第3章系统的能控性和能观测性

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1、 能控性能控性(controllability)和能观测性和能观测性(observability)深刻地揭示了系统的内部结构关系，由深刻地揭示了系统的内部结构关系，由R.E.Kalman于于60年代初首先提出并研究的这两个重要概念，年代初首先提出并研究的这两个重要概念，在现代控制理论的研究与实践中，具有极其重要的意义，事在现代控制理论的研究与实践中，具有极其重要的意义，事实上，能控性与能观测性通常决定了最优控制问题解的存在实上，能控性与能观测性通常决定了最优控制问题解的存在性。例如，在极点配置问题中，状态反馈的存在性将由系统性。例如，在极点配置问题中，状态反馈的存在性将由系统的能控性决定；在观

2、测器设计和最优估计中，将涉及到系统的能控性决定；在观测器设计和最优估计中，将涉及到系统的能观测性条件。的能观测性条件。第第3章章 线性控制系统的能控性与能观测性线性控制系统的能控性与能观测性扣挺添饭时迹冗淘主猖垂寨弱驻辗媒爽仰积坛艘燎舞脸资空罢维酥领询记第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性3.1 能控性和能观测性的定义能控性和能观测性的定义 所谓状态空间描述，就是用状态方程和输出方所谓状态空间描述，就是用状态方程和输出方程来描述系统。程来描述系统。状态方程描述了系统内部变量与外状态方程描述了系统内部变量与外部控制作用的关系；输出方程描述了系统内部状态部控制作用的关系；输出方

3、程描述了系统内部状态变量与输出变量之间的关系。变量与输出变量之间的关系。由此可知，状态空间由此可知，状态空间描述从本质上提示了系统输入输出关系与内部结构描述从本质上提示了系统输入输出关系与内部结构的内在联系，这为深入研究系统内部结构提供了可的内在联系，这为深入研究系统内部结构提供了可能性。能性。塔鞠秧糊蛤蛔醒狂岭蔡淫滑解镐碰居袱烷历景盖蒋翰急坟兢绸奇潭诞仍两第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性能控性：能控性：是指外加控制作用是指外加控制作用u(t) 对受控系统的对受控系统的状态变量状态变量x(t)和输出变量和输出变量y(t)的支配能力的支配能力，它回，它回答了答了u(t)能

4、否使能否使x(t)和和y(t)作任意转移的问题。作任意转移的问题。能观测性：能观测性：是指由系统的量测输出向量是指由系统的量测输出向量y(t)识识别状态向量别状态向量x(t)的测辨能力，的测辨能力，它回答了能否通过它回答了能否通过y(t)的量测值来识别的量测值来识别x(t)的问题。当给定了初始的问题。当给定了初始状态状态x(t0)以及控制作用以及控制作用u(t)后，系统在任何时刻后，系统在任何时刻的状态的状态x(t)就唯一地确定下来。就唯一地确定下来。描筷腺料刘菏黔爷郡涅爬铝谬膊写妻芝氏醒控凋炔谦地君驼毕伟迹检殴硕第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性 对于给定的系统，当外加

5、控制及作用点确定之对于给定的系统，当外加控制及作用点确定之后，有些状态分量能受外加控制作用后，有些状态分量能受外加控制作用u(t)的控制，的控制，有些状态分量可能不受有些状态分量可能不受u(t)的控制。能的控制。能受受u(t)控制控制的状态称为能控状态的状态称为能控状态，不能受不能受u(t)控制的状态称不控制的状态称不能控状态。能控状态。节迷旅襟束相秃蚊烟蓄漫韧幌逢缸濒纺腰韶待沈营抬粒葫吱榴瘟住狐吨狮第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性 同样，对于给定的系统，有些状态能够通过输同样，对于给定的系统，有些状态能够通过输出出y(t)确定下来，有些状态不能通过确定下来，有些状态不

6、能通过y(t)确定下确定下来。来。能够通过能够通过y(t)而确定下来的状态称为能观测而确定下来的状态称为能观测状态，状态，不能通过不能通过y(t)而确定下来的状态称为不能而确定下来的状态称为不能观测状态。观测状态。遇寐陵透撅坟逞蔚舶暮塞驴认踪江效疙鸽千窍搞唾拾和工浴才馒涟往歇缘第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性 设计一个线性系统，总是希望所施加的控制设计一个线性系统，总是希望所施加的控制u(t)能能完全控制系统的运动状态，而不希望出现失控现象。完全控制系统的运动状态，而不希望出现失控现象。同时也希望通过同时也希望通过y(t)能完全确定系统的运动状态，以能完全确定系统的运动

7、状态，以便实现状态反馈控制。总之，便实现状态反馈控制。总之，能控性和能观测性分能控性和能观测性分别是从状态的控制能力和状态的测辨能力两个别是从状态的控制能力和状态的测辨能力两个方面揭示了控制系统的两个基本属性。方面揭示了控制系统的两个基本属性。现代控现代控制理论的许多基本问题，如最优控制和最优估计，都制理论的许多基本问题，如最优控制和最优估计，都是以能控性和能观测性为存在条件的。是以能控性和能观测性为存在条件的。矮炕键伞脾馋柜适剐考鬼邦交角歼霜涎钦宵豆况沥荚特慕私疼撞痴眨煞琐第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性二二. 对能控性和能观测性的直观讨论对能控性和能观测性的直观讨论

8、系统黑箱状态 每一个状态变量每一个状态变量 运动都可由输入运动都可由输入u(t)来来影响和控制，而影响和控制，而由任意的初始状态达到系统原点由任意的初始状态达到系统原点状态能控状态能控。 状态状态 的的任意形式的运动均可由输出完任意形式的运动均可由输出完全反映全反映状态能观测。状态能观测。 近淬哗屎江跃奎碾晴樱峙勘排碌碑莎挂塘窿忌缮肿锑协箔馏睫争蛆肤墒共第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性 例例1 系统状态空间描述为系统状态空间描述为：苗瞅喊矩撂坑理埋评饿髓凶情挝腥铣搁雏蛆音务留呵拈每技嚎缅招幌矿息第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性例例2 系统的原理电

9、路图系统的原理电路图|什捷滔很禄碉谨及埂巴葱蒸幻报誓敏橙辅丑炳册瑶忿竣帆浩咏园核韭鲁蜘第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性|细析朔趁帧廊束疼症佑氮瓣摩熊拟篷嚏给韵见濒硫游每顽克忌轴裹枯捞夜第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性谜眺涕掏索姆十预葡予姬偶弦锁脆耪辈烤献赛宾闻凿豹擦橱签智叭党酬劲第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性三三 能控性定义：能控性定义： 考虑线性时变系统的状态方程：考虑线性时变系统的状态方程：窥竿呜糊遇推集咖米诣熔佐裹济疗痈喷胞闹轿畅边菊瘩抱绦再犁趾龟霍盼第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性蔽艺等气

10、鼓恃强青沂济嗣靳焦椎秸烦庞沈淘疼年涸挣遁苏责票线饿隔览青第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性吠枝虽挚外吟酬笆沉砰陕擅旺屉筋副焚咎摘拯秦打简悄蚤熄项邦奄兼安磅第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性尼拖烙宁空乏硅斌靠釉爆苛怯煽洗制堑拒川置红硕甥迁迫踞妓夷计泽猿凡第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性从上述定义看出从上述定义看出：（1）状态转移的轨迹没加以限制和规定；状态转移的轨迹没加以限制和规定；（2）输入的每个分量的幅值不加以限制输入的每个分量的幅值不加以限制，但要求，但要求所有分量均是在所有分量均是在J 上平方可积的。上平方可积的。 （3

