分类加法计数原理与分步乘法计数原理一实用教案

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1、问题问题问题问题(wnt)1(wnt)1(wnt)1(wnt)1：用一个大写的英文字母或一个阿：用一个大写的英文字母或一个阿：用一个大写的英文字母或一个阿：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？编出多少种不同的号码？编出多少种不同的号码？编出多少种不同的号码？分析分析分析分析: : 给座位编号给座位编号给座位编号给座位编号(bin ho)(bin ho)有有有有2 2类方法类方法类方法类方法, , 第一类方法第一类方法第一类方法第一类方法,

2、 , 用英文字母，有用英文字母，有用英文字母，有用英文字母，有2626种号码种号码种号码种号码; ; 第二类方法第二类方法第二类方法第二类方法, , 用阿拉伯数字，有用阿拉伯数字，有用阿拉伯数字，有用阿拉伯数字，有1010种号码种号码种号码种号码; ; 所以所以所以所以 有有有有 26 + 10 = 36 26 + 10 = 36 种不同号码种不同号码种不同号码种不同号码. .请思考请思考(sko):第1页/共32页第一页，共33页。 问题问题问题问题2 2：从甲地到乙地，可以乘火车，或者也可以乘汽车。一天中，火车有：从甲地到乙地，可以乘火车，或者也可以乘汽车。一天中，火车有：从甲地到乙地，可

3、以乘火车，或者也可以乘汽车。一天中，火车有：从甲地到乙地，可以乘火车，或者也可以乘汽车。一天中，火车有4 4 班，汽车有班，汽车有班，汽车有班，汽车有2 2班。班。班。班。那么一天中乘坐这些那么一天中乘坐这些那么一天中乘坐这些那么一天中乘坐这些(zhxi)(zhxi)交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? ?分析分析分析分析(fnx): (fnx): 从甲地到乙地有从甲地到乙地有从甲地到乙地有从甲地到乙地有2 2类方法类方法类方法类方法, , 第一类方法第一类方法第一类方

4、法第一类方法, , 乘火车，有乘火车，有乘火车，有乘火车，有4 4种方法种方法种方法种方法; ; 第二类方法第二类方法第二类方法第二类方法, , 乘汽车，有乘汽车，有乘汽车，有乘汽车，有2 2种方法种方法种方法种方法; ; 所以所以所以所以 从甲地到乙地共有从甲地到乙地共有从甲地到乙地共有从甲地到乙地共有 4 + 2 = 6 4 + 2 = 6 种方法种方法种方法种方法. .请思考请思考:第2页/共32页第二页，共33页。问题:你能否发现这两个问题有什么共同(gngtng)特征？1 1、都是要完成、都是要完成(wn chng)(wn chng)一件事一件事2 2、用任何一类、用任何一类(y l

5、i)(y li)方法都能直接完成这件方法都能直接完成这件事事3 3、都是采用加法运算、都是采用加法运算第3页/共32页第三页，共33页。分类加法计数(j sh)原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法.那么(n me)完成这件事共有N=m+n种不同的方法。2）首先要根据具体）首先要根据具体(jt)的问题确定一个分类标准，的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数.1）各类办法之间相互独立）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要计算都能独立的完成这件事，要计算方法种数方法种

6、数,只需将各类方法数相加只需将各类方法数相加,因此分类计数原理又称因此分类计数原理又称加法加法原理原理说明说明说明说明第4页/共32页第四页，共33页。例1：在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到,A,B两所大学各有一些自己(zj)感兴趣的强项专业,具体如下:A大学生物学化学医学物理学工程学B大学数学会计学信息技术学法学分 析 :两 大学 只 能 选一 所 一 专业,且 没 有共同(gngtng)的 强 项 专业54+=9第5页/共32页第五页，共33页。变式：在填写高考志愿表时变式：在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到一名高中毕业生了解到,A,B,C三所大学各有一些自己感兴趣的强项三所

