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1、简单形式的柯西不等式简单形式的柯西不等式1中小学2中小学设设 为任意实数为任意实数. .联联 想想3中小学4中小学5中小学证法一：如图：证法一：如图：XoYA(a,b)B (c,d)设设 是平面上任意的是平面上任意的 两个向量，两个向量， 的夹角为的夹角为那么：那么：上式两边同时取绝对值，得：上式两边同时取绝对值，得：又又 ，所以：所以：显然，等号成立的条件是：向量显然，等号成立的条件是：向量 共线。共线。将将式用坐标表示，可得：式用坐标表示，可得：即：即：6中小学7中小学证法（三）：证法（三）：（利用比较法）利用比较法）所以：所以：显然，上式当且仅当显然，上式当且仅当 时，时，“ = ” 号
2、成立。号成立。 8中小学9中小学10中小学二维形式的柯西不等式是向量二维形式的柯西不等式是向量形式的柯西不等式的坐标表示形式的柯西不等式的坐标表示11中小学12中小学13中小学14中小学例题讲解15中小学例题讲解16中小学规律方法 1.二维形式的柯西不等式可以理解为四个数对应的一种不等关系，对谁与谁组合是有顺序的，不是任意的搭配，因此要仔细体会，加强记忆例如，(a2b2)(d2c2)(acbd)2是错误的，而应有(a2b2)(d2c2)(adbc)2.2柯西不等式取等号的条件也不容易记忆，如(a2b2)(c2d2)(acbd)2等号成立的条件是adbc，可以把a，b，c，d看作成等比，则adb
3、c来联想记忆17中小学例题讲解18中小学规律方法2 利用柯西不等式求最值先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一19中小学例4 已知a，bR，且ab1.求证：(axby)2ax2by2.例题讲解20中小学定理定理1:(简单形式的柯西不等式简单形式的柯西不等式)定理定理2:(柯西不等式的向量形式柯西不等式的向量形式)小结：小结：定理定理3:(二维形式的三角不等式二维形式的三角不等式)21中小学
