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1、24.2.2.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 -切线的判定切线的判定1位置关系位置关系相交相交相切相切相离相离图图 形形 公共点个数公共点个数 公共点名称公共点名称 直线名称直线名称圆心到直线距圆心到直线距离离d d与半径与半径r r的的关系关系2 2个个交点交点割线割线1 1个个切点切点切线切线d r没有没有2 下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上打磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞打磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出出 1 当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？什么方向？2 2
2、砂轮打磨零件飞出火星的方向是什么方向？砂轮打磨零件飞出火星的方向是什么方向？情景导入3想一想 过过0 0内一点作直线，这条直线与圆内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？过半径有什么位置关系？过半径OAOA上一点（上一点（A A除除外）能作外）能作O O的切线吗？过点的切线吗？过点A A呢？呢？Orl A4 经过半径的外端且垂于这条半径的经过半径的外端且垂于这条半径的直线是圆的切线。直线是圆的切线。 条件：条件：(1)经过半径的外端；经过半径的外端；圆的切线判定定理：圆的切线判定定理：(2)垂直于过该点半径；垂直于过该点半径； AllOA，且，且l 经过经过O上的上的A A点点直线直线l是是
3、O的切线的切线符符号号语语言言表表达达O5定理辨析说明：说明：在此定理中，题设是在此定理中，题设是“经过半径的外经过半径的外端端”和和“垂直于这条半径垂直于这条半径”，结论为，结论为“直线直线是圆的切线是圆的切线”，两个条件缺一不可，否则就，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线，下面两个反例说明只满足其不是圆的切线，下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的切线：中一个条件的直线不是圆的切线：6判 断1. 过半径的外端的直线是圆的切线（过半径的外端的直线是圆的切线（ ）2. 与半径垂直的直线是圆的切线（与半径垂直的直线是圆的切线（ ）3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的过半径的端点与
4、半径垂直的直线是圆的切线（切线（ ）OrlAOrlAOrlA71 1、如何判定一条直线是已知圆的切线？、如何判定一条直线是已知圆的切线？(1)(1)与圆与圆只有一个公共点只有一个公共点的直线是圆的切线；的直线是圆的切线；(2)(2)到圆心的到圆心的距离等于半径距离等于半径的直线是圆的的直线是圆的切线；切线；(3)(3)过半径外端点且和半径垂直的过半径外端点且和半径垂直的直线是圆的直线是圆的切线；切线；(d=r)(d=r)归纳：归纳：8例例1 直线直线AB经过经过 O上的点上的点C,并且并且OA=OB,CA=CB,求证求证:直线直线AB是是 O的切线的切线.证明证明: 连接连接OCOA=OB,
5、CA=CBOAB是等腰三角形是等腰三角形,OC 是底边是底边AB上的中线上的中线OCABAB是是 O的切线的切线OCBA这种证明方法简记为：这种证明方法简记为：“证切线，连半径，证证切线，连半径，证垂垂直垂垂直”注意：注意：使用此方法时使用此方法时必须已知直线与圆有必须已知直线与圆有一公共点。一公共点。91 1、如如图图，AB是是O的的直直径径，ABC=45，AC=AB，AC是是O的切线吗？为什么？的切线吗？为什么？ BACO解：解：AB是是O的切线的切线AB=AC ACB=ABC=450 BAC=900 即即ABAC AB是是 O的直径的直径 AC是是 O的切线的切线变式练习10证明：连结证
