《高中数学 精讲优练课型 第三章 函数的应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型课件 新人教版必修1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 精讲优练课型 第三章 函数的应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型课件 新人教版必修1（52页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型【知识提炼【知识提炼】三种函数模型的性质三种函数模型的性质y=ay=ax x(a(a1)1)y=logy=loga ax(ax(a1)1)y=xy=xn n(n(n0)0)在在(0,+)(0,+)上上的增减性的增减性_图象的变化图象的变化趋势趋势随随x x增大逐渐近似增大逐渐近似与与_平行平行随随x x增大逐渐近增大逐渐近似与似与_平行平行随随n n值而不同值而不同增函数增函数增函数增函数增函数增函数y y轴轴x x轴轴y=ay=ax x(a(a1)1)y=logy=loga ax(ax(a1)1)y=xy=xn n(n(n0)0)增长速度
2、增长速度y=ay=ax x(a(a1):1):随着随着x x的增大的增大,y,y增长速度增长速度_,_,会远会远远大于远大于y=xy=xn n(n(n0)0)的增长速度的增长速度,y=log,y=loga ax(ax(a1)1)的增长速度的增长速度_存在一个存在一个x x0 0, ,当当xxxx0 0时时, ,有有_越来越快越来越快越来越慢越来越慢a ax xxxn nlogloga ax x【即时小测【即时小测】1.1.思考下列问题思考下列问题(1)(1)在区间在区间(0,+)(0,+)上上, ,当当a1,n0a1,n0时时, ,是否总有是否总有logloga axxxxn na1,n0,x
3、xa1,n0,xx0 0时时,log,loga axxxxn naxxx0 0时时, ,数量增加特别数量增加特别快快, ,足以体现足以体现“爆炸爆炸”的效果的效果. .2.2.已知变量已知变量y=1+2x,y=1+2x,当当x x减少减少1 1个单位时个单位时,y,y的变化情况是的变化情况是( () )A.yA.y减少减少1 1个单位个单位 B.yB.y增加增加1 1个单位个单位C.yC.y减少减少2 2个单位个单位 D.yD.y增加增加2 2个单位个单位【解析【解析】选选C.C.由由y=1+2xy=1+2x可知可知, ,当当x x减少减少1 1个单位时个单位时,y,y相应减少相应减少2 2个
4、单位个单位. .3.3.某超市每月的利润的平均增长率为某超市每月的利润的平均增长率为2%,2%,若若1212月份的利润是当年月份的利润是当年1 1月份月份利润的利润的m m倍倍, ,则则m m等于等于( () )A.(1.02)A.(1.02)1212 B.(1.02) B.(1.02)1111 C.(0.98) C.(0.98)1212 D.(0.98)D.(0.98)1111【解析【解析】选选B.B.设设1 1月份的利润为月份的利润为a,a,则当年则当年1212月份的利润为月份的利润为a(1+2%)a(1+2%)1111, ,故故m=(1.02)m=(1.02)1111. .4.4.在函数
5、在函数y=3x,y=logy=3x,y=log3 3x,y=3x,y=3x x,y=x,y=x3 3中增长速度最快的是中增长速度最快的是. .【解析【解析】由指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异可判由指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异可判断出断出y=3y=3x x的增长速度最快的增长速度最快. .答案答案: :y=3y=3x x5.5.如图所示曲线反映的是如图所示曲线反映的是函数模型的增长趋势函数模型的增长趋势. .【解析【解析】由图象知由图象知, ,此函数的增长速度越来越慢此函数的增长速度越来越慢, ,因此反映的是幂函数因此反映的是幂函数模型或对数型函数模型的增长速度模
