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1、1.圆圆心心为为点点C(8，-3)，且且过过点点A(5，1)的的圆圆的的标标准方程准方程为为（ ）A.(x+8)2+(y-3)2=5B.(x-8)2+(y+3)2=5C.(x+8)2+(y-3)2=25 D.(x-8)2+(y+3)2=25 半径半径所以所求的所以所求的圆圆的的标标准方程准方程为为(x-8)2+(y+3)2=25.选选D.D2.方方程程y=对应的的曲曲线是是（ ） 原原 曲曲 线 方方 程程 可可 化化 为x2+y2=4（y0），表示下半），表示下半圆,选A.A3.半半径径为为5且且圆圆心心在在y轴轴上上的的圆圆与与x轴轴相相切，切，则圆则圆的方程的方程为为（ ）A.x2+y2
2、+10y=0B.x2+y2+10y=0或或x2+y2-10y=0C.x2+y2-10y=0D.x2+y2+10x=0或或x2+y2-10x=0B设设圆圆心心为为（0，b），由由题题意意，则圆则圆的方程的方程为为x2+（y-b）2=b2.因因为为半径半径为为5.所以所以 =5,b=5.故故圆圆的的方方程程为为x2+y2+10y=0或或x2+y2-10y=0.选选B. 易易错错点点：圆圆心心的的位位置置可可能能在在y轴轴上上半半轴轴或下半或下半轴轴.4.已已知知圆圆C1：(x+1)2+(y-1)2=1，圆圆C2与与圆圆C1关关于于直直线线x-y-1=0对对称称，则则圆圆C2的的方方程程为为. 设设
3、圆圆C2的的圆圆心心为为（a，b），则则依依题题意，意，对对称称圆圆的的半半径径不不变变，为为1，故故填填(x-2)2+（y+2）2=1.(x-2)2+(y+2)2=1有有，解得解得：a=2b=-2.5.若若圆x2+y2+（a2-1）x+2ay-a=0关关于于直直线x-y+1=0对称，称，则实数数a=. 依依题意直意直线x-y+1=0，过已知已知圆的的圆心所以心所以解解得得a=3或或a=-1，当当a=-1时，方方程程x2+y2+（a2-1）x+2ay-a=0不不能能表表示示圆，所所以以只只能能取取a=3.填填3. 易易错点点：方方程程x2+y2+Dx+Ey+F=0仅在在D2+E2-4F0时才才
4、表表示示圆，因因此此需需检验不不等等式式是否成立是否成立.31.圆的的定定义：平平面面内内到到一一个个定定点点的的距距离离等等于于定定长的的点点的的集集合合（轨迹迹）叫叫做做圆，定点叫做定点叫做圆心，定心，定长叫做叫做圆的半径的半径.2.圆的方程的方程（1）标准方程：以准方程：以 为圆心，心， 为半半径径的的圆的的标准准方方程程为（x-a）2+（y-b）2=r2.（a,b）r（r0）当当D2+E2-4F0时时，表表示示圆圆的的一一般般方方程程，其其圆圆心的坐心的坐标为标为半径半径当当D2+E2-4F=0时时，只只表表示示一一个个点点（-D2,-E2）；）；当当D2+E2-4Fr2;若若点点M（
5、x0,y0）在在圆C内内，则（x0-a）2+（y0-b）2r2.4.对称称问题圆（x-a）2+（y-b）2=r2关关于于直直线x=0的的对称称圆的的方方程程为（x+a）2+（y-b）2=r2;关关于于直直线 y=0的的 对 称称 圆 的的 方方 程程 为 （ x-a）2+（y+b）2=r2；关关于于直直线y=x的的对称称圆的的方方程程为（x-b）2+（y-a）2=r2；关关于于直直线y=-x的的对称称圆的方程的方程为（x+b）2+（y+a）2=r2.5.垂垂径径定定理理垂垂直直于于弦弦的的直直径径平平分分这条条弦弦，并并且且平平分分这条条弦弦所所对的的两两段段弧弧.若若AB为圆O的的弦，弦，圆
6、心心O到弦到弦AB的距离的距离为d，圆半径半径为r,则 重点突破：重点突破：圆的方程的方程 （）求求过两两点点A（1,4）,B（3,2）,且且圆心心在在直直线y=0上上的的圆的的标准准方方程程，并并判判断断点点P（2,4）与与圆的的位置关系位置关系.（）求求过A（4,1），B（6，-3）C（-3,0）三三点点的的圆的的方方程程，并并求求这个个圆半半径径长和和圆心心C坐坐标. （）欲欲求求圆的的标准准方方程程，只只需需求求出出圆心心坐坐标和和圆的的半半径径，而而要要判判断断点点P与与圆的的位位置置关关系系，只只需需看看点点P与与圆心心的的距距离离和和圆的的半半径径的的大大小小关关系系.（）设出出
