《第五讲空间问题有限元分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第五讲空间问题有限元分析（41页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、某拒界滇励某吗继吕外氓援烹滥坛奇示卒颓沃翼返兄上九歪怔锰坏从借壮第五讲空间问题有限元分析第五讲空间问题有限元分析第一节第一节第一节第一节 四面体单元单元分析四面体单元单元分析四面体单元单元分析四面体单元单元分析 空间问题的有限元法，与平面问题有限元法的原理和解题过程是类似的。即将空间结构划分为有限个单元,通过单元分析得到单元的刚度矩阵，采用刚度组集方法，形成整体刚度矩阵，再确定等效载荷列阵，从而得到整体刚度方程,经过约束条件处理并求解方程得到问题的解。本节采用最简单的空间单元，即四面体单元，进行空间问题的有限元分析。一、单元划分及位移模式一、单元划分及位移模式采用四面体单元处理弹性力学空间问题
2、时，首先将要研究的空间结构划分为一系列有限个不相互重叠的四面体。每个四面体为一个单元，四面体的顶点即为结点。这样连续空间结构就被离散为由四面体单元所组成的有限元网格。返回返回返回返回作襄镁颠要逐埃窍琵菩御衰饮蔓源南烩较幕惭琉洲豹唇诀颗裹挨荤已驯屋第五讲空间问题有限元分析第五讲空间问题有限元分析图 1 空 间 四 面 体 单 元 (1)xzyijmn如图1所示的四面体单元，单元结点的编码为i, j, m, n。每个结点的位移具有三个分量u, v, w。这样单元结点的位移列阵可表示成：返回返回返回返回撬瓶拴赘驭菠驻拌冶屈熏航私搁涝烁尘沧抨然斋卤札哺同枢请型犯膳哟夷第五讲空间问题有限元分析第五讲空间
3、问题有限元分析单元的位移模式采用线性多项式(2)式中，为待定系数，由单元结点的位移和坐标决定。将四个结点的坐标（xi, yi, zi）、（xj, yj, zj）、（xm, ym, zm）、（xn, yn, zn）和结点位移（ui, vi, wi）、（uj, vj, wj）、（um, vm, wm）、（un, vn, wn）代入（2）式可得12个联立方程，解方程组便可求出。将这十二个系数回代到（2）式，则得到由结点位移和形函数表示的单元内任一点的位移表达式：返回返回返回返回宽诌质俯凭变瑟库国奔印始秘考档挎憨烯迸唤灾春潍雪寅跌分媚颠赌宾至第五讲空间问题有限元分析第五讲空间问题有限元分析(3)式中(
4、4)Ni，Nj，Nm，Nn为四面体单元的形函数返回返回返回返回约抡冀黍叔靠悠排谓帘餐凄热彰个湖辱咎珊显换禾矾苗店孺麻凰完蒸窘设第五讲空间问题有限元分析第五讲空间问题有限元分析其中的系数（i, j, m, n）V是四面体的体积，为了使V不为负值，单元的四个结点i, j, m。返回返回返回返回屡汰抱拖孽与俯盟粘故夹棚闽舔锦服上阻谅抬鲍怪游馆幌织泊蔓音虱襟囤第五讲空间问题有限元分析第五讲空间问题有限元分析n必须按顺序标号：在右手坐标系中，使得右手螺旋在按照i,j, m的转向转动时向n方向前进，见图1。（3）式可以用矩阵形式表示：(5)式中，I为三阶单位阵，N为形函数矩阵。上式即为单元结点位移和单元任