7、大学各有一些自己感兴趣的强项(qingxing)专业专业,具体情况如下具体情况如下:A大学大学B大学大学生物学生物学化学化学医学医学物理学物理学工程学工程学数学数学会计学会计学信息技术学信息技术学法学法学如果这名同学如果这名同学(tng xu)只能选一个专业只能选一个专业,那么他共有多少种选择呢那么他共有多少种选择呢?C大学大学机械制造机械制造建筑学建筑学广告学广告学汉语言文学汉语言文学韩语韩语N=5+4+5=14(种种)第6页/共32页第六页，共33页。 完成一件事有三类不同方案，在第完成一件事有三类不同方案，在第1 1类方案中有类方案中有m1m1种不同的方法，在第种不同的方法，在第2 2类

8、方案中有类方案中有m2m2种种不同的方法，在第不同的方法，在第3 3类方案中有类方案中有m3m3种不同的方法。那么种不同的方法。那么(n me)(n me)完成这件事共有完成这件事共有_种方法种方法. . 做一件事情(sh qing)，完成它可以有n类方案,在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有种不同的方法N=mN=m1 1+m+m2 2+ +m+mn n N=mN=m1 1+m+m2 2+m+m3 3 第7页/共32页第七页，共33页。问题3：用前6个大写(dxi)英文字母和19个阿拉伯数字,以A1,A2,B1

9、,B2的方式给教室的座位编号.A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A99种B1234567899种6 9 =54请思考请思考(sko):第8页/共32页第八页，共33页。问题问题(wnt)4：如图：如图,由由A村去村去B村的道路有村的道路有3条，由条，由B村去村去C村的道路有村的道路有2条。从条。从A村经村经B村去村去C村，村，共有多少种不同的走法共有多少种不同的走法?A村村B村C村村北北南南中中北北南南分析分析: 从从A村经村经 B村去村去C村分村分 两两 步步, 第一步第一步, 由由A村去村去B村有村有 3 种方法种方法, 第二步第二步, 由由B村去村去C村有村有 2 种方

10、法种方法,所以从所以从A村经村经 B村去村去C村共有村共有(n yu) 3 2 = 6 种不同的方法种不同的方法请思考请思考:第9页/共32页第九页，共33页。分步乘法(chngf)计数原理 完成一件事需要两个(lin )步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=mn种不同的方法.2）首先要根据具体问题）首先要根据具体问题(wnt)的特点确定一个分步的标的特点确定一个分步的标准，然后对每步方法计数准，然后对每步方法计数.1）各个步骤相互依存）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了只有各个步骤都完成了,这件事才这件事才算完成算完成,将各个步骤的方法数相乘得到

11、完成这件事的方法总将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数数,又称又称乘法原理乘法原理说明说明说明说明第10页/共32页第十页，共33页。例2：设某班有男生30名,女生24名.现要从中选出男、女各一名代表班级(bnj)参加比赛,共有多少种不同的选法?分两步进行(jnxng)选取男女3024=720再根据(gnj)分步乘法原理若若再再要要从从语语, ,数数, ,英英三三科科科科任任老老师师中中选选出出一一名名代代表表参参加加比比赛赛, ,那那 又又 共共 有有多多少少种种选选法法? ?老师3=2160第11页/共32页第十一页，共33页。 如果(rgu)完成一件事需要三个步骤,做第1步有m

12、1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,做第3步有m3种不同的方法,那么完成这件事共有_种不同的方法.N=m1m2m3做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法(fngf)，做第二步有m2种不同的方法(fngf)，做第n步有mn种不同的方法(fngf)，那么完成这件事有_种不同的方法(fngf).N=m1m2mn 第12页/共32页第十二页，共33页。 例3：书架(sh ji)第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.(1)从书架中取1本书,有多少种不同(b tn)取法?有3类方法，根据(gnj)分类加法计数原理N=4+3+2

13、=9(2)从书架第1,2,3层各取1本书,有多少种不同取法?分3步完成,根据分步乘法计数原理N=432=24解题关键：从总体上看做这件事情是“分类完成分类完成分类完成分类完成”,还是“分步完成分步完成分步完成分步完成”.再根据其对应的计数原理计算. .第13页/共32页第十三页，共33页。解：需先分类(fn li)(fn li)再分步. .（3 3）从书架上取2 2本不同(b tn)(b tn)种的书, ,有多少种不同(b tn)(b tn)的取法? ?根据两个(lin )(lin )基本原理，不同的取法总数是 N=43+42+32=26 N=43+42+32=26第一类：从一、二层各取一本，

