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1、2.3.3离散性随机变量的离散性随机变量的方差方差1温故而知新温故而知新1、离散型随机变量、离散型随机变量 X 的均值的均值（数学期望）（数学期望）2、均值的性质、均值的性质3、两种特殊分布的均值、两种特殊分布的均值（1）若随机变量若随机变量X服从两点分布，则服从两点分布，则（2）若若 ，则，则反映了离散型随机变量取值的平均水平反映了离散型随机变量取值的平均水平.23 如果对手的射击成绩都在如果对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手环左右，应派哪一名选手参赛？参赛？ 已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数 1、 2的分布列如下：的分布列如下
2、： 试比较两名射手的射击水平试比较两名射手的射击水平. x18910P0.20.60.2x28910P0.40.20.4 如果对手的射击成绩都在如果对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手环左右，应派哪一名选手参赛？参赛？ 显然两名选手显然两名选手的水平是不同的的水平是不同的,这里要进一步去这里要进一步去分析他们的成绩分析他们的成绩的稳定性的稳定性. 探究探究 4一组数据的方差：一组数据的方差：方差反映了这组方差反映了这组数据的波动情况数据的波动情况 在一组数：在一组数：x1 1, ,x2 2 , , ,xn 中，各数据的平均数为中，各数据的平均数为 ，则这组数据的方差为：，则这组数据的方差
3、为：类似于这个概念类似于这个概念, ,我们可以定义随机变量的方差我们可以定义随机变量的方差. 新课新课 5离散型离散型随机变量取值的方差和标准差随机变量取值的方差和标准差: :则称则称为随机变量为随机变量 的方差的方差. .一般地一般地, ,若离散型随机变量若离散型随机变量 的概率分布列为：的概率分布列为：称称为随机变量为随机变量 的标准差的标准差. . 定义定义 6 它们都是反映离散型随机变量偏离于均它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值于
4、均值. .7 1. 已知随机变量已知随机变量x的分布列的分布列x01234P0.10.20.40.20.1求求D 和和 . 解：解：2. 若随机变量若随机变量x 满足满足P（xc）1，其中，其中c为常数，为常数，求求Ex 和和 Dx.Exc1cDx（cc）210 练习练习 常数的方差为常数的方差为08结论结论1： 则则 ; ;结论结论2：若：若B(n，p)，则，则E= np.可以证明可以证明, 对于方差有下面两个重要性质：对于方差有下面两个重要性质：则则 结论结论: 91.已知随机变量已知随机变量x的分布列为的分布列为则则Ex与与Dx的值为的值为( ) (A) 0.6和和0.7 (B)1.7和
5、和0.3 (C) 0.3和和0.7 (D)1.7和和0.212.已知已知xB(100,0.5),则则Ex=_,Dx=_, x=_. E(2x-1)=_, D(2x-1)=_, (2x-1)=_ 12P0.30.7D502559910010 练习练习 10机动练习机动练习117100.8= = = = =ppnBX,n1.6,DX8,EX),(1则则，、已知、已知= = =+ += = DD则则，且，且、已知、已知,13813211 已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x1、x2的的分布列如下：分布列如下：x18910P0.20.60.2x28
6、910P0.40.20.4 如果对手在如果对手在8环左右环左右,派甲派甲. 如果对手在如果对手在9 9环左右环左右, ,派乙派乙. .思考思考 如果对手的射击成绩都在如果对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手环左右，应派哪一名选手参赛？参赛？ 试比较两名射手的射击水平试比较两名射手的射击水平. 如果对手的射击成绩都在如果对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手环左右，应派哪一名选手参赛？参赛？12 例例1：甲乙两人每天产量相同，它们的次品个数甲乙两人每天产量相同，它们的次品个数分别为分别为 ，其分布列为，其分布列为 0 1 2 3P0.30.30.20.2 0 1 2 P0.10.50.