5、意点位移之间的关系。返回返回返回返回条朵脆白茂莱畸政狮骑郑匀保终套摊遮引佳袍妹树泄缩辙潞祭枢租栓退遇第五讲空间问题有限元分析第五讲空间问题有限元分析二、单元应变和应力单元应变和应力知道单元内任意一点位移后，可利用几何方程确定单元内该点的应变。将（5）式代入空间问题几何方程得：(6)其中( i, j, m, n)(7)返回返回返回返回粮亨贷税批阶峻汝渐去此屹毡白阉樱瞄谜啊淆谆土专箭傣袜杨宵哭网诈建第五讲空间问题有限元分析第五讲空间问题有限元分析上式表明几何矩阵B中的元素都是常量，因此单元中的应变也是常量。也就是说，采用线性位移模式的四面体单元是常应变单元。将（6）式代入物理方程，就得到单元的应力
6、列阵：(8)式中：S为四面体单元的应力矩阵，其分块形式为：（i, j, m, n）(9)返回返回返回返回簿池摩狭很差绦闰遥瞒痰愤孜读或斌洲秽租娄蹬莱嘻后瘪谗汕抉慈取由才第五讲空间问题有限元分析第五讲空间问题有限元分析其中显然单元中的应力也是常量。因此，四面体单元是常应力单元。三、单刚矩阵三、单刚矩阵对于四面体单元，利用虚功原理，采用类似平面问题的处理方法可以得到其单刚矩阵(10)返回返回返回返回瘸咬郭耀魄侠稀裕杭既汐拐簧浦堤垛激钦巢湿做径龋铂淖唾崔窍战想拷专第五讲空间问题有限元分析第五讲空间问题有限元分析其中：Ke为单元刚度矩阵(11)写成分块形式为(12)返回返回返回返回供拌缆乍纱溜停展旧舱
7、陶沁漏褥狂提坠紫敖摊舌嘱哥西疽利谷踞睦伎同赎第五讲空间问题有限元分析第五讲空间问题有限元分析式中子矩阵 Krs由下式计算（r, s=i, j, m, n） (13)可以看出， 单元刚度矩阵是由单元结点的坐标和单元材料的弹性常数所决定的，是一个常数矩阵。如果将空间弹性体划分为ne个单元和n个结点，再经过类似于平面问题的组集过程，就可以得到弹性空间问题的平衡方程(14)返回返回返回返回逆姨鄙恭条豫沁零解买伶琳越搬酌裂氨牢蛹喻宦估目仇淤祝遂捐痪奇涝忱第五讲空间问题有限元分析第五讲空间问题有限元分析式中，为整体结构结点载荷列阵；为整体结构单元位移列阵；为整体刚度矩阵。整体刚度矩阵由单元刚度矩阵组集得到
8、(15)显然有(16)四面体空间单元的整体刚度矩阵K同样是对称、带状、稀疏矩阵。在消除刚体位移后，它是正定的。返回返回返回返回门比蝴肖幸迁莫弊腐吓颗殉休分彤逆乎椰贿区销府够撼狐墓吾炸棚芹细秽第五讲空间问题有限元分析第五讲空间问题有限元分析第二节第二节第二节第二节 等效结点载荷等效结点载荷等效结点载荷等效结点载荷 (17)1集中力的等效结点载荷集中力的等效结点载荷(18)其中任意结点i上的结点载荷(19)式中，是作用在单元e上的集中力； (Ni)c是形函数Ni在集中力作用点处的取值。与平面问题相似，整体结构结点载荷列阵也是通过将作用在单元上的集中力，表面力和体积力分别等效移置到结点后，经过组集得
9、到返回返回返回返回憋匈棍辉岂仁封籽魁艰确渍株扑颤涤室雌罗至他缩诚择姚轨找搽业商金觅第五讲空间问题有限元分析第五讲空间问题有限元分析2 表面力的等效结点载荷表面力的等效结点载荷 (20)其中任意结点i上的结点载荷(21)式中， 是作用在单元e单位面积上的表面力。3 体积力的等效结点载荷体积力的等效结点载荷(22)其中任意结点i上的结点载荷(23)式中，是作用在单元e单位体积上的体积力。返回返回返回返回抬限谱插柄侈浓奶愉恰土黔吕鸥跋纂茅贰谈换孜锡疗归瘫擒和颐棉贩表逃第五讲空间问题有限元分析第五讲空间问题有限元分析2 空间空间8节点等参单元单元节点等参单元单元 一、形函数与坐标变换 1）形函数2)坐
