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1、第第5讲讲 数列的综合应用数列的综合应用不同寻常的一本书，不可不读哟！能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题. 1个必知应用生活中涉及到银行利率、产品利润、人口增长、工作效率、图形面积、曲线长度等实际问题时，常考虑用数列知识求解2个必会综合1. 数列知识内部综合问题，通常涉及到等差、等比数列的证明、基本计算、求和等2. 数列知识与其它章节知识的综合问题；有时带有探索性，涉及到的方法有转化与化归、放缩、函数思想等3个必记模型1. 等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差2. 等比模型：如果增加(或减
2、少)的量是一个固定的百分数时，该模型是等比模型，与变化前的量的比就是公比3. 逆推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an1的递推关系，还是Sn与Sn1之间的递推关系. 课前自主导学1.等比数列与等差数列比较表不同点相同点等差数列(1)强调从第二项起每一项与前项的差；(2)a1和d可以为零；(3)等差中项唯一(1)都强调从第二项起每一项与前项的关系；(2)结果都必须是同一个常数；(3)数列都可由a1，d或a1，q确定等比数列(1)强调从第二项起每一项与前项的比；(2)a1与q均不为零；(3)等比中项有两个值2数列的综合应用(1)解答数列应用题的
3、步骤审题仔细阅读材料，认真理解题意建模将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征求解求出该问题的数学解还原将所求结果还原到原实际问题中具体解题步骤用框图表示如下：(1)一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过_分钟，该病毒占据64MB内存(1MB210KB)(2)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，则介于1到200之间的所有“神秘数”之和为_.核心要点研究审题视点(1)求首项a1，由a1与q写出Sn.(2)弄清两个数列各自的特征，用定义证
4、明奇思妙想：设an是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列(1)求数列an的公比；(2)证明：对任意kN，Sk2，Sk，Sk1成等差数列解：(1)设数列an的公比为q(q0，q1)，由a5，a3，a4成等差数列，得2a3a5a4，即2a1q2a1q4a1q3，由a10，q0，得q2q20，解得q12，q21(舍去)，所以q2.对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系往往用到转化与化归的思想方法变式探究2012重庆高考已知an为等差数列，且a1a38，a2a412.(1)求an的通项公式；(2)记an
5、的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk2成等比数列，求正整数k的值例22012湖南高考某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产，设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元(1)用d表示a1，a2，并写出an1与an的关系式；(2)若公司希望经过m(m3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)审题视点(1)由第n年和第n1年的资金变化情况，得到an和an1的递推关
6、系；(2)根据递推关系的结构特征，利用迭代的方法直接求通项公式，或构造新的等比数列求通项公式解等差、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题，使关系明朗化、标准化然后用等差、等比数列知识求解这其中体现了把实际问题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力(1)试求出an与n的关系式；(2)该企业为了获得扣除广告费后的日利润最大，求每日电视广告需播多少次审题视点(1)在数列中，利用an与Sn的关系求通项公式，这是最基本的思路；(2)数列是特殊的函数，所以可用函数的思想解决数列的最值问题数列的渗透力很强，它和函数、
7、方程、三角、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合力度所以，解决此类题目仅靠掌握单一知识点，无异于杯水车薪，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重要作用，常用的数学思想方法主要有：“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等变式探究2011陕西高考如图，从点P1 (0,0)作x轴的垂线交曲线yex于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；Pn，Qn，记Pk点的坐标为(xk,0)(k1,2，n)(1)试求xk与xk1的关系(2kn)；(
8、2)求|P1Q1|P2Q2|P3Q3|PnQn|.解：(1)设Pk1(xk1,0)，由yex得Qk1(xk1，exk1)点处切线方程为yexk1exk1(xxk1)，由y0得xkxk11(2kn)(2)由x10，xkxk11，得xk(k1)，所以|PkQk|exke(k1)，于是课课精彩无限答案B 【备考角度说】No.1角度关键词：审题视角本题考查了在递推关系下，求数列的前n项和，意在考查考生思维与运算能力；用特值验证法，取前若干项的和，再求选项的值，若对应相等且唯一时，则可确定答案，此题也可应用an与Sn关系求得an，再用等比数列的求和公式求解No.2角度关键词：技巧点拨特例验证法就是从题干
9、出发，运用满足题设条件的某些特殊值、特殊角、特殊点、特殊图象等，对各选择项进行检验或推理利用特值检验法时，也许考生会在检验过程中，首次遇到与选项相等，就确定答案，事实上那样是错的，因为特殊不包括一般，正确的解答是逐项检验，直到剩下一个正确项即可.经典演练提能 1.2013潍坊联考若Sn是等差数列an的前n项和，且S8S310，则S11的值为()A12B18C22D44答案：C答案：D答案：A答案：A52013哈师大附中月考一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回至前一次高度的一半落下，当它第10次着地时，共经过的路程为(结果精确到1米)()A. 199米 B200米C300米 D100米答案：C
