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1、动力学普遍方程 和拉格朗日方程 引引 言言 动力学普遍方程动力学普遍方程 拉格朗日方程拉格朗日方程 拉格朗日方程的初积分拉格朗日方程的初积分 结论与讨论结论与讨论2021/6/161经典动力学的两个发展方面经典动力学的两个发展方面 拓宽研究领域拓宽研究领域拓宽研究领域拓宽研究领域矢量动力学矢量动力学矢量动力学矢量动力学又称为又称为又称为又称为牛顿欧拉动力学牛顿欧拉动力学牛顿欧拉动力学牛顿欧拉动力学牛顿运动定律由单个自由质点牛顿运动定律由单个自由质点牛顿运动定律由单个自由质点牛顿运动定律由单个自由质点 受约束质点和质点系受约束质点和质点系受约束质点和质点系受约束质点和质点系( (以达朗贝尔原理为
2、基础以达朗贝尔原理为基础以达朗贝尔原理为基础以达朗贝尔原理为基础) ) 欧拉将牛顿运动定律欧拉将牛顿运动定律欧拉将牛顿运动定律欧拉将牛顿运动定律 刚体和理想流体刚体和理想流体刚体和理想流体刚体和理想流体 寻求新的表达形式寻求新的表达形式寻求新的表达形式寻求新的表达形式将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学 建立分析力学的新体系建立分析力学的新体系建立分析力学的新体系建立分析力学的新体系拉格朗日力学拉格朗日力学拉格朗日力学拉格朗日力学2021/6/162 考察由考察由
3、考察由考察由n n个质点的、具有理想约束的系统。根据个质点的、具有理想约束的系统。根据个质点的、具有理想约束的系统。根据个质点的、具有理想约束的系统。根据达朗贝尔原理，有达朗贝尔原理，有达朗贝尔原理，有达朗贝尔原理，有主动力主动力主动力主动力约束力约束力约束力约束力惯性力惯性力惯性力惯性力 令系统有任意一组虚位移令系统有任意一组虚位移令系统有任意一组虚位移令系统有任意一组虚位移系统的总虚功为系统的总虚功为系统的总虚功为系统的总虚功为5.3.1 动力学普遍方程动力学普遍方程2021/6/163系统的总虚功为系统的总虚功为系统的总虚功为系统的总虚功为利用理想约束条件利用理想约束条件利用理想约束条件
4、利用理想约束条件得到得到得到得到 动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程 任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的主动力与惯性力在系统的任意虚位移上的元功之和主动力与惯性力在系统的任意虚位移上的元功之和主动力与惯性力在系统的任意虚位移上的元功之和主动力与惯性力在系统的任意虚位移上的元功之和等于零。等于零。等于零。等于零。 2021/6/164动力学普遍方程的直角坐标形式动力学普遍方程的直角坐标形式动力学普遍方程的直角坐标形式动力学普遍方程的直角坐标形
5、式动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程 适用于具有理想约束或双面约束的系统。适用于具有理想约束或双面约束的系统。适用于具有理想约束或双面约束的系统。适用于具有理想约束或双面约束的系统。动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程 既适用于具有定常约束的系统，也适用于既适用于具有定常约束的系统，也适用于既适用于具有定常约束的系统，也适用于既适用于具有定常约束的系统，也适用于具有非定常约束的系统。具有非定常约束的系统。具有非定常约束的系统。具有非定常约束的系统。动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程 既适用于具有完整约束的系统，也适用于既适用于具有