10、标变换 图2址端有污辆岸琴帅抽棚悦恰疙摩长贡隙贝龟哟利幅螺象知岛后韶时恭走牌第五讲空间问题有限元分析第五讲空间问题有限元分析二、位移插值函数与几何矩阵 简记为 ：图3流太谭喻架纫雄盎漾爹袭少爸行虑怯偶棱患学事瑶瑶矢粹炉吼谓邯朝聊脉第五讲空间问题有限元分析第五讲空间问题有限元分析三、单元刚度矩阵与等效节点载荷向量 房巴话孺尸摆颇敢瑶享廊淬类垂蛊讼出检差旁问敢厄岿州豁骋澡妇糙甭霉第五讲空间问题有限元分析第五讲空间问题有限元分析 需要注意 不是x、y的显式函数，需要用隐函数 求导的连锁规则： 报紫房罢处蝗嫁危栽胯帐恒努辣粪珊憎骤爱碴琐钡评棕溅呼邹重泻拽灶旧第五讲空间问题有限元分析第五讲空间问题有限元
11、分析写成矩阵形式有： 愧呐塔拌泌菠骏洞奠循凌坏致真洱域炮嫌汹粤毕棵洒搁撮摘状斑徒览焙切第五讲空间问题有限元分析第五讲空间问题有限元分析其中 ：称jacobi矩阵所以有 ：实际应用时一般只计算上式的数值解 。统藐黑垦游厨诀钎侗绕标涌拳醒纷婚贼缮寥男旧感胆柬棠敷食满及番畜浇第五讲空间问题有限元分析第五讲空间问题有限元分析单元刚度矩阵可以表示为：将上式中的 替换为 则有：进一步写成数值积分形式为：烈霓财隆赂阐肛耪话假大乐罢擎西钠整摧藉诱痘斤蛮期涡俭掺翟殆市襄乖第五讲空间问题有限元分析第五讲空间问题有限元分析边界连续性讨论：边界连续性讨论： 8节点单元为协调单元。 单元体力载荷向量可以表示为 写成高斯
12、积分形式为 瓦胺悯刚绘里胖揣坐止熔溅姓徘撑问膘畴钥刁艰蔷戮霸炎捻锡宅禁励眷悯第五讲空间问题有限元分析第五讲空间问题有限元分析第三节第三节第三节第三节 轴对称问题的弹性力学基本方程轴对称问题的弹性力学基本方程轴对称问题的弹性力学基本方程轴对称问题的弹性力学基本方程 轴对称问题是弹性力学空间问题的一个特殊情况。如果弹性体的几何形状、约束以及外载荷都对称于某一轴，则弹性体内各点所有的位移、应变及应力也都对称于此轴，这类问题称为轴对称问题。在离心机械、压力容器、矿山井架等中经常遇到轴对称问题。图4 轴对称结构返回返回返回返回拆亮仆丫涌砾份咆拜滁狱增鞘痞祈逛离亿匪夹猴岿箩馈奢绷茸莫沼铜躁桅第五讲空间问题
13、有限元分析第五讲空间问题有限元分析 轴对称结构体可以看成由任意一个纵向剖面绕着纵轴旋转一周而形成。此旋转轴即为对称轴，纵向剖面称为子午面，如图4表示一圆柱体的子午面abcd被分割为若干个三角形单元，再经过绕对称轴旋转，圆柱体被离散成若干个三棱圆环单元，各单元之间用圆环形的铰链相连接。对于轴对称问题，采用圆柱坐标较为方便。以弹性体的对称轴为z轴，其约束及外载荷也都对称于z轴，因此弹性体内各点的各项应力分量、应变分量和位移分量都与环向坐标无关，图4 轴对称结构返回返回返回返回斥排哮恐阶苔曲瘤闭瘤昔达婚蔬瘫俏忱验盯糕和挨沂凝仇绰攫淮氢础哄爷第五讲空间问题有限元分析第五讲空间问题有限元分析只是径向坐标
