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1、第第十十章章排排列列、组组合合、二二项项式式定定理理和和概概率率10.4 二项式定理二项式定理 第二课时第二课时题型题型4 利用二项式定理求组合数的和利用二项式定理求组合数的和 1. 求下列各式的和：求下列各式的和： (1) ； (2) . 解解 :(1)原式原式= . (2)因为因为(1+x)n(x+1)n=(x+1)2n ， 所以所以 . 比较等式两边比较等式两边xn-1的系数，得的系数，得 . 点评：点评：逆用、变用二项式定理是解决组逆用、变用二项式定理是解决组合数求和公式的关键合数求和公式的关键. 求 的和. 解：设 ， 则 ， 倒序： ， 两式相加，得 ， 所以S=n2n-1，即 .
2、 2. (1)求证：46n+5n+1-9(nN*)能被20整除； (2)求5555除以8的余数. 解：(1)证明:因为46n+5n+1-9=4(6n-1)+5(5n-1) =4(5+1)n-1+5(4+1)n-1 = = ， 所以46n+5n+1-9能被20整除. 题型题型5 利用二项式定理解决利用二项式定理解决 整除性和余数问题整除性和余数问题 (2)因为5555=(56-1)55= ， 又56是8的倍数，故上面的展开式可设为8m-1. 因为8m-1=8(m-1)+7，所以5555除以8的余数是7. 点评：求整除或余数问题，一般是把被除式配凑成除式的倍式加余数的形式，如第(1)问中先分别把4
3、6n中的6n变为5的倍数加余数的形式，而55n的化为4的倍数加余数的形式，这样就凑出20的倍数式和余数式. 若 能被7整除，则x,n的值可能为( ) A. x=4,n=3 B. x=4,n=4 C. x=5,n=4 D. x=6,n=5 解: , 当x=5,n=4时，(1+x)n-1=64-1=3537能被7整除，故选C.拓展练习拓展练习C 3. 求下列各数的近似值，使误差小于0.001. (1)1.028；(2)0.9986. 解：(1)1.028=(1+0.02)8= . 因为精确度为0.001,比它小的数可以忽略， 所以1.0281+0.16+0.0112=1.17121.171. 题型
4、题型6 利用二项式定理求近似值利用二项式定理求近似值 (2)0.9986=(1-0.002)6= . 因为T3= =150.000004 0.001，且以后各项的绝对值都小于0.001，这些项可忽略不计. 所以0.99861+6(-0.002)=1-0.012=0.988. 点评：指数的近似值计算可转化为二项式定理的展开式，由近似值的要求，转化为求展开式的前两项或前三项的值即可. 某地现有耕地某地现有耕地10000公顷，规划公顷，规划10年后粮食单产比现在增加年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食，人均粮食占有量比现在提高占有量比现在提高10%，如果人口年增长率，如果人口年增长率为为1%，那么
5、耕地平均每年至多只能减小多少，那么耕地平均每年至多只能减小多少公顷公顷(精确到精确到1公顷公顷)？ (粮食单产粮食单产= ,人均粮食占有量人均粮食占有量= ) 总产量总产量耕地面积耕地面积 总产量总产量总人口数总人口数 解：设耕地平均每年至多只能减少x公顷，又设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/公顷. 依题意得 , 化简得 , 因为 ,所以x4(公顷). 所以耕地平均每年至多只能减少4公顷.证明下列不等式：(1) 1，nN*，n2);(2)(1+x)n+(1-x)n2n(|x|1，n2).证明：(1)令a=1+x(x0)，则题型题型 利用二项式定理证不等式利用二项式定理证不等式 又 ，即
6、， 所以 . 故 . (2) (1+x)n+(1-x)n = . 因为|x|1，所以0x2k1. 所以(1+x)n+(1-x)n =22n-1=2n. 1. 求有关组合数的和，一般构造一个二项展开式，再逆用二项式定理化简求和，或者构造一个二项式恒等式，使所求的组合数的和为展开式中某项的系数，再比较等式两边相应项的系数得出结论. 2. 利用二项式定理找出某两个数(或式)之间的倍数关系，是解决有关整除性问题和余数问题的基本思路，关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断. 3. 利用二项式定理进行近似值计算，就是将所求的指数表示成二项式，展开后根据近似值精确度要求，保留前几项，再求其代数和. 4. 对某些含指数式的不等式证明，可考虑将指数式化为二项式，展开后通过放缩化简，转化为不等式的另一边.