6、明：连结OPOP。 ABAB为直径为直径 OB=OA OB=OA， BP=PCBP=PC， OPACOPAC。 又又 PEAC PEAC， PEOPPEOP。 PEPE为为00的切线。的切线。3,ABC3,ABC中，以中，以ABAB为直径的为直径的OO，交边，交边BCBC于于P P， BP=PC, PEACBP=PC, PEAC于于E E。求证。求证:PE:PE是是OO的切的切线。线。OABCEP11例例2 2: :已知：已知：O O为为BACBAC平分线上一点，平分线上一点，ODABODAB于于D,D,以以O O为圆心，为圆心，ODOD为半径作为半径作OO。求证：求证：OO与与ACAC相切。
7、相切。OABCED证明：过证明：过O O作作OEACOEAC于于E E。 AO AO平分平分BACBAC，ODABODAB OE OEODOD OD OD是是OO的半径的半径 AC AC是是OO的切线。的切线。12小 结例例1 1与例与例2 2的证法有何不同的证法有何不同? ? (1) (1)如果已知直线经过圆上一点如果已知直线经过圆上一点, ,则连结这点和则连结这点和圆心圆心, ,得到辅助半径得到辅助半径, ,再证所作半径与这直线垂直。再证所作半径与这直线垂直。简记为：简记为：连半径连半径, ,证垂直证垂直。 (2)(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共如果已知条件中不知直线与圆是否有公
8、共点点, ,则过圆心作直线的垂线段为辅助线则过圆心作直线的垂线段为辅助线, ,再证垂线再证垂线段长等于半径长。简记为：段长等于半径长。简记为：作垂直作垂直, ,证半径证半径。OOB BA AC COOA AB BC CE ED D13O P已知：已知：P为为 O外一点，外一点，以以OP为直径作圆交为直径作圆交 O于于A、B两点，连两点，连接接PA、PB那么那么PA、PB是是 O的的切线吗？切线吗？AB1424.2.2.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 -切线的性质切线的性质15.OOA AL L 如图：如果直线如图：如果直线如图：如果直线如图：如果直线L L是是是是 OO的切线的切线的切线
9、的切线, ,切点为切点为切点为切点为A,A,那么半径那么半径那么半径那么半径OAOA与直线与直线与直线与直线L L是不是一定垂直呢是不是一定垂直呢是不是一定垂直呢是不是一定垂直呢? ?一定垂直一定垂直一定垂直一定垂直切线的性质定理切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径圆的切线垂直于过切点的半径直线直线L是是 O的的切线，切线，A是切点。是切点。 LOA于于A点点简记为：简记为：“知切线，连半径，得垂直知切线，连半径，得垂直”16探索切线性质探索切线性质假设假设ABAB与与CDCD不垂直不垂直, ,过点过点O O作一条直径垂直于作一条直径垂直于CD,CD,垂足为垂足为M,M,则则OMOA,O
10、MOA,即圆心到直线即圆心到直线CDCD的距离的距离小于小于OO的半径的半径, ,因此因此,CD,CD与与OO相相交交. .这与已知条件这与已知条件“直线与直线与OO相相切切”相矛盾相矛盾. .CDBOA所以所以ABAB与与CDCD垂直垂直. .M17 例例2、已知如图，已知如图，ABC为等腰三角形，为等腰三角形，O是底边是底边BC的中点，的中点， O与腰与腰AB相切于点相切于点D。AC与与 O相切吗？为什么相切吗？为什么?E解：解：AC与与 O相切相切 连接连接OD,作作OEAC OEC=900 AB是是 O的的切线切线ODAB, ODB=900=OEC AB=AC B=C O是是BC的中点
11、的中点OB=OC OBDOCE OD=OE AC与与 O相切相切18例例3如图，如图，AB是是 O的直径的直径, C为为 O上一点，上一点，AD和过点和过点C的切线互相垂直的切线互相垂直，垂足为，垂足为D. 求求证：证：AC平分平分 DABAODCB证明：连接证明：连接OCCD 是是O的切线，的切线，OC CD.又又ADCD , OC/AD. ACO CAD .又又OC=OD, CAO ACO CAD CAO ,故故AC平分平分DAB19例例4、如图、如图:线段线段AB经过圆心经过圆心O，交，交 O于点于点A、C，BAD=B = 30，边，边BD交圆于点交圆于点D。BD是是 O的切线吗？为什么