14、r和轴向坐标z的函数。也就是说，在任何一个过z轴的子午面上的位移、应变和应力的分布规律都相同。因此轴对称问题可把三维问题简化为以（z，r）为自变量的二维问题。 由于轴对称性，弹性体内各点只可能存在径向位移u和轴向位移w。此时，位移u、w只是r、z的函数，而环向位移v=0。即：（5-1）返回返回返回返回椎追催汀芥式缨逐亨岂捕捣陛诽缘劣邱陛潞由畅壁俘窖透呜盯宠虫柑没倡第五讲空间问题有限元分析第五讲空间问题有限元分析轴对称问题的物理方程可写为：（5-2）其中：D为轴对称问题弹性体的弹性矩阵返回返回返回返回棘挞笨魁檄锡费宝歼瓦吗孔匣配踩枕镑户唤们议希邯谱水淀迫赏同圭相阅第五讲空间问题有限元分析第五讲空
15、间问题有限元分析第二节第二节第二节第二节 单元分析单元分析单元分析单元分析 由于轴对称性，我们只需分析任意一个子午面上的位移、应力和应变情况。其有限元分析计算步骤和平面问题相似。首先进行结构区域的有限元剖分。采用的单元是三角形、矩形或任意四边形环绕对称轴z旋转一周而得到的整圆环，通常采用的单元是三角形截面的整圆环。在单元类型确定之后，单元剖分可以在子午面内进行，如图5-1表示的abcde子午面被分割为若干个三角形，绕对称轴z旋转后即形成若干个三棱圆环单元。一、单元剖分及位移模式一、单元剖分及位移模式返回返回返回返回氟坠更稀肪锈猜结帖镑画鹤活桨茬刹胰呀醇惧经煞腮琅险鳖省偿似酌哨丈第五讲空间问题有
16、限元分析第五讲空间问题有限元分析这样，各单元在子午面rz平面上形成三角形网格，就如同平面问题中在xy平面上的网格一样。采用位移法有限元分析，其基本未知量为结点位移。单元的结点位移列阵如下：rrii图5mjrjrmvuz 相邻的单元由圆环形的铰链相连接。单元的棱边都是圆，故称为结圆。每个结圆与rz平面的交点称为结点结点。如图5中的 i, j, m点。返回返回返回返回僳衍膜迫羌女芒掷砾狙添酿缄卿稽宠反掐酬溢鬃该满漆赁走股腆场煎琉帝第五讲空间问题有限元分析第五讲空间问题有限元分析（5-3） 对于每一个环形单元，需要假定其位移模式。仿照平面三角形单元，取线性位移模式 类似于平面三角形单元的推导，即将单
17、元的结点坐标 及结点位移 代入式（5-4）中,可以解出六个待定系数 。再将这些待定系数回代到式（5-4）中，就可以得到由结点位移和形函数所表示的单元内任一点的位移表达式（5-5）（5-4）返回返回返回返回戈旨曼观槽弄钳棵滚卉酌蔫冕萤颅辑觅多赘固烂邵于基鳃囊葡深翰祥钞儿第五讲空间问题有限元分析第五讲空间问题有限元分析其中形函数（5-6）而（5-7）（5-8）（5-9）（5-10）返回返回返回返回寂三奏钧祟港熙殷窥醚呻讫至漓绿亢羔夹谆瞩窃焰孩材槛粳受夹熊鞭颊玫第五讲空间问题有限元分析第五讲空间问题有限元分析（5-5）式也可以写成矩阵形式(5-11)其中：I为二阶单位矩阵因此，形函数矩阵的表达式为返
18、回返回返回返回龙困敲营白诈诊跳唬迷彻戎宽寺航洽曹豢叁销焙川说讫元净产幢斤碎艘雁第五讲空间问题有限元分析第五讲空间问题有限元分析二、单元应变与应力二、单元应变与应力 为了将单元任意点的应变和应力用结点位移表示，可按以下步骤推导。 将式（5-5）代入轴对称问题的几何方程，便得到单元体内的应变，即（5-12）返回返回返回返回昨本排交挂捻狄影恒涟越摘默族迹谎燎酬贩烈惟痹两鳖忠狞尺厢左腥勒壮第五讲空间问题有限元分析第五讲空间问题有限元分析式中（i，j，m）上式可简写成（5-13）其中 B为三角形断面环元的应变矩阵，它可写成分块矩阵形式B=Bi Bj Bm（ i，j，m）返回返回返回返回糊垮联帧忽匡浩蚀朝
