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1、12.3.3 直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质 2 1. 1.了解垂线段了解垂线段 斜线段及直线和平面所成的角的概念斜线段及直线和平面所成的角的概念, ,会进会进行直线和平面所成的角的计算行直线和平面所成的角的计算. .2.2.经过观察探索和转化的办法理解直线与平面的性质定理经过观察探索和转化的办法理解直线与平面的性质定理. .3.3.会运用判定定理和性质定理解题会运用判定定理和性质定理解题. .31.1.过一点和已知平面垂直的直线过一点和已知平面垂直的直线_. .2.2.过一点和一条直线垂直的平面过一点和一条直线垂直的平面_. .3.3.垂直于同一平面的两条直线垂直于同一平面的两条直
2、线_. .4.4.垂直于同一直线的两个平面相互平行垂直于同一直线的两个平面相互平行. .有且只有一条有且只有一条有且只有一个有且只有一个相互平行相互平行41.1.直线垂直平面的性质直线垂直平面的性质( (数学符号表示数学符号表示) )2.2.证明两条直线平行的方法证明两条直线平行的方法( (数学符号表示数学符号表示).).5(3)(3)6典典 例例 剖剖 析析 ( (学生用书学生用书P P5252) ) 7题型一题型一 线线平行问题线线平行问题例例1:1:已知已知:a,b.:a,b.求证求证:ab.:ab.分析分析: :已知条件涉及利用垂直证明两线平行问题已知条件涉及利用垂直证明两线平行问题,
3、 ,需将两条直需将两条直线转化到同一平面上线转化到同一平面上, ,直接证明比较困难直接证明比较困难, ,可考虑先作出符可考虑先作出符合要求的图形合要求的图形. .8证明证明: :如右图如右图, ,设设b=O,b=O,过过O O作作ba.ba.ab,a.ab,a.b.b.又又b,b,这样过点这样过点O O有两条直线有两条直线b b bb与与垂直垂直, ,则必有则必有b b bb重合重合. .因此因此ba.ba.9 规律技巧规律技巧: :本例若采用直接法证明两直线平行较为困难本例若采用直接法证明两直线平行较为困难, ,故故先作出符合要求的图形先作出符合要求的图形, ,然后证明所作图形与已知图形重然
4、后证明所作图形与已知图形重合合, ,这种证明方法称为同一法这种证明方法称为同一法. .这是直线与平面垂直的性质这是直线与平面垂直的性质定理定理. .10变式训练变式训练1:1:已知直线已知直线l l m,m,平面平面 ,l,m,l,m,则直线则直线l l与与m m的位置关系式是的位置关系式是( )( )A.A.相交相交 B.B.异面异面C.C.平行平行D.D.不确定不确定解析解析:l,l,:l,l,又又m,lm.m,lm.答案答案:C:C11题型二题型二 线线垂直问题线线垂直问题例例2:2:如下图如下图, ,在四面体在四面体ABCDABCD中中, ,若若ABCD,ADBC,ABCD,ADBC,
5、求证求证:ACBD.:ACBD.分析分析: :要证线线垂直要证线线垂直, ,可先证线面垂直可先证线面垂直, ,进而由线面垂直的定进而由线面垂直的定义义( (或性质或性质) )得出线线垂直得出线线垂直. .12证明证明: :过过A A作作AOAO平面平面BCD,BCD,垂足为垂足为O,O,则则AOCD.AOCD.ABCD,AOAB=A,ABCD,AOAB=A,CDCD平面平面ABO.ABO.BO BO 平面平面ABO,ABO,CDBO.CDBO.同理同理BCDO.BCDO.则则O O为为BCDBCD的垂心的垂心,COBD.,COBD.13AOBD,COAO=O,AOBD,COAO=O,BDBD平
6、面平面ACO.ACO.又又AC AC 平面平面ACO,ACO,ACBD.ACBD.14 规律技巧规律技巧: :从本例可以进一步体会线面位置关系的相互转化从本例可以进一步体会线面位置关系的相互转化在解在解( (证证) )题中的作用题中的作用. . 15变式训练变式训练2:2:如右图如右图,P,P为为ABCABC所在平面外的一点所在平面外的一点, ,且且PAPA PBPB PCPC两两垂直两两垂直, ,求证求证:PABC.:PABC.16证明证明:PAPB,PAPC,PBPC=P,:PAPB,PAPC,PBPC=P,PAPA平面平面PBC.PBC.BC BC 平面平面PBC,PABC.PBC,PA
7、BC.17题型三题型三 线面垂直的综合应用线面垂直的综合应用例例3:3:如下图如下图,BOC,BOC在平面在平面内内,OA,OA是是的斜线的斜线, ,若若AOB=AOC=60AOB=AOC=60, , ,求求OAOA和平面和平面所成的角所成的角. .18 ABC ABC为直角三角形为直角三角形. .同理同理BOCBOC也为直角三角形也为直角三角形. .过点过点A A作作AHAH垂直平面垂直平面于于H,H,连结连结OH,OH,19AO=AB=AC OH=BH=CHAO=AB=AC OH=BH=CH2021 规律技巧规律技巧: :在立体几何中存在许多平面图形在立体几何中存在许多平面图形, ,在证题
