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1、休息休息结束结束第六章 样本及抽样分布休息休息结束结束本章转入课程的第二部分本章转入课程的第二部分数理统计数理统计的特点是应用面广，分支较多。数理统计的特点是应用面广，分支较多。社会的发展不断向统计提出新的问题。社会的发展不断向统计提出新的问题。休息休息结束结束需要强调说明一点：需要强调说明一点：统计方法具有统计方法具有“部分推断整体部分推断整体”的特的特征征。因为我们是从一小部分因为我们是从一小部分样本样本观察值观察值去推断该全体对象（去推断该全体对象（总体总体）情况，即由）情况，即由部分推断全体。部分推断全体。这里使用的推理方法是这里使用的推理方法是“归纳推理归纳推理”。休息休息结束结束6
2、.1随机样本随机样本1.1.总体与个体总体与个体一一个统计问题总有它明确的研究对象。个统计问题总有它明确的研究对象。研究对象的全体称为研究对象的全体称为总体总体(母体母体)，总体中每个成员称为总体中每个成员称为个体个体。休息休息结束结束在数理统计中，总体这个概念在数理统计中，总体这个概念的的要旨要旨是：是：总体就是一个概率分布。-50005001000150020000510152025休息休息结束结束容量为容量为n 的样本（也称为的样本（也称为子样子样）可以可以看作看作n 维随机变量：维随机变量：(X1 , X2 , , Xn )但是，一旦取定一组样本，得到的是但是，一旦取定一组样本，得到的
3、是n个具体的数个具体的数(x1 , x2 , , xn )，称为样本的，称为样本的一次观察值，简称一次观察值，简称样本观察值样本观察值。休息休息结束结束最常用的一种抽样方法叫作最常用的一种抽样方法叫作“简单简单随机抽样随机抽样”，它要求抽取的样本满足下，它要求抽取的样本满足下面两点面两点:休息休息结束结束1.代表性代表性：X1 , X2 , , Xn 中每一个中每一个与所考察的总体有相同的分布。与所考察的总体有相同的分布。2.独立性独立性：X1 , X2 , , Xn是相互独是相互独立的随机变量。立的随机变量。休息休息结束结束由简单随机抽样得到的样本由简单随机抽样得到的样本(子样）称子样）称为
4、为简单随机样本（子样）简单随机样本（子样）。用用（ X1 , X2 , , Xn ）表示。表示。简单随机样本是应用中最常见的情形，简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，当说到今后，当说到（ X1 , X2 , , Xn ）是取自是取自某总体的样本时，就指某总体的样本时，就指简单随机样本简单随机样本。休息休息结束结束3.总体、样本、样本值的关系总体、样本、样本值的关系总体（理论分布）总体（理论分布）样本样本样本值样本值休息休息结束结束6.2抽样分布抽样分布1.统计量及其抽样分布统计量及其抽样分布这种这种不含任何未知参数的样本的函数称为不含任何未知参数的样本的函数称为统统计量计量。它是完全由样本
5、决定的量。统计量的分布。它是完全由样本决定的量。统计量的分布称为称为抽样分布抽样分布。休息休息结束结束2.样本均值及其抽样分布样本均值及其抽样分布1.样本均值样本均值反映了总体均值的信息休息休息结束结束定定理理:设设是是来来自自某某总总体体X的的样样本本,为样本均值。为样本均值。1.若若总总体体分分布布为为N( ,2),则则的的精精确确分分布为布为N(, 2/n ) ；2.若若总总体体分分布布未未知知或或不不是是正正态态分分布布，则则的渐近分布为的渐近分布为N(, 2/n ) ；休息休息结束结束2.样本方差与样本标准差样本方差与样本标准差它反映了总体方差它反映了总体方差的信息的信息样本方差样本
6、方差样本标准差样本标准差休息休息结束结束休息休息结束结束定理定理设总体设总体X有有EX=,DX=2，X1,X2,Xn 是来自总体是来自总体 X 的样本，则：的样本，则：休息休息结束结束3.样本样本k阶原点矩阶原点矩它反映了总体它反映了总体k 阶矩阶矩的信息的信息4.样本样本k阶中心矩阶中心矩k=1,2,它反映了总体它反映了总体k 阶阶中心矩的信息中心矩的信息休息休息结束结束统计量也是随机变量统计量也是随机变量，统计量的，统计量的分布称为统计量的分布称为统计量的“抽样分布抽样分布”. 抽样分布抽样分布精确抽样分布精确抽样分布（小样本问题中使用）（小样本问题中使用）渐近分布渐近分布（大样本问题中使