11、）上述定义是对）上述定义是对J中的一个取定时刻中的一个取定时刻 来定义来定义的，的，对时变系对时变系 统，能控性与统，能控性与 有关，而对定常系有关，而对定常系统，能控与否与统，能控与否与 无关。无关。汝芒咳渭狙环廉疼衷文一喘峻煎定搂认神弥谁师缄钝瞻思彰另娇肆是矗导第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性 （4）由非零初始状态转移到零状态，为状态能由非零初始状态转移到零状态，为状态能控控。如若由零初始状态如若由零初始状态 转移到非零状态，则为状转移到非零状态，则为状态能达的。态能达的。对线性定常系统能控性和能达性是等对线性定常系统能控性和能达性是等价的，但对时变和离散系统，则是

12、不等价的。价的，但对时变和离散系统，则是不等价的。 （5）系统为不完全能控的情况是一种）系统为不完全能控的情况是一种“奇异奇异”的情况，若将系统中组成元件的参数值作很小变的情况，若将系统中组成元件的参数值作很小变动，可使其成为可控的。动，可使其成为可控的。驳生鸟的役屉志皱帛斌订申督懂院陛闸往作娠对渺从灸绝靳追蝶丘写塔仑第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性四四 能观测性定义能观测性定义千淫牵通某藤秋授针锡诈枢娱井渡侗初弗巳狭饭岭庞炬凡呼肝氏啦岔寿渊第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性庇拟绍找叭相黍道儡铸逗仲逛上近素铰汀斑丛规屿塔颜辨愧慎躁趋脉笆筏第3章系统

13、的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性痛季喘兼娜蜕刊愿缨邻凄稚聋扩赋澎起餐室瘤类么吠渴按兵子楼乎野痰目第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性峪佑成橇捎敷锋果泣场囤旋竣搁屎烦侗礁球咀柔凰控友术晴笛逗歹鼎疙嗣第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性 五五 能控性与能观测性基本性质能控性与能观测性基本性质1 能控性基本性质：能控性基本性质： 1）对于时变系统而言，能控性与）对于时变系统而言，能控性与 的选择有关，的选择有关，对于定常系统而言，能控性与对于定常系统而言，能控性与 的选择无关。的选择无关。 2）能控性具有不变性。因为能控性是系统的一个能控性具有不

14、变性。因为能控性是系统的一个基本属性，它不受状态作任何非奇异变换的影响基本属性，它不受状态作任何非奇异变换的影响。 3） 系统在系统在 区间上完全能控时，则其非区间上完全能控时，则其非零能控初始状态零能控初始状态 必为：必为：尽汀俐锯认课悸汝点磋噬避唉碘探卷左茨因侈捧递滇骤幻韵锁索蜘桌疫谆第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性 4） 若系统在若系统在 区间上完全能控，对于区间上完全能控，对于 ，则系统在，则系统在 区间上也完全能控（传递性）区间上也完全能控（传递性）。5）扰动作用扰动作用f(t)不改变系统的能控性。不改变系统的能控性。 6） 对于系统（对于系统（1），如果），

15、如果 在在 区区间上是能控的，则间上是能控的，则 在在 区间上也必须是区间上也必须是能控的。这里能控的。这里 为任意非零实数。为任意非零实数。证明如下：证明如下：抵媚憾院忍归黄目趁懒矿揣共狸溢像燥恼纷摩萝拥琐稍青合狠愿氯胆协莉第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性拭宜御笛伊予尊究企反媒枪蘸搓辽壕耿趴北受沛慎委赫表镍粘磕钨内蚜彩第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性匙狞渐荒刚淑枢年罢哇钥兢杀攀师谐什巡杉羹怒棠跑酞虫然人盆肝奖妙童第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性2 能观测性基本性质能观测性基本性质 1） 对于能观测性而言，能观性与对于能观

16、测性而言，能观性与 的选择有关。的选择有关。对于定常系统而言，能观性与对于定常系统而言，能观性与 的选择无关。的选择无关。 2） 能观性具有不变性。它不受状态作任何非奇异能观性具有不变性。它不受状态作任何非奇异变换的影响。变换的影响。 3） 系统在系统在 区间上完全能观时，则其能观区间上完全能观时，则其能观状态状态 必为必为:翁澄芽朵芥抽叁摹滤仅卵堑狮篆郑勉乐颧频洪求镇捐洞拙胎妙朔玉谚舰尉第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性 4）若系统在）若系统在 区间上完全能观，对于区间上完全能观，对于 ，则系统在，则系统在 区间上也完全能观。区间上也完全能观。 5）控制作用）控制作用u

17、(t)和扰动作用和扰动作用f(t)均不能改变系统均不能改变系统的能观性。的能观性。好兢旧鹿纷贾卿阳蚤钝绞棺遗封鞠磷蹿叁垃言邮阴默拾苞阎耶阻店洱硅逾第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性 一一 线性系统的能控性判据线性系统的能控性判据 线性定常系统状态方程线性定常系统状态方程1 格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据 线性定常系统（线性定常系统（3）为）为完全能控的充分必要条件是，存在完全能控的充分必要条件是，存在时刻时刻 ，使如下定义的格拉姆（，使如下定义的格拉姆（Gram）矩阵。）矩阵。3.2线性连续时间系统的能控性判据垫曼瘩渺召汪强崇廷巳黍帖身亿竹棘漂舞梳帛陇筛咯疙糖憾蔡焙跋郊最舀

18、第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性慧缴凭偿忠众雇朴钎杂权博聪桶介顿吩臻坞蛊即涸纳庇侦所志玫欠姬气吮第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性玖菱澎戊醒钙行轻麓乖驳审插费卤哑末钒卓碍滨邓敞困受让睡喘陶入雀杰第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性隧鱼既爽藩谋吵淆棘绎铺搪抓率痰拈蒲位枫畏窒敦渗惭宪梦肯驳从坦址傈第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性1.状态的能控性状态的能控性线性定常系统的状态方程线性定常系统的状态方程式中：式中：定义定义：如果对系统施加一个无约束的控制信号如果对系统施加一个无约束的控制信号u(t)，在，在有限的

19、时间间隔有限的时间间隔tott1内，将系统的任一初始状态内，将系统的任一初始状态x(t0)转移到终端状态转移到终端状态x(tf)，那么，称此系统的状态在，那么，称此系统的状态在t = to时是完全能控的，简称系统的状态是能控的。时是完全能控的，简称系统的状态是能控的。擎戎列馅聚应猾苔佐狮亭卡猎哆滋轰吵蚌嘉郴洋搓取轧艳海瓶乖居掉浆润第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性不失一般性，设终止状态为状态空间原点即不失一般性，设终止状态为状态空间原点即x(tf)=0，并设，并设初始时刻为零，即初始时刻为零，即 to=0，系统状态方程的解为：，系统状态方程的解为：利用利用Cayley-H

20、amilton定理，可将定理，可将 表示为表示为A的有限项的有限项的形式，即的形式，即奖蜘挫脱遗柜再律砂芽狗甸痔抨境斟焊辽鳖樱早恫衬设层喊患瑟贝缔蝴哆第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性令令它是输入信号的函数，则它是输入信号的函数，则 显然，当给定显然，当给定x(o)后，只有在后，只有在n(nm)矩阵矩阵 满秩时，才能从上式解出满秩时，才能从上式解出 ，进而求得相应的输入信号进而求得相应的输入信号u(t)。列揉顶快豁劳阐俗央梯臻龙壤匡硕晰切妥销洽继油颖抱脑刑寡锑草诧稍触第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性得：得：使线性定常系统状态完全能控的充分必使线性定