6、完整约束的系统，也适用于既适用于具有完整约束的系统，也适用于既适用于具有完整约束的系统，也适用于具有非完整约束的系统。具有非完整约束的系统。具有非完整约束的系统。具有非完整约束的系统。动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程 既适用于具有有势力的系统，也适用于具有既适用于具有有势力的系统，也适用于具有既适用于具有有势力的系统，也适用于具有既适用于具有有势力的系统，也适用于具有无势力的系统。无势力的系统。无势力的系统。无势力的系统。2021/6/165 动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程 主要应用于求解动力学第二类问主要应用于求解动力学第二类问主要应用于求解
7、动力学第二类问主要应用于求解动力学第二类问题，即：已知主动力求系统的运动规律。题，即：已知主动力求系统的运动规律。题，即：已知主动力求系统的运动规律。题，即：已知主动力求系统的运动规律。 应用应用应用应用 动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程 求解系统运动规律时，重求解系统运动规律时，重求解系统运动规律时，重求解系统运动规律时，重要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力。要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力。要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力。要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力。 由于由于由于由于 动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程 中
8、不包含约束力，因此，中不包含约束力，因此，中不包含约束力，因此，中不包含约束力，因此，不需要解除约束，也不需要将系统拆开。不需要解除约束，也不需要将系统拆开。不需要解除约束，也不需要将系统拆开。不需要解除约束，也不需要将系统拆开。 应用应用应用应用 动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程 ，需要正确分析主动力和，需要正确分析主动力和，需要正确分析主动力和，需要正确分析主动力和惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。动力学普遍方程的应用动力学普
9、遍方程的应用2021/6/166例例例例 题题题题 1 1已知已知已知已知： m m ，R, fR, f ， 。求：求：求：求：圆盘纯滚时质心的加速度。圆盘纯滚时质心的加速度。圆盘纯滚时质心的加速度。圆盘纯滚时质心的加速度。CmgaCF FIRIR MMICIC x x解：解：解：解：1 1、分析运动，施加惯性力、分析运动，施加惯性力、分析运动，施加惯性力、分析运动，施加惯性力 2 2、本系统有一个自由度，、本系统有一个自由度，、本系统有一个自由度，、本系统有一个自由度，令其有一虚位移令其有一虚位移令其有一虚位移令其有一虚位移 x x。3 3、应用动力学普遍方程、应用动力学普遍方程、应用动力学
10、普遍方程、应用动力学普遍方程其中：其中：其中：其中：2021/6/167 B BA AC C例例例例 题题题题 2 2离心调速器离心调速器离心调速器离心调速器已知：已知：已知：已知：m m1 1球球球球A A、B B 的质量；的质量；的质量；的质量；m m2 2重锤重锤重锤重锤C C 的质量；的质量；的质量；的质量；l l杆件的长度；杆件的长度；杆件的长度；杆件的长度； O O1 1 y y1 1轴的旋转角速度。轴的旋转角速度。轴的旋转角速度。轴的旋转角速度。求：求：求：求： 的关系。的关系。的关系。的关系。l ll ll ll l O O1 1x x1 1y y1 1解：解：解：解： 不考虑