6、型或对数型函数模型的增长速度. .答案答案: :幂函数或对数型幂函数或对数型【知识探究【知识探究】知识点知识点 几类函数模型的增长差异几类函数模型的增长差异观察图形观察图形, ,回答下列问题回答下列问题: :问题问题1:1:函数函数t(x),f(x),g(x),h(xt(x),f(x),g(x),h(x) )随着随着x x的增大的增大, ,函数值有什么共同的函数值有什么共同的变化趋势变化趋势? ?问题问题2:2:函数函数t(x),f(x),g(x),h(xt(x),f(x),g(x),h(x) )增长的速度有什么不同增长的速度有什么不同? ?【总结提升【总结提升】1.1.四类不同增长的函数模型
7、四类不同增长的函数模型(1)(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型增长速度不变的函数模型是一次函数模型. .(2)(2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型. .(3)(3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型. .(4)(4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型增长速度平稳的函数模型是幂函数模型. .2.2.几类函数模型的选择几类函数模型的选择(1)(1)一次函数模型一次函数模型: :当当x x增加一个单位时增加一个单位时,y,y增加或减少的量为定值增加或减少的量为定值, ,则则
8、y y是是x x的一次函数的一次函数, ,一次函数的图象为直线一次函数的图象为直线. .(2)(2)二次函数模型二次函数模型: :二次函数是常用的重要模型二次函数是常用的重要模型,y,y是是x x或其他量的二次或其他量的二次函数函数, ,常用来求最大值或最小值问题常用来求最大值或最小值问题, ,要注意定义域要注意定义域. .(3)(3)指数函数模型、对数函数模型指数函数模型、对数函数模型: :当问题中每期当问题中每期( (或每年、每段等或每年、每段等) )的的增长率相同增长率相同, ,则为指数函数模型或对数函数模型则为指数函数模型或对数函数模型, ,一般与增长率、衰减一般与增长率、衰减率、利息
9、等现实生活联系紧密率、利息等现实生活联系紧密. .【知识拓展【知识拓展】求解数学应用题必须突破的三关求解数学应用题必须突破的三关(1)(1)阅读理解关阅读理解关: :一般数学应用题的文字阅读量都比较大一般数学应用题的文字阅读量都比较大, ,要通过阅读要通过阅读审题审题, ,找出关键词、句找出关键词、句, ,理解其意义理解其意义. .(2)(2)建模关建模关: :即建立实际问题的数学模型即建立实际问题的数学模型, ,将其转化为数学问题将其转化为数学问题. .(3)(3)数理关数理关: :运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型. .【题型探究【题型探究】类
10、型一类型一几类函数模型的增长差异几类函数模型的增长差异【典典例例】1.(20151.(2015怀怀柔柔高高一一检检测测) )四四个个变变量量y y1 1,y,y2 2,y,y3 3,y,y4 4随随变变量量x x变变化化的数据如下表的数据如下表: :关于关于x x呈指数函数变化的变量是呈指数函数变化的变量是. .x x1 15 510101515202025253030y y1 11 12525100100225225400400625625900900y y2 22 232321 0241 02432 76832 7681.11.110106 63.43.410107 71.11.11010
11、9 9y y3 32 2101020203030404050506060y y4 42 24.324.325.325.325.915.916.326.326.646.646.916.912.2.函数函数f(xf(x)=1.1)=1.1x x,g(x)=lnx+1,h(x)= ,g(x)=lnx+1,h(x)= 的图象如图所示的图象如图所示, ,试分别指出试分别指出各曲线对应的函数各曲线对应的函数, ,并比较三个函数的增长差异并比较三个函数的增长差异( (以以1,e,a,b,c,d1,e,a,b,c,d为分为分界点界点).).【解题探究【解题探究】1.1.典例典例1 1表格中四个变量表格中四个变