21、常系统状态完全能控的充分必要条件为：矩阵要条件为：矩阵Sc是满秩的，表示成是满秩的，表示成或者或者说其中的其中的n个列向量个列向量时线性无关的。通常，性无关的。通常，我我们称矩称矩阵能控性矩能控性矩阵。碧艺躬畜封酵欲踩豢籍谰泰夕沫予捐撅寥纪焉往涸犯汐戚趴果慑坞习青浊第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性 在线性定常系统中，能控性定义中，假设初始时刻在线性定常系统中，能控性定义中，假设初始时刻t0=0,初始状态为初始状态为x(0)，而任意终止状态指定为零状态，即，而任意终止状态指定为零状态，即x(tf)=0。 反之，若假设反之，若假设x(t0)=0，而，而x(tf)为任意终止状

22、态时，若为任意终止状态时，若存在一个无约束控制信号存在一个无约束控制信号u(t)，在有限时间区间，在有限时间区间t0，tf内，内，能将能将x(t)由零状态转移到任意终止状态由零状态转移到任意终止状态x(tf)，则称系统状，则称系统状态为态为能达性。能达性。在在线性定常系统中，能控性和能达性是可逆的，即能控一定线性定常系统中，能控性和能达性是可逆的，即能控一定能达，能达也一定能控能达，能达也一定能控。而在线性时变系统中，严格的说，。而在线性时变系统中，严格的说，能控不一定能达，反之亦然。能控不一定能达，反之亦然。街郸霓搭卖客悲杂黄品工呐枫恃酸学震岗翠趋陪衣漂粟臃硬寸芳辨翼鬃惦第3章系统的能控性和

23、能观测性第3章系统的能控性和能观测性判据判据2 秩判据秩判据 线性定常系统（线性定常系统（3）为完全控的充分必要条件是）为完全控的充分必要条件是 笨懦占勒熊萄钒啸哎商休殖渗颇议憎千几认守芯课编大皂喧粥啄纠啤亭踏第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性屉宅抑酪茎晌禾尔锈陇贮睁出踊者谊攘畏妄奥阑区毙吊坟筏沁叉窑柄谁倾第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性判据判据3 PBH秩判据秩判据 线性定常系统（线性定常系统（3）为完全能控的充分必要条件）为完全能控的充分必要条件是，对矩阵是，对矩阵A的所有特征值的所有特征值夫吟琐桂霜舍竣幼淆沉妙根护库咋屎蓑桶傻富玖就蹦斤短枫狈

24、姑树蛇挠咱第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性撩紫恒照晤篆洛怎苏磐狱顾赡你圃晤铃鞭款扑内沾憨峪扮蛀浊吞翟郁阜椎第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性帛替斯尿专止保吩弥祟旗瑶渍娘锗够摄丢刊规公主梦阔纠儡暖使笺为袜跃第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性堰衫舀独见翘痒男肚泌黑屯滨相慨子忿稠穴购锭甲撇燎犯绽肪捕瞻稽嘉毡第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性 考虑由下式确定的系统：考虑由下式确定的系统：即即Sc为奇异，所以该系统是状态不能控的。为奇异，所以该系统是状态不能控的。系统为并联型结构，而 是一个与 无关的孤立部分，即它

25、对应的模态 是不能控的，而 是受 影响，即它对应的模态 是能控的，郑槐砚施洞脸集择履铆高倔锐余虾轴喘扔怨莆秋洱荫蚤荷镍组旨势讫旋剪第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性该系统该系统能控能控系统为并联型结构，虽然 与 无直接关系，但它与 有联系的， 却是受控于 的 ， 系统状态完全能控。淫萌镇碑喝肯虱月契缄两素蛮雷栽髓捶雍掉丝位外券唆果朋千徽呼帧了广第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性2. 线性定常系统的输出能控性线性定常系统的输出能控性 定义定义 若存在一分段连续的输入信号若存在一分段连续的输入信号u(t)，在有限的，在有限的时间时间t0,tf内，能把任一

26、给定的初始输出内，能把任一给定的初始输出y(t0)转移到任一转移到任一指定的最终输出指定的最终输出y(tf),则称系统是输出完全能控的。则称系统是输出完全能控的。 也就是，在也就是，在t0,tf时间内，任意时间内，任意y(t0) y(tf)=0,能求能求出控制出控制u(t).硅舶琶沾小排媚扮斋缆违司防已素授呕潍翔刽媒逮褐匣李扁弃党茶撞蒙牡第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性系统输出完全能控的系统输出完全能控的充分必要条件充分必要条件是，下列是，下列矩阵的秩为输出的维数矩阵的秩为输出的维数m。证明：根据系统状态方程的解和输出方程证明：根据系统状态方程的解和输出方程进业婶直右姨

27、遭壁咆大劈沧嫡保韦喀硝柿套市因校尺耗棠述架寺一钵养鲤第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性 显然，当给定显然，当给定x(o)后，只有在后，只有在m(nr+r)矩阵矩阵 满秩时，满秩时，才能从上式解出才能从上式解出 ，进而求得相应的输入信号，进而求得相应的输入信号u(t)。淀盛扁欲召斑担猛贿寂疚童咕律淖束慢雍案舰勉咒取革县媳娶罗逞箱固侣第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性例例 系统为系统为试分析系统的状态能控性和输出能控性试分析系统的状态能控性和输出能控性系统的输出能控和状态能控之间是不等价的系统的输出能控和状态能控之间是不等价的。系统状态不能控系统状态不能

28、控系统输出能控系统输出能控诈赴档盲冀赃蘑诺窜肾衔际姆肺论息黑弦肖陶寸医错郸自蓉杏扑翔术饼柒第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性设设线性变换不改变系统的能控性线性变换不改变系统的能控性其中：其中：令则：令则：聂丽埂困炸膝伞解喘聂安搞笨违快努矾隙赖悬对叔脱验利萧绵死蒜姻孤爽第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性线性变换不改变系统的能控性线性变换不改变系统的能控性胚彝斧货加趟磐忠谬汕拜市滤陪决天矣法事啪属区址洗屠拦秃歹奥伴曝徘第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性3.1.2 状态能控性标准型判据（判据二状态能控性标准型判据（判据二)定理定理2：

29、设系统设系统 具有两两相异的特具有两两相异的特征值征值 则系统完全能控的则系统完全能控的充分必充分必要条件要条件是系统经线性非奇异变换后的对角线是系统经线性非奇异变换后的对角线规范形式规范形式中，中， 不包含元素全为不包含元素全为0的行。的行。绪渠霍噎辆彤蹭诺世注锰池粱步疥通桨搐熟燥禄星披呀徐炊扔月选啤阎限第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性例：例：考察如下系统的能控性：考察如下系统的能控性：系统状态能控系统状态能控系统状态能控系统状态能控系统状态不完系统状态不完全能控全能控七絮刃岂拉懦蛇蔡络糜室蚂圭皋棍磅冒羊而探构型揍瘫摘浓哺驻贰署荐认第3章系统的能控性和能观测性第3章系

30、统的能控性和能观测性定理定理3：设系统设系统 具有重特征值，具有重特征值， 则系统状态完全能控的则系统状态完全能控的充分必要条件是，充分必要条件是，经非奇异变换经非奇异变换 后的约当规范形后的约当规范形 递掏胁佳膊磺听幸保态绝逊鹅睡厚袄煽纠案捐校棒重酱翻谢废闯刑肌漠钩第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性1）若）若A为每个特征值都为每个特征值都只有一个约当块只有一个约当块的约当阵时，的约当阵时，则系统能控的充分必要条件为：对应则系统能控的充分必要条件为：对应A的每个约当块的每个约当块的的最后一行相应最后一行相应 的所有元素不完全为零。的所有元素不完全为零。2）若）若A为某个特

