第五节第五节 极限的运算法则极限的运算法则1. 无穷小的运算法则无穷小的运算法则2. 极限的四则运算法则极限的四则运算法则3.3. 复合函数极限运算法则复合函数极限运算法则1/22高等数学15第五节极限的运算法则 时, 有一、一、 无穷小运算法则无穷小运算法则定理定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小有限个无穷小的和还是无穷小 .*证证: 考虑两个无穷小的和考虑两个无穷小的和 .设设当时 , 有当时 , 有取则当因此因此这说明当这说明当时,为无穷小量为无穷小量 .高等数学15第五节极限的运算法则 说明说明: 无限个无限个无穷小之和不一定不一定是无穷小 !例如，例如，( 后面的例题后面的例题 )用数学归纳法可证用数学归纳法可证: 有限个有限个无穷小之和仍为无穷小无穷小之和仍为无穷小 . 高等数学15第五节极限的运算法则 若函数若函数g在某在某U゜゜(x0)内有界，则称内有界，则称g为为x→x0时的有界量时的有界量 类似可定义类似可定义x→x0+, x→x0-,x→+∞, x→–∞以及以及x→∞时的无穷小量与有界量时的无穷小量与有界量 任何无穷小量都是有界量任何无穷小量都是有界量。
高等数学15第五节极限的运算法则 定理定理2 （（同一过程中的同一过程中的））有界量有界量与无穷小的乘积与无穷小的乘积是无穷小是无穷小，，即即 O(1)·o(1)=o(1)证证6/16高等数学15第五节极限的运算法则 高等数学15第五节极限的运算法则 推论推论1 （（在同一过程中）有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积是无穷小.7/16注意注意 无穷多个无穷多个无穷小无穷小的乘积的乘积未必未必是无穷小是无穷小. .高等数学15第五节极限的运算法则 二、四则运算法则二、四则运算法则定理定理3 3高等数学15第五节极限的运算法则 推论推论4/22高等数学15第五节极限的运算法则 例例1 1解解5/22高等数学15第五节极限的运算法则 例例3 3解解7/22高等数学15第五节极限的运算法则 注注 在不能直接用极限的四则运算法则时，可先考虑在不能直接用极限的四则运算法则时，可先考虑 将函数适当变形，再考虑能否用极限的四则运算法则将函数适当变形，再考虑能否用极限的四则运算法则。
常用的变形方法有：通分，约去零因子，用非零因子常用的变形方法有：通分，约去零因子，用非零因子同乘或同除分子分母，分子或分母有理化等同乘或同除分子分母，分子或分母有理化等解解例例4 4（消去零因子法）（消去零因子法）8/22高等数学15第五节极限的运算法则 例例5 5 求求 解解 (无穷小因子分出法无穷小因子分出法)9/22高等数学15第五节极限的运算法则 例例6 6 求求解解 （消去零因子法）（消去零因子法）10/22高等数学15第五节极限的运算法则 例例7 7 求求解解（分子有理化）（分子有理化）11/22高等数学15第五节极限的运算法则 例例9 9 求求解解先变形再求极限先变形再求极限. .13/22高等数学15第五节极限的运算法则 例例1010解解14/22高等数学15第五节极限的运算法则 例例1111解解左右极限存在且相等左右极限存在且相等,15/22高等数学15第五节极限的运算法则 例例1212解解16/22高等数学15第五节极限的运算法则 总结：总结：有理函数在无穷远的极限有理函数在无穷远的极限 17/22高等数学15第五节极限的运算法则 高等数学15第五节极限的运算法则 三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则定理定理7. 设且 x 满足时,又则有证证: 当时, 有当时, 有对上述取则当时故①因此①式成立.高等数学15第五节极限的运算法则 定理定理7. 设且 x 满足时,又则有 说明说明: 若定理中若定理中则类似可得高等数学15第五节极限的运算法则 例例13 13 求极限求极限20/22高等数学15第五节极限的运算法则 备用题备用题 设设解解:利用前一极限式可令利用前一极限式可令再利用后一极限式再利用后一极限式 , 得得可见可见是多项式是多项式 , 且且求求故故高等数学15第五节极限的运算法则 三、小结：三、小结：1.无穷小的运算法则，无穷小的运算法则，2.极限的四则运算法则（极限的四则运算法则（注意除法注意除法））, 有理函数的极限；有理函数的极限； 3. 复合函数的极限运算法则。
复合函数的极限运算法则22/22高等数学15第五节极限的运算法则 作 业习题1-1 剩下的全部高等数学15第五节极限的运算法则 一、填空题一、填空题:练练 习习 题题高等数学15第五节极限的运算法则 二、求下列各极限二、求下列各极限:高等数学15第五节极限的运算法则 高等数学15第五节极限的运算法则 练习题答案练习题答案高等数学15第五节极限的运算法则 。