8、时充分在证题时充分运用平面几何知识是解决立体几何问题的重要途径运用平面几何知识是解决立体几何问题的重要途径. .22变式训练变式训练3:AB3:AB和平面和平面M M所成的角是所成的角是,AC,AC在平面在平面M M内内,AC,AC与与ABAB在在平面平面M M内的射影内的射影AB1AB1所成的角是所成的角是,设设BAC=,BAC=,求证求证 满足关系式满足关系式cos=coscos=coscos.cos.23证明证明: :如右图如右图, ,在在ABAB和和ACAC确定的平面内作确定的平面内作BDAC,DBDAC,D为垂足为垂足, ,连连结结B B1 1D.D.BBBB1 1平面平面M,AC
9、M,AC 平面平面M,M,BBBB1 1AC.AC.BBBB1 1BD=BBD=BACAC平面平面BBBB1 1D,ACBD,ACB1 1D.D.在在RtADBRtADB中中,cos=AD:AB.,cos=AD:AB.在在RtABBRtABB1 1中中,cos=AB,cos=AB1 1:AB.:AB.在在RtADBRtADB1 1中中,cos=AD:AB,cos=AD:AB1 1. .24coscoscoscos即即cos=coscos=coscos.cos.25易错探究易错探究THANK YOUSUCCESS2024/7/2126可编辑27例例4:(20094:(2009四川高考题四川高考题
10、) )如图如图, ,已知六棱锥已知六棱锥P PABCDEFABCDEF的底的底是正六边形是正六边形,PA,PA平面平面ABC,PA=2AB,ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是则下列结论正确的是( ( ) )A.PBADA.PBADB.B.平面平面PABPAB平面平面PBCPBCC.C.直线直线BCBC平面平面PAEPAED.D.直线直线PDPD与平面与平面ABCABC所成的角为所成的角为454528错解错解:PA:PA平面平面ABC,BCPA,ABC,BCPA,又又BCAB,BCAB,且且PAAB=A,BCPAAB=A,BC平面平面PAB,PAB,又又BCBC在平面在平面PBCPBC内内
11、,平面平面PABPAB平面平面PBC.PBC.故选故选B.B.错因分析错因分析: :正六边形的性质应用失误正六边形的性质应用失误, ,导致空间线面位置关系导致空间线面位置关系判断错误判断错误. .29正解正解:PA:PA底面底面ABC,PBABC,PB在底面上的射影为在底面上的射影为AB,ABAB,AB与与ADAD不垂不垂直直, ,排除选项排除选项A.A.由正六边形的性质知由正六边形的性质知BCBC不垂直不垂直AB,BCAB,BC不垂不垂直平面直平面PAB,PAB,而而BDBD平面平面PAB,PAB,但但BDBD不在平面不在平面PBCPBC内内. .故排除选故排除选项项B.B.对于选项对于选项
12、C,BDAE,BDC,BDAE,BD平面平面PAE,BCPAE,BC与平面与平面PACPAC不不平行平行, ,排除排除C.C.对于对于D D选项选项,PDA,PDA为直线为直线PDPD与平面与平面ABCABC所成的所成的角角, ,计算知计算知PA=AD=2AB,PDA=45PA=AD=2AB,PDA=45. .答案答案:D:D30技技 能能 演演 练练( (学生用书学生用书P53)P53)31基础强化基础强化1.1.如果直线如果直线l l与平面与平面不垂直不垂直, ,那么在平面那么在平面内内( )( )A.A.不存在与不存在与l l垂直的直线垂直的直线B.B.存在一条与存在一条与l l垂直的直
13、线垂直的直线C.C.存在无数条与存在无数条与l l垂直的直线垂直的直线D.D.任意一条都与任意一条都与l l垂直垂直答案答案:C:C322.2.对于直线对于直线m m n n和平面和平面 ,能得出能得出的一个条件是的一个条件是( ( ) )A.mn,m,nA.mn,m,nB.mn,=m,n B.mn,=m,n C.mn,n,m C.mn,n,m D.mn,m,n.D.mn,m,n.答案答案:C:C333.3.已知平面已知平面平面平面=AB,=AB,直线直线a,ba,b是异面直线是异面直线, ,且且a,b,MNa,b,MN为为a,ba,b的公垂线的公垂线, ,则则MNMN与与ABAB的位置关系是
14、的位置关系是( ( ) )A.A.异面异面 B.B.平行平行C.C.平行平行 重合均可能重合均可能 D.D.平行平行 相交均可能相交均可能34解析解析: :借助正方体来判定借助正方体来判定. .如图所示如图所示. .在图在图(1)(1)中中,MNAB,MNAB,在在图图(2)(2)中中,MN,MN与与ABAB重合重合, ,故选故选C.C. 答案答案:C:C 354.4.设设l,m,nl,m,n为三条不同的直线为三条不同的直线,为一个平面为一个平面, ,下列命题中正确的个下列命题中正确的个数是数是( )( )若若l,l,则则l l与与相交相交; ;若若m ,n ,lm,ln,m ,n ,lm,l