12、量y y1 1,y,y2 2,y,y3 3,y,y4 4随变量随变量x x变化最快的变化最快的是哪一组是哪一组? ?提示提示: :由表中的数据可以看出由表中的数据可以看出y y2 2随着随着x x变化变化, ,数值增长的速度最快数值增长的速度最快. .2.2.典例典例2 2中判断各曲线对应的函数的关键是什么中判断各曲线对应的函数的关键是什么?1,e,a,b,c,d?1,e,a,b,c,d的含义的含义是什么是什么? ?提示提示: :关键是依据指数函数、对数函数、幂函数的增长速度关键是依据指数函数、对数函数、幂函数的增长速度, ,判断各曲判断各曲线对应的函数线对应的函数.1,e,a,b,c,d.1
13、,e,a,b,c,d的含义是相应曲线交点的横坐标的含义是相应曲线交点的横坐标. .【解析【解析】1.1.从表格观察函数值从表格观察函数值y y1 1,y,y2 2,y,y3 3,y,y4 4的增加值的增加值, ,哪个变量的增加哪个变量的增加值最大值最大, ,则该变量关于则该变量关于x x呈指数函数变化呈指数函数变化. .从表格中可以看出从表格中可以看出, ,变量变量y y2 2,y,y3 3,y,y4 4均是从均是从2 2开始变化开始变化, ,变量变量y y1 1,y,y2 2,y,y3 3,y,y4 4都是越来越大都是越来越大, ,但是增长速但是增长速度不同度不同, ,其中变量其中变量y y
14、2 2的增长速度最快的增长速度最快, ,根据指数函数变化的特点根据指数函数变化的特点, ,可知可知变量变量y y2 2随着随着x x变化呈指数函数变化变化呈指数函数变化. .答案答案: :y y2 22.2.由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C C1 1对应的函数对应的函数是是f(xf(x)=1.1)=1.1x x, ,曲线曲线C C2 2对应的函数是对应的函数是h(xh(x)= ,)= ,曲线曲线C C3 3对应的函数是对应的函数是g(xg(x)=lnx+1.)=lnx+1.由题图知由题图知, ,当当0x10xh(x)g(x,f(x)
15、h(x)g(x););当当1xe1xg(x)h(x,f(x)g(x)h(x););当当exaexf(x)h(x,g(x)f(x)h(x););当当axbaxh(x)f(x,g(x)h(x)f(x););当当bxcbxg(x)f(x,h(x)g(x)f(x););当当cxdcxf(x)g(x,h(x)f(x)g(x););当当xdxd时时,f(x)h(x)g(x,f(x)h(x)g(x).).【方法技巧【方法技巧】常见的函数模型及增长特点常见的函数模型及增长特点(1)(1)线性函数模型线性函数模型: :线性函数模型线性函数模型y=kx+b(ky=kx+b(k0)0)的增长特点是直线上升的增长特点
16、是直线上升, ,其增长速度不变其增长速度不变. .(2)(2)指数函数模型指数函数模型: :能用指数型函数能用指数型函数f(x)=abf(x)=abx x+c(a,b,c+c(a,b,c为常数为常数,a0,b1),a0,b1)表达的函数模型表达的函数模型, ,其增长特点是随着自变量其增长特点是随着自变量x x的增大的增大, ,函数值函数值增长的速度越来越快增长的速度越来越快, ,常称之为常称之为“指数爆炸指数爆炸”. .(3)(3)对数函数模型对数函数模型: :能用对数型函数能用对数型函数f(x)=mlogf(x)=mloga ax+n(m,n,ax+n(m,n,a为常数为常数,m0,x0,a
17、1),m0,x0,a1)表达的函数模型表达的函数模型, ,其增长的特点是开始阶段增长得较快其增长的特点是开始阶段增长得较快, ,但随着但随着x x的逐渐增大的逐渐增大, ,其函数值变化得越来越慢其函数值变化得越来越慢, ,常称之为常称之为“蜗牛式增蜗牛式增长长”. .(4)(4)幂函数模型幂函数模型: :能用幂型函数能用幂型函数f(x)=axf(x)=ax+b(a,b,+b(a,b,为常数为常数,a0,a0,1)1)表达的函数模型表达的函数模型, ,其增长情况由其增长情况由a a和和的取值确定的取值确定, ,常见的有二常见的有二次函数模型和反比例函数模型次函数模型和反比例函数模型. . 【变式