14、有43=1243=12种方法；第二类：从一、三层各取一本，有42=842=8种方法；第三类：从二、三层各取一本，有32=632=6种方法；答: : 从书架上取2 2本不同种的书, ,有2626种不同的取法. . 例3：书架第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.思考第14页/共32页第十四页，共33页。1有不同的中文书有不同的中文书9本，不同的英文书本，不同的英文书7本，不同的日文书本，不同的日文书5本从其中取出不是同一国文字的书本从其中取出不是同一国文字的书2本，问有多少种不同本，问有多少种不同的取法？的取法？ 2集合集合A=1,2,-3,B=-

15、1,-2,3,4 从从A,B 中各取中各取1个元素作个元素作为点为点P(x,y) 的坐标的坐标（1）可以得到多少个不同的点？）可以得到多少个不同的点？（2）这些点中，位于第一象限）这些点中，位于第一象限(xingxin)的有几个？的有几个？练一练练一练979575143(1)344324(2)22228第15页/共32页第十五页，共33页。例4 4 要从甲、乙、丙3 3幅不同的画中选出2 2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定(zhdng)(zhdng)位置，问共有多少种不同的挂法？甲乙丙解：从3 3幅画中选出2 2幅分别挂在左、右两边(lingbin)(lingbin)墙上，可以分两个步骤完成：

16、第一步，从3 3幅画中选(zhng xun)1(zhng xun)1幅挂在左边墙上，有3 3种选法；第二步，从剩下的2 2幅画中选1 1幅挂在右边墙上，有2 2种选法。根据分步计数原理，不同挂法的种数是：N=32=6.N=32=6.思考：还有其他解答本题的方法吗？第16页/共32页第十六页，共33页。例4 4 要从甲、乙、丙、3 3幅不同的画中选出2 2幅，分别挂在左、右两边(lingbin)(lingbin)墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？甲乙丙解：从3 3幅画中选出2 2幅分别(fnbi)(fnbi)挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第一步，从3 3幅画中选出2 2幅，有3

17、3种选法；（“甲、乙”，“甲、丙”，“乙、丙”）第二步，将选出的2 2幅画挂好，有2 2中挂法根据(gnj)(gnj)分步计数原理，不同挂法的种数是：N=32=6.N=32=6.第17页/共32页第十七页，共33页。分类加法计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理分步乘法计数原理相同点相同点不同点不同点用来计算用来计算(j sun)“(j sun)“完成一件事完成一件事”的方法种数的方法种数每类方案中的每一种方法每类方案中的每一种方法(fngf)(fngf)都能都能_ _ 完成这件事完成这件事每步每步_才算完成这件事情才算完成这件事情(sh (sh qing)qing)（每步中的每一种方法不能

18、独立完成（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）这件事）类类类类相加相加步步步步相乘相乘独立独立独立独立依次完成依次完成依次完成依次完成分类分类完成完成分步分步完成完成思考：思考：两个计数原理两个计数原理的共同点是什么？不同点什么？的共同点是什么？不同点什么？第18页/共32页第十八页，共33页。例5.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首个字符要求用字母AG或UZ，后两个要求用数字19，问最多可以(ky)给多少个程序命名？分析：要给一个分析：要给一个(y )程序模块命名，可以分三个步骤：第程序模块命名，可以分三个步骤：第一步，选首字符；第二步，先中间字符；第三步，选末位字符。一步，选首字符；

19、第二步，先中间字符；第三步，选末位字符。解：首字符共有解：首字符共有(n yu)7+613种不同的选法，种不同的选法，答：答：最多可以给最多可以给10531053个程序命名。个程序命名。中间字符和末位字符各有中间字符和末位字符各有9种不同的选法种不同的选法根据分步计数原理，最多可以有根据分步计数原理，最多可以有13991053种不同的选法种不同的选法第19页/共32页第十九页，共33页。例6.核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现(fxin)的化学成分，一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据，总共有个不同的碱基，分别用A，C，G

20、，U表示，在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由100个碱基组成，那么能有多少种不同的RNA分子？UUUAAACCCGGG分析分析(fnx):用用100个位置表示由个位置表示由100个碱基组成的长链，每个位置都可以从个碱基组成的长链，每个位置都可以从A、C、G、U中任选一个来占据。中任选一个来占据。第1位第2位第3位第100位4种4种4种4种解：解：100个碱基组成的长链共有个碱基组成的长链共有100个位置个位置(wi zhi)，在每个位置，在每个位置(wi zhi)中，从中，从A、C、G、U中任选一个来填入，每