15、n,则则l;l;若若lm,mn,l,lm,mn,l,则则n;n;若若lm,m,n,lm,m,n,则则ln.ln.A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.423D.423解析解析: 正确正确,不正确不正确. .因此选因此选C.C.答案答案:C:C365.5.圆圆O O的半径为的半径为4,PO4,PO垂直圆垂直圆O O所在的平面所在的平面, ,且且PO=3,PO=3,那么点那么点P P到到圆上各点的距离是圆上各点的距离是_. .解析解析: :依题意知依题意知,P,P到圆到圆O O上各点的距离都相等上各点的距离都相等, ,由勾股定理算由勾股定理算得其值为得其值为5.5.5 5376.6.已知直线已知
16、直线a a b b c c和平面和平面 ,给出下列命题给出下列命题: :aa b b与与成等角成等角, ,则则abab若若,c,c,则则cc若若ab,a,ab,a,则则bb若若,a,a,则则aa其中错误命题的序号是其中错误命题的序号是_. .387.7.二面角二面角-l-l-的大小为的大小为120120, ,直线直线AB ,AB ,直线直线CD CD .且且ABl,CDl,ABl,CDl,则则ABAB与与CDCD所成角的大小为所成角的大小为_. .解析解析: :由两条直线所成角通常是指两直线的夹角由两条直线所成角通常是指两直线的夹角, ,因此应答因此应答6060( (当当ABAB CDCD为异
17、面直线时为异面直线时) )而不是而不是120120. .6060398.8.如图如图, ADEF, ADEF的边的边AFAF平面平面ABCD,ABCD,且且AF=2,CD=3,AF=2,CD=3,则则CE=CE=_. .40解析解析: :由由AFAF平面平面ABCDABCD知知,DE,DE面面ABCD,ABCD,DECD,DECD,在在RtCDERtCDE中中, , 答案答案: :41能力提升能力提升429.9.如下图如下图, ,在空间四边形在空间四边形ABCDABCD中中,AB=BC,CD=DA,E,AB=BC,CD=DA,E F F G G分别为分别为CDCD DADA和和ACAC的中点的
18、中点. .求证求证: :平面平面BEFBEF平面平面BGD.BGD.43证明证明: :如右图如右图AB=BC,GAB=BC,G为为ACAC的中点的中点,BGAC,BGAC,同理同理,DGAC,DGAC,又又DGBG=G,DGBG=G,ACAC平面平面BGD.BGD.又又E E F F分别为分别为CD,DACD,DA的中点的中点, ,EFAC.EFAC.EFEF平面平面BGDBGD又又EF EF 平面平面BEF.BEF.平面平面BEFBEF平面平面BGD.BGD.4410.PA10.PA矩形矩形ABCDABCD所在平面所在平面,M,N,M,N分别是分别是AB,PCAB,PC的中点的中点. .(1
19、)(1)求证求证:MN:MN平面平面PAD.PAD.(2)(2)求证求证:MNCD.:MNCD.(3)(3)若若PDA=45PDA=45, ,求证求证:MN:MN平面平面PDC.PDC.45解解: :如右图如右图,(1),(1)取取PDPD中点中点Q,Q,连结连结NQNQ AQ.AQ.NN Q Q分别为分别为PCPC PDPD的中点的中点. .NQNQ AM. AM.AMNQAMNQ为平行四边形为平行四边形. .AQMN.AQMN.又又AQ AQ 平面平面PAD,MN PAD,MN 平面平面PAD,PAD,MNMN平面平面PAD.PAD.46(2)PA(2)PA平面平面ABCD,ABCD,PA
20、AB.PAAB.又又ADAB,ABADAB,AB平面平面PAD.PAD.ABAQ,ABAQ,即即ABMN.ABMN.又又CDAB,MNCD.CDAB,MNCD.47(3)PA(3)PA平面平面ABCD,ABCD,PAAD.PAAD.又又PDA=45PDA=45,Q,Q为为PDPD的中点的中点, ,AQPD.AQPD.MNPD.MNPD.又又MNCD,MNCD,且且PDCD=D,PDCD=D,MNMN平面平面PCD.PCD.48品品 味味 高高 考考( (学生用书学生用书P54)P54)4911.(200811.(2008安徽安徽) )已知已知m,nm,n是两条不同直线是两条不同直线, 是三个是三个不同平面不同平面, ,下列命题中正确的是下列命题中正确的是( )( )A.A.若若,则则B.B.若若m,n,m,n,则则mnmnC.C.若若m,n,m,n,则则mnmnD.D.若若m,m,m,m,则则答案答案:B:B5012.(200912.(2009浙江浙江) )设设,是两个不同的平面是两个不同的平面,l,l是一条直线是一条直线, ,以下命题正确的是以下命题正确的是( )( )A.A.若若l,l,则则l l B.B.若若l,l,则则l l C.C.若若l,l,则则llD.D.若若l,l,则则ll答案答案:C:CTHANK YOUSUCCESS2024/7/2151可编辑