11、摩擦力，这一系统不考虑摩擦力，这一系统不考虑摩擦力，这一系统不考虑摩擦力，这一系统的约束为理想约束；系统具有一的约束为理想约束；系统具有一的约束为理想约束；系统具有一的约束为理想约束；系统具有一个自由度。取广义坐标个自由度。取广义坐标个自由度。取广义坐标个自由度。取广义坐标 q q = = 1 1、分析运动、确定惯性力、分析运动、确定惯性力、分析运动、确定惯性力、分析运动、确定惯性力 球球球球A A、B B绕绕绕绕 y y轴等速转动；重锤静止不动。轴等速转动；重锤静止不动。轴等速转动；重锤静止不动。轴等速转动；重锤静止不动。球球球球A A、B B的惯性力为的惯性力为的惯性力为的惯性力为F FI
12、 IB BF FI IA Am m1 1g gm m2 2g gm m1 1g g2021/6/168 B BA AC Cl ll ll ll l O O1 1x x1 1y y1 1F FI IB BF FI IA Am m1 1g gm m2 2g gm m1 1g g r rC C r rB B r rA A2 2、令系统有一虚位移、令系统有一虚位移、令系统有一虚位移、令系统有一虚位移 。A A、B B、C C 三处的三处的三处的三处的虚位移分别为虚位移分别为虚位移分别为虚位移分别为 r rA A、 r rB B、 r rC C 。3 3、应用动力学普遍方程、应用动力学普遍方程、应用动力
13、学普遍方程、应用动力学普遍方程根据几何关系，有根据几何关系，有根据几何关系，有根据几何关系，有2021/6/169 B BA AC Cl ll ll ll l O O1 1x x1 1y y1 1F FI IB BF FI IA Am m1 1g gm m2 2g gm m1 1g g r rC C r rB B r rA A3 3、应用动力学普遍方程、应用动力学普遍方程、应用动力学普遍方程、应用动力学普遍方程2021/6/1610x xO Oy yC C2 2D D求：求：求：求：1 1、三棱柱后退的加速度、三棱柱后退的加速度、三棱柱后退的加速度、三棱柱后退的加速度a a1 1； 2 2、圆
14、轮质心、圆轮质心、圆轮质心、圆轮质心C C2 2相对于三棱相对于三棱相对于三棱相对于三棱 柱加速度柱加速度柱加速度柱加速度a ar r。C C1 1A AC CB B 例题例题例题例题3 3 质量为质量为质量为质量为m m1 1的三棱柱的三棱柱的三棱柱的三棱柱ABCABC通过滚轮搁置在光滑的水平面上。通过滚轮搁置在光滑的水平面上。通过滚轮搁置在光滑的水平面上。通过滚轮搁置在光滑的水平面上。质量为质量为质量为质量为m m2 2、半径为、半径为、半径为、半径为R R的均质圆轮沿的均质圆轮沿的均质圆轮沿的均质圆轮沿三棱柱的斜面三棱柱的斜面三棱柱的斜面三棱柱的斜面ABAB无滑动地滚下。无滑动地滚下。无
15、滑动地滚下。无滑动地滚下。解：解：解：解：1 1、分析运动、分析运动、分析运动、分析运动三棱柱作平动，加速度为三棱柱作平动，加速度为三棱柱作平动，加速度为三棱柱作平动，加速度为 a a1 1。 圆轮作平面运动，质心的牵连圆轮作平面运动，质心的牵连圆轮作平面运动，质心的牵连圆轮作平面运动，质心的牵连加速度为加速度为加速度为加速度为a ae e= = a a1 1 ；质心的相对加质心的相对加质心的相对加质心的相对加速度为速度为速度为速度为a ar r；圆轮的角加速度为圆轮的角加速度为圆轮的角加速度为圆轮的角加速度为 2 2。a a1 1a ae ea ar r 2 22021/6/1611x xO
16、 Oy yC C2 2D DC C1 1A AC CB B a a1 1 2 2m m1 1g gm m2 2 g gF FI I1 1F FI I 2 e 2 eF FI I 2 r 2 rMMI2I2a ae ea ar r解：解：解：解：2 2、施加惯性力、施加惯性力、施加惯性力、施加惯性力解：解：解：解：3 3、确定虚位移、确定虚位移、确定虚位移、确定虚位移 考察三棱柱和圆盘组成的考察三棱柱和圆盘组成的考察三棱柱和圆盘组成的考察三棱柱和圆盘组成的系统，系统具有两个自由度。系统，系统具有两个自由度。系统，系统具有两个自由度。系统，系统具有两个自由度。 第一组第一组第一组第一组第二组第二组