18、训练【变式训练】有一组数据如下表有一组数据如下表: :现准备用下列函数中的一个近似表示这些数据满足的规律现准备用下列函数中的一个近似表示这些数据满足的规律, ,则其中最则其中最接近的一个是接近的一个是( () )A.vA.v=log=log2 2t t B.vB.v= t= tC.v= D.vC.v= D.v=2t-2=2t-2t t1.991.993.03.04.04.05.15.16.126.12v v1.51.54.044.047.57.5121218.0118.01【解析【解析】选选C.C.取取t=1.99t=1.992,2,代入代入A,A,得得v=logv=log2 22=12=11
19、.5,1.5,代入代入B,B,得得v=v= =-1 =-11.5,1.5,代入代入C,C,得得v= =1.5,v= =1.5,代入代入D,D,得得v=2v=22-22-21.5.1.5.经计算可知最接近的一个是选项经计算可知最接近的一个是选项C.C.类型二类型二指数函数、对数函数与幂函数模型的比较指数函数、对数函数与幂函数模型的比较【典例【典例】(2015(2015赤峰高一检测赤峰高一检测) )函数函数f(xf(x)=2)=2x x和和g(xg(x)=x)=x3 3的图象如图所的图象如图所示示. .设两函数的图象交于点设两函数的图象交于点A(xA(x1 1,y,y1 1),),B(xB(x2
20、2,y,y2 2),),且且x x1 1xg(1),f(2)g(2),f(9)g(10),f(1)g(1),f(2)g(2),f(9)g(10),所以所以1x1x1 12,9x2,9x2 210.g(1),f(2)g(2),f(9)g(10),f(1)g(1),f(2)g(2),f(9)g(10),所以所以1x1x1 12,9x2,9x2 210,10,所以所以x x1 16x6x,2011x2 2. .从图象上可以看出从图象上可以看出, ,当当x x1 1xxxx2 2时时,f(x)g(x,f(x)g(x),),所以所以f(6)g(6).f(6)xxx2 2时时,f(x)g(x,f(x)g(
21、x),),所以所以f(2011)g(2011).f(2011)g(2011).又因为又因为g(2011)g(6),g(2011)g(6),所以所以f(2011)g(2011)f(2011)g(2011)g(6)f(6).g(6)f(6).【延伸探究【延伸探究】1.(1.(改变条件改变条件) )若将若将“函数函数f(xf(x)=2)=2x x”改为改为“f(xf(x)=3)=3x x”, ,又如何求解又如何求解(1)(1)呢呢? ?【解析【解析】由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知:C:C1 1对应的函数为对应的函数为g(xg(x)
22、=x)=x3 3,C,C2 2对应的函数为对应的函数为f(xf(x)=3)=3x x. .2.(2.(改变问法改变问法) )本例条件不变本例条件不变,(2),(2)中结论若改为中结论若改为: :试结合图象试结合图象, ,判断判断f(8),g(8),f(2015),g(2015)f(8),g(8),f(2015),g(2015)的大小的大小. .【解析【解析】因为因为f(1)g(1),f(2)g(2),f(9)g(10),f(1)g(1),f(2)g(2),f(9)g(10),所以所以1x1x1 12,9x2,9x2 210,10,所以所以x x1 18x8x,2015x2 2. .从图象上可以
23、看出从图象上可以看出, ,当当x x1 1xxxx2 2时时,f(x)g(x,f(x)g(x),),所以所以f(8)g(8).f(8)xxx2 2时时,f(x)g(x,f(x)g(x),),所以所以f(2015)g(2015).f(2015)g(2015).又因为又因为g(2015)g(8),g(2015)g(8),所所以以f(2015)g(2015)g(8)f(8).f(2015)g(2015)g(8)f(8).【方法技巧【方法技巧】由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时根据图象判断增长型的指数函数
