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1、2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征思考:(1)怎样将样本数据汇总为一个数值,并使它成为样本数据的“中心点”?(2)能否用一个数值来描写样本数据的离散程度?引入新课：初中我们曾经学过一些特殊的数：众数:一组数据中出现次数最多的那个数,一组数据中可以有多个众数.中位数:一组数据有奇数个数时,中位数就是中间的那个数,有偶数个数时,中位数是中间两个数的平均数.平均数:一组数据的和除以数据个数所得到的数即算术平均数. 我们如何从频率分布直方图中得到样本的众数、中位数、平均数呢?探究探究1:在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中,你认为众数应在哪个小矩形内?由此估计总体的众数是什么?最
2、高的矩形的中点 思考1:请大家翻回到课本第66页看看原来抽样的数据,有没有2.25这个数值呢?根据众数的定义, 2.25怎么会是众数呢?因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了,而2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的,所以存在一些偏差.探究探究2:那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢? 在样本数据中,有50%的个体小于或等于中位数,也有50%的个体大于或等于中位数.因此,在频率分布直方图中,矩形的面积大小正好表示频率的大小,即中位数左边和右边的直方图的面积应该相等. 从左至右各个小矩形的面积分别是0.04,0.08,0.15,0.22,0.25,0.14,0.06,0.04
3、,0.02.由0.5-0.04-0.08-0.15-0.22=0.01,设小矩形的宽为x,则0.5x0.01,得x0.02,所以中位数是2+0.022.02. 思考2: 2.02这个中位数的估计值,与样本的中位数值2.0不一样,你能解释其中的原因吗?样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了 探探究究3：平均数是频率分布直方图的“重心”,在下面的频率分布直方图中,各个小矩形的重心在哪里?从直方图估计总体在各组数据内的平均数分别为多少?平均数：样本数据的估计平均数就是将频率分布直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标之积相加. 由此估计总体的平均数就是:0.250.040.750.
4、081.250.151.750.222.250.252.750.143.250.063.750.044.250.02=2.02（t）.思考3: 这个平均数的估计值,与样本的平均数值1.973不一样,你能解释其中的原因吗?原因同上,样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了.探究探究4：样本中位数不受少数几个极端值的影响,它一定是个优点吗? 一组数据的中位数一般不受少数几个极端值的影响,在某些情况下是一个优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点.例如：一个企业中,绝大多数是一线工人,他们的年收入可能是一万元左右,另有一些经理层次的人,年收入可以达到几十万.这时,年收入的平均数会比中位数大
5、的多.尽管这时中位数比平均数更合理些,但是这个企业的老板到人才市场去招聘工人时,也许更可能用平均数来回答有关工资待遇方面的提问.你认为“我们单位的收入水平比别的单位高”这句话应当怎样理解?“我们单位的收入水平比别的单位高”这句话显然说的是单位人员的平均工资,由于经理层次的人对平均数影响较大,所以单位人员工资的平均数远远要比中位数要大.所以在招聘会上如果打着平均工资的旗号去招聘工人显然是对工人的一种“欺骗”.人员经理管理人员高级技工工人学徒合计周工资(元)22002502202001002970人数16510123合计22001500110020001006900例1:某公司人员及工资构成如下
6、(1)指出这个问题中的众数、中位数、平均数.由表格知:众数为200元;因为23个数据从小到大排列,排在中间的应是第12个数,其值为220.所以中位数是220;又由平均数的计算公式(2200+1500+1100+2000+100)23=690023=300(元), 所以员工工资的平均数为300元.(2)在这个问题中,平均数能客观的反应该公司的平均水平吗?为什么? 虽然平均数为300元/周,但由表格中所列的数据可见,只有经理在平均数以上,其余人在平均数以下,故用平均数不能客观的反应该该公司员工的工资水平.变式训练1: 高一(1) 班有男生27名,女生21名,在一次语文测验中,男同学的平均分是82分