7、圆的的方方程程，解解方方程程组即可即可.（）解解法法1：（待待定定系系数数法法）设圆的的标准方程准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，因因为圆心在心在y=0上上,故故b=0，所以所以圆的方程的方程为（x-a）2+y2=r2又又因因为该圆过A（1,4）,B（3,2）两两点点,则（1-a）2+16=r2（3-a）2+4=r2，解得，解得a=-1，r2=20.解解法法2：（直直接接求求出出圆心心坐坐标和和半半径径）因因为圆过A（1,4）,B（3,2）两点，）两点，所所以以圆心心必必在在线段段AB的的中中垂垂线l上上,又又因因为kAB=-1,故故l的斜率的斜率为1,又又AB的的中中点点为（2，3）
8、,故故线段段AB的的中垂中垂线l的方程的方程为x-y+1=0.又又知知圆心心在在直直线y=0上上,故故圆心心为C(-1，0)，所所以以半半径径 故故所所求求圆的方程的方程为(x+1)2+y2=20.又点又点P(2,4)到到圆心心(-1，0)的距离的距离为所以点所以点P在在圆外外.()设圆的方程的方程为 因因为三三点点A(4,1)，B(6，-3)，C(-3,0)都都在在圆上上，所所以以它它们的的坐坐标都都是是方方程程的的解解，将将它它们的坐的坐标代入方程得，代入方程得，42+12+4D+E+F=062+(-3)2+6D-3E+F=0(-3)2+02-3D+0E+F=0，解得，解得D=-2E=6F
9、=-15.所以所以圆的方程的方程为x2+y2-2x+6y-15=0，即（即（x-1）2+（y+3）2=25，所所以以圆心心坐坐标为（1，-3），半半径径为r=5. “待待定定系系数数法法”是是求求圆的的方方程程的的常常用用方方法法.一一般般的的，在在选用用圆的的方方程程形形式式时，若若问题涉涉及及圆心心和和半半径径，则选用用标准准方方程比程比较简便，否便，否则选用一般方程方便些用一般方程方便些. 根据下列条件求根据下列条件求圆的方程的方程.（）圆过P（4,-2）,Q（-1,3）两两点点，且在且在y轴上截得的上截得的线段段长为4 .（）已已知知圆的的半半径径为 ，圆心心在在直直线y=2x上，上，
10、圆被直被直线x-y=0截得的弦截得的弦长为4 . ()设圆的的方方程程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 4D-2E+F=-20D-3E-F=10，令令x=0,由由得得y2+Ey+F=0. 由由已已知知 其其中中y1,y2是是方方程程的两根，的两根，(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48，联 立立 方方 程程 解解 得得 D=-2,E=0,F=-12或或 D=-10,E=-8,F=4，故故所所求求的的圆的的方方程程为x2+y2-2x-12=0或或x2+y2-10x-8y+4=0.将将P,Q点的坐标代入点的坐标代入式得式得()解解 法法 1： 设 圆 的的 方方 程程
11、为 (x-a)2+(y-b)2=10，由由圆心心在在直直线y=2x上上，得得b=2a， 由由圆在直在直线x-y=0截得的弦截得的弦长为4 ，将将y=x代入代入(x-a)2+(y-b)2=10.整理得整理得2x2-2(a+b)x+a2+b2-10=0.由弦由弦长公式得公式得化化简得得a-b=2. 解解得得a=2,b=4或或a=-2,b=-4,所所以以所所求求圆方方程程为(x-2)2+(y-4)2=10或或(x+2)2+(y+4)2=10.解解法法2：根根据据图形形的的几几何何性性质：半半径径，弦弦长的的一一半半，弦弦心心距距构构成成直直角角三三角角形形，由由勾勾股定理，股定理，可得弦心距可得弦心
12、距因因为弦弦心心距距等等于于圆心心（a,b）到到直直线x-y=0的距离，的距离，所以所以 又已知又已知b=2a，解得解得a=2,b=4或或a=-2,b=-4.所所 以以 所所 求求 圆 方方 程程 为 （ x-2）2+（ y-4）2=10或（或（x+2）2+（y+4）2=10.重点突破：与重点突破：与圆有关的最有关的最值问题 已知已知实数数x,y满足方程足方程x2+y2-4x+1=0（）求求y-x的最大的最大值和最小和最小值,（）求求x2+y2的最大的最大值和最小和最小值. 根根据据代代数数式式的的几几何何意意义，借借助助于平面几何知于平面几何知识，数形，数形结合求解合求解. 方方程程x2+y
13、2-4x+1=0变形形为(x-2)2+y2=3，所表示的，所表示的图形是形是圆.()y-x看看作作是是直直线y=x+b在在y轴上上的的截截距距，当直当直线y=x+b与与圆相切相切时，纵截距截距b取得最大取得最大值和最小和最小值，此，此时解得解得b=-2 ,所所以以y-x的的最最大大值为-2+ ，最最小小值为-2- .（）x2+y2表表示示圆上上一一点点与与原原点点距距离离的的平平方方，由由平平面面几几何何知知识知知，在在原原点点与与圆心心连线和和圆的两个交点的两个交点处取得最大取得最大值和最小和最小值.又又圆心到原点的距离心到原点的距离为所所以以x2+y2的的最最大大值是是(2+)2=7+4;