17、第二组第二组 二自由度系统具有两组虚二自由度系统具有两组虚二自由度系统具有两组虚二自由度系统具有两组虚位移：位移：位移：位移： x x 2021/6/1612x xO Oy yC C2 2D DC C1 1A AC CB B m m1 1g gm m2 2 g gF FI I1 1F FI I 2 e 2 eF FI I 2 r 2 rMMI2I2 解：解：解：解：4 4、应用动力学普遍方程、应用动力学普遍方程、应用动力学普遍方程、应用动力学普遍方程令：令：令：令：2021/6/1613x xO Oy yC C2 2D DC C1 1A AC CB B m m1 1g gm m2 2 g gF
18、 FI I1 1F FI I 2 e 2 eF FI I 2 r 2 rMMI2I2解：解：解：解：4 4、应用动力学普遍方程、应用动力学普遍方程、应用动力学普遍方程、应用动力学普遍方程令：令：令：令： x x2021/6/1614 解：解：解：解：5 5、求解联立方程、求解联立方程、求解联立方程、求解联立方程2021/6/16155.3.2 拉格朗日拉格朗日(Lagrange)方程方程 由由由由n n个质点所个质点所个质点所个质点所组成的质点系组成的质点系组成的质点系组成的质点系主主主主 动动动动 力力力力虚虚虚虚 位位位位 移移移移广义坐标广义坐标广义坐标广义坐标 第第第第i i个质个质个
19、质个质点的位矢点的位矢点的位矢点的位矢由动力学普遍方程，得由动力学普遍方程，得由动力学普遍方程，得由动力学普遍方程，得 Q Qk k广义力广义力广义力广义力2021/6/16162021/6/16172021/6/1618对任意一个广义坐标对任意一个广义坐标对任意一个广义坐标对任意一个广义坐标 q qj j 求偏导数求偏导数求偏导数求偏导数 如果将位矢对任意一个广义坐标如果将位矢对任意一个广义坐标如果将位矢对任意一个广义坐标如果将位矢对任意一个广义坐标 q qj j 求偏导数，再对时间求求偏导数，再对时间求求偏导数，再对时间求求偏导数，再对时间求导数，则得到导数，则得到导数，则得到导数，则得到
20、第二个拉格朗日关系式第二个拉格朗日关系式第二个拉格朗日关系式第二个拉格朗日关系式2021/6/16192021/6/1620此即此即此即此即拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程，或称为，或称为，或称为，或称为第二类拉格朗日方程。第二类拉格朗日方程。第二类拉格朗日方程。第二类拉格朗日方程。 如果作用在系统上的主动力都是有势力，根据有势力的广义主如果作用在系统上的主动力都是有势力，根据有势力的广义主如果作用在系统上的主动力都是有势力，根据有势力的广义主如果作用在系统上的主动力都是有势力，根据有势力的广义主动力动力动力动力2021/6/1621引入拉格朗日函数引入拉格朗日函数引入拉格朗日
21、函数引入拉格朗日函数L LT TV V得到得到得到得到主动力为有势力的拉格朗日方程主动力为有势力的拉格朗日方程主动力为有势力的拉格朗日方程主动力为有势力的拉格朗日方程2021/6/1622 对于只具有完整约束、自由度为对于只具有完整约束、自由度为对于只具有完整约束、自由度为对于只具有完整约束、自由度为 N N 的系统，可以得到的系统，可以得到的系统，可以得到的系统，可以得到由由由由 N N 个拉格朗日方程组成的方程组。个拉格朗日方程组成的方程组。个拉格朗日方程组成的方程组。个拉格朗日方程组成的方程组。应用拉格朗日方程，一般应遵循以下步骤：应用拉格朗日方程，一般应遵循以下步骤：应用拉格朗日方程，