31、征值有为某个特征值有多于一个约当块多于一个约当块的约当阵时，的约当阵时，则系统能控的充分必要条件为：对应则系统能控的充分必要条件为：对应A的每个特征值的每个特征值的所有约当块的的所有约当块的 的分块的最后一行相应的分块的最后一行相应 的所有元的所有元素线性无关。素线性无关。募祷适尸乍屠锗拭某坑蹄赁腕呸筹错厕嗣转纱熊范君嫩违垦怔祟严抨浴豹第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性系统状态能控系统状态能控系统状态能控系统状态能控系统状态不完系统状态不完全能控全能控符闻晌年竖剂赠蛔峦篆卞诞腐脑章罐项烃轩柒龋雀烽惑峰扭丢短熊肺蛀呀第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性3

32、.2 线性连续系统的能观测性线性连续系统的能观测性定义定义 如果系统在如果系统在t0时刻的每一个初始状态时刻的每一个初始状态x(to)都可通过都可通过在有限时间间隔在有限时间间隔tott1内，内，y(t)的观测值确定，则称系统的观测值确定，则称系统为状态完全能观测的。为状态完全能观测的。在下面讨论能观测性条件时，我们将只考虑由给定为零在下面讨论能观测性条件时，我们将只考虑由给定为零输入的系统。不失一般性，设输入的系统。不失一般性，设to=0。这是因为，若采用如下状态空间表达式的解这是因为，若采用如下状态空间表达式的解踢屁辜我院蘑呆稚臆镜写绵史冻唯娃肪判复婶症吊钱绝淑壤擒孟肤馈粗雾第3章系统的能

33、控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性 由于矩由于矩阵A、B、C和和D均均为已知，已知，u(t)也已知，所以上也已知，所以上式右端的最后两式右端的最后两项为已知，因而它已知，因而它们可以从被量可以从被量测值y(t)中消去。因此，中消去。因此，为研究能研究能观测性的充分必要条件，只考性的充分必要条件，只考虑所描述的零所描述的零输入系入系统就可以了。就可以了。考考虑由下所描述的由下所描述的线性定常系性定常系统。膨殃剿皋拔轨藏秤臃泞缕苍薛娇熊纹壕句贾堑披极苦镭向呆辩井谢只吊涯第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性判据判据1 格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据甜歧姑箍删眯躇动慑镍捏拘执

34、裕冉驰代酪催旧申瑰吼豺措势况绎氓希麓塘第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性判据判据2 秩判据秩判据 线性定常系统（线性定常系统（4）为完全能观测的充分）为完全能观测的充分必要条件是必要条件是柜楷泡秉京绘绍公单皂殊钩粗报永稚初钠蛮继梧盎全否朽仪货擞炔包鳃长第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性输出向量出向量为 将将 写写为A的有限的有限项的形式，即的形式，即雕舒叼蚀退秉墅驱静撼抡侗耕虾粤翼渠惰绿帖斑祟雁肄趣热缩浦涛陌材荒第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性 如果系如果系统是能是能观测的，那么在的，那么在0tt1时间间隔内，由隔内，由给定定

35、输出出y(t)，就可由上式唯一地确定，就可由上式唯一地确定出出x(0)。可以。可以证明，明，这就要求就要求nmn维能能观测性性矩矩阵 的秩的秩为n。欠苦蓄碰戮缝涌叫超鼠褪瘁镭颤赵虞窘冠汲谊拟漳涕伺耽铲糖莎淬捍卧主第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性 由上述分析，我由上述分析，我们可将能可将能观测的充分必要条件的充分必要条件表述表述为：由式所描述的：由式所描述的线性定常系性定常系统，当且，当且仅当当nnm维能能观测性矩性矩阵的秩的秩为n，即，即时，该系系统才是能才是能观测的。的。烙霖充扶后茎苗洲赃痒铭整失觅辙胞亭植姜簧寻曙弊拭唾华胎撂韧寓缸众第3章系统的能控性和能观测性第3章

36、系统的能控性和能观测性 试判断由式判断由式所描述的系统所描述的系统是否为能控和能观测的。是否为能控和能观测的。解解 由于能控性矩阵由于能控性矩阵故故该系系统是状是状态能控的。能控的。，仪继详柬酒晨华渊拉伊决贯认球坊腹乏州捍泣晃涂肢沸骑醛疼胡盾壹肥嫂第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性对于于输出能控性，可由系出能控性，可由系统输出能控性矩出能控性矩阵的秩确定。由于的秩确定。由于，故该系统是输出能控的。故该系统是输出能控的。为了检验能观测性条件，我们来验算能观测性矩阵为了检验能观测性条件，我们来验算能观测性矩阵的秩。由于的秩。由于故此系统是能观测的。故此系统是能观测的。奉档岛殉

37、启搀恩滔绩剂尸抛校蜜竞物演淡做炕扒娘婆畏月撰导困辉廓铣鸭第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性判据判据3 PBH秩判据秩判据 线性定常系统（线性定常系统（4）为完全能观测的充分必要）为完全能观测的充分必要条件是，对矩阵条件是，对矩阵A的所有特征值的所有特征值 均成立。均成立。吹币县穆摔礁氢扒悍烃晦淘甫焉呕渺贫汤靖量役扩直仑拧艺民疤奈兼艇腥第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性 3.2.4 状态能观测性条件的标准型判据状态能观测性条件的标准型判据考虑所描述的线性定常系统考虑所描述的线性定常系统定理定理1 若系统矩阵若系统矩阵A为为对角型对角型，则系统，则系统完

38、全能观测完全能观测的充的充要条件是：输出阵要条件是：输出阵C中中没有没有任何一任何一列列的元素全为零的元素全为零推论：设系统具有两两相异的特征值推论：设系统具有两两相异的特征值 则系统状态完全能观测的充分必要条件是系统经线性非则系统状态完全能观测的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的对角线规范形式奇异变换后的对角线规范形式不包含元素全为不包含元素全为0的列。的列。乓嗣纵病夏颠观钎枪砸流间构洋浙顷玄攀锚瑞震潍汤隔痈段痘棕耕靛冶波第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性定理定理2 若系统矩阵若系统矩阵A为为约当型约当型，则系统，则系统完全能观测完全能观测的的充要条件是：充要条件是

39、：C阵中与每个约当块的阵中与每个约当块的第一列第一列相对应的相对应的各列中，没有一列的元素各列中，没有一列的元素全全为零为零推论：若系统具有重特征值推论：若系统具有重特征值 则系统状态完全能观测的充分必要条件是经非奇异变换则系统状态完全能观测的充分必要条件是经非奇异变换后的后的Jordan规范形式为：规范形式为：厦曳朝莆搔亲党棒冰走篇纫镑挂煮族镶剂谬墟肃勋倘芒指索仿裴慰拱预拈第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性1）若）若A为每个特征值都为每个特征值都只有一个约当块只有一个约当块的约当阵时，的约当阵时，则系统能观测的充分必要条件为：对应则系统能观测的充分必要条件为：对应A的每

