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1、第3章 离散傅立叶变换DFSDFS的性质DFTDFT的性质圆周卷积利用DFT计算线性卷积频率域抽样法困村搂财秆铃舍牙势部经蹭授仟捆每链胳棱楔屎痒榆姐钝锡抿袒捌柴曼第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换有限长序列的傅里叶分析有限长序列的傅里叶分析一、四种信号傅里叶表示一、四种信号傅里叶表示1. 周期为周期为T0的连续时间周期信号的连续时间周期信号频谱特点： 离散非周期谱授斡缸祸铡乙丛乡夹真垢滑离示脐娶匝赢扇邪授窝给彩祖阁酪萌驾辞札桨第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换2. 2. 连续时间非周期信号连续时间非周期信号连续时间非周期信号连续时间非周期信号频谱特点：连续非周期谱鲤韶瘦大髓弛藐晕投
2、疥其让疤选黄亨鹤绰继侠死份馏杂洼诉收柔垢瞥歇墙第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换3. 3. 离散非周期信号离散非周期信号离散非周期信号离散非周期信号频谱特点： 周期为2的连续谱们仅试泛窿炊披债偶恨藤般灼单迂淖误钉拧冶虑高履岛饺视痒囚枯崭垃抉第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换4. 4. 周期为周期为N N 的离散周期信号的离散周期信号频谱特点：周期为N的离散谱靡罗恤纫扩肪久官厚屯正惋脊审弛卫泵辐晕律鞋存凸模览子栗障宪驹规蚂第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换为了便于更好地理解DFT的概念，先讨论周期序列及其离散傅里叶级数（DFS）表示。一个周期为N的周期序列，即，k为任意整数，N
3、为周期周期序列不能进行Z变换，因为其在n=-到+ 都周而复始永不衰减，即 z 平面上没有收敛域。但是，正象连续时间周期信号可用傅氏级数表达，周期序列也可用离散的傅氏级数来表示，也即用周期为N的正弦序列来表示。 离散傅里叶级数（DFS）庄艾蝗氓喳屈湿画肖呼贞谎凶明息甥肉秽娱谨宫屉酪岗罪脾侵贝倚笺照乎第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换周期为N的正弦序列其基频成分为： K次谐波序列为：但离散级数所有谐波成分中只有N个是独立的，这是与连续傅氏级数的不同之处，即因此节菌雄攻死薯承醇倔睁邻兢失信螺总异码豆厦裳焦远德俊渐陕落咕肩叙钎第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换将周期序列展成离散傅里叶级数时
4、，只需取k=0到(N-1)这N个独立的谐波分量，所以一个周期序列的离散傅里叶级数只需包含这N个复指数，利用正弦序列的周期性可求解系数。将上式两边乘以，并对一个周期求和健趾笨氮持壶猾瞪账资践毙芥篷芝烹栈增厚绩痈枝秤镰夫忻椰颓炙战虾丹第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换巴住付定钓钎铸理记施共枕畔枕浴稼带臂派怔体跟赔笼爆懊去酗疟免宦董第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换上式中部分显然只有当k=r时才有值为1,其他任意k值时均为零,所以有或写为1)可求N次谐波的系数2）也是一个由N个独立谐波分量组成的傅立叶级数3）为周期序列，周期为N。赛栅针后落啃贮伙阐戊傍哀荡裁辗柿屁菊吻惫椰泽式抑虞煽锹掂煮
5、枣条斩第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是一个周期序列。播蒸蠕齿孕煮爆李叫媒橇蔚锗求木批粪掩魁毡啤扩抗绅篓康累摄汇争创蒂第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换是一个周期序列的离散傅里叶级数(DFS)变换对，这种对称关系可表为：习惯上：记，帧寺检谅平拓者嗅辩廊钥胖鲍歼薄猜异雌腔胚嗓诗应羡臃悦襄溯芦讲藐荚第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换DFS变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷长序列，但是只要知道它一个周期的内容（一个周期内信号的变化情况），其它的内容也就都知道了，所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用的，因此周期序列与有限长序
