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1、z0Kzrz设函数设函数 f (z)在区域在区域D内解析内解析, 而而|z z- -z0|=r为为D内以内以z0为中心的任何一个圆周为中心的任何一个圆周, 它与它的内部它与它的内部全含于全含于D, 把它记作把它记作K, 又设又设z为为K内任一点内任一点.3 泰勒级数泰勒级数按柯西积分公式按柯西积分公式, 有有:且且z0Kzrz由解析函数高阶导数公式由解析函数高阶导数公式,上式可写成上式可写成在在K内成立内成立, 即即 f (z)可在可在K内用幂级数表达内用幂级数表达.z0Kzrzq与积分变量与积分变量z z无关无关, 且且0 q1.| f (z) | M.由于由于 f (z) 在在K上连续上连
2、续, 因此因此, 在在K内成立内成立:右端的级数称为右端的级数称为 f (z)在在z0处的泰勒级数处的泰勒级数.称为称为f (z)在在z0的泰勒展开式的泰勒展开式,则则 f (z)在在z0的泰勒展开式在圆域的泰勒展开式在圆域 |z- -z0|d 内成立内成立.圆周圆周K的半径可以任意增大的半径可以任意增大, 只要只要K在在D内内.所以所以, 如果如果z0到到D的边界上各点的最短距离为的边界上各点的最短距离为d,一、定理一、定理1 设设 f (z)在区域在区域D内解析内解析, z0为为D内的一点内的一点, d为为 注注： 如果如果 f (z)在在z0解析解析, 则使则使 f (z)在在z0的泰勒
3、展开式的泰勒展开式z0到到D的边界上各点的最短距离的边界上各点的最短距离, 则当则当|z- -z0|d 时时, 成立的圆域的半径成立的圆域的半径 R等于从等于从z0到到 f (z)的距的距z0最近一个最近一个奇点奇点a a 的距离的距离, 即即R=|a a- -z0|.任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数, 因而是因而是唯一唯一的的.利用泰勒展开式利用泰勒展开式, 我们可以直接通过计算系数我们可以直接通过计算系数:把把 f (z)在在z0展开成幂级数展开成幂级数, 这被称作这被称作直接展开法直接展开法二、二、直接展开法直接展开法例例1 求求 ez
4、 在在 z = 0处的泰勒展开式处的泰勒展开式. 因为因为ez在复平面内处处解析在复平面内处处解析, 上式在复平面内处处成立上式在复平面内处处成立, 收敛半径为收敛半径为+ .(ez)(n) = ez, (ez)(n)|z=0 = 1 (n=0,1,2,.) ，故有故有由于由于例例2 求得求得sin z与与cos z在在z=0的泰勒展开式的泰勒展开式: 除直接法外除直接法外, 也可以借助一些已知函数的展开式也可以借助一些已知函数的展开式, 利用幂级数的运算性质和分利用幂级数的运算性质和分析性质析性质, 以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式, 此方法称
5、为间接展开法此方法称为间接展开法. 例例如如sin z在在z=0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出的泰勒展开式也可以用间接展开法得出:三、间接展开法三、间接展开法解解 由于函数有一奇点由于函数有一奇点z=-=-1, 而在而在|z|1内处处解析内处处解析, 所以所以 可在可在|z|1内展开成内展开成z的幂级数的幂级数. 因为因为 例例1 把函数把函数 展开成展开成z的幂级数的幂级数. 例例3 求对数函数的主值求对数函数的主值ln(1+z)在在z=0处的幂级数展开式处的幂级数展开式.解解 ln(1+z)在从在从- -1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的向左沿负实轴剪开的平面内是解析的,- -1是它的