22、一般应遵循以下步骤：应用拉格朗日方程，一般应遵循以下步骤： 首先，要判断约束性质是否完整、主动力是否有势，首先，要判断约束性质是否完整、主动力是否有势，首先，要判断约束性质是否完整、主动力是否有势，首先，要判断约束性质是否完整、主动力是否有势，决定采用哪一种形式的拉格朗日方程。决定采用哪一种形式的拉格朗日方程。决定采用哪一种形式的拉格朗日方程。决定采用哪一种形式的拉格朗日方程。 其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。 按照所选择的广义坐标，写出系统的
23、动能、势能或广按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广义力。义力。义力。义力。 将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。拉格朗日方程的应用拉格朗日方程的应用2021/6/1623OARrMM例例例例 题题题题 4 4均质杆均质杆均质杆均质杆O OA A质量为质量为质量为质量为m m1 1、可以绕、可以绕、可以绕、可以绕O O端转动端转动端转动端转动, ,小
24、齿轮小齿轮小齿轮小齿轮A A质量为质量为质量为质量为m m2 2，半径为，半径为，半径为，半径为r r , ,其上作用其上作用其上作用其上作用力偶力偶力偶力偶MM。求：求：求：求：该杆的运动方程。该杆的运动方程。该杆的运动方程。该杆的运动方程。解：解：解：解：1 1、系统具有一个自由度，、系统具有一个自由度，、系统具有一个自由度，、系统具有一个自由度， 取取取取 为其广义坐标。为其广义坐标。为其广义坐标。为其广义坐标。2 2、计算系统的动能：、计算系统的动能：、计算系统的动能：、计算系统的动能：其中：其中：其中：其中：其中：其中：2021/6/1624OARrMM3 3、计算广义力：、计算广义
25、力：、计算广义力：、计算广义力：4 4、应用拉格朗日方程、应用拉格朗日方程、应用拉格朗日方程、应用拉格朗日方程2021/6/1625例例例例 题题题题 5 5已知已知已知已知： m m1 1 , , m m2 2 , , R, fR, f , , F F 。求：求：求：求： 板的加速度。板的加速度。板的加速度。板的加速度。F FCR解：解：解：解：1 1、系统具有二个自由度，、系统具有二个自由度，、系统具有二个自由度，、系统具有二个自由度， 取取取取 x x、 为其广义坐标。为其广义坐标。为其广义坐标。为其广义坐标。Oxx2 2、计算系统的动能：、计算系统的动能：、计算系统的动能：、计算系统的
26、动能：其中：其中：其中：其中：3 3、计算广义力：、计算广义力：、计算广义力：、计算广义力：(1)(1)(1)令：令：令：令：令：令：(2)(2)令：令：令：令：F Fs s2021/6/16264 4、应用拉格朗日方程、应用拉格朗日方程、应用拉格朗日方程、应用拉格朗日方程解得：解得：2021/6/1627例例例例 题题题题 6 6x xO Ox xl l0 0 质量为质量为质量为质量为m m、长度为、长度为、长度为、长度为l l 的均质杆的均质杆的均质杆的均质杆ABAB可以绕可以绕可以绕可以绕A A端的铰链在平面内转动。端的铰链在平面内转动。端的铰链在平面内转动。端的铰链在平面内转动。A A
27、端的小圆轮与刚度系数为端的小圆轮与刚度系数为端的小圆轮与刚度系数为端的小圆轮与刚度系数为k k 的弹的弹的弹的弹簧相连，并可在滑槽内上下滑动。簧相连，并可在滑槽内上下滑动。簧相连，并可在滑槽内上下滑动。簧相连，并可在滑槽内上下滑动。弹簧的原长为弹簧的原长为弹簧的原长为弹簧的原长为l l0 0。求求求求：系统的运动微分方程：系统的运动微分方程：系统的运动微分方程：系统的运动微分方程A AB B k kC C 解：解：解：解：1 1、系统的约束为完整约束，、系统的约束为完整约束，、系统的约束为完整约束，、系统的约束为完整约束，主动力为有势力。主动力为有势力。主动力为有势力。主动力为有势力。 2 2