24、、对数函数和幂函数时, ,通常是通常是观察函数图象上升得快慢观察函数图象上升得快慢, ,即随着自变量的增长即随着自变量的增长, ,图象最图象最“陡陡”的函数的函数是指数函数是指数函数, ,图象趋于平缓的函数是对数函数图象趋于平缓的函数是对数函数. .【补偿训练【补偿训练】(2015(2015包头高一检测包头高一检测) )函数函数f(x)=lgx,g(xf(x)=lgx,g(x)=0.3x-1)=0.3x-1的图的图象如图所示象如图所示: :(1)(1)试根据函数的增长差异指出曲线试根据函数的增长差异指出曲线C C1 1,C,C2 2分别对应的函数分别对应的函数. .(2)(2)比较两函数的增长
25、差异比较两函数的增长差异( (以两图象交点为分界点以两图象交点为分界点, ,对对f(x),g(xf(x),g(x) )的大的大小进行比较小进行比较).).【解析【解析】(1)(1)曲线曲线C C1 1对应的函数为对应的函数为g(xg(x)=0.3x-1,C)=0.3x-1,C2 2对应的函数为对应的函数为f(x)=lgxf(x)=lgx. .(2)(2)当当0xx0xf(x,g(x)f(x););当当x x1 1xxxg(x,f(x)g(x););当当xxxx2 2时时,g(x)f(x,g(x)f(x););当当x=xx=x1 1或或x=xx=x2 2时时,g(x)=f(x,g(x)=f(x)
26、.).【延伸探究【延伸探究】1.(1.(改变问法改变问法) )本题条件不变本题条件不变, ,试根据图象确定试根据图象确定x x1 1与与1,x1,x2 2与与1010的大小关系的大小关系. .【解析【解析】根据根据C C2 2对应的函数关系式为对应的函数关系式为f(xf(x)=)=lgxgx, ,结合图象与结合图象与x x的交点为的交点为(1,0)(1,0)可知可知,x,x1 11;10-1=2,g(10)f(10),f(10),根据图象根据图象, ,可知可知x x2 210.0,g(3)=0.3f(3)=lg30,g(3)=0.33-10,f(10)=lg10=1,3-1f(10),g(10
27、)f(10),结合图象可知结合图象可知3x3x2 210,10,由于当由于当1x31xg(x,f(x)g(x),),故故f(1.5)g(1.5);f(1.5)g(1.5);由于由于x x2 210,10x10时时,g(x)f(x,g(x)f(x),),故故g(2015)f(2015),g(2015)f(2015),又因为又因为f(2015)f(1.5),f(2015)f(1.5),所以所以g(2015)f(2015)f(1.5)g(1.5).g(2015)f(2015)f(1.5)g(1.5).类型三类型三函数模型的选择问题函数模型的选择问题【典例【典例】1.(20151.(2015临汾高一检
28、测临汾高一检测) )某公司为了适应市场需求某公司为了适应市场需求, ,对产品对产品结构做了重大调整结构做了重大调整. .调整后初期利润增长迅速调整后初期利润增长迅速, ,后来增长越来越慢后来增长越来越慢, ,若若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y y与产量与产量x x的关系的关系, ,则则可选用可选用( () )A.A.一次函数一次函数 B.B.二次函数二次函数C.C.指数型函数指数型函数 D.D.对数型函数对数型函数2.(20152.(2015邯郸高一检测邯郸高一检测) )某工厂生产某种产品某工厂生产某种产品, ,每件产品的出厂价为每件产品
29、的出厂价为5050元元, ,其成本价为其成本价为2525元元, ,因为在生产过程中平均每生产一件产品有因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.50.5立方米污水排出立方米污水排出, ,为了净化环境为了净化环境, ,工厂设计两套方案对污水进行处理工厂设计两套方案对污水进行处理, ,并准备实施并准备实施. .方案一方案一: :工厂的污水先净化处理后再排出工厂的污水先净化处理后再排出, ,每处理每处理1 1立方米污水所用原立方米污水所用原料费料费2 2元元, ,并且每月排污设备损耗费为并且每月排污设备损耗费为3000030000元元; ;方案二方案二: :工厂将污水排到污水处理厂统一处理工厂将污水排
