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1、1.3 1.3 函数的基本性质函数的基本性质 1.3.1 1.3.1 单调性与最大（小）值单调性与最大（小）值 第第1 1课时课时 函数的单调性函数的单调性 1.1.通过直观的函数图象变化趋势，理解函数的单调性；通过直观的函数图象变化趋势，理解函数的单调性；2.2.理解函数的单调性的定义、知道什么是单调函数；理解函数的单调性的定义、知道什么是单调函数；3.3.会用函数单调性的定义证明简单的函数的单调性。会用函数单调性的定义证明简单的函数的单调性。我们通过几个函数的图象观察函数值随自变量而变化我们通过几个函数的图象观察函数值随自变量而变化的规律。的规律。 这种函数在其定义域的一个区间上函数值随着
2、自变这种函数在其定义域的一个区间上函数值随着自变量增大而增大的性质我们称之为量增大而增大的性质我们称之为“函数在这个区间上是函数在这个区间上是增函数增函数”；函数在其定义域的一个区间上函数值随着自；函数在其定义域的一个区间上函数值随着自变量的增大而减少的性质我们称之为变量的增大而减少的性质我们称之为“函数在这个区间函数在这个区间上是减函数上是减函数”。如何用函数的解析式如何用函数的解析式和数学语言进行描绘和数学语言进行描绘？一般地，设函数一般地，设函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为I:I: 如果对于定义域如果对于定义域I I内某个区间内某个区间D D上的任意两个自变量的上的任意两个自变量
3、的值值 ，当，当 时，都有时，都有 ，那么就说函数，那么就说函数 在区间在区间D D上是增函数上是增函数探究点探究点1 1 函数是单调性的定义函数是单调性的定义 如果对于定义域如果对于定义域I I内某个区间内某个区间D D上的任意两个自变量的上的任意两个自变量的值值 ，当，当 时，都有时，都有 ，那么就说函数，那么就说函数 在区间在区间D D上是减函数上是减函数 如果函数如果函数 在区间在区间D D上是增函数或减函数，那么上是增函数或减函数，那么就说函数就说函数 在这一区间具有（严格的）在这一区间具有（严格的）单调性单调性，区，区间间D D叫做叫做 的单调区间的单调区间第一、在中学数学中所说的
4、单调性是指严格的单调性第一、在中学数学中所说的单调性是指严格的单调性, ,即必须是即必须是f(xf(x1 1)f(x)f(x)f(x2 2),),而不能是而不能是f(xf(x1 1)f)f(x(x2 2) () (或或f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2););探究点探究点2 2 对函数单调性的理解对函数单调性的理解第二、函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的第二、函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的, ,是局部概念是局部概念; ;第三、学习函数的单调性第三、学习函数的单调性, ,要注意定义中条件和结论是要注意定义中条件和结论是双向使用的双向使用的. .探究点探究点3 3 典型例题典
5、型例题 例例1.1.下图是定义在闭区间下图是定义在闭区间 上的函数上的函数 ，根，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数它是增函数还是减函数 解：解：函数函数 的单调区间有的单调区间有 其中其中 在区间在区间 上是减函数，在区间上是减函数，在区间 上是增函数上是增函数作差变形作差变形定号定号判断判断我们看看用定我们看看用定义证明函数单义证明函数单调性的步骤调性的步骤取值取值取值取值：即设即设x x1 1、x x2 2是该区间内的任意两个值是该区间内的任意两个值, ,且且x x1 1xx2 2; ;作差变形作差变
6、形：即作差即作差f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)()(或或f(xf(x2 2)-f(x)-f(x1 1),),并用并用因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形的符号的方向变形; ;定号定号：确定差确定差f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)()(或或f(xf(x2 2)-f(x)-f(x1 1)的符号的符号, ,当当符号不确定时符号不确定时, ,可进行分类讨论可进行分类讨论; ;判断判断：根据定义作出结论根据定义作出结论. .利用定义证明或判断函数在指定区间上的单调性的步骤利用定义证明或判断函数在指定