28、、系统具有两个自由度，广义坐、系统具有两个自由度，广义坐、系统具有两个自由度，广义坐、系统具有两个自由度，广义坐标选择为标选择为标选择为标选择为q q= =( (x x, , ) ), , x x 坐标的原点取坐标的原点取坐标的原点取坐标的原点取在弹簧原长的下方。在弹簧原长的下方。在弹簧原长的下方。在弹簧原长的下方。2021/6/1628x xO Ox xl l0 0A AB B k kC C 解：解：解：解：3 3、计算系统的动能：不计弹、计算系统的动能：不计弹、计算系统的动能：不计弹、计算系统的动能：不计弹簧的质量，系统的动能即为簧的质量，系统的动能即为簧的质量，系统的动能即为簧的质量，系
29、统的动能即为ABAB杆的杆的杆的杆的动能动能动能动能速度速度速度速度v vC C的确定的确定的确定的确定 系统的势能由弹簧势能与重力势能所组成，以系统的势能由弹簧势能与重力势能所组成，以系统的势能由弹簧势能与重力势能所组成，以系统的势能由弹簧势能与重力势能所组成，以O O点为共同的点为共同的点为共同的点为共同的势能零点：势能零点：势能零点：势能零点：2021/6/1629x xO Ox xl l0 0A AB B k kC C拉格朗日函数拉格朗日函数拉格朗日函数拉格朗日函数4 4、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分
30、方程、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程2021/6/16302021/6/16312021/6/1632OACk例例例例 题题题题 7 7 质量为质量为质量为质量为m m1 1、半径为、半径为、半径为、半径为 r r 的均质圆的均质圆的均质圆的均质圆轮在水平面上纯滚，轮心与刚性轮在水平面上纯滚，轮心与刚性轮在水平面上纯滚，轮心与刚性轮在水平面上纯滚，轮心与刚性系数为系数为系数为系数为k k 的弹簧相连。的弹簧相连。的弹簧相连。的弹簧相连。均质杆均质杆均质杆均质杆ABAB长度为长度为长度为长度为l l ，质量为，质量为，质量为，质量为m m2 2 。求求求求：系统的运动微分方程。：系统的运
31、动微分方程。：系统的运动微分方程。：系统的运动微分方程。解：解：解：解：1 1、系统的约束为完整约束，、系统的约束为完整约束，、系统的约束为完整约束，、系统的约束为完整约束，主动力为有势力。主动力为有势力。主动力为有势力。主动力为有势力。 2 2、系统具有两个自由度，广义坐、系统具有两个自由度，广义坐、系统具有两个自由度，广义坐、系统具有两个自由度，广义坐标选择为标选择为标选择为标选择为q q= =( (x x, , ) ), , x x 坐标的原点取坐标的原点取坐标的原点取坐标的原点取在弹簧原长处。在弹簧原长处。在弹簧原长处。在弹簧原长处。 xxy2021/6/1633OACk xxy3 3
32、、计算系统的动能：、计算系统的动能：、计算系统的动能：、计算系统的动能：速度速度速度速度v vC C的确定的确定的确定的确定系统的势能由弹簧势能与重力势能所组成系统的势能由弹簧势能与重力势能所组成系统的势能由弹簧势能与重力势能所组成系统的势能由弹簧势能与重力势能所组成：2021/6/1634OACk xxy拉格朗日函数拉格朗日函数拉格朗日函数拉格朗日函数4 4、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程2021/6/16352021/6/16362021/6/1637O O1 1
33、O O2 2例例例例 题题题题 8 8 质量为质量为质量为质量为m m、半径为、半径为、半径为、半径为 3R 3R 的均质大的均质大的均质大的均质大圆环在粗糙的水平面上纯滚。另圆环在粗糙的水平面上纯滚。另圆环在粗糙的水平面上纯滚。另圆环在粗糙的水平面上纯滚。另一小圆环质量亦为一小圆环质量亦为一小圆环质量亦为一小圆环质量亦为m m ，半径为，半径为，半径为，半径为R R ，又在粗糙的大圆环内壁做纯滚，又在粗糙的大圆环内壁做纯滚，又在粗糙的大圆环内壁做纯滚，又在粗糙的大圆环内壁做纯滚动。不计滚动摩阻，整个系统处动。不计滚动摩阻，整个系统处动。不计滚动摩阻，整个系统处动。不计滚动摩阻，整个系统处于铅