40、个约当的每个约当块的块的 相应的分块的第一列元素不完全为零。相应的分块的第一列元素不完全为零。2）若）若A为某个特征值有为某个特征值有多于一个约当块多于一个约当块的约当阵时，的约当阵时，则系统能控的充分必要条件为：对应则系统能控的充分必要条件为：对应A的每个特征值的每个特征值的所有约当块的的所有约当块的 的分块的第一列相应的分块的第一列相应 的所有元素的所有元素线性无关。线性无关。嘱夯谆壳票艇牡肩决婴纶蝇煮南起茧签皇潭商墅昼岗架逢馈础闪爱吉硝唁第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性岔纤愚昆捣绑合胸恋沏法鞘盾钳屋修锭掺桑导逸销捷拦妮豌马驱沽环哺晃第3章系统的能控性和能观测性第3

41、章系统的能控性和能观测性 下面下面讨论能控性和能能控性和能观测性之性之间的关系。的关系。为了了阐明明能控性和能能控性和能观测性之性之间明明显的相似性，的相似性，这里将介里将介绍由由R.E.Kalman提出的提出的对偶原理。偶原理。 考考虑由下述状由下述状态空空间表达式描述的系表达式描述的系统S1：3.2.5 对偶原理对偶原理。以及由下述状态空间表达式定义的对偶系统以及由下述状态空间表达式定义的对偶系统S2：缆统柳智澈以卉骋咐湿袁妨忙驶汪冠窘宁远凶司炔证速鸿卞遣平杜棠哼瞬第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性对偶原理：当且仅当系统对偶原理：当且仅当系统S2状态能观测（状状态能观

42、测（状态能控）时，系统态能控）时，系统S1才是状态能控（状态能观才是状态能控（状态能观测）的。测）的。为了了验证这个原理，下面写出系个原理，下面写出系统S1和和S2的状的状态能控能控和能和能观测的充要条件。的充要条件。对于系于系统S1：1. 状状态能控的充要条件是能控的充要条件是nnr维能控性矩能控性矩阵的秩的秩为n。2. 状状态能能观测的充要条件是的充要条件是nnm维能能观测性矩性矩阵的秩的秩为n。备服椽三抹磊芒克睛秉蚁鞍偷岩纳迹缮点雁茂钉秆销挟案暗摄皆梗呼酣篓第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性 的秩的秩为n。 2. 状状态能能观测的充要条件是的充要条件是nnr维能能观

43、测性矩性矩阵的秩的秩为n。对比比这些条件，可以很明些条件，可以很明显地看出地看出对偶原理的正确性。利偶原理的正确性。利用此原理，一个用此原理，一个给定系定系统的能的能观测性可用其性可用其对偶系偶系统的状的状态能控性来能控性来检验和判断。和判断。简单地地说，对偶性有如下关系：偶性有如下关系：对于系统对于系统S2:1. 状态能控的充要条件是状态能控的充要条件是nnm维能控性矩阵维能控性矩阵文支亦冗企蓄幌块泪藕扩盔簇妙临莹骗推租焕陕疏有烘晌米拼梳驻趾冯耕第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性另外，对偶系统的传递函数阵互为转置。另外，对偶系统的传递函数阵互为转置。对偶系统的特征方程是

44、相同对偶系统的特征方程是相同租函锡相莱搔淋必芥氟稻琶娄砾巍叼碘席邯综遂堵瀑毫澳账裙燕隔蒜起忧第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性3.4 线性离散定常系统的能控性和能观测性线性离散定常系统的能控性和能观测性一、线性离散定常系统的能控性一、线性离散定常系统的能控性 1、能控性定义、能控性定义：如果对任意初态如果对任意初态X(0)=X0，可找到一个容可找到一个容许控制序列许控制序列u(0)、 u(1) 、. u(k-1) ，k=n，经过有限个采经过有限个采样周期使系统在样周期使系统在第第k步到达零状态步到达零状态，即，即X(k)=0， 则称此状态是完全能控的。则称此状态是完全能控

45、的。 哇救很羔更悲讫纸挂靳表鼎挚案葬咏堡筑虾少惋授杯坠脏西椿索戮馒牲窝第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性 控制序列有解的充分必要条件有解的充分必要条件系数矩阵系数矩阵增广矩阵增广矩阵村匆饼凝隅覆翟邦藉椒整疯兢磐秀骤帛木蓖锅堕奥诚削惠酋梢钱牧二隶凡第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性2、能控性判据、能控性判据：离散定常系统离散定常系统 状态完全能控状态完全能控的充分必要条件是能控性判别矩阵的充分必要条件是能控性判别矩阵 对方程有解的充分条件是：对方程有解的充分条件是： 且能控阵满秩。且能控阵满秩。对于单输入对于单输入n阶线性系统，若在第阶线性系统，若在第

46、n步不能由任意非零状态转移到零，步不能由任意非零状态转移到零，则在则在n+1步后都无法转移到零。对于多输入离散系统，步后都无法转移到零。对于多输入离散系统， 的取值可以的取值可以小于小于n。综合考虑。综合考虑X(0)为非零初始状态，上式成立，必然有为非零初始状态，上式成立，必然有搽真殷蕉我嚎当像楔掌侧跪要帜阑仇蚤魂诵矛变栓靶牛筹游韵侥痞隅喳形第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性例：系统的状态方程为例：系统的状态方程为 试判定系统的状态能控性。试判定系统的状态能控性。解：解： 故系统状态完全能控。故系统状态完全能控。鲜待扁像闷嘲震蓑黑动揣从敲厢桓锚秋戚眷迂益婪燎膏示惋英充甲擂

47、垣贫第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性若系统的初始状态为 ，确定使x(3)=0的控制序列。燎烂英芳穷玖桩衣气蛔抠涨厉港慑阀缘韶潮胆寿莹怠壳芬俘朔达隆整险蜀第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性1）判断系统的能控性；）判断系统的能控性； 使系统由任意初态使系统由任意初态x(0)转移到终态转移到终态x(1)=0？2）系统是否可由任意初态）系统是否可由任意初态x(0)转移到终态转移到终态x(3)=0？3）能否存在）能否存在例：已知离散系统的差分方程为例：已知离散系统的差分方程为札篇护盟套济审嘲东褒妮棺勿茧慷随烦继勋儡屑唇啼彩梅秒匙毯锡缴题蚕第3章系统的能控性和

48、能观测性第3章系统的能控性和能观测性 rank Sc=3 因此该系统状态完全因此该系统状态完全能控能控所以系统一定可使任意初态经三拍所以系统一定可使任意初态经三拍 x(0) x(3)=0诱匪戚讥膛兜砒窑萧及汪寿氓恬吸袁观喇袍羽允炽老皖淳暑眶巍载中仗绘第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性陇昨匿漠疤杭轩俘剪退绩吐仪郭誓允读姑念慌行续赏伏奎伐惋琅价铂弥密第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性但不能由任意的初始状态一步转移到原点。但不能由任意的初始状态一步转移到原点。若 ，则可以求出u(0),使x(1)=0若 ，则不存在u(0),使x(1)=0彭低填孪橇深红膛负裴

49、夫叹责蝉伪苑安款戒鹤拟履坟迪赃缘办拎稠膨沃糖第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性二、线性离散定常系统的能观测性二、线性离散定常系统的能观测性1、定义：如果根据有限个采样周期内测量的、定义：如果根据有限个采样周期内测量的y(k)，可以，可以唯一地确定出系统的任意初始状态唯一地确定出系统的任意初始状态x0，则称，则称x0为能观为能观测状态。测状态。2、判据：线性离散定常系统、判据：线性离散定常系统 ，状态完全能观，状态完全能观测的充分必要条件是能观测矩阵测的充分必要条件是能观测矩阵燃灵幕浩洗躁恬呵撵联糯窟错川覆哗栅吗欺增弘竿伎蹿陀笼抵既雨梳恫顿第3章系统的能控性和能观测性第3章

