菱形的判定定理

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1、菱菱形的判定形的判定定理定理平行四边形平行四边形2021/6/161学习目标：1掌握菱形的三种判定方法，能根据不同的已知条 件，选择适当的判定定理进行推理和计算；2经历菱形判定定理的探究过程，渗透类比思想， 体会研究图形判定的一般思路学习重难点： 1、重点：菱形判定条件的探索及证明 2、难点：菱形的判定定理的应用2021/6/162回顾反思 类比猜想 我们学习了矩形的定义、性质和判定，如下表 你能发现矩形的三条判定定理分别是从哪个角度得到的吗？矩形的 定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 矩形的 性质具有平行四边形的所有性质对角线相等四个角都是直角有一个角是直角的平行四边形是矩形对角线相等的

2、平行四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形CDABO矩形的 判定 2021/6/163回顾反思 类比猜想 菱形的定义与性质如下表你认为可以从哪些角度思考菱形的判定条件？ 菱形的 定义一组邻边相等的平行四边形叫做菱形菱形的 性质具有平行四边形的所有性质对角线互相垂直且平分每一组对角菱形的四条边都相等菱形的 判定 CDABO？ 你的想法正确吗？如何证明你的猜想？ 2021/6/164 小明同学提出小明同学提出：用一长一短的两根细木用一长一短的两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉；做成一条，在它们的中点处固定一个小钉；做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋（如个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋

3、（如下图），做成一个四边形，转动木条，这个下图），做成一个四边形，转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？四边形什么时候变成菱形？猜想猜想：对角线对角线互相垂直互相垂直的平行四边形是菱形的平行四边形是菱形情境情境1：2021/6/165求证：求证：已知：已知：证明：证明：命题命题1:1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形OB=OD, AOD= AOB ABCD是菱形AD=AB ABOADO定义定义请你把这个命题的请你把这个命题的已知已知，求证求证以及以及证明过程证明过程写下来写下来。 ABCD,对角线AC，BD相交于点O，且ACBD求证：ABCD是菱形BC AD O

4、 ABCD ACBD 2021/6/166已知：已知： ABCD,对角线AC，BD相交于点O，且ACBD求证：平行四边形求证：平行四边形ABCDABCD是菱形是菱形 四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形 ， ACBD （已知）（已知） OB=OD, AOD= AOB又又 AO=AO（公共边）（公共边） ABOADO （SAS）证明：证明： AB=AD （ 全等三角形的对应全等三角形的对应边边相等相等 ）四边形四边形ABCD是是 是菱形（是菱形（一组邻边相等的平行四边形叫做菱形）BC AD O 2021/6/167菱形判定菱形判定菱形菱形的判定定理的判定定理1： 对角线互相垂直的

5、平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形符号语言符号语言: ABCD， ACBD （已知已知） ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形） BC AD O 2021/6/168判断题，对的画判断题，对的画“”错的画错的画“”(1).对角线互相垂直的四边形是菱形（对角线互相垂直的四边形是菱形（ ）(2).一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形（形（ ）(3) .对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（ ）(4).对角线相等的四边形是菱形（对角线相等的四边形是菱形（ ）(5).有

6、一有一组邻边相等的四相等的四边形是菱形形是菱形 （ ）2021/6/169 李亚同学先画两条等长的线段李亚同学先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以然后分别以B、D为圆心，为圆心，AB为半径画弧，为半径画弧，得到两弧的交点得到两弧的交点C，连接，连接BC、CD，就得到，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？猜想猜想： 四条四条边相等相等的四的四边形是菱形形是菱形情境情境2：2021/6/1610求证：求证：已知：已知：证明：证明：命题命题2:2:四条四条边相等相等的四的四边形是菱形形是菱形四边形四边形ABCD, AB= BC=CD =DA四边形四边

7、形ABCD是是菱形菱形AB= BC=CD =DA 四边形四边形 ABCD是是菱形菱形AB= CD，BC =DA定义定义请你把这个命题的请你把这个命题的已知已知，求证求证以及以及证明过程证明过程写下来写下来。 ABCD ，AB=AD ABCD 2021/6/1611已知：已知：四边形四边形ABCD, AB= BC=CD =DA求证：求证：四边形四边形ABCD是是菱形菱形 AB= BC=CD =DA ， AB=CD ， BC =DA ，四边形ABCD是平行四边形，又又 AB=AD ，四边形ABCD是是菱形 证明：证明：2021/6/1612判断题，对的画判断题，对的画“”错的画错的画“”(1).对

8、角角线互相垂直且互相垂直且邻边相等的四相等的四边形形是菱形是菱形（ ）(2).邻边相等的相等的四边形是菱形（四边形是菱形（ ）(3).邻角相等的四角相等的四边形是菱形形是菱形 （ ）(4).对角角线互相平分且互相平分且邻边相等的四相等的四边形形是菱形是菱形（ ）(5).两两组对边分分别平行且一平行且一组邻边相等的相等的四四边形是菱形形是菱形 （ ）2021/6/1613菱形判定菱形判定菱形的判定定理菱形的判定定理2： 四条四条边相等相等的四的四边形是菱形形是菱形。 AB=BC=CD=DA AB=BC=CD=DA （已知已知） 四边形四边形ABCDABCD是是菱菱形（形（四条边相等的四边形是菱形