21、个位置中任选一个来填入，每个位置(wi zhi)有有4种填充方法。根据分步计种填充方法。根据分步计数原理，共有数原理，共有种不同的种不同的RNA分子分子.第20页/共32页第二十页，共33页。例例7.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种状电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采用了态，而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采用了每一位只有每一位只有0或或1两种数字的计数法，即二进制，为了使计算机能两种数字的计数法，即二进制，为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行够识别字符，需要对字符进行(jnxng)编码，

22、每个字符可以用一编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由个二进制位构成，问单位，每个字节由个二进制位构成，问（1）一个字节（）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？位）最多可以表示多少个不同的字符？（2）计算机汉字国标码（）计算机汉字国标码（GB码）包含了码）包含了6763个汉字，一个汉字个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行为一个字符，要对这些汉字进行(jnxng)编码，每个汉字至少要编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？用多少个字节表示？第1位第2位第3位第8位2种2

23、种2种2种如如00000000，10000000，11111111.第21页/共32页第二十一页，共33页。开始子模块118条执行路径子模块328条执行路径子模块245条执行路径子模块543条执行路径子模块438条执行路径结束A例例8.计算机编程人员在编计算机编程人员在编写好程序以后要对程序进写好程序以后要对程序进行测试。程序员需要知道行测试。程序员需要知道到底有多少条执行路（即到底有多少条执行路（即程序从开始到结束的线），程序从开始到结束的线），以便知道需要提供多少个以便知道需要提供多少个测试数据。一般的，一个测试数据。一般的，一个程序模块又许多子模块组程序模块又许多子模块组成，它的一个具有

24、许多执成，它的一个具有许多执行路径的程序模块。问：行路径的程序模块。问：这个程序模块有多少条执这个程序模块有多少条执行路径？另外为了行路径？另外为了(wi le)减少测试时间，程序员减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数，需要设法减少测试次数，你能帮助程序员设计一个你能帮助程序员设计一个测试方式，测试方式，以减少测试次数吗？以减少测试次数吗？第22页/共32页第二十二页，共33页。开始子模块118条执行路径子模块328条执行路径子模块245条执行路径子模块543条执行路径子模块438条执行路径结束A分析：整个模块的任意分析：整个模块的任意一条路径都分两步完成：一条路径都分两步完成：第第1步是

25、从开始执行到步是从开始执行到A点；第点；第2步是从步是从A点执点执行到结束。而第步可由行到结束。而第步可由子模块子模块1或子模块或子模块2或或子模块子模块3来完成；第二来完成；第二步可由子模块步可由子模块4或子模或子模块块5来完成。因此，分来完成。因此，分析一条指令在整个模块析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两的执行路径需要用到两个个(lin )计数原理。计数原理。第23页/共32页第二十三页，共33页。开始子模块118条执行路径子模块328条执行路径子模块245条执行路径子模块543条执行路径子模块438条执行路径结束A再测试各个模块之间的信再测试各个模块之间的信息交流是否正常，需要测息

26、交流是否正常，需要测试的次数试的次数(csh)为：为：3*2=6。如果每个子模块都正常工如果每个子模块都正常工作，并且各个子模块之间作，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么的信息交流也正常，那么整个程序模块就正常。整个程序模块就正常。这样，测试整个这样，测试整个(zhngg)模块的次模块的次数就变为数就变为 172+6=178（次）（次）2）在实际测试）在实际测试(csh)中，中，程序员总是把每一个子模程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试子模块的方式来测试(csh)整个模块。这样，整个模块。这样，他

27、可以先分别单独测试他可以先分别单独测试(csh)5个模块，以考察个模块，以考察每个子模块的工作是否正每个子模块的工作是否正常。总共需要的测试常。总共需要的测试(csh)次数为：次数为：18+45+28+38+43=172。第24页/共32页第二十四页，共33页。例例9.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌照组成汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有个不重复的英文字母和个不办法，每一个汽车牌照都必须有个不重复的英文字母和个不重复的