34、垂面内。于铅垂面内。于铅垂面内。于铅垂面内。求求求求：系统的运动微分方程。：系统的运动微分方程。：系统的运动微分方程。：系统的运动微分方程。解：解：解：解：1 1、系统的约束为完整约束，、系统的约束为完整约束，、系统的约束为完整约束，、系统的约束为完整约束，主动力为有势力。主动力为有势力。主动力为有势力。主动力为有势力。 2 2、系统具有两个自由度，广义坐、系统具有两个自由度，广义坐、系统具有两个自由度，广义坐、系统具有两个自由度，广义坐标选择为标选择为标选择为标选择为q q= =( ( , , ) )。 2021/6/1638O O1 1O O2 2 3 3、计算系统的动能：、计算系统的动能
35、：、计算系统的动能：、计算系统的动能：由运动学可知：由运动学可知：由运动学可知：由运动学可知：建立随质心建立随质心建立随质心建立随质心O O1 1平动的坐标系平动的坐标系平动的坐标系平动的坐标系O O1 1 x x1 1 y y1 1x x1 1y y1 1O O1 1O O2 2E Ev vO1O1v vO2rO2rv vErEr2021/6/1639O O1 1O O2 2 3 3、计算系统的动能：、计算系统的动能：、计算系统的动能：、计算系统的动能：O O1 1O O2 2E Ev vO1O1v vO2rO2rv vErEr系统的势能：系统的势能：系统的势能：系统的势能：2021/6/1
36、640O O1 1O O2 2 拉格朗日函数拉格朗日函数拉格朗日函数拉格朗日函数4 4、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程2021/6/16412021/6/16422021/6/164318-3 拉格朗日拉格朗日(Lagrange)方程的初积分方程的初积分（1 1）循环积分（广义动量守恒）循环积分（广义动量守恒）循环积分（广义动量守恒）循环积分（广义动量守恒）（2 2）能量积分（广义能量守恒）能量积分（广义能量守恒）能量积分（广义能量守恒）能量积分（广义能量守恒） 当当
37、当当 L L 函数不显含某一广义坐标函数不显含某一广义坐标函数不显含某一广义坐标函数不显含某一广义坐标 q qj j 时，时，时，时， q qj j _称为称为称为称为循环坐标循环坐标循环坐标循环坐标，此时，有循环积分：此时，有循环积分：此时，有循环积分：此时，有循环积分： 系统主动力有势，系统主动力有势，系统主动力有势，系统主动力有势，L L 函数不显含时间函数不显含时间函数不显含时间函数不显含时间t t ，约束是定常的，约束是定常的，约束是定常的，约束是定常的，即有机构能守恒：即有机构能守恒：即有机构能守恒：即有机构能守恒：2021/6/1644O O1 1O O2 2 由能量积分得：由能
38、量积分得：由能量积分得：由能量积分得： 因因因因 L L 函数不显含函数不显含函数不显含函数不显含 ，故故故故 为为为为循环坐标，系统存在循环积分：循环坐标，系统存在循环积分：循环坐标，系统存在循环积分：循环坐标，系统存在循环积分：2021/6/1645O O1 1O O2 2 2021/6/1646 结论与讨论结论与讨论 达朗贝尔原理、虚位移原理与达朗贝尔原理、虚位移原理与 拉格朗日方程拉格朗日方程2021/6/1647 达朗贝尔原理在形式上将质点系动力学达朗贝尔原理在形式上将质点系动力学达朗贝尔原理在形式上将质点系动力学达朗贝尔原理在形式上将质点系动力学问题化为静力学平衡问题。问题化为静力