9、四条边相等的四边形是菱形。） 符号语言符号语言:2021/6/1614判定一个四边形是菱形应具备判定一个四边形是菱形应具备几个几个条件？条件？既可以从既可以从菱形定义菱形定义证明，也可以从证明，也可以从判定定理判定定理证明。证明。判定一个四边形是判定一个四边形是菱菱形，形， 应具备应具备两个条件两个条件。一组邻一组邻边边相等的平行四边行相等的平行四边行 四条边相等的四边形四条边相等的四边形对角线互相垂直的平行四边形对角线互相垂直的平行四边形2021/6/1615(1)(1)定义：定义：一一组邻边相等的平行四相等的平行四边形叫做菱形形叫做菱形。 (2)(2)判定定理判定定理1 1：对角线互相垂直

10、的平行四边形是菱对角线互相垂直的平行四边形是菱形。形。(3)(3)判定定理判定定理2 2：四条边相等的四边形是菱形。：四条边相等的四边形是菱形。2021/6/1616应用拓展应用拓展例例4 4： ABCDABCD的对角线的对角线ACAC，BDBD相交于点相交于点O O，ABAB5 5，AOAO4 4，BOBO3 3。求证：求证： ABCDABCD是是菱菱形。形。方法方法3 3：四条边相等的四边形四条边相等的四边形 是菱形。是菱形。（判定定理判定定理2 2） 方法方法1 1：一组邻边相等的平行四边形一组邻边相等的平行四边形 是菱形是菱形（定义定义） 方法方法2 2：对角线互相垂直的平行四边形对角

11、线互相垂直的平行四边形 是菱形是菱形 ( (判定定理判定定理1 1）交流：你用的是哪交流：你用的是哪一种方法？你认为一种方法？你认为哪一种方法最好？哪一种方法最好？独立思考：你用哪一种方法？独立思考：你用哪一种方法？2021/6/1617例例4 4： ABCDABCD的对角线的对角线ACAC，BDBD相交于点相交于点O O，ABAB5 5，AOAO4 4，BOBO3 3。求证：求证： ABCDABCD是是菱菱形。形。证明：证明： AB=5，AO4，BO3 AOB是直角三角形是直角三角形 AC BD ABCD是菱形是菱形 (对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形）202

12、1/6/16181 1、填空。、填空。(1)(1)如图，若如图，若AD=8cm, AD=8cm, 那么当那么当 AB= AB=_ cmcm，BC=BC= _cm,cm, CD=CD= _ cmcm时，四边形时，四边形ABCDABCD是菱形是菱形. .(2)(2)如图，若如图，若AO=8cm, OD=6cmAO=8cm, OD=6cm，则当则当AD=_AD=_ cm,cm,则则ABCDABCD是菱形是菱形. . 881082021/6/16192 2、下列哪些平行四边形是、下列哪些平行四边形是菱菱形形? ?为什么为什么? ?答案（答案（1 1）答案（答案（2 2）是，因为是，因为ACBD是，因为

13、是，因为 A B = A D A B = A D判定判定1：对角线互相垂直对角线互相垂直的平行四边形是的平行四边形是菱形菱形。定义定义 ：一组邻边相等一组邻边相等的平行四边形叫做的平行四边形叫做菱形菱形（2）（1）5cm13cm12cm5cm5cm2021/6/16203. 在菱形在菱形ABCD中，不一定成立的（）中，不一定成立的（）A 、 四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形 B 、 AC BDC、 ABD是等边三角形是等边三角形 D 、 CABCAD4.菱形的对角线长分别是菱形的对角线长分别是16cm、12cm，周长是，周长是 .5.如图，下列条件之一能使平行四边形如图，下列条件之

14、一能使平行四边形ABCD是菱是菱形的为（形的为（ ）AC BD； BAD90； ABBC； ACBD. A B C DC40cmA2021/6/1621课后思考：课后思考：1.如图，四边形如图，四边形ABCD中，中，E、F、G、H分别是分别是边边AB、BC、CD、DA的中点请你添加一个条的中点请你添加一个条件，使四边形件，使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是为菱形，应添加的条件是 . 2.已知：如图，顺次连接已知：如图，顺次连接矩形矩形ABCD各边中点，得各边中点，得到四边形到四边形EFGH，求证：四边形求证：四边形EFGH是菱形。是菱形。 EF=EH2021/6/1622如图，等边ABC的

15、边长为2，E是边BC上的动点，EFAC交边AB于点F，在边AC上取一点P，使PE=EB，连接FP（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段；（不再另外添加辅助线）（2）探究：当点E在什么位置时，四边形EFPC是平行四边形？并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形，请说明理由；2021/6/1623（1）易得BFE是等边三角形，PE=EB，EF=BE=PE=BF；（2）当点E是BC的中点时，四边形是菱形；E是BC的中点，EC=BE，PE=BE，PE=EC，C=60，PEC是等边三角形，PC=EC=PE，EF=BE，EF=PC，又EFCP，四边形EFPC是平行四边形，EC=PC=EF，平行四边形EFPC是菱形；2021/6/1624课后反思菱形的判定方法除了以上三种之外还有哪些判定方法？如：1、对角线相互垂直且平分的四边形是菱形2、每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形3、对角线垂直的矩形叫菱形4、2021/6/1625 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！