12、？的切线吗？为什么？ AOBCD解：解：BD是是 O的切线的切线连接连接OD OD=OA ODA=BAD =B=300 BOD=600 ODB=900 即：即： ODDB BD是是 O的切线的切线201， 如图：如图：AC是是 O的切线，的切线，B=600，求，求CAD的度数。的度数。BACOD601203060211， 如图：如图：AC是是 O的切线，的切线，B=600，求，求CAD的度数。的度数。BACODE606090306022AOCB2、如图、以、如图、以O为圆心的同心圆，大圆的弦为圆心的同心圆，大圆的弦AB是小圆的切线，是小圆的切线，C是切点，（是切点，（1）求证：）求证：C是是A
13、B的中点。（的中点。（2）当）当AB=6时，求圆环时，求圆环的面积。的面积。23课堂小结1. 1. 判定切线的方法有哪些？判定切线的方法有哪些？直线直线l 与圆心的距离等于圆的半径与圆心的距离等于圆的半径经过半径外端且垂直这条半径经过半径外端且垂直这条半径l是圆的切线是圆的切线直线和圆只有一个公共点直线和圆只有一个公共点242. 2. 常用的添辅助线方法？常用的添辅助线方法？ 直线与圆的公共点已知时，作直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直出过公共点的半径，再证半径垂直于该直线。（于该直线。（连半径，证垂直连半径，证垂直） 直线与圆的公共点不确定时，直线与圆的公共点不确定时，
14、过圆心作直线的垂线段，再证明这过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（条垂线段等于圆的半径。（作垂直，作垂直，证半径证半径）253.3.圆的切线性质定理：圆的切线性质定理：圆的切线垂直圆的切线垂直于圆的半径。于圆的半径。辅助线作法：连接圆心与切点可得半辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直。即径与切线垂直。即“连半径，得垂直连半径，得垂直”。261.切线和圆只有一个公共点切线和圆只有一个公共点.2.切线和圆心的距离等于半径切线和圆心的距离等于半径.3.切线垂直于过切点的半径切线垂直于过切点的半径.4.经过圆心垂直于切线的直线必过切点经过圆心垂直于切线的直线必过切点.5.经过
15、切点垂直于切线的直线必过圆心经过切点垂直于切线的直线必过圆心.27 已知直角梯形已知直角梯形 ABCD 中，中，ADBC，ABBC，以腰，以腰DC的中点的中点 E 为圆心的圆与为圆心的圆与 AB 相切，梯形的上底相切，梯形的上底 AD 与底与底 BC 是方程是方程 x 210x + 16 = 0的两根，求的两根，求 E 的半径的半径 r .F28F解解：连接EFx 210x + 16 = 0(X-2)(X-8)=0X1=2 X2=8BC=8 AD=2AB是E的切线EFABABBCEF/BC/ADE是DC的中点 EF是梯形ABCD的中位线EF= (AD+BC)=5 285291.AB1.AB是是
16、OO的弦的弦,C,C是是OO外一点外一点,BC,BC是是OO的的切线切线,AB,AB交过交过C C点的直径于点点的直径于点D,OACD,D,OACD,试判试判断断BCDBCD的形状的形状, ,并说明你的理由并说明你的理由. .巩固练习巩固练习302、矩形的两边长分别为、矩形的两边长分别为2.5和和5，若以较长，若以较长一边为直径作半圆，则矩形的各边与半圆相一边为直径作半圆，则矩形的各边与半圆相切的线段最多有（切的线段最多有（ ）A、0条条 B、 1条条 C、 2条条 D、 3条条D2.52.52.5313 3、已知如图、已知如图ABCABC内接于内接于 O，过点，过点A A作作直线直线EFEF，ABAB为直径为直径, ,还需添加的条件还需添加的条件是是 . .使得使得EFEF是是 O的切线。的切线。FECOBACAE=B323.AB3.AB是是OO的直径的直径,AE,AE平分平分BACBAC交交OO于点于点E,E,过点过点E E作作OO的切线交的切线交ACAC的延长线于点的延长线于点D,D,试判试判断断AEDAED的形状的形状, ,并说明理由并说明理由. .33
