甩壤蒙烷毕到臃戚徊冉射酪联袒信订假戌椰戈脸课件第3部分图像变换课件第3部分图像变换3.3.2 沃尔什变换l哈达玛变换矩阵，其列率的排列是无规则的。哈达玛变换矩阵，其列率的排列是无规则的。l将无序的哈达玛核进行列率的排序，之后得到将无序的哈达玛核进行列率的排序，之后得到的有序的变换就成为沃尔什（的有序的变换就成为沃尔什（Walsh）变换。）变换。 l一维一维Walsh变换核为变换核为l 二维沃尔什正变换和反变换为二维沃尔什正变换和反变换为（3.28） 祖葛谜办舷疗旋施优趟者渐谆理席诛宜挖假券海冗树橡宠割昌嚎卤也党佰课件第3部分图像变换课件第3部分

19、图像变换N8时的沃尔什变换核的值为时的沃尔什变换核的值为 3.4 卡胡南卡胡南-列夫变换（列夫变换（K-L变换）变换）lKahunen-Loeve变换是在均方意义下的最佳变换。变换是在均方意义下的最佳变换。l优点：能够完全去除原信号中的相关性，因而具优点：能够完全去除原信号中的相关性，因而具有非常重要的理论意义。有非常重要的理论意义。l缺点：基函数取决于待变换图像的协方差矩阵，缺点：基函数取决于待变换图像的协方差矩阵，因而基函数的形式是不定的，且计算量很大。因而基函数的形式是不定的，且计算量很大。H8= （3.29） 刨怕工辖显拂编喀淖蹋债昔非冬腿皑剥郸可铅主毖锌宏响苏谬伺演讹余坡课件第3部分

20、图像变换课件第3部分图像变换K-L变换基本原理变换基本原理设：随机图像训练集设：随机图像训练集X为为N*N阶矩阵的集合，每阶矩阵的集合，每张图像写成向量张图像写成向量 则均值向量为则均值向量为 X的自协方差矩阵为的自协方差矩阵为K = = 其中：其中： 为为X的自相关函数的自相关函数在在 中对角线上为中对角线上为 各个分量的方差，非对角线各个分量的方差，非对角线上为各个分量间的协方差。因此上为各个分量间的协方差。因此K 为对称矩阵。为对称矩阵。著如梧粮壁殷厌寓记竟霉炬钡掸笺态蛙道鸥兄琴晰贰箱游夜且俱企淘颇湛课件第3部分图像变换课件第3部分图像变换计算计算 的根，有的根，有 在线性代数理论中知：

21、由特征值在线性代数理论中知：由特征值 可以进一步求可以进一步求得特征向量。得特征向量。 即即 特征向量特征向量 满足满足 由特征向量可构成特征向量矩阵由特征向量可构成特征向量矩阵 因此有因此有 其中：其中：渝党咆猫庆术萌牛燎凤烟糯皇限藕暗适蔡邑都祖赎姨腑结串藩氯幅垣蓄啪课件第3部分图像变换课件第3部分图像变换 取取 A 为变换矩阵，对为变换矩阵，对 作变换，则有作变换，则有 该式称为该式称为K-L变换，并有变换，并有 因此经因此经K-L变换后，等价于变换后，等价于F已完全去处相关性。已完全去处相关性。问题问题 求变换核求变换核 A 需计算协方差矩阵，计算量大且无快需计算协方差矩阵，计算量大且无

22、快速算法；变换核速算法；变换核A与数据与数据X集有关，不适合用于正集有关，不适合用于正交变换领域。交变换领域。鲜攻鲸讹刽学乡筋罐金扼敝踪瑚甩帽孤灼汞畏幕蛹浩伤醛爷冕饿擂冲懈侗课件第3部分图像变换课件第3部分图像变换K-L变换的应用变换的应用把把 从大到小排列，取前从大到小排列，取前MN个特征值对应个特征值对应的特征向量构成变换矩阵为的特征向量构成变换矩阵为AM*N，则，则一一. 基于变换域的数据压缩基于变换域的数据压缩 正变换正变换 Y=A（ ），其中；），其中；X维数为维数为N，Y维数为维数为M 逆变换逆变换 =ATY，注：对于正交变换有，注：对于正交变换有AT=A-1 特点：特点： A随数

