《高中数学第二章平面向量2.2从位移的合成到向量的加法2.2.2向量的减法课件2北师大版必修》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章平面向量2.2从位移的合成到向量的加法2.2.2向量的减法课件2北师大版必修（53页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2.22.2.2向量的减法向量的减法【知知识提提炼】1.1.相反向量及性相反向量及性质相反相反向量向量 定义定义 与与a长度长度_、方向、方向_的向量，叫的向量，叫作作a的相反向量，记作：的相反向量，记作：_. _. 性质性质 (1)-(-(1)-(-a)=_.)=_.(2)(2)如果如果a，b是互为相反的向量，那么是互为相反的向量，那么a=_=_，b=_=_，a+ +b=_.=_.(3)(3)a- -b= =a+_.+_.(4)(4)零向量的相反向量仍是零向量的相反向量仍是_._.相等相等相反相反- -aa- -b- -a0(-(-b) )零向量零向量2.2.向量的减法及几何意向量的减法
2、及几何意义向量的减法向量的减法 向量向量a加上向量加上向量b的的_,_,叫作叫作a与与b的的差差, ,即即a- -b= =a+(-+(-b),),求两个向量差的运算求两个向量差的运算, ,叫作叫作向量的减法向量的减法. . 向量减法向量减法的几何意义的几何意义 如图，设如图，设则则 = =a- -b，即，即a- -b表示从表示从_的终点的终点B B指向指向_的终点的终点A A的向量的向量. .相反向量相反向量向量向量b被减向量被减向量a【即即时小小测】1.1.思考下列思考下列问题: :(1)(1)任何向量与其相反向量共任何向量与其相反向量共线吗? ?提示提示: :共线共线. .如果该向量为零向
3、量如果该向量为零向量, ,其相反向量也是零向量其相反向量也是零向量, ,零向量与任零向量与任何向量共线何向量共线; ;如果该向量不是零向量如果该向量不是零向量, ,该向量与其相反向量方向相反该向量与其相反向量方向相反, ,所以共线所以共线. .(2)(2)向量的加法运算律适用于向量的减法向量的加法运算律适用于向量的减法吗? ?提示提示: :适用适用. .向量的减法可以借助于相反向量转化为向量的加法运算向量的减法可以借助于相反向量转化为向量的加法运算, ,因此适用因此适用. .2. =2. =( () ) 【解析解析】选选B. B. 3.3.在在ABCABC中中, , 则 = =( () )A.
4、a-bA.a-b B.bB.b-a -a C.a+bC.a+b D.-a-b D.-a-b【解析解析】选选D.D.因为因为 4.4.在在ABCABC中中,D,D是是BCBC的中点的中点, ,设 则d- -a=_.=_.【解析解析】如图如图, , 答案答案: :c5.5.已知平行四已知平行四边形形ABCDABCD的的对角角线相交于点相交于点O,O,且且 则 =_.( =_.(用用a, ,b表示表示) )【解析解析】如图如图, , =-=-a- -b. .答案答案: :- -a- -b【知识探究知识探究】知知识点点 向量的减法向量的减法观察如察如图所示内容所示内容, ,回答下列回答下列问题: :问
5、题1:1:向量的相反向量是怎向量的相反向量是怎样定定义的的? ?有何性有何性质? ?问题2:2:如何如何进行向量的减法运算行向量的减法运算? ?运算法运算法则是什么是什么? ?【总结提升提升】1.1.相反向量的意相反向量的意义(1)(1)在相反向量的基在相反向量的基础上上, ,可以通可以通过向量加法定向量加法定义向量减法向量减法. .(2)(2)为向量的向量的“移移项”提供依据提供依据. .利用利用(-(-a)+)+a= =0在向量等式的两端加上某在向量等式的两端加上某个向量的相反向量个向量的相反向量, ,实现向量的向量的“移移项”. .例如例如, ,由由a+ +b= =c+ +d可得可得a-
6、 -c= =d- -b. .2.2.对相反向量的三点相反向量的三点说明明(1)(1)a与与- -a互互为相反向量相反向量. .(2)(2)相反向量与方向相反的向量不是同一个概念相反向量与方向相反的向量不是同一个概念, ,相反向量是方向相反相反向量是方向相反的向量的向量, ,反之不成立反之不成立. .(3)(3)相反向量与相反数是两个不同的概念相反向量与相反数是两个不同的概念, ,相反数是两个数符号相反相反数是两个数符号相反, ,绝对值相等相等; ;相反向量是方向相反相反向量是方向相反, ,模模长相等的两个向量相等的两个向量. .3.3.对向量减法的理解向量减法的理解(1)(1)实质: :向量减