7、用（大样本问题中使用)休息休息结束结束三大抽样分布三大抽样分布分布分布1、定义定义:设设相互独立相互独立,都服从正态都服从正态分布分布N(0,1),则称随机变量：则称随机变量： 所服从的分布为自由度为所服从的分布为自由度为 n的的 分布分布.记为：记为：休息休息结束结束分布的密度函数为：分布的密度函数为：.其中伽玛函数其中伽玛函数定义为定义为休息休息结束结束1.设设相互独立相互独立,都服从分布都服从分布则则2.设设且且X1,X2相互相互独立，则独立，则分布的性质：分布的性质：休息休息结束结束若若则则 EX =n,DX= 2n由中心极限定理可得，若由中心极限定理可得，若，则当，则当n充分大时，充
8、分大时，的分布近似正态分布的分布近似正态分布N(0,1).休息休息结束结束2、t 分布分布设设XN(0,1), Y,且且X与与Y相相互互独独立，则称变量立，则称变量所服从的分布为所服从的分布为自由度为自由度为n的的t 分布分布。记为：记为： T t (n).休息休息结束结束T 的密度函数为：的密度函数为：具有自由度为具有自由度为n的的t分布的随机变量分布的随机变量T的数的数学期望和方差为学期望和方差为:E ( T ) = 0 ; D ( T ) = n / (n-2) , 对对 n 2休息休息结束结束t分布的密度函数关于分布的密度函数关于x=0对称，且对称，且当当n充分大时，其图形类似于标准正
9、充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形。态分布密度函数的图形。休息休息结束结束不难看到，当不难看到，当n充分大时，充分大时，t 分布近分布近似似N (0,1)分布。分布。但对于较小的但对于较小的n，t分布分布与与N (0,1)分布相差很大。分布相差很大。休息休息结束结束3、F分布分布设设X与与Y相相互独立，则称统计量互独立，则称统计量服从服从自由度为自由度为n1及及n2的的F分布分布，n1称为第称为第一自由度，一自由度，n2称为第二自由度，记作称为第二自由度，记作：F F (n1,n2).休息休息结束结束由定义可见，由定义可见，F (n2,n1)休息休息结束结束若若XF(n1,n2)
10、，X的概率密度为的概率密度为X的数学期望为的数学期望为:若若n22即它的数学期望并不依赖于第一自由度即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.休息休息结束结束9.20xy一般地，一般地，休息休息结束结束令：令：则则xy休息休息结束结束=0.1605休息休息结束结束四、几个重要的抽样分布定理四、几个重要的抽样分布定理定理定理1(样本均值的分布样本均值的分布)设设X1,X2,Xn 是取自正态总体是取自正态总体的样本，则有：的样本，则有：休息休息结束结束 n取不同值时样本均值取不同值时样本均值的分布的分布休息休息结束结束定理定理2(样本方差的分布样本方差的分布)设设X1,X2,Xn 是取自正态总体是取
11、自正态总体的样本的样本,分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有：则有：休息休息结束结束比较：休息休息结束结束n取不同值时取不同值时的分布的分布休息休息结束结束定理定理3设设X1,X2,Xn 是取自正态总体是取自正态总体的样本的样本,分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有：则有：休息休息结束结束证明：独立独立休息休息结束结束定理定理4(两总体样本均值差的分布两总体样本均值差的分布)分别是这两个样本的分别是这两个样本的且且X与与Y独立独立,X1,X2,是取自是取自X的样本的样本,取自取自Y的样本的样本,分别是这两个样本的样本方差分别是这两个样本的样本方差,均值均值,则有：则有：Y1,Y2,是是样本样本休息休息结束结束其中其中休息休息结束结束证明：休息休息结束结束定理定理5(两总体样本方差比的分布两总体样本方差比的分布)分别是这两个样本的分别是这两个样本的且且X与与Y独立独立,X1,X2,是取自是取自X的样本的样本,取自取自Y的样本的样本,分别是它们的样本方差分别是它们的样本方差,均值，均值，则有：则有：Y1,Y2,是是样本样本休息休息结束结束证明：独立独立休息休息结束结束部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！