30、到污水处理厂统一处理, ,每处理每处理1 1立方米污水需立方米污水需付付1414元的排污费元的排污费. .问问: :(1)(1)工厂每月生产工厂每月生产30003000件产品时件产品时, ,你作为厂长你作为厂长, ,在不污染环境在不污染环境, ,又节约资又节约资金的前提下应选择哪种方案金的前提下应选择哪种方案? ?通过计算加以说明通过计算加以说明. .(2)(2)若工厂每月生产若工厂每月生产60006000件产品件产品, ,你作为厂长你作为厂长, ,又该如何决策呢又该如何决策呢? ?【解题探究【解题探究】1.1.典例典例1 1中由中由“初期利润增长迅速初期利润增长迅速, ,后来增长越来越慢后来
31、增长越来越慢”, ,联想到哪类函数的增长特性联想到哪类函数的增长特性? ?提示提示: :符合对数函数的增长特点符合对数函数的增长特点. .2.2.典例典例2 2中要进行两种方案的选择中要进行两种方案的选择, ,需对两种方案进行什么比较需对两种方案进行什么比较? ?提示提示: :需分为每月生产需分为每月生产30003000件产品件产品, ,每月生产每月生产60006000件产品两种情况下分件产品两种情况下分别计算出两种方案的利润别计算出两种方案的利润, ,进行比较利润大小进行比较利润大小, ,作出选择作出选择. .【解析【解析】1.1.选选D.D.一次函数保持均匀的增长一次函数保持均匀的增长,
32、,不符合题意不符合题意; ;二次函数在对二次函数在对称轴的两侧有增也有降称轴的两侧有增也有降; ;而指数函数是爆炸式增长而指数函数是爆炸式增长, ,不符合不符合“增长越来增长越来越慢越慢”; ;因此因此, ,只有对数函数最符合题意只有对数函数最符合题意, ,先快速增长先快速增长, ,后来越来越慢后来越来越慢. .2.2.设工厂每月生产设工厂每月生产x x件产品时件产品时, ,依方案一的利润为依方案一的利润为y y1 1, ,依方案二的利润依方案二的利润为为y y2 2, ,由题意知由题意知y y1 1=(50-25)x-2=(50-25)x-20.5x-30000=24x-30000,0.5x
33、-30000=24x-30000,y y2 2=(50-25)x-14=(50-25)x-140.5x=18x.0.5x=18x.(1)(1)当当x=3000x=3000时时,y,y1 1=42000,y=42000,y2 2=54000,=54000,因为因为y y1 1yyy2 2, ,所以应选择方案一所以应选择方案一处理污水处理污水. .【方法技巧【方法技巧】解函数应用题的四个步骤解函数应用题的四个步骤第一步第一步: :阅读、理解题意阅读、理解题意, ,认真审题认真审题. .读懂题中的文字叙述读懂题中的文字叙述, ,理解叙述所反映的实际背景理解叙述所反映的实际背景, ,领悟从背景中概括领
34、悟从背景中概括出来的数学实质出来的数学实质. .审题时要抓住题目中的关键量审题时要抓住题目中的关键量, ,善于联想、化归善于联想、化归, ,实实现应用问题向数学问题的转化现应用问题向数学问题的转化. .第二步第二步: :引进数学符号引进数学符号, ,建立数学模型建立数学模型. .一般地一般地, ,设自变量为设自变量为x,x,函数为函数为y,y,并用并用x x表示各相关量表示各相关量, ,然后根据已知条然后根据已知条件件, ,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式式, ,将实际问题转化为一个数学问题将实际问题转化为一个数
35、学问题, ,实现问题的数学化实现问题的数学化, ,即所谓建立即所谓建立数学模型数学模型. .第三步第三步: :利用数学方法解答得到的常规数学问题利用数学方法解答得到的常规数学问题( (即数学模型即数学模型),),求得结求得结果果. .第四步第四步: :再转译成具体问题作出解答再转译成具体问题作出解答. .【变式训练【变式训练】(2015(2015抚顺高一检测抚顺高一检测) )某文具店出售软皮本和铅笔某文具店出售软皮本和铅笔, ,软软皮本每本皮本每本2 2元元, ,铅笔每枝铅笔每枝0.50.5元元, ,该店推出两种优惠办法该店推出两种优惠办法:(1):(1)买一本软皮买一本软皮本赠送一枝铅笔本赠