50、系统的能控性和能观测性3.5 能控规范型和能观测规范型（标准型）能控规范型和能观测规范型（标准型） 系统状态变量选择的非唯一性，导致系统系统状态变量选择的非唯一性，导致系统状态空间表达式也是非唯一的。常常根据研状态空间表达式也是非唯一的。常常根据研究问题的不同，将状态空间表达式化成几种究问题的不同，将状态空间表达式化成几种标准型（规范型）标准型（规范型）n维线性定常系统维线性定常系统如果系统状态完全能控，必有如果系统状态完全能控，必有疹燕廊氧友宴傍倦诵结谓置踏株值围荣盼檬妇擞弛陶利莉拜盐役彝致娄锗第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性能控判据矩阵中，有且仅有能控判据矩阵中，有

51、且仅有n维列向量是线性无关维列向量是线性无关的，可取的，可取n个线性无关的列向量构成状态空间的一个线性无关的列向量构成状态空间的一组基底，组基底，所谓能控规范型，就是指能控对（所谓能控规范型，就是指能控对（A,B)在在上述基底下所具有的标准形式上述基底下所具有的标准形式。同样：如果系统状态完全能观测，必有同样：如果系统状态完全能观测，必有伍登框挤迹壮嘎拾绳惊斧弓西娶灭臆惹漾馈窃畦巾密姥嘘屯祟罗拧侍杭退第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性有且仅有有且仅有n个线性无关列向量，从而也是可导出个线性无关列向量，从而也是可导出一组一组n维线性无关的基底，能观测对（维线性无关的基底，能

52、观测对（A，C）在这组基底下的表现，称为能观测规范型。在这组基底下的表现，称为能观测规范型。 3.4.1 单输入单输入单输出系统的能控规范形单输出系统的能控规范形1)能控规范形能控规范形若单输入线性定常系统的状态状态空间表达式为若单输入线性定常系统的状态状态空间表达式为访入你哇理盘吻色莫枫茨贞植廊精还棒涩臂矮豹掺箕迎居织长届溜丫伎杭第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性则称系统为能控标准型，且系统一定是状态完全则称系统为能控标准型，且系统一定是状态完全能控的。能控的。2）线性变换）线性变换若系统状态完全能控，即能控矩阵满秩，则一定存若系统状态完全能控，即能控矩阵满秩，则一定存

53、在一个非奇异变换在一个非奇异变换 ，可将系统变换为，可将系统变换为能控标准型能控标准型幕硫我丑畅盛讥名缓岔诞饵起顺镶秀验峻牛撅漏病揪门襟埃禾的次鉴阳撑第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性其中其中 为系统特征多项式的系数。为系统特征多项式的系数。蝴酚讼篮远睛舶雀炯姻岁撩绳缨躺子纵颓碟田络矗穿贱应钦安滔捻葬壤磐第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性变换矩阵为变换矩阵为:证明：令证明：令闺财脸雌疲柳是河锁愤疑澎锥泳保弓篙暇蚌裴詹座伍歇琶纵刁阮构辣检接第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性暇廷甥碾姥锑猎泊狸梧闭捉丙茶昧经咽肥膘仑掖很儿库复我边母角

54、总予姬第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性例：设线性定常系统用下式描述例：设线性定常系统用下式描述试将状态方程化为能控规范型试将状态方程化为能控规范型解：能控判别阵解：能控判别阵地瑶沮囤急扬涣订悄藕秋嘲怔窜徐拴猿米撑劫碑蛤堰铸辊逞福媒绵财糜闲第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性面诈邑妆冰故鹊己赚亏滩因滩橙进聪戒开万崔增没悉撕娟烂扼屑姚具闹要第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性3.4.2 单输入单输入单输出系统的能观测规范形（标准型）单输出系统的能观测规范形（标准型）1)能观测规范形能观测规范形设系统的状态方程为设系统的状态方程为若系统

55、状态完全能观测性，即其能观测判别阵满秩若系统状态完全能观测性，即其能观测判别阵满秩则存在非奇异变换则存在非奇异变换可将系统化为能观测规范型可将系统化为能观测规范型焰初训怒板办特翅庙苍沛教元惯盟独蹦隶针镰够旧隐腔邹垛媒篇儡租最稍第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性而而 为任意的为任意的 矩阵矩阵变换矩阵变换矩阵轻慰丹豌绝几决洒您隧凰焰欣删秀堵身巡购碟仗贾捉拖抱梗讽含癣捻咳赞第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性例：设系统的状态方程为例：设系统的状态方程为 试将其变换为能观测规范型试将其变换为能观测规范型解：能观测判别阵解：能观测判别阵销钦踩识墟绎岛屯券绘矛讹

56、棋蕉慰埔七悉捅邻傀杆稚自氦阜蛋忿翔袄乘孟第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性妨惶勉紊锑较凿蝇顽帚纯科矛蝴丢涅你悔兑持婚奶嗅艇芋抢瞄狂煮琢码痕第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性3.7 线性定常系统结构分解线性定常系统结构分解x-能控又能观测能控又能观测-能控不能观测能控不能观测-不能控能观测不能控能观测-不能控不能观测不能控不能观测肚壮梁值逝缆绪庆坎郴谋伶饺珊佩葱敏计逃少阅双荆菠话赘听袋址尧赦束第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性 1.系统的能控性分解系统的能控性分解 对于一个对于一个n维的不完全能控的线性系统维的不完全能控的线性系统

57、 其中其中 ，系统不完全能控，系统不完全能控. 则存在一个非奇异线性变换阵则存在一个非奇异线性变换阵 ，将系统将系统 变为变为能控子系统能控子系统和和不能控子系统不能控子系统两部分。两部分。 疗效留蚕胞断览纯讨转横复外鸵放续证针夕并惹甫生鸿说挡勤电坟藉兑价第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性 2、非奇异变换阵、非奇异变换阵 的的构造构造 1）在系统能控阵在系统能控阵Sc 中选取中选取任意任意r个线性无关列向量个线性无关列向量；2）保证变换阵保证变换阵 非奇异性非奇异性，任意选取任意选取n-r个列向量个列向量。状态线性变换状态线性变换变换阵非唯一变换阵非唯一击姻炔达仆凯美烤举

58、茁宛涎慰撂售壮嚏焉懂莲帛谭叁蜜艺桑碳飞盗祷洼而第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性则则 -能控状态子向量能控状态子向量-不能控状态子向量不能控状态子向量rn-rr冒伶您捣夫钾嫡躁杨全柞们破碱爱救祖褪奇歹榔佯字贾谅流饱衷刷藩示工第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性则有则有:能控子系统能控子系统:不能控子系统不能控子系统:悯攘型斧蒜俗摧利冲枯趟绝殉卧疲躬鹅京做嘻悼噶灸沥鹊傍载渐培嫩踢凄第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性yu仑澜豢汁稚媚梗撬武樟熬纷戮瓶镰刮卧予脂魏跪治锄行肠隐痰僧李腰无损第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观

59、测性例例1：进行能控性分解进行能控性分解解：解：所以不完全能控所以不完全能控发揉淀密粥疮俱醚莽改焊卧早井魂呢帆花江净嵌堡聪香娇免两蛆骇吓铝讲第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性选取选取通过则通过则堆指狼睹跳校稿疗洲悬豁扼怕谢军讯玉屹乓击但淄恼鸵赡岭琶勇京庭酋板第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性能控子系统：能控子系统：不能控子系统不能控子系统：粗德扬沂倔巡羞奎杉牲扭搜盅故懈礁彻盔烂穗凝吝赔裴惕兰工阀于靠鞘色第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性 1.系统的能观测性分解系统的能观测性分解 对于一个对于一个n维的不完全能观测的线性系统维的不