7、法的向量减法的实质是向量加法的逆运算是向量加法的逆运算. .(2)(2)应用用: :利用相反向量的定利用相反向量的定义, ,把其中减向量的方向把其中减向量的方向变为与原方向相与原方向相反反, ,大小不大小不变就可以把减法化就可以把减法化为加法加法. .在用三角形法在用三角形法则作两个共起点的作两个共起点的向量减法向量减法时, ,只要只要记住住“连接两向量接两向量终点点, ,箭箭头指向被减向量指向被减向量”即可即可. .4.4.非零向量非零向量a, ,b的差向量的不等式的差向量的不等式(1)(1)当当a, ,b不共不共线时, ,如如图, ,作作 因因为在三角形中两在三角形中两边之和大于第三之和大
8、于第三边, ,于是于是| |a- -b|b|,|,则a- -b与与a, ,b同向同向( (如如图),),于是于是| |a- -b|=|=|a|-|-|b|.|.若若| |a|b|,|,则a- -b与与a, ,b反向反向( (如如图),),于是于是| |a- -b|=|=|b|-|-|a|.|.(3)(3)当当a, ,b共共线且反向且反向时, ,a- -b与与a同向同向, ,与与b反向反向. .于是于是| |a- -b|=|=|a|+ |+ |b|(|(如如图).).可可见, ,对任意两个非零向量任意两个非零向量, ,总有下列向量不等式成立有下列向量不等式成立: :|a|-|-|b|a- -b|
9、a|+|+|b|.|.【题型探究题型探究】类型一型一 向量减法的几何意向量减法的几何意义【典例典例】1.1.如如图, ,在梯形在梯形ABCDABCD中中,ADBC,AC,ADBC,AC与与BDBD交于交于O O点点, ,则 =_. =_.2.2.如如图所示所示,O,O为ABCABC内一点内一点, , 求作求作: :b+ +c- -a. .【解解题探究探究】1.1.两个向量作差的前提条件是什么两个向量作差的前提条件是什么? ?提示提示: :前提条件是两向量同起点前提条件是两向量同起点. .2.2.题2 2中三个向量有何共同的特点中三个向量有何共同的特点? ?提示提示: :三个向量同起点三个向量同
10、起点. .【解析解析】1. 1. 答案答案: :2.2.方法一方法一: :以以 为邻边作为邻边作OBDC,OBDC,连接连接OD,AD,OD,AD,则则 方法二方法二: :作作 连接连接AD,AD,则则 【方法技巧方法技巧】利用向量减法利用向量减法进行几何作行几何作图的方法的方法(1)(1)已知向量已知向量a, ,b, ,如如图所示所示, ,作作 利用向量减法的三利用向量减法的三角形法角形法则可得可得a- -b, ,利用此方法作利用此方法作图时, ,把两个向量的起点放在一起把两个向量的起点放在一起, ,则这两个向量的差是以减向量的两个向量的差是以减向量的终点点为起点起点, ,被减向量的被减向量
11、的终点点为终点的点的向量向量. .(2)(2)利用相反向量作利用相反向量作图, ,通通过向量求和的平行四向量求和的平行四边形法形法则作出作出a- -b. .如如图所示所示, ,作作 【拓展延伸拓展延伸】向量加法与减法的几何意向量加法与减法的几何意义的的联系系(1)(1)如如图所示所示, ,平行四平行四边形形ABCDABCD中中, ,若若 (2)(2)类比比|a|-|-|b|a+ +b|a|+|+|b|.|.可知可知|a|-|-|b|a- -b| | |a|+|+|b|.|.【变式式训练】如如图, ,已知向量已知向量a, ,b, ,c不共不共线, ,求作向量求作向量a+ +b- -c. .【解析
12、解析】方法一方法一: :如图如图, ,在平面内任取一点在平面内任取一点O,O,作作 再作再作 方法二方法二: :如图如图, ,在平面内任取一点在平面内任取一点O,O,作作 再作再作 = =c, ,连接连接OC,OC,则则 = =a+ +b- -c. .类型二型二 用已知向量表示其他向量用已知向量表示其他向量【典例典例】平行四平行四边形中形中, , 用用a, ,b表示向量表示向量 【解解题探究探究】如何建立被表示的向量与已知向量如何建立被表示的向量与已知向量间的的联系系? ?提示提示: :由向量加法的平行四边形法则及向量减法的三角形法则可得由向量加法的平行四边形法则及向量减法的三角形法则可得.