23、据集合随数据集合X不同而变化，工程应用无意义。不同而变化，工程应用无意义。二二. 统计学习和知识抽取统计学习和知识抽取 对对Y进一步进行聚类，可以在进一步进行聚类，可以在M维空间上建立维空间上建立Y的描述，进的描述，进而完成而完成N维空间上关于维空间上关于X的描述，获得关于的描述，获得关于X的知识。的知识。三三. 模式识别模式识别 建立对建立对Y的分类器，可实现对的分类器，可实现对X的分类。的分类。肋焉枉迁萤津租贾绊甲房嗽俯白播篮典于谴提碾磺净锗拘獭灾专坠皋寓帮课件第3部分图像变换课件第3部分图像变换K-L变换引入的失真变换引入的失真正交变换保持能量守恒，即：正交变换保持能量守恒，即： 时域能

24、量总和时域能量总和=变换域能量总和变换域能量总和 的协方差矩阵为的协方差矩阵为 Y的协方差矩阵为的协方差矩阵为 因此，信号总能量为：因此，信号总能量为： 当作降维操作时有能量保持率为当作降维操作时有能量保持率为 引入的失真（噪声能量）引入的失真（噪声能量）师凸砚诅窜称惫拂独钢既秸挽冉驻舷鲜徒培堰镍蛹秘变辰闹鲜母瘫扭测效课件第3部分图像变换课件第3部分图像变换3.5 3.5 二维离散小波变换二维离散小波变换l一一种种窗窗口口大大小小固固定定，但但形形状状可可改改变变，因因而而能能满满足足时时频频局部化分析的要求的变换。局部化分析的要求的变换。 3.5.1 连续小波变换连续小波变换l设设 且且 ，

25、按按如如下下方方式式生生成成的的函函数数族族 称为分析小波或连续小波。称为分析小波或连续小波。l 称为基本小波或母波称为基本小波或母波la称为伸缩因子，称为伸缩因子，b为平移因子。为平移因子。（3.30） 弄驭爬栓总并撤瞅蹬进吞扦肩告鸿芳锯走赖固簇祈脏回萍讼杰颧捏侮殆卸课件第3部分图像变换课件第3部分图像变换3.5.2 离散小波变换离散小波变换l把连续小波变换离散化更有利于实际应用。把连续小波变换离散化更有利于实际应用。l对对a和和b按如下规律取样：按如下规律取样： 其中，其中， ； ； ，得离散小波：，得离散小波： 离散小波变换和逆变换为离散小波变换和逆变换为 （3.31） （3.32） （

26、3.33） 藐势耗馒凋携雨窜论饵册珍橱赣绿讲狭江磅匠验疚阉蜂潍嘉勿鹅样祭恩锣课件第3部分图像变换课件第3部分图像变换3.5.3 3.5.3 快速小波变换算法快速小波变换算法【例【例3.4】应用】应用MATLAB实现小波变换的例子。实现小波变换的例子。解：解：MATLAB程序如下：程序如下：X=imread(pout.tif); %读入图像读入图像imshow(X);cA1,cH1,cV1,cD1 = dwt2(X,bior3.7); %进行二维小波变换进行二维小波变换A1 = upcoef2(a,cA1,bior3.7,1); H1 = upcoef2(h,cH1,bior3.7,1);V1

27、= upcoef2(v,cV1,bior3.7,1);D1 = upcoef2(d,cD1,bior3.7,1);subplot(2,2,1); image(wcodemat(A1,192);title(Approximation A1)subplot(2,2,2); image(wcodemat(H1,192);title(Horizontal Detail H1)subplot(2,2,3); image(wcodemat(V1,192);title(Vertical Detail V1)subplot(2,2,4); image(wcodemat(D1,192);title(Diagonal Detail D1)嫩坑漫戎稽醇教虞屯狭凋励酚户恰傍坚执厕鸿苗胳舔履厕肉惮呸杆诀陶缀课件第3部分图像变换课件第3部分图像变换 图图3.16 小波变换结果图小波变换结果图 殖宗绵迁福遗授妇馋傍靠喜毒佰宦缠削岩翼优逞毛寒渍工译匹盂漓帽墅像课件第3部分图像变换课件第3部分图像变换