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1、 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心1二、平面问题有限单元法二、平面问题有限单元法有限元法分析问题的主要步骤：有限元法分析问题的主要步骤：连续体离散化连续体离散化单元分析单元分析整体分析整体分析 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心三三角角形形单单元元 ijm位移函数位移函数： 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心矩阵形式：矩阵形式：A为三角形单元的面积为三角形单元的面积代入水平位移分量和结点坐标代入水平位移分量和结点坐标: 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心可逆矩阵可逆矩阵伴随矩阵。将其行列式中各元素的代数余
2、子式按行列式伴随矩阵。将其行列式中各元素的代数余子式按行列式中各元素的顺序排列成方阵，再转置后得的方阵。中各元素的顺序排列成方阵，再转置后得的方阵。行列式。其值为面积的行列式。其值为面积的2倍。倍。 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题 TT的伴随矩阵的伴随矩阵1的代数的代数余子式余子式 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题将将垂直位移分量和结点坐标代入垂直位移分量和结点坐标代入 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心第三章 用常应变三角形单元解弹性
3、力学平面问题 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题（下下标标i i，j j，m m轮轮换换）令令形函数形函数形函数矩阵形函数矩阵 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题1 1、在单元结点上形态函数的值为、在单元结点上形态函数的值为1 1或为或为0 0。2 2、在单元中的任意一点上，三个形态函数之和等于、在单元中的任意一点上，三个形态函数之和等于1 1。3 3、 三角形单元在单元边界上的形函数与第三个顶点的坐标三角形单元在单元边界上的形函数与第三个顶点的坐标无关无关( i
4、, j, m 轮换轮换 )形态函数性质形态函数性质 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题2 2）、单元载荷移置）、单元载荷移置 移植载荷遵循的原则移植载荷遵循的原则: :非结点载荷移植到结点上非结点载荷移植到结点上虚功等效原则虚功等效原则是指原载荷与结点载荷在任何虚位是指原载荷与结点载荷在任何虚位移上所做的虚功二者相等移上所做的虚功二者相等XyijmqP 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题单元的虚位移表示方法单元的虚位移表示方法( (线位移线位移) )结点载荷结点载
5、荷实实移移位位虚虚位位移移 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题(1)(1)集中载荷移植集中载荷移植ijmPxPyPc由虚功等效原则由虚功等效原则 结点力作功结点力作功外力作功外力作功xyo 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题移植到结移植到结点上等效点上等效结点力结点力集中力集中力iXijmxyoYjXjYiYmXm 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心例例题题1 1：在在均均质质、等等厚厚的的三三角角形形单单元元ijmijm的的任任意意一一点点
6、o o（0.4a0.4a，0.4a0.4a）上上作作用用有有集集中中载载荷荷P=100N P=100N ，与与水水平平方方向向成成 =45=45，求求单单元元的的等等效效结结点载荷。点载荷。Po XYi (a,0)j (0,a)m (0,0) 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心1 1）求形函数矩阵）求形函数矩阵解：解：等腰直角三角形的面等腰直角三角形的面积积A A为：为： 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心2 2）求单元等效结点载荷）求单元等效结点载荷 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及
7、其自动化教研中心(2) (2) 体力的移植体力的移植令单元所受的均匀分布力为令单元所受的均匀分布力为由虚功等效原则由虚功等效原则 结点力作功结点力作功体力作功体力作功 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题（3 3）分布面力的移植）分布面力的移植结点力作功结点力作功面力作功面力作功由虚功等效原则由虚功等效原则 Xyijmp 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心例例:均质、等厚的三角形单元均质、等厚的三角形单元ijm的结点坐标如图所示，的结点坐标如图所示，ij边上作用边上作用有沿有沿y轴负方向呈三角形分布的载荷，载
8、荷密度最大值为轴负方向呈三角形分布的载荷，载荷密度最大值为q ,单单元的厚度为元的厚度为t，试求单元的等效结点载荷。，试求单元的等效结点载荷。 S 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 （ i i ，j j ，m m轮换） 将将i i ，j j ，m m的坐的坐标代入得：代入得： （1分） 形函数矩阵为：形函数矩阵为： 解：解：(1(1）、计算形函数：）、计算形函数： 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心(2(2）、计算等效节点载荷：）、计算等效节点载荷： 在边界在边界jmjm和和mimi上的面力为零，所以上式第二项和第三项积分应等于零。上的面力为零，所