36、送一枝铅笔;(2);(2)按总价的按总价的92%92%付款付款. .现要买软皮本现要买软皮本4 4本本, ,铅笔若干枝铅笔若干枝( (不少于不少于4 4枝枝),),若购买铅笔数为若购买铅笔数为x x枝枝, ,支付款数为支付款数为y y元元, ,试分别建立两种优试分别建立两种优惠办法中惠办法中y y与与x x之间的函数关系式之间的函数关系式, ,并说明使用哪种优惠办法更合算并说明使用哪种优惠办法更合算? ?【解题指南【解题指南】根据题意列出两个一次函数关系式根据题意列出两个一次函数关系式, ,办法办法(1)(1)的函数模型的函数模型增长得快增长得快, ,办法办法(2)(2)的函数模型增长得慢的函
37、数模型增长得慢. .【解析【解析】由优惠办法由优惠办法(1)(1)得到得到y y与与x x的函数关系式为的函数关系式为: :y=2y=24+0.5(x-4)=0.5x+6(x4,4+0.5(x-4)=0.5x+6(x4,且且xN).xN).由优惠办法由优惠办法(2)(2)得到得到y y与与x x的函数关系式为的函数关系式为: :y=(0.5x+2y=(0.5x+24)4)92%=0.46x+7.36(x4,92%=0.46x+7.36(x4,且且xNxN).).令令0.5x+6=0.46x+0.5x+6=0.46x+7.36,7.36,解得解得x=34,x=34,且当且当4x344x34时时,
38、0.5x+60.46x+7.36,0.5x+634x34时时,0.5x+60.46x+7.36,0.5x+60.46x+7.36,即当购买铅笔数少于即当购买铅笔数少于3434枝枝( (不少于不少于4 4枝枝) )时时, ,用优用优惠办法惠办法(1)(1)合算合算; ;当购买铅笔数多于当购买铅笔数多于3434枝时枝时, ,用优惠办法用优惠办法(2)(2)合算合算; ;当购当购买铅笔数是买铅笔数是3434枝时枝时, ,两种优惠办法支付的总钱数是相同的两种优惠办法支付的总钱数是相同的, ,即一样合算即一样合算. .【补偿训练【补偿训练】有甲有甲, ,乙两家健身中心乙两家健身中心, ,两家设备和服务都
39、相当两家设备和服务都相当, ,但收费但收费方式不同方式不同. .甲中心每小时甲中心每小时5 5元元; ;乙中心按月计费乙中心按月计费, ,一个月中一个月中3030小时以内小时以内( (含含3030小时小时)90)90元元, ,超过超过3030小时的部分每小时小时的部分每小时2 2元元. .某人准备下个月从这某人准备下个月从这两家中选择一家进行健身活动两家中选择一家进行健身活动, ,其活动时间不少于其活动时间不少于1515小时小时, ,也不超过也不超过4040小时小时. .(1)(1)设在甲中心健身活动设在甲中心健身活动x x小时的收费为小时的收费为f(xf(x) )元元, ,在乙中心健身活动在
40、乙中心健身活动x x小小时的收费为时的收费为g(xg(x) )元元, ,试求试求f(xf(x) )和和g(xg(x).).(2)(2)问问: :选择哪家比较合算选择哪家比较合算? ?为什么为什么? ?【解析【解析】(1)f(x)=5x,15(1)f(x)=5x,15x x40,40,(2)(2)当当5x=905x=90时时,x=18,x=18,即当即当15x1815x18时时,f(x)g(x,f(x)g(x););当当x=18x=18时时,f(x)=g(x,f(x)=g(x),),当当18x4018g(x,f(x)g(x););所以当所以当15x1815x18时时, ,选甲比较合算选甲比较合算
41、; ;当当x=18x=18时时, ,两家一样合算两家一样合算; ;当当18x4018 ,100 ,得出得出1001002 2x x比比 e ex x增大增大速度快的错误结论速度快的错误结论. .【自我矫正【自我矫正】选选A.A.指数爆炸式形如指数函数指数爆炸式形如指数函数. .由于影响指数型函数增由于影响指数型函数增长速度的量是指数函数的底数长速度的量是指数函数的底数, ,因为因为e2,e2,所以所以 e ex x比比1001002 2x x增大速增大速度快度快. .【防范措施【防范措施】明确影响指数函数增长的因素明确影响指数函数增长的因素影响指数函数增长速度的量是指数函数的底数影响指数函数增长速度的量是指数函数的底数, ,而非其系数而非其系数. .如本如本题题y= ey= ex x与与y=100y=1002 2x x, ,底数底数e2,e2,因此系数对其影响可以忽略因此系数对其影响可以忽略, ,故故y= ey= ex x的增长速度大于的增长速度大于y=100y=1002 2x x的增长速度的增长速度. .