7、区间上的单调性的步骤: :结论结论1：一次函数一次函数 的单的单调性，单调区间：调性，单调区间：结论结论2：二次函数二次函数 的单调性，单调区间：的单调性，单调区间：1.1.请根据下图描述某装配线的请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量生产效率与生产线上工人数量之间的关系之间的关系. .解：解：在一定范围内，生产效率随着工人的数的增加而提在一定范围内，生产效率随着工人的数的增加而提高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值，高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率又随着工人数增加而降低。而超过这个数量时，生产效率又随着工人数增加而降低。结论：并
8、不是工人数越多，生产效率越高。结论：并不是工人数越多，生产效率越高。2.2.整个上午（整个上午（8 8：00001212：0000）天气越来越暖，中午（）天气越来越暖，中午（1212：00001313：0000）时分一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多）时分一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多. .暴风暴风雨过后，天气转暖，直到太阳下山（雨过后，天气转暖，直到太阳下山（1818：0000），才又开始），才又开始转凉转凉. .请画出这天请画出这天8 8：00002020：0000期间气温作为时间的函数期间气温作为时间的函数的一个可能图象，并说明所画函数的单调区间的一个可能图象，并说明所画函数的单调区间. .
9、解：解：单调增区间是单调增区间是8,128,12）,13,18,13,18）; ;单调减区间是单调减区间是12,1312,13）,18,20.,18,20.3.3.根据下图说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间根据下图说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，函数是增函数还是减函数上，函数是增函数还是减函数. .解：解：函数的单调区间是函数的单调区间是-1,0-1,0）,0,2,0,2）,2,4,2,4）,4,5.,4,5.在区间在区间-1,0-1,0）,2,4,2,4）上函数是减函数；）上函数是减函数；在区间在区间0,20,2）,4,5,4,5上函数是增函数上函数是增函数. .4 4.
10、.证明函数证明函数 在区间在区间 是增函数。是增函数。证明：证明：任取任取 ，且，且 ，则则 因为因为 ， 得得所以函数所以函数 在上在上 是增函数是增函数 思考思考:1.证明证明 在（在（1，+）上为增函数）上为增函数 2.讨论函数讨论函数在在(-2,2)内的单调性内的单调性.3. 证明函数证明函数f(x)=x3 在在(-，+)上是增函数上是增函数.1.1.函数的单调性反应了函数值随自变量的变化而变化的函数的单调性反应了函数值随自变量的变化而变化的一种特定规律。当在函数定义域的某个区间上函数值随一种特定规律。当在函数定义域的某个区间上函数值随自变量的增大而增大时，函数在这个区间上单调递增；自
11、变量的增大而增大时，函数在这个区间上单调递增；当函数在定义域的某个区间上函数值随自变量的增大而当函数在定义域的某个区间上函数值随自变量的增大而减小时，函数在这个区间上单调递减。减小时，函数在这个区间上单调递减。2.2.函数的单调性是函数在其定义域上函数的单调性是函数在其定义域上“局部局部”性质，即性质，即函数可能在其定义域上的某个区间内递增，在另外的区函数可能在其定义域上的某个区间内递增，在另外的区间上递减，研究函数的单调性一定要注意在定义域的哪间上递减，研究函数的单调性一定要注意在定义域的哪个区间内。个区间内。3.3.函数单调性的定义，定量地刻画了函数的单调性，使函数单调性的定义，定量地刻画了函数的单调性，使用定义证明函数的单调性的基本步骤是：用定义证明函数的单调性的基本步骤是：（1 1）取值；）取值； （2 2）作差变形；）作差变形；（3 3）定号；）定号； （4 4）作出判断。）作出判断。4.4.我们熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函我们熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性要熟练掌握。数的单调性要熟练掌握。如果你希望成功，那么就要以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。