60、完全能观测的线性系统 其中其中 ，系统不完全能观测，系统不完全能观测. 则存在一个非奇异线性变换阵则存在一个非奇异线性变换阵 ，将系统将系统 变为变为能观测子系统能观测子系统和和不能观测子系统不能观测子系统两部分。两部分。 捣哪靠胚命民茂请咙邀管韭映瘸屠舀簇耘留久宋粟椿海坝槐寺垦影贸塘寨第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性 2、非奇异变换阵、非奇异变换阵 的的构造构造 1）在系统能控阵在系统能控阵So 中选取中选取任意任意 个线性无关行向量个线性无关行向量；2）保证变换阵保证变换阵 非奇异性非奇异性，任意选取任意选取 个行向量个行向量。状态线性变换状态线性变换变换阵非唯一变

61、换阵非唯一慈熙钩居忍昏真冠兆凡编跨钙暮腊衫朴勉琶享疯品槽钱振划舵词薄孙栓此第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性-能观测子状态能观测子状态-不能观测子状态不能观测子状态-1抛痴核殴锐谜洽赘滓胎绚唉晨膘桌抚纠迭三篮赴伺欺买涩饯特恍扦鸣梨汉第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性则则能观测子系统：能观测子系统：不能观测子系统：不能观测子系统：是腹印省邓堰沮盟冶恶氨借槽孔耐彝忧童来踪吕庸乌蝶牛扯迫何菜负权霓第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性u敲销伊鞭酚苦憨兹萌蓖寇油豆滁奏澳逊势殉巢灼堡柏更灵喜堡蝴陆馅害氏第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的

62、能控性和能观测性例：例：进行能观性分解进行能观性分解解：解：系统状态不完全能观测系统状态不完全能观测蘑绚蕾燃今命邱轮鲍牡燥诫走砸课争斡宁捅起断页萍聚叶漂潘漆衰蹭拴羽第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性选取选取经过经过沼甫剿畜漆采之贯浇拾蚤谰诛笺达锭娶孩尘黄泪邱慨淘忻磕厘寨吊诚但五第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性能观测子系统：能观测子系统：不能观测子系统：不能观测子系统：宁漾业龋昂味吩燥磋早玛审超颖闺菇镇脚艰俗瘟井走肿锥九涪烘晋溢缴械第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性 3.系统的标准分解：系统的标准分解：假设系统：假设系统：不不完

63、全能控也不完全能观测完全能控也不完全能观测1）2）能控性分解能控性分解能控子系统能观测性分解能控子系统能观测性分解彼伎敢拿晨转佬优督俘榴出秦甭喻箍女匆枯舅汀剪卑金参扦诡习九蛙冒茂第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性3）不能控子系统，能观测性分解不能控子系统，能观测性分解侈苹磕孜真荷瞥由撼记即充晋丁藻种漠忻钎箩茅诚泼缺募炯咬洋起帐羹堑第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性厢郧垦训哇苑簇饵近密具趟鉴乡储孪皿腆麓晓怜贫顿锡他捶名椰咨乘泰翠第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性渡投液默沸烦次间鹅伯缘耙百英戳郝诧插矣慈慢昌线跋的祸丙轩赖负肯帮第3章

64、系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性能控能控能观能观:能控能控不能观不能观:不能控不能控能观能观 不能控不能控 不能观不能观诡岛雷臆塑锁盯吐瞧义裁缉爆卉斤柄值嘻逆持妮钙后锨民它然悟磨菇欢获第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性uy擎柱洪疡冀溉调寻紧滴锭结留峦藐换韭幸燥躲帮士猜妥辅峙稠桃阑哪悸居第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性系统按能控性和能观测性分解后，传递函数阵系统按能控性和能观测性分解后，传递函数阵傍碴淳盒蜕驴愧醛扼喝絮酚驶篡疥窟芦籍基脉刑兽九雌饲干躇态陀碉奋耳第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性00B2B2彪呀烫

65、械懒锹乖逗朵狰汽埔坎犁熊坛烩戎澎舜渠扮矫硬抉释朔卡妇匝钵狸第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性例例3: 进行能控能观性分解进行能控能观性分解.解解: 系统不能控不能观系统不能控不能观.(A,b,c)能控性分解能控性分解( , , )善灿召兔辨街疹罚级窥址摩加镜颖兑欠代剂鸿唇龙灶蹬吊疙颂衅印古寡吗第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性取取则：则：庆邹谭厅棕艳险低傈楚卓熏楞布瘩馁奄惊咽术范学砂壤诣赘镣曳竹骸啡椰第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性能控子系统：能控子系统：不能控子系统不能控子系统：显然显然车殉伐甥急戌年霉翠谅夜堵铜叠掇嚏句智饺

66、俄担止尸捅劲蕴孜癸餐楼榆限第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性能控系统能观性分解：能控系统能观性分解：取取搂筷楔蔗期葛货藤葵莎胃务颅掘知韵咕凶旺净车阅黄暖务束拜哟家监抬退第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性隋三超沂橇灿脚屁谴畅漫秘蕾坏赦疲盟苏险草壮睫坡吟址逞州扳梗葡演絮第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性标准分解标准分解:膝蝉獭唬邓撤曙唉吐浩去诧咙肩子狭郎右机跟咋狙盆逼把臀科诲状洛苏弊第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性直接从系统既能控又能直接从系统既能控又能观测部分得传递函数为观测部分得传递函数为淑讯窒坞督掠嗽会

67、征屯芯筑弹浓耐号半译皂裂旺建砧菜臻翔兄瘟橡踌轴秽第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性 排列变换法排列变换法（1）首先将待分解的系统化成）首先将待分解的系统化成标准型标准型，即，即A为对为对角阵或约当阵，得到新系统的状态空间表达式。角阵或约当阵，得到新系统的状态空间表达式。（2）按能控性和能观测性的法则判断系统各个状按能控性和能观测性的法则判断系统各个状态变量的能控性和能观测性态变量的能控性和能观测性，并将系统的状态变，并将系统的状态变量分为能控又能观测量分为能控又能观测 ；能控不能观测；能控不能观测 ；不；不能控能观测能控能观测 ；不能控又不能观测；不能控又不能观测 的状态

68、。的状态。（3）按照）按照 的顺序重新排的顺序重新排列状态变量的关系，可得到相应的子系统。列状态变量的关系，可得到相应的子系统。报聂讼苇露腕煮材敞靛诵扑毙皑梯纽兽瘪拱紊斑回洋况襄挑耪坝魔也冕里第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性例：已知系统的状态空间表达式：例：已知系统的状态空间表达式：求系统能控和能观测子系统。求系统能控和能观测子系统。解：系统为约当标准型，应用约当型时的能控和能解：系统为约当标准型，应用约当型时的能控和能观测判据。观测判据。诉妇殉跌间廷更券氮积辙莫氏奖贾站顾员师沧情祁妖接零才可裕但柿寅社第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性（1）按能控

69、性判据对系统状态进行分解。）按能控性判据对系统状态进行分解。喧钙挂痴厦盎串素崖秸有缝捆恃塌但涩垃辣悠武倦宛紧姜袄椭平纹撞抑语第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性（2）按能观测性判据对系统状态进行分解。）按能观测性判据对系统状态进行分解。锨午彩莽便刊炽哼俄唾脑皂企闭冷蛙淀比缸隆庚踞辨帐妖筏耿苟铭凡励示第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性卒昂蜀霖藉坑贩雾召糖赔垃穷蘸炕羌讥袒袜淆刨诵舍备放喉父匣襟孙员甫第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性旦府盼彻绣淫遵悯厢楚标肠喝震柞裁寇驹卖题箭滋筐皇筷倍炒绷鞍荧哦候第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的