28、阿拉伯数字重复的阿拉伯数字(shz)，并且个字母必须合成一组出现，并且个字母必须合成一组出现，个数字个数字(shz)也必须合成一组出现，那么这种办法共能给多也必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照少辆汽车上牌照?第25页/共32页第二十五页，共33页。练习练习1 1、 (1) (1) 五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少(dusho)(dusho)？(2)(2)五名学生争夺四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少五名学生争夺四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少(dusho)(dusho)种

29、？种？ 解：（解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学生都有个学生都有4种报名方法，种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成名学生都报了项目才能算完成这一事件故报名方法种数为这一事件故报名方法种数为44444= 种种 .（2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种种故有故有n=5= 种种 .补充(bchng)练习：第26页/共32页第二十六页，共33页。 在所有(suyu)的两位数中,个位数字大于十位

30、数字的两位数共有多少个？ 分析分析分析分析1: 1: 按个位数字是按个位数字是按个位数字是按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,92,3,4,5,6,7,8,9分成分成分成分成8 8类类类类, ,在每一类中满足条件的两位数分别是在每一类中满足条件的两位数分别是在每一类中满足条件的两位数分别是在每一类中满足条件的两位数分别是: : 1 1个个个个,2,2个个个个,3,3个个个个,4,4个个个个,5,5个个个个,6,6个个个个,7 ,7 个个个个,8 ,8 个个个个. .根据加法根据加法根据加法根据加法(jif)(jif)原理共有原理共有原理共有原理共有 1+2+3+4+5+6+7+ 8 =36

31、 ( 1+2+3+4+5+6+7+ 8 =36 (个个个个). ).分析分析分析分析2: 2: 按十位数字是按十位数字是按十位数字是按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,81,2,3,4,5,6,7,8分成分成分成分成8 8类类类类, ,在每一类中满足条件的两位数分别是在每一类中满足条件的两位数分别是在每一类中满足条件的两位数分别是在每一类中满足条件的两位数分别是: : 8 8个个个个,7,7个个个个,6,6个个个个,5,5个个个个,4,4个个个个,3,3个个个个,2,2个个个个,1,1个个个个. .根据加法根据加法根据加法根据加法(jif)(jif)原理共有原理共有原理共有原理共有 8+7

32、+6+5+4+3+2+1 = 36 ( 8+7+6+5+4+3+2+1 = 36 (个个个个) )练习2十位个位第27页/共32页第二十七页，共33页。练习练习3. 由数字由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有可以组成多少个没有(mi yu)重复数字的三位偶数？重复数字的三位偶数？ 答：符合(fh)题意的没有重复数字的三位偶数共有 544444=52（个）。 或者(huzh) 54244=52（个）。第28页/共32页第二十八页，共33页。何时用加法原理(yunl)、乘法原理(yunl)呢?加法(jif)原理完成一件事情有n类不同的方案,若每一类方案中的任何一种(y zhn)方法均能将

33、这件事情从头至尾完成.乘法原理完成一件事情有n个步骤,若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成互相独立的这n步后,才能完成这件事.分类要做到“不重不漏”分步要做到“步骤完整”第29页/共32页第二十九页，共33页。解答(jid)计数问题的一般思维过程：完成完成(wn chng)一件什么事一件什么事如何完成这件事如何完成这件事利用加法原理进行计数利用加法原理进行计数方法方法的分类的分类过程过程的分步的分步利用乘法原理进行计数利用乘法原理进行计数第30页/共32页第三十页，共33页。描述分类计数(jsh)原理和分步计数(jsh)原理的诗：两大原理妙无穷，解题应用各不同；多思(dus)慎密最重要，茫茫数理此中求。第31页/共32页第三十一页，共33页。感谢您的观赏(gunshng)第32页/共32页第三十二页，共33页。内容(nirng)总结问题1：用一个大写的英文字母或一个阿。问题:你能否发现这两个问题有什么共同特征。分析:两大学只能选一所一专业,且没有共同的强项专业。解：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：。根据分步计数原理，不同挂法的种数是：N=32=6.。中间字符和末位字符各有9种不同的选法。例6.核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞(xbo)中发现的化学成分，一个RNA分子。感谢您的观赏第三十三页，共33页。