9、以上式第二项和第三项积分应等于零。在边界在边界ijij上的面力为上的面力为: : qy因因为积分沿逆分沿逆时针方向，所以有方向，所以有dsds= =dxdx 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心3 3）、由结点位移求单元的应变）、由结点位移求单元的应变根据单元的位移函数根据单元的位移函数 由几何方程可以得到单元的应变表达式由几何方程可以得到单元的应变表达式: :B矩阵称为矩阵称为几何矩阵几何矩阵 ( i, j, m 轮换轮换 ) 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题B矩阵可以表示为分块矩阵的形式矩阵可以表示为分
10、块矩阵的形式B矩阵称为几何矩阵矩阵称为几何矩阵 或应变转换矩阵。或应变转换矩阵。( i, j, m 轮换轮换 ) 称为应变矩阵称为应变矩阵由于线性位移函由于线性位移函数，应变矩阵为数，应变矩阵为常数矩阵。因而常数矩阵。因而单元中的应力与单元中的应力与应变为常数，称应变为常数，称这种单元为常应这种单元为常应变单元。变单元。 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心4 4）、由结点位移求单元应力）、由结点位移求单元应力由物理由物理方程得：方程得： DD称为弹性矩阵称为弹性矩阵平面应力问题平面应力问题称为弹性矩阵称为弹性矩阵 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心5
11、 5）、由结点位移求单元结点力）、由结点位移求单元结点力外力作用下处于平衡状态的弹性体，如果发生虚位移，则所外力作用下处于平衡状态的弹性体，如果发生虚位移，则所有外力在虚位移上做的虚功等于内应力在虚应变上做的虚功。有外力在虚位移上做的虚功等于内应力在虚应变上做的虚功。单元的结点力记为：单元的结点力记为： 单元的虚应变为：单元的虚应变为： 单元的外力虚功单元的外力虚功为为 ：单元的内力虚功为：单元的内力虚功为： 虚功原理：虚功原理： 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心由虚功原理得：由虚功原理得：外力虚功外力虚功内力虚功内力虚功* 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自
12、动化教研中心第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题定义为单元刚度矩阵。定义为单元刚度矩阵。 在在3结结点点等等厚厚三三角角形形单单元元中中B和和D均均为为常常量量，则则单单元元刚度矩阵可以表示为：刚度矩阵可以表示为：6 6）、单元刚度矩阵）、单元刚度矩阵 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题单元刚度矩阵表示为分块矩阵单元刚度矩阵表示为分块矩阵 r=i,j,m s=i,j,m单元刚度矩阵的性质单元刚度矩阵的性质: :（1）对称性）对称性（2）奇异性）奇异性 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心称为弹性矩阵称
13、为弹性矩阵总结 称为应变矩阵称为应变矩阵单元刚度矩阵单元刚度矩阵 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心1、均、均质、等厚的三角形、等厚的三角形单元元ijm的的结点坐点坐标如如图所示，所示，jm边上作用有沿上作用有沿y轴负方向按三角形分布的方向按三角形分布的载荷，荷，单元的厚度元的厚度为1，求，求单元的等效元的等效结点点载荷。荷。 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心2024/7/21将i ，j ，m的坐标代入得： 1、三角形面积: 2、计算形函数： 解: 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心3、计算等效节点载荷： 在边界ij和mi上的
14、面力为零，所以上式第一项和第三项积分应等于零。 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心因为积分沿逆时针方向，x=1-s ，s=1-x所以有ds= -dx 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心例2：均质、等厚的三角形单元ijm的结点坐标如图所示，ij边上作用有沿x轴负方向均匀分布的载荷q，单元的厚度为t，求单元等效结点载荷。（本小题（本小题1515分）分） 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心2024/7/21 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 数字化设计与
15、制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心例3：均质、等厚的三角形单元ijm的结点坐标如图所示，mi边上作用有沿y轴负方向均布的载荷，载荷密度为q，单元的厚度为t，试求单元的等效结点载荷. 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心4. 在均质、等厚的三角形单元ijm坐标如图所示，单元的厚度为t，在ij边上作用呈三角形分布的载荷，载荷密度最大值为q，试计算单元的等效结点载荷. 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 数字化设计与制造 大连交通大学
16、机械设计及其自动化教研中心 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心2 2、如图所示三角形单元的结点坐标，单元的厚度为、如图所示三角形单元的结点坐标，单元的厚度为t,t,材料的弹材料的弹性模量为性模量为E E，泊松比，泊松比 ，试求求该单元的元的刚度矩度矩阵. . 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心3、一平面三角形薄板构件，离散为、一平面三角形薄板构件，离散为2个单元个单元4个节点，如图所示。已知单元个节点，如图所示。已知单元的编码顺序为（的编码顺序为（1，2，3），单元），单元的编码顺序为（的编码顺序为（3，4， 1）。试分别）。试分别写出：（写出：（1）单元）单元的分块刚度矩阵；（的分块刚度矩阵；（2）单元）单元的分块刚度矩阵；（的分块刚度矩阵；（3）总刚矩阵的分块矩阵表达式总刚矩阵的分块矩阵表达式.