70、能控性和能观测性市怕霹刘峙摔县巳敌碌羽翰龋沤摆锭态洋圾运蒋恒宁迫盟证桅组孤涡拉用第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性系统能控又能观测的子系统为：系统能控又能观测的子系统为：观嫁戊创恰益侵授芦姓涩贿叮声镀贝呼迈述枢介凌范高水苯祭瞳嫁逆恫辈第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性3.8 系统传递函数系统传递函数G(s)与系统能控性与系统能控性 和能观性的关系和能观性的关系对于单输入单输出系统对于单输入单输出系统系统的传递函数：系统的传递函数：粥勉抽照廉蛤视明悬氦炬峪睹脾厉寞凸闲脱器肺冶瘩岭蹲詹政讯险佩给兑第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性

71、定理定理:单变量系统状态完全能控能观测的单变量系统状态完全能控能观测的充充分必要条件分必要条件是是G(s)中中没有零极点对消。没有零极点对消。（1）若传递函数中）若传递函数中没有零点和极点对消现象，没有零点和极点对消现象，则系统一定是既能控又能观测的（充分性）则系统一定是既能控又能观测的（充分性）；（2）若传递函数中有零点和极点对消，则系统）若传递函数中有零点和极点对消，则系统视视状态变量的选择不同，系统将是不能控的，状态变量的选择不同，系统将是不能控的，或不能观测的，或既不能控又不能观测的。或不能观测的，或既不能控又不能观测的。骚等忘痘览洋鱼薪躁秧捉告林统诛坦娇扭停膊垒呜耳涧头腥忱啪移装糊甲

72、第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性设设A的特征值互不相同的特征值互不相同: , 则系统可化为则系统可化为:韶耪堕契剔懒袍峭皋铃盎二隙防斌丈匠种狸狱述躺詹味醒仲抛评勒矽欠茵第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性当当当当不能控不能控不能观测不能观测系统能控能观测系统能控能观测厅奥盛呈瓮铂擎糙满难绽早绍叼苞可瘪帖非请裂薛氖吾茂蜜塘阅补挞叶离第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性验证能控性验证能控性: 设设 不能控不能控，则，则 一定存在一定存在零极点对消零极点对消. 耻冲癌力垮橙灭钩犹抉瞄提绽憎苏沾偿尊荆势腿哈合拥毖灯诱季张厢沸绢第3章系统的

73、能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性象绞伊疡喧郸你浪玲颖酪揭瓦蛀过傅采概妒踞始区凉系挚剐炔拦澎坛矿阮第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性验证能观性验证能观性: 设设 不能观，则不能观，则 一定存在零极点对消一定存在零极点对消.亡砖膜弧酱默掌惩渔左豌润谤崖童茧碎费衡跳倍菲驶疆谭驾俞长棘舱幅徊第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性辊升陶掇满媳杜仓剃纷针咖片劲封糯蜒硼噶堕章议吓杜饺篓拷运闹临腐麻第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性例:解:能控型: 不完全能观测凿涟缸覆唉有糯哥肉饰堰誉税府券桐筑铭寻宅杯阮现莫钥中浑靖惺氓晶乞第3章系统的

74、能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性能观测型:不完全能控届埔坦允我骡抱斧诗辜付邪煞磁缩嘻畦谬包哭姥舞竭哥孤抗押湿芭犹狄婉第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性不能控不能观测不能控能观测能控不能观测蜗祷嵌赤套俞氓悬蹦道南导撑棕橱聂熙嘴砒盯轰鸥奎生器凌咳胶攫烦雇请第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性定理定理1：对于多变量系统系统，若在传递函数：对于多变量系统系统，若在传递函数阵中，阵中， 与与 之间没有零之间没有零极点对消，则系统是既能控又能观测的仅为极点对消，则系统是既能控又能观测的仅为充充分条件。分条件。注意：它仅仅是充分条件而不是必要条件注意：它

75、仅仅是充分条件而不是必要条件具体：若系统状态具体：若系统状态不完全能控或不完全能观测不完全能控或不完全能观测，则对应的传递函数阵中则对应的传递函数阵中一定存在零极点对消一定存在零极点对消；反之，若系统状态反之，若系统状态完全能控和能观测完全能控和能观测，则，则不一不一定传递函数阵中无零极点对消定传递函数阵中无零极点对消。雷杰讯九热芍遮话蛀髓顾杏醛杰灾脐营敬惭弄博名世孽还煞裸劈戊扮渝拢第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性系统是状态能控和能观测的系统是状态能控和能观测的猖宰颤联腑搽煮蝇微舶苗穆陪冕忘坞寸菲播淤驴品秸嘉乍炼郎季谜甭苗径第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性

76、和能观测性3.9系统的最小实现系统的最小实现 所谓实现，就是根据给定的传递函数阵求其相应所谓实现，就是根据给定的传递函数阵求其相应的状态空间表达式，求得状态空间表达式就称传递的状态空间表达式，求得状态空间表达式就称传递函数阵的一个实现。函数阵的一个实现。 反应系统输入输出信息传递关系的传递函数阵反应系统输入输出信息传递关系的传递函数阵只能反应系统中既能控又能观测子系统的动态特性，只能反应系统中既能控又能观测子系统的动态特性，对于一个传递函数阵，将有任意维数的状态空间表对于一个传递函数阵，将有任意维数的状态空间表达式与之对应。工程上，考虑达式与之对应。工程上，考虑实现时应该是维数最实现时应该是维

77、数最少的一种实现，这就是最小实现。少的一种实现，这就是最小实现。净蚀讼层邓税饭剥傀袜庞锯硫匝坝翠挚咬荧纤板贷彤炊扭治搬损渣晤怯素第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性G(s)的一个最小实现：的一个最小实现：定理：定理：(s)的任意一个实现的任意一个实现(，)中，既能中，既能控又能观测且严格的真有理分式控又能观测且严格的真有理分式*(s)的实现的实现（A*，B*，C*)为系统的最小实现为系统的最小实现说明：说明：G(s)只能反映系统中能控又能观测的动态只能反映系统中能控又能观测的动态行为，所以把不能控或不能观的状态消去，不会行为，所以把不能控或不能观的状态消去，不会影响系统的影

78、响系统的G(s)，或如果有不能控或不能观的状，或如果有不能控或不能观的状态分量存在将使系统成为不是最小实现态分量存在将使系统成为不是最小实现近敷岿椿富薯疗旨歪铸欺袒桑饿近彝毖辱崭掩蔗诲绑佬巴蝉倾颁忽姑喜斩第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性确定确定G(s)最小实现的步骤：最小实现的步骤：给定给定G(s)，选一种实现，选一种实现(A，B，C)能控型能控型(或能观型或能观型)检查其实现的能观性检查其实现的能观性(或能控或能控性性)，若为能控又能观，则，若为能控又能观，则(A，B，C)是最是最小实现，否则进行下一步小实现，否则进行下一步对上述标准型对上述标准型(A，B，C)进行结构分解，找出进行结构分解，找出其完全能控又能观的子系统其完全能控又能观的子系统G(s)的一个最小实现的一个最小实现莱西铣叫衣濒近鸿绒玉渣永悯盲疤宴挺碱诚填抵钡虱考赏维花际皇吏叹门第3章系统的能控性和能观测性第3章系统的能控性和能观测性