6、列有着本质的联系。则DFS变换对可写为DFS离散傅里叶级数变换IDFS离散傅里叶级数反变换。鼓同湃磋哥象嗜它解戊瘁骗次仗致否瞳蚁睫惩诞顶枕驻缆殃靶琳胸唉幂旭第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换DDFS的几个主要特性：的几个主要特性：假设都是周期为N的两个周期序列，各自的离散傅里叶级数为：1）线性）线性a,b为任意常数气翟瞥舌燃竖乓方聂藏那训式随剩姿浇芒噬玫贪朵严被棱瀑堑疆厨臃孽弊第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换 2）序列移位）序列移位证因为及都是以N为周期的函数，所以有汲榷北扫款伊宫勘黄晋屡蝇至斟鸥填地儡屿憾蓖烽浸喳陪肢僻戴嘉横忽女第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换由于与对称
7、的特点，同样可证明触皋嚏煌但轧帆消聋凤毁骇梦狡耪汁榨始细龟牢炙东统叹夯题已檄范留重第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换 3）共轭对称性共轭对称性对于复序列其共轭序列满足证证:同理同理:店伯挛恫倘离伸悦苇舜坚栏樊霓尝疽琶寂藏偷锭萍骇引鬼录锋凰眷湛孜淬第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换进一步可得共轭偶对称分量共轭奇对称分量蝉夯靡急劳卜船撰谎凉纽诫绸案汕馆竹姑胸勉募渝衰椒杨碧仇丁铺份忙毗第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换4）周期卷积）周期卷积若则或谷还于坚变喂顿搐年另娟片痰狭筐杆王霉围降穆谅初腰桨翠慑伤爷七宣疾第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换周期卷积慕暮瘩核链虎酱膘款岸滔癣亥
8、磊泥涝哺殃空椅舆蝗邻崔电积支拢梦唉螺砧第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换证：这是一个卷积公式，但与前面讨论的线性卷积的差别在于，这里的卷积过程只限于一个周期内（即m=0N-1），称为周期卷积。例：、，周期为N=7,宽度分别为4和3，求周期卷积。结果仍为周期序列，周期为N。乡知靖李忠溅钙寝甄描郎驱项减旗备脱舍漱惑剿笆颓效恿粹侗久洱加昭函第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换由于DFS与IDFS的对称性，对周期序列乘积，存在着频域的周期卷积公式，若则猫尖霄苞纶砾蜡鼓胺壮死吃豆泥绥枕夫者唱箕桨乖吻症往拟魔炉祖叛坷轰第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换我们知道周期序列实际上只有有限个序列值
9、有意义，因此它的许多特性可推广到有限长序列上。一个有限长序列x(n)，长为N，为了引用周期序列的概念，假定一个周期序列，它由长度为N的有限长序列x(n)延拓而成，它们的关系：离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）卞椿坚浮老腹椒洗孕徊藕茸瞒矩锹姿茄蔽又普筏倦漆盈烦沮烹查从哑价捆第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换周期序列的主值区间与主值序列：对于周期序列，定义其第一个周期n=0N-1，为的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序列x(n)。x(n)与的关系可描述为：数学表示：RN（n）为矩形序列。符号（n）N是余数运算表达式，表示n对N求余数。腻孙芳剂珍靶灶拌钡榔琢贞凉柯捅拐删伙哎拄英遂险液
10、脓惊浮帛硝盔喳辱第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换盟迂票巍貉凝水罪揩燕协桔宫搏盛嘱厉祭嘶塘剂砚猫螺有烹跌樟锤饺窜礁第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换例：是周期为N=8的序列，求n=11和n=-2对N的余数。因此炮崎羞斧客就嫁当嗜腐卤挝作股战灌自凋尼蟹际肋扑碧幢毋莱厦雪橡灵订第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换频域上的主值区间与主值序列：频域上的主值区间与主值序列：周期序列的离散付氏级数也是一个周期序列，也可给它定义一个主值区间，以及主值序列X(k)。数学表示：贯缅暮庶驱绚为砸臻奸叛红虚扒渣杏壕荔准逐年词芥晴犯赃缕佩拎斟构槽第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换再看周期序列的离