39、学平衡问题。问题化为静力学平衡问题。问题化为静力学平衡问题。 虚位移原理给出了质点系平衡的充分与虚位移原理给出了质点系平衡的充分与虚位移原理给出了质点系平衡的充分与虚位移原理给出了质点系平衡的充分与必要条件。必要条件。必要条件。必要条件。 通过达朗贝尔原理可以将虚位移原理推广通过达朗贝尔原理可以将虚位移原理推广通过达朗贝尔原理可以将虚位移原理推广通过达朗贝尔原理可以将虚位移原理推广应用于质点系的动力学问题，得到达朗贝尔应用于质点系的动力学问题，得到达朗贝尔应用于质点系的动力学问题，得到达朗贝尔应用于质点系的动力学问题，得到达朗贝尔拉格朗日方程，即第一类拉格朗日方程，又称拉格朗日方程，即第一类拉
40、格朗日方程，又称拉格朗日方程，即第一类拉格朗日方程，又称拉格朗日方程，即第一类拉格朗日方程，又称为动力学普遍方程，用于求解具有理想约束的为动力学普遍方程，用于求解具有理想约束的为动力学普遍方程，用于求解具有理想约束的为动力学普遍方程，用于求解具有理想约束的非自由质点系的动力学第二类问题，即已知主非自由质点系的动力学第二类问题，即已知主非自由质点系的动力学第二类问题，即已知主非自由质点系的动力学第二类问题，即已知主动力求运动。动力求运动。动力求运动。动力求运动。 结论与讨论结论与讨论2021/6/1648 第一类拉格朗日方程，即达朗贝尔拉格第一类拉格朗日方程，即达朗贝尔拉格第一类拉格朗日方程，即
41、达朗贝尔拉格第一类拉格朗日方程，即达朗贝尔拉格朗日方程，又称为动力学普遍方程。朗日方程，又称为动力学普遍方程。朗日方程，又称为动力学普遍方程。朗日方程，又称为动力学普遍方程。 达朗贝尔拉格朗日方程适用于具有理想约束或达朗贝尔拉格朗日方程适用于具有理想约束或达朗贝尔拉格朗日方程适用于具有理想约束或达朗贝尔拉格朗日方程适用于具有理想约束或双面约束的系统。双面约束的系统。双面约束的系统。双面约束的系统。 达朗贝尔拉格朗日方程既适用于具有定常约束达朗贝尔拉格朗日方程既适用于具有定常约束达朗贝尔拉格朗日方程既适用于具有定常约束达朗贝尔拉格朗日方程既适用于具有定常约束的系统，也适用于具有非定常约束的系统。
42、的系统，也适用于具有非定常约束的系统。的系统，也适用于具有非定常约束的系统。的系统，也适用于具有非定常约束的系统。 达朗贝尔拉格朗日方程既适用于具有完整约束达朗贝尔拉格朗日方程既适用于具有完整约束达朗贝尔拉格朗日方程既适用于具有完整约束达朗贝尔拉格朗日方程既适用于具有完整约束的系统，也适用于具有非完整约束的系统。的系统，也适用于具有非完整约束的系统。的系统，也适用于具有非完整约束的系统。的系统，也适用于具有非完整约束的系统。 达朗贝尔拉格朗日方程既适用于具有有势力的达朗贝尔拉格朗日方程既适用于具有有势力的达朗贝尔拉格朗日方程既适用于具有有势力的达朗贝尔拉格朗日方程既适用于具有有势力的系统，也适
43、用于具有无势力的系统。系统，也适用于具有无势力的系统。系统，也适用于具有无势力的系统。系统，也适用于具有无势力的系统。 结论与讨论结论与讨论2021/6/1649 第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程: :仅用动能、势能以及广义主动力等仅用动能、势能以及广义主动力等仅用动能、势能以及广义主动力等仅用动能、势能以及广义主动力等少数几个标量便可描述复杂质点系的运动。但只能用于具有少数几个标量便可描述复杂质点系的运动。但只能用于具有少数几个标量便可描述复杂质点系的运动。但只能用于具有少数几个标量便可描述复杂质点系的运动。但只能用于具有完整约束的系统。完整约束的系统。完整约束的系统。完整约束的系统。基本形式基本形式基本形式基本形式主动力有势形式主动力有势形式主动力有势形式主动力有势形式 结论与讨论结论与讨论2021/6/1650 结论与讨论结论与讨论（1 1）循环积分（广义动量守恒）循环积分（广义动量守恒）循环积分（广义动量守恒）循环积分（广义动量守恒）（2 2）能量积分（广义能量守恒）能量积分（广义能量守恒）能量积分（广义能量守恒）能量积分（广义能量守恒）2021/6/1651返回本章目录页返回本章目录页返回本章目录页返回本章目录页2021/6/1652 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！