7、,中位数是75分,女同学的平均分是80分,中位数是80分.(1)求这次测试全班平均分(精确到0.01);(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多少人?(3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因.解:(1)利用平均数计算公式可得:(分).(2)因为男同学的中位数是75,所以男同学至少由14人得分不超过75分;又由女同学的中位数是80,所以女同学至少有11人得分不超过80分.因而,全班至少有25人得分低于80分(含80分).(3)男同学的平均分与中位数的差别较大,说明男同学中两极分化严重,得分高的和得分低的相差较大.例2:某中学举行电脑知识竞赛,现将高一参赛学生的成绩进行整
8、理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图,已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30、0.40、0.15、0.10、0.05.求：(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数. (2)高一参赛学生的平均成绩. 解：(1)由图可知众数为65,又第一个小矩形的面积为0.3,设中位数为60x,则0.3x0.040.5,得x5,中位数约为60565.(2)依题意,平均成绩为550.3650.4750.15850.1950.0567,平均成绩约为67.变式训练2:从高三抽出50名学生参加数学竞赛,由成绩得到如下的频率分布直方图.由于一些数据丢失,试利用频率分布直方图求:(1)这50名学生
9、成绩的众数与中位数;(2)这50名学生的平均成绩.解：(1) 在直方图中最高的矩形底边中点的横坐标即为所求,所以众数应为75.0.004100.006100.02100.040.060.20.3,前三个小矩形面积的和为0.3,而第四个小矩形面积为0.03100.3,中位数应位于第四个小矩形内.设其底边为x,高为0.03,令0.03x0.2得x6.7,故中位数应为706.776.7.(2) 平均成绩为45(0.00410)55(0.00610)65(0.0210)75(0.0310)85(0.02110)95(0.01610)74,综上,(1)众数是75,中位数约为76.7;(2)平均成绩均为7
10、4.课堂小结课堂小结 1知识：如何借助于频率分布直方图来求解样本的平均数、中位数、众数,并且明确这三者在实际问题中的含义及三者的区别与联系,进一步体会通过频率分布直方图来求解的平均数、中位数、众数与实际有偏差的原因.2思想：本节课始终注重理论知识与实际生活的联系,从而充分体现实际生活中所蕴含的一些数学知识,及统计知识在实际生活中的应用.布置作业布置作业 必做题：1.某学校高一(1)班有49名学生,在一次数学测验中成绩统计如下:该班级的李畅同学回家对妈妈说:“昨天的数学测试,我们班的平均分是79分,得70分的人最多,我得了85分,在全班算是上游了!” 请你结合本节课所学知识对上面一段话给予简要的
11、分析.布置作业布置作业 2.在生产过程中,测得纤维产品的纤维(表示纤维粗细的一种量)共有100组数据,将数据分组如下表: (1)补全频率分布直方表,并画出频率分布直方图;(2)估计纤度落在1.46,1.50)中的频率计纤度小于1.40的频率是多少?(3)从频率分布直方图估计出纤度的众数、中位数和平均数.选做题：1. 根据条件求值:(1)已知某班4个小组的人数分别为10,10,8,这组数据的中位数与平均数相等,求这组数据的中位数.(2)在一次测验中某题的得分如下:求这一题得分的众数 布置作业布置作业 2.在一次人才招聘会上，有一家公司的招聘员告诉你，“我们公司的收入水平很高”“去年,在50名员工中,最高收入达到100万,他们的平均收入是3.5万”.如果你希望获得年薪2.5万元.(1)你能否判断自己可以成为公司的一名高收入者?(2)如果招聘员继续告诉你,“员工的收入变化范围是从0.5万到100万元”,这个信息是否足以使你作出自己是否受聘的决定?为什么?(3)如果招聘员继续给你提供如下信息,员工收入的50%(即去掉最少的25%和最多的25%后剩下的)的变化范围是1万到3万,你又该如何使用这条信息来作出是否受聘的决定?(4)你能估计出收入的中位数是多少吗?为什么平均工资比估计出的中位数高很多呢?