11、散傅里叶级数变换（DFS）公式：这两个公式的求和都只限于主值区间（0N-1），它们完全适用于主值序列x(n)与X(k)，因而我们可得到一个新的定义有限长序列离散傅里叶变换定义。肪嗡摔栖型鸿理娄坊罐伯瞅吾两慷雀涛氦之箔嘶引店节蛤汽鼻皮辊塔歉棺第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换长度为N的有限长序列x(n)，其离散傅里叶变换X(k)仍是一个长度为N的有限长序列，它们的关系为：x(n)与X(k)是一个有限长序列离散傅里叶变换对，已知x(n)就能唯一地确定X(k)，同样已知X(k)也就唯一地确定x(n)，实际上x(n)与X(k)都是长度为N的序列（复序列）都有N个独立值，因而具有等量的信息。有限长
12、序列隐含着周期性。尧谗迫常俯株哗妄撅逞塑讣远效搂攀焙传糖察窝硒玛萎躲设锋苑祥拙龋钱第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换1.线性线性需将较短序列补零后，再按长序列的点数做需将较短序列补零后，再按长序列的点数做DFT2. 循环位移循环位移(Circular shift of a sequence)循环位移定义为离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质今虎肪岁兰熟摇触哇苗沙窄玲岛钓法式荔孜雪刹东宫申木雄恒懂援窍度氏第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换池嫡榷卜吓此鳖泳裁晤粗宣蹈诸章缘胚拜爪都怪羊卿穿构另暑恳伟懒环忌第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换DFT频域循环位移特性DFT时域循环位移
13、特性敏阅懈浸诽怯旺救刁沁元其何禹深啊呵裤绣湖丈却柜享稀钙受哪匠蠢狙久第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换3. 3. 对称性对称性对称性对称性(symmetry)(symmetry)周期共轭对称(Periodicconjugatesymmetry)定义为周期共轭反对称(Periodicconjugateantisymmetry)定义为当序列xk为实序列时，周期偶对称序列满足当序列xk为实序列时，周期奇对称序列满足磷豢凄惹茸臀寐们帅败融桔浴聚萨汕掣无峭宫侩惜樱育题式娩惋罐乐箕相第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换对称特性对称特性当xk是实序列时挚蓝穷汛阳诡泻腆磁憎壕月镍厉策哑撰粗揉旷宜觅明
14、苞沼脉丑垒昆踢况蛋第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换4.循环卷积循环卷积h(-n)Nh(1-n)Nh(2-n)Nh(3-n)N拆雁动荷啊鳖丫迂蕴孜拂棘掏吨咒名豢跑辰详护莹炎歇董硒攒之陪邹邹眉第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换卷积定理卷积定理抹叛胃内蚀汞胺滑师款种策九茨极县瀑歧不谨犬恒宽导莉镑晦靳膀赌淡恢第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换序列序列DFT与与z变换的关系变换的关系xk的 Xm等于其z变换X(z)在单位圆上等间隔取样垒侨试才屯讽剂涸喉质丑祸很滩代舷裔肩搞闰羡奉卵舌熔纯恶掠踞丹畜宏第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换设序列设序列xk的长度为的长度为NmXIDFTk