13、.【解析解析】由平行四边形法则得由平行四边形法则得: : 【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换条件、改条件、改变问法法) )平行四平行四边形中形中, , 当当| |a|=|=|b| |时, ,试判断判断 的关系的关系. .【解析解析】由平行四边形法则得由平行四边形法则得: : 因为因为| |a|=|=|b|,|,所以四边形为菱形所以四边形为菱形, ,所以所以 互相垂直互相垂直. .2.(2.(改改变问法法) )本例条件不本例条件不变, ,当当a,ba,b满足什么条件足什么条件时,|,|a+ba+b| |与与|a-b|a-b|相相等等? ?【解析解析】由平行四边形法则知由平行四边形法则知, ,
14、因为因为AC,BDAC,BD为平行四边形的两条对角线为平行四边形的两条对角线, ,所以要使所以要使| |a+ +b|=|=|a- -b|,|,需四边形是需四边形是矩形矩形, ,故当故当a, ,b垂直时垂直时,|,|a+ +b| |与与| |a- -b| |相等相等. .【方法技巧方法技巧】利用已知向量表示其他向量的一个关利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意及三点注意(1)(1)一个关一个关键一个关一个关键是确定已知向量与被表示向量的是确定已知向量与被表示向量的转化渠道化渠道. .(2)(2)三点注意三点注意注注意意相相等等向向量量、相相反反向向量量、共共线向向量量以以及及构构成成三三角
15、角形形三三向向量量之之间的的关系关系. .注意注意应用向量加法、减法的几何意用向量加法、减法的几何意义以及它以及它们的运算律的运算律. .注意在封注意在封闭图形中利用多形中利用多边形法形法则. .【补偿训练】设O O是是ABCABC内一点内一点, ,且且 若以若以线段段OA,OBOA,OB为邻边作平行四作平行四边形形, ,第四个第四个顶点点为D,D,再以再以OC,ODOC,OD为邻边作平作平行四行四边形形, ,其第四个其第四个顶点点为H.H.试用用a, ,b, ,c表示表示 【解析解析】由题意可知四边形由题意可知四边形OADBOADB为平行四边形为平行四边形, ,所以所以 = =a+ +b,
16、,所以所以 = =c-(-(a+ +b)=)=c- -a- -b. .又四边形又四边形ODHCODHC为平行四边形为平行四边形, ,所以所以 = =c+a+b, ,所以所以 = =a+b+c-b=a+c. .【延伸探究延伸探究】1.(1.(改改变问法法) )本本题条件不条件不变, ,如何用向量如何用向量a, ,b, ,c表示出向量表示出向量 ? ?【解析解析】由以上可得由以上可得 2.(2.(变换条件条件) )本本题条件改条件改为如如图所示所示, ,在五在五边形形ABCDEABCDE中中, ,若四若四边形形ACDEACDE是平行四是平行四边形形, ,且且 试用向量用向量a, ,b, ,c表示向
17、表示向量量 【解析解析】因为四边形因为四边形ACDEACDE是平行四边形是平行四边形, ,所以所以 所以所以 类型三型三 向量加法、减法的向量加法、减法的综合合应用用【典例典例】如如图, ,已知向量已知向量 满足足| |a|=1,|=1,|b|=2,|=2,且且BAD=BAD=60,60,求求| |a- -b|.|.【解解题探究探究】| |a- -b| |在在图形中形中实际上是什么上是什么? ?提示提示: :| |a- -b| |在图形中实际上是在图形中实际上是ABDABD的一条边长的一条边长. .【解析解析】由向量减法的三角形法则可知由向量减法的三角形法则可知 = =a- -b, ,在在AB
18、DABD中中, ,因为因为BAD=60BAD=60,AD=1,AB=2,AD=1,AB=2,所以所以ABDABD为直角三角形为直角三角形, ,即即ADBD,BD=ADADBD,BD=ADtan60tan60=1=1 = . = .所以所以| |a- -b|= .|= .【延伸探究延伸探究】本例条件本例条件变为“| |a|=1,|=1,|b|=2,|=2,且且| |a- -b|=2”,|=2”,求求| |a+ +b|.|.【解析解析】如图如图, ,在平面内任取一点在平面内任取一点A,A,作作 由题意由题意, , 过点过点B B作作BEADBEAD于点于点E,E,过点过点C C作作CFABCFAB