6、奇点是它的奇点, 所以可在所以可在|z|1展开为展开为z的幂级数的幂级数.-1OR=1xy推论推论1： 注：注：推论推论2： 推论推论3:幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个奇点. (即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛)例如：例如：推论推论4：例如：例如：而如果把函数中的而如果把函数中的x换成换成z, 在复平面内来看函数在复平面内来看函数1-z2+z4-它有两个奇点它有两个奇点 i, 而这两个奇点都在此函数的展开式的收敛圆周上而这两个奇点都在此函数的展开式的收敛圆周上, 所以这个级数的收敛半径只能等于所以这个级数的收敛半径只能等于1. 因此因此, 即使我们只关心即使我们只关心z的实的实数值数值
7、, 但复平面上的奇点形成了限制但复平面上的奇点形成了限制. 在实变函数中有些不易理解的问题在实变函数中有些不易理解的问题, 一到复变函数中就成为显一到复变函数中就成为显 然的事情然的事情, 例如在实数范围内例如在实数范围内, 展开式展开式的成立必须受的成立必须受|x|R1时时, 即即| z z |R, 因此因此, 只有在只有在R1|z- -z0|R2的圆环域的圆环域, 原级数才收敛原级数才收敛.z0R1R2例如级数在收敛圆环域内也具有. 例如, 可以证明, 上述级数在收敛域内其和函数是解析的, 而且可以逐项求积和逐项求导.幂级数在收敛圆内的许多性质, 级数现在反问, 在圆环域内解析的函数是否一
8、定能够展开成幂级数?先看下例.其次,在圆环域:0|z-1|1内也可以展开为z-1的幂级数:1Oxy定理定理 设 f (z)在圆环域 R1 |z-z0| R2内解析, 则C为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线.证 设z为圆环域内的任一点, 在圆环域内作以z0为中心的正向圆周K1与K2, K2的半径R大于K1的半径r, 且使z在K1与K2之间.R1R2zrK1zRK2zz0由柯西积分公式得R1R2zrK1zRK2zz0因此有如果在圆环域内取绕z0的任何一条正向简单闭曲线C, 则根据闭路变形原理, 这两个式子可用一个式子来表示:Cz0R1R2称为函数f (z)在以z0为中心的圆环域: R1|z
9、-z0|R2内的洛朗(Laurent)展开式, 它右端的级数称为 f (z)在此圆环域内的洛朗级数. 一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一的, 这个级数就是 f (z)的洛朗级数. 根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性,一般可以用代数运算, 代换, 求导和积分等方法去展开, 以求得洛朗级数的展开式.解： 函数 f (z) 在圆环域 i) 0 |z| 1; ii) 1| z| 2; iii) 2 |z| + 内是处处解析的, 应把 f (z)在 这些区域内展开成洛朗级数.xyO1xyO12xyO2先把 f (z)用部分分式表示:ii) 在1 |z| 2内：iii) 在2|z
10、|+内:例2 把函数解 因有函数可以在以z0为中心的(由奇点隔开的)不同圆环域内解析, 因而在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式(包括泰勒展开式作为它的特例). 我们不要把这种情形与洛朗展开式的唯一性相混淆. 所谓洛朗展开式的唯一性, 是指函数在某一个给定的圆环域内的洛朗展开式是唯一的. 例如在 z=i 和z=-i处展开函数 为洛朗级数。在复平面内有两个奇点: z=0与z=-i, 分别在以i为中心的圆周: |z-i|=1与|z-i|=2上.因此, f (z)在以i为中心的圆环域(包括圆域)内的展开式有三个:1)在|z-i|1中的泰勒展开式; 2)在1|z-i|2中的洛朗展开式; 3)在2|z-i|+中的洛朗展开式;在复平面内有一个奇点: z=0在以-i为中心的圆周:|z+i|=1上.因此, f (z)在以-i为中心的圆环域内的展开式有二个: 1)在0 |z+i|1中的洛朗展开式; 2)在1|z+i| +中的洛朗展开式。O-ii特别的，当洛朗级数的系数公式（即可利用Laurent系数计算积分） 其中C为圆环域R1|z-z0|R2内的任何一条简单闭曲线, f (z) 在此圆环域内解析.例解：例4 解：故c-1=-2,