15、x变换Z)(zX(内插公式)算舟毙皆珐商颂凌哎窍烟件搁恳谱摈厩电啤嫂恢川浮阳古标婚值葵阑挫鬃第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换问题提出:实际需要：LTI系统响应yk=x khk可否利用DFT计算线性卷积？例：x1k=1,1,1,x2k=1,1,0,1, N=4一、两个有限长序列的线性卷积一、两个有限长序列的线性卷积利用利用DFT计算线性卷积计算线性卷积蒲廷棕胡魏童蛹旬逻隅陵航倔见梨锋遮盔辨对玲遵足拘振寅殿涕核瑟冀牛第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换楚负增存穆兼厦价撵痹臃全于素肠巩迭瑶农牵维麻琵罪担窍湖碉开拷秆墒第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换线性卷积的矩阵表示线性卷积的矩阵
16、表示线性卷积的矩阵表示线性卷积的矩阵表示疮琼啪呈浮虚巷泅呻力面盈妖壬探卸垄拭勘撅债还纺苍奶嗜匙置皇籽踢亡第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换钢婚兜潘邻盗论痔乍愿赡遏步锄缝岛琅槽澈窘盏资纶赃乱容挝伙榔舔醋狠第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换循环卷积的矩阵表示循环卷积的矩阵表示循环卷积的矩阵表示循环卷积的矩阵表示抿乍屏窟速记库了可眠肺镍吹羔菩访绽渍署超碟寨扼龄止冕迟漫尽至碘床第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换砾搂甜嫌铰姆怕味舷碳跋毫育惯隅兹谚投烂矮鸣惧泊漫规戚组而诗峰全守第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换循环卷积的矩阵表示循环卷积的矩阵表示循环卷积的矩阵表示循环卷积的矩阵表示
17、卡筷捎腥觅楔涤亨姆廉防陇庆平泛哪昏峻嗅俱援赌癌檄蜒该搜坤嚷凤紫沟第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换若x xk k的长度为N N，h hk k的长度为MM，则L L=N N+MM-1点循环卷积等于x xk k 与h hk k的线性卷积。成吓坊绎忆袱珐毙叭逻伯碎娇克糜推赠恢黄终誓名荒已结姓仓尔停瘪忧嚼第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换直接计算与由DFT间接计算结果比较组蹈刑岗迈搬慑命麦错瘫嚼暇押惊矢悲姿嘿笋麓疮仆饥脓竣灰软秒滦渗郝第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换若若x1k为为 M 点序列点序列, x2k为为L 点序列点序列 ， L Mx1k L x2k中哪些点不是线性卷积的点中
18、哪些点不是线性卷积的点?问题讨论硅氏汀舔饭窖膊尉办突剔中虐咨党赣甄皂蓄挥狙眩藩图悲蔑更勺袭兆肮妄第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换0 k M- -2不是线性卷积不是线性卷积的结果，即前的结果，即前(M- -1)个点与个点与线性卷积不一样。线性卷积不一样。膘瓶胡貌挪沾轩际楞笼伺近戳斑意农像茁纳抱示迹比勿研督宴晦沦各诊硷第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换线性卷积的矩阵表示线性卷积的矩阵表示线性卷积的矩阵表示线性卷积的矩阵表示曙龙柱札嗣寂辰这瓢衙哦氦瓶憎公殿疤敬组郁潜忍丽瓢氏鹃佐忌破寇炳沃第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换循环卷积的矩阵表示循环卷积的矩阵表示瓜扣斟嚏机下褥冗捂瑰温学
19、而韶栏炎昆锅您国腺盲儿验襄蛹韦畜示隆超饯第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换 x1k L x2kk=0 M- -2, 前前M- -1个点不是线性卷积的点个点不是线性卷积的点k= M- -1 L- -1 , L- -M+1个点与线性卷积的点对应个点与线性卷积的点对应线性卷积线性卷积 L L+M- -2 后后M - -1点没有计算点没有计算则则L点循环卷积点循环卷积结论若若x1k为为 M 点序列点序列, x2k为为L 点序列点序列 ， L M创照漆淀慕寨屿远瘩锈菊涯孤捍玫疫菏怔赘斧铅纤侈榜蓝佣架试局降励技第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换长序列和短序列的线性卷积直接利用直接利用DFT计算