14、最小最小值是是(2- )2=7-4 . 涉涉及及与与圆有有关关的的最最值，可可以以借借助助圆的的几几何何性性质，依依照照数数形形结合合思思想想进行行求求解解；联想想过两两点点的的直直线的的斜斜率率公公式式，两两点点间距距离离公公式式，过定定点点的的直直线系系或或平平行行线系系等等知知识的的应用用.已已 知知 实 数数 x,y满 足足 方方 程程x2+y2-4x+1=0，求，求的最大的最大值与最小与最小值. 设=k，即即y=kx，当当直直线y=kx与与圆相相切切时，斜斜率率k取取得得最最大大值和和最最小小值.因因为圆心（心（2,0）到直）到直线y=kx的距离的距离为，所以，所以得得k= .所以所
15、以已已知知圆x2+y2+x-6y+m=0和和直直线x+2y-3=0交交于于P，Q两两点点，且且OPOQ（O为坐坐标原点），求原点），求该圆的的圆心坐心坐标及半径及半径. 利利用用OPOQ得得到到O点点在在以以PQ为直径的直径的圆上，上，再再利用勾股定理求解利用勾股定理求解.设已已知知圆的的圆心心为C，弦弦PQ中中点点为M，因因为CMPQ,所以所以kCM=2，所以所以CM所在直所在直线的方程的方程为即：即：y=2x+4.y=2x+4x+2y-3=0,解得解得M的坐的坐标为（-1，2）.由方程组由方程组则以以PQ为直直径径的的圆可可设为(x+1)2+(y-2)2=r2，因因为OPOQ所所以以点点O
16、在在以以PQ为直直径径的的圆上上.所以所以(0+1)2+(0-2)2=r2，即，即r2=5，MQ2=5.在在RtCMQ中，因中，因为CQ2=CM2+MQ2，所以所以所以所以m=3.所以半径所以半径为，圆心心为(- ，3). 在在解解决决与与圆有有关关的的问题中中.借借助助与与圆的的几几何何性性质，往往往往会会使使得得思思路路简洁明明了了，简化化运算运算.1.求求圆圆的的方方程程常常用用待待定定系系数数法法，步步骤骤大致是：大致是：根根据据题题意意，选选择择标标准准方方程程或或一一般方程般方程；根根据据条条件件列列出出关关于于a,b,r或或D,E,F的方程的方程组组；解解出出a,b,r或或D,E
17、,F代代入入标标准准方方程程或一般方程或一般方程.2.研研究究与与圆圆有有关关的的最最值值问问题题时时，可可借借助助图图形的性形的性质质，利用数形，利用数形结结合求解，一般地合求解，一般地形形如如形形式式的的最最值值问问题题，可可转转化化为动为动直直线线的斜率的最的斜率的最值问题值问题；形形如如t=ax+by形形式式的的最最值值问问题题，可可转转化化为动为动直直线线的截距的最的截距的最值问题值问题；形形如如v=（x-a）2+（y-b）2形形式式的的最最值值问题问题，可，可转转化化为动为动点到定点的最点到定点的最值问题值问题.3.点点与与圆的的位位置置关关系系可可利利用用点点与与圆心心的的距离和
18、半径距离和半径r的大小来判断的大小来判断.4.圆的的问题的的解解题技技巧巧：处理理有有关关圆的的问题，要要特特别注注意意圆心心半半径径及及平平面面几几何何知知识的的应用用，如如弦弦心心距距，半半径径，弦弦长的的一一半半构构成成的的直直角角三三角角形形经常常用用到到，利利用用圆的的一一些些特特殊殊几何性几何性质解解题，往往使，往往使问题简化化.1.（2009辽辽宁宁卷卷）已已知知圆圆C与与直直线线x-y=0及及x-y-4=0都都相相切切，圆圆心心在在直直线线x+y=0上上，则则圆圆C的方程的方程为为（ ）A. (x+1)2+(y-1)2=2 B. (x-1)2+(y+1)2=2C. (x-1)2
19、+(y-1)2=2 D. (x+1)2+(y+1)2=2 圆圆心心在在x+y=0上上,排排除除C、D,再再结结合合图图象象,或或者者验验证证A、B中中圆圆心心到到两两直直线线的的距距离离等等于半径于半径 即可即可.选选B. 本本小小题题考考查查圆圆的的标标准准方方程程，直直线线与与圆圆的位置关系，属于基的位置关系，属于基础题础题.B 2.(2009广广东卷卷)以点以点(2，-1)为圆心且与直心且与直线x+y=6相相切切的的圆的的方方程程是是 .将直将直线x+y=6化化为x+y-6=0,则易知易知圆的半径的半径 所以所以圆的方程的方程为(x-2)2+(y+1)2= .故填故填(x-2)2+(y+1)2= .本本小小题主主要要考考查直直线与与圆的的位位置置关关系，系，圆的的标准方程及点到直准方程及点到直线的距离公式的距离公式.