19、交直线交直线ABAB于点于点F.F.因为因为AB=BD=2,AB=BD=2,所以所以AE=ED= AD= .AE=ED= AD= .因为因为CBF=EAB,CBF=EAB,又在又在ABEABE中中, , 所以所以BF=BF=BCcosCBFBCcosCBF=1=1 = . = .所以所以CF= CF= 所以所以AF=AB+BF= AF=AB+BF= 所以在所以在RtAFCRtAFC中中, , 即即| |a+ +b|= .|= .【方法技巧方法技巧】向量加法与减法的向量加法与减法的综合合应用用时的注意点的注意点(1)(1)向量减法的向量减法的实质是向量加法的逆运算是向量加法的逆运算, ,一般利用
20、三角形法一般利用三角形法则求解求解. .(2)(2)向量减法运算在平行四向量减法运算在平行四边形中的形中的应用用, ,要明确要明确a- -b的几何意的几何意义. .(3)(3)向向量量减减法法的的几几何何意意义往往往往与与向向量量加加法法的的几几何何意意义结合合应用用, ,在在应用用的的过程程中中要要结合合矩矩形形、正正方方形形、三三角角形形的的边角角性性质, ,因因此此要要熟熟悉悉相相关关的的图形的性形的性质. .【变式式训练】如如图,O,O是平行四是平行四边形形ABCDABCD的的对角角线AC,BDAC,BD的交点的交点, ,设 【解题指南解题指南】要证明要证明b+ +c- -a= ,=
21、,可转化为证明可转化为证明b+ +c= += +a, ,从而利从而利用向量加法证明用向量加法证明; ;也可以从也可以从c- -a入手入手, ,利用向量减法证明利用向量减法证明. .【证明证明】在在ABCDABCD中中, , 因为因为 又因为又因为 所以所以 【补偿训练】已知已知A,B,CA,B,C是不共是不共线的三点的三点,O,O是是ABCABC内一点内一点, ,若若 求求证:O:O是是ABCABC的重心的重心. .【证明证明】因为因为 方向相反且长度相等的向量方向相反且长度相等的向量. .如图所示如图所示, ,以以OB,OCOB,OC为相邻的两边作平行四边形为相邻的两边作平行四边形, ,则则
22、 所以所以A,O,DA,O,D三点共线三点共线. .在平行四边形在平行四边形OBDCOBDC中中, ,设设ODOD与与BCBC交于交于E,E,则则 所以所以AEAE是是ABCABC的边的边BCBC上的中线上的中线, ,且且 所以点所以点O O是是ABCABC的重心的重心. .易易错案例案例 向量的减法法向量的减法法则的的应用用【典例典例】(2015(2015亳州高一亳州高一检测) )如如图所示所示, ,已知一点已知一点O O到平行四到平行四边形形ABCDABCD的三个的三个顶点点A,B,CA,B,C的向量分的向量分别为r1 1, ,r2 2, ,r3 3, ,则 =_.=_.( (用用r1 1
23、, ,r2 2, ,r3 3表示表示) )【失失误案例案例】【错解分析解分析】分析上面的解析分析上面的解析过程程, ,你知道你知道错在哪里在哪里吗? ?提提示示: :错错误误的的根根本本原原因因在在于于误误用用了了向向量量的的减减法法法法则则. .减减法法口口诀诀: :起起点点相相同同, ,连接终点连接终点, ,箭头指向被减向量箭头指向被减向量. .即即 【自我矫正自我矫正】 = =r3 3+ +r1 1- -r2 2. .答案答案: :r3 3+ +r1 1- -r2 2【防范措施防范措施】1.1.相等向量的灵活代相等向量的灵活代换解决以平面几何解决以平面几何图形形为背景的加减法运算背景的加减法运算时, ,要注意平面几何知要注意平面几何知识的的应用用, ,如本如本题由平行四由平行四边形形ABCDABCD得得 并正确代并正确代换是解是解题的关的关键. .2.2.运算法运算法则的灵活的灵活应用用减法口减法口诀: :起点相同起点相同, ,连接接终点点, ,箭箭头指向被减向量指向被减向量. .应把首尾相接的放把首尾相接的放在一起在一起计算算, ,起点相同的放在一起起点相同的放在一起计算算. .必要必要时, ,可画出可画出图像像, ,结合合图像像观察将使察将使问题更更为直直观. .