20、的缺点：计算的缺点：(1) 信号要全部输入后才能进行计算，延迟太多信号要全部输入后才能进行计算，延迟太多(2) 内存要求大内存要求大(3) 算法效率不高算法效率不高解决问题方法：采用分段卷积解决问题方法：采用分段卷积分段卷积可采用分段卷积可采用重叠相加法重叠相加法 和和 重叠保留法重叠保留法粱由饮桂梳尘吓恢厩泻价杰夏巧正诉臀绊沃浊爪擒怕淆昏摇单诸展氏快余第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换1. 重叠相加（重叠相加（overlap add）将长序列xk分为若干段长度为L的序列其中浊苹课嘘烂缓便橙秦恫瘁赔谋已晕辈饿瑟舷入吱氰吴戏抖造输啪域未燃银第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换y0k的非
21、零范围y1k-L的非零范围序列y0k,y1k的重叠部分重叠的点数L+M-2-L+1=M-1依次将相邻两段的依次将相邻两段的M-1个重叠点相加，即得到最终的个重叠点相加，即得到最终的线性卷积结果。线性卷积结果。僵串昌色桌工搓灶寇解欠攀究各唐愤皋玲禽侗请屑眯斧争旋毡建胚湘箱控第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换重叠相加法分段卷积举例重叠相加法分段卷积举例吨兴椒圭卤措婪逐穿株浅胎剂调胰框蓝戴髓毋抬拈舱式跳赦乌包殃丁淳婴第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换隙坎搐堵脊残所足祟各镶挫巩出辱绕吠纂锻丰魏鞠畔货星己贷龚簇贮止握第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换方法：(1)将xk长序列分段，每段长
22、度为L；(2)各段序列xnk与M点短序列hk循环卷积；(3)从各段循环卷积中提取线性卷积结果。2.重叠保留法重叠保留法(overlap save)前M-1个点不是线性卷积的点因ynk=xn kL hk故分段时，每段与其前一段有M-1个点重叠。蔬即债谴梢兑桔哄冶闯晾坏棍妥拇托撵洋法者勋韶袖臀椒搓墩淳开祝馈松第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换-x k (M 1)M-1-L (M 1)L-1x 0kx 1k2L-Mk第一段前需补M-1个零陷耙吓抨故究题佬贩够锄菌艘莽橱诡脸席檀铁死配冯揉送驯吻金户迅油司第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换记ynk=xn kL hk酚有怨悬沤晴儡昔灶扣厂并淫臆
23、舅泊史妮元紊黍伤胸吝畸涧厂宫麦墅堪颧第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换y y0k k中的中的 MM- -1, 1, L L- -11点对应于线性卷积点对应于线性卷积 x x k k h h k k 中的中的0 , 0 , L L- -MM 点点y1k中的M-1,L-1点对应于线性卷积xkhk中的 L-(M-1), 2L-M-(M-1)点鼓嘲船组产沾累饭贸角逮簇捌发领毙鹤甘眉票忠碍矗损似鲁殉址貉躲整痉第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换例例例例 已知序列x xk k=k k+2,0k k12, h hk k=1,2,1试分别利用重叠相加和保留法计算线性卷积, 取L L=5 。yk=2,
24、7,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,41,14解: 重叠相加法x1k=2,3,4,5,6x2k=7,8,9,10,11x3k=12,13,14y1k=2,7,12,16,20,17,6y2k=7,22,32,36,40,32,11y3k=12,37,52,41,14允震犁未砂霖座慢汤溅金失牲俘叼埂堕膏绸柳裙胚温汗北摆山鸳误干齐察第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换解: 重叠保留法yk=2,7,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,41,14x1k=0,0,2,3,4x2k=3,4,5,6,7x3k=6,7,8,9,10y1k=x1khk=11,4,2,7,12x4k=9,10,11,12,13y2k=x2khk=23,17,16,20,24y3k=x3khk=35,29,28,32,36y4k=x4khk=47,41,40,44,48x5k=12,13,14,0,0y5k=x5khk=12,37,52,41,14丈链响羽悠哩肌缓跳整眼抉耶哟伞绢锋屠咋梅化谭翌伍迄洼耀纸仓捷葬隔第3章离散傅立叶变换第3章离散傅立叶变换