19、嘘慕灵善泄粒吹达惶站框蒲滩胡磷嘿焦统贴瀑长讳贫第五讲空间问题有限元分析第五讲空间问题有限元分析可以看出，单元中的应变分量，都是常量，但是环向应变不是常量，而是坐标r和z的函数。为了简化计算和消除由于结点落在对称轴上使r = 0而引起的计算溢出，通常采用单元的形心坐标值 来近似代替（5-12）中的r，z值，即令于是有限元网格确定后，各单元的就是定值。这样就可以把轴对称问题的各单元看成是常应变矩阵，所求得的应变是形心处的应变值。当轴对称结构的单元划分比较小时，这种近似所引起的误差是很小的。特别当结构上各单元的形心离Z轴较远时，产生的误差就更小了。返回返回返回返回喜躺闯婚晰哈欠尼侄纂蓑脉盗涌嘎骑障卡
20、埂篓贾秒奏揪城钵玩坯添昏畸魄第五讲空间问题有限元分析第五讲空间问题有限元分析 单元的各应力分量可通过将式（5-12）代入轴对称问题的物理方程得到（5-14）式中：S是三角形截面环形单元的应力矩阵。它的子矩阵为返回返回返回返回颗勃讶曼析墨踞涨自胳恍创胀壳蹄下皑镭使锣摘碱干疲郁武顽刁火的饱害第五讲空间问题有限元分析第五讲空间问题有限元分析其中 从（5-14）式可知，只有剪应力在单元中是常数，而其他三个正应力在单元中都不是常数，与坐标r和z有关。同样采用形心坐标和来代替，每个单元近似地被当作常应力单元，所求得的应力是单元形心处的应力近似值。返回返回返回返回弹醇毫五丛也坊紫粤彭咋裙钟柬穿甚迅甩焦我丹瘸
21、曾恕役骡乃揣硼藉柄龋第五讲空间问题有限元分析第五讲空间问题有限元分析三、单元刚度矩阵三、单元刚度矩阵 运用虚功原理来求导轴对称问题结构上任何单元的刚度矩阵。 单元在结点力的作用下处于平衡状态，结点力列阵为假设单元e的三个结点的虚位移为单元任一点的虚位移为单元的虚应变为（5 -15） （5-16）返回返回返回返回扎菌区忿恰缩氯劲壹瘴腮磕帝奈裕貌雷机棋励另葱蔚全每溢篆傈掐宣楞驼第五讲空间问题有限元分析第五讲空间问题有限元分析 根据虚功原理，三角形断面形状的单元体所吸收的虚应变能等于单元结点力所做的虚功（5-17）上式等号左边为单元结点力所作的虚功，与平面问题不同的是这里所说的结点力是指作用在整个结
22、圆上的力，等式右边是指整个三角形环状单元中应力的虚功。将（5-14）式和（5-16）式代入（5-17）式，则得（5-18）返回返回返回返回判皿登镰尧岔阳撒扒柏跺坊毒孔蕴匿灿止玩拽渝育迟颠况帧坍离即填膀谷第五讲空间问题有限元分析第五讲空间问题有限元分析由于虚位移列阵 是任意给定的，所以有式中， 就是单元刚度矩阵写成分块形式，则为（5-19）（5-20）（5-21）返回返回返回返回美图粤泛柳躺页纷峰服难傍当找悲并锰苗茵亭歪顷咙宅艾苫识札巾舵擂购第五讲空间问题有限元分析第五讲空间问题有限元分析其中每个子矩阵为在轴对称问题中，矩阵B不是常数而是坐标r, z的函数，所以（5-22）式的积分运算比平面问题要复杂得多。为了简化计算仍取单元形心的坐标 代替矩阵B中的坐标r, z，得到一个近似的单元刚度矩阵。此时，（5-22）式可以写成（5-22）（5-23）上式也可以写成（5-24）返回返回返回返回俞掌淌汤桩侯斩冒鬼镊拈竟菩隶塔骚陆早痹雷谰谎蜘暴箭呢稻为竭汛斑数第五讲空间问题有限元分析第五讲空间问题有限元分析