7、4判断甲乙两人生产水平的高低？判断甲乙两人生产水平的高低？ 例题例题 E =00.3+10.320.230.2=1.3E =00.1+10.520.4=1.3解答解答:13 D =(01.3)20.3+(11.3)20.3（2 1.3）20.2（3-1.3)20.2=1.21 答答：甲乙两人次品个数的平均值相等，：甲乙两人次品个数的平均值相等，但甲的稳定性不如乙，乙的生产水平高但甲的稳定性不如乙，乙的生产水平高.期望值高，平均值大，水平高期望值高，平均值大，水平高方差值小，稳定性高，水平高方差值小，稳定性高，水平高D =(01.3)20.1+(11.3)20.5（2 1.3）20.4=0.41
8、14例例2:有甲乙两个单位都愿意聘用你有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息：而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资甲单位不同职位月工资X1/元元1200140016001800获得相应职位的概率获得相应职位的概率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资乙单位不同职位月工资X2/元元1000140018002200获得相应职位的概率获得相应职位的概率P20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：解： 在两个单位工资的数学期望相等的情况下在两个单位工资的数学期望相等的情况下,如果认为如果认为自己能力很强自
9、己能力很强,应选择工资方差大的单位应选择工资方差大的单位,即乙单位即乙单位;如果如果认为自己能力不强认为自己能力不强,就应选择工资方差小的单位就应选择工资方差小的单位,即甲单位即甲单位. 例题例题 15课本第课本第68页习题页习题2.3 A组第组第1，5题题课后作业课后作业161.若随机变量若随机变量 服从二项分布，且服从二项分布，且E =6， D =4,则此二项分布是则此二项分布是 。设设二项分布为二项分布为 B(n,p) ,则则E =np=6D =np(1-p)=4n=18p=1/319 2 2. .有有场场赌赌博博，规规则则如如下下：如如掷掷一一个个骰骰子子，出出现现1 1，你你赢赢8
10、8元元；出出现现2 2或或3 3或或4 4，你你输输3 3元元；出出现现5 5或或6 6，不输不赢这场赌博对你是否有利，不输不赢这场赌博对你是否有利? ?对你不利对你不利! !劝君莫参加赌博劝君莫参加赌博. .203随机变量随机变量X的分布列如下：的分布列如下： 其中其中a，b，c成等差数列若成等差数列若E(X) ，则，则D(X)的值是的值是 _X101Pabc21解析：解析：abc1.又又2bac，故故b由由E(X)故故aD(X)答案：答案：22 对随机变量对随机变量X的均值的均值(期望期望)的理解：的理解：(1)均值是算术平均值概念的推广，是概率意义上的平均；均值是算术平均值概念的推广，是
11、概率意义上的平均；(2)E(X)是一个实数，由是一个实数，由X的分布列唯一确定，也就是说随的分布列唯一确定，也就是说随 机变量机变量X可以取不同的值，而可以取不同的值，而E(X)是不变的，它描述的是是不变的，它描述的是 X取值的平均状态；取值的平均状态；(3)E(X)的公式直接给出了的公式直接给出了E(X)的求法的求法23 (2010衡阳模拟衡阳模拟)一厂家向用户提供的一箱产品共一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有件，其中有n件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收抽检规则是这样的：一次取一件产品检查接收抽检规则是这样的：一次取一件产品检查(取出的
12、产取出的产品不放回箱子品不放回箱子)，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品用户拒绝接收这箱产品(1)若这箱产品被用户接收的概率是若这箱产品被用户接收的概率是 ，求，求n的值；的值；(2)在在(1)的条件下，记抽检的产品件数为的条件下，记抽检的产品件数为X，求，求X的分布列的分布列和数学期望和数学期望24（1）利用古典概型易求）利用古典概型易求.（2）X的取值为的取值为1、2、3，求出分布列代入期望，求出分布列代入期望 公式公式.25【解解
13、】(1)设设“这箱产品被用户接收这箱产品被用户接收”为事件为事件A，n2.(2)X的可能取值为的可能取值为1,2,3.P(A)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=26X的概率分布列为：的概率分布列为：X123P271(2010河南六市联考河南六市联考)甲、乙、丙、丁四人参加一家公司甲、乙、丙、丁四人参加一家公司的招聘面试公司规定面试合格者可签约甲、乙面试合格的招聘面试公司规定面试合格者可签约甲、乙面试合格 就签约；丙、丁面试都合格则一同签约，否则两人都不签就签约；丙、丁面试都合格则一同签约，否则两人都不签约设每人面试合格的概率都是约设每人面试合格的概率都是 ，且面试是否合格互不，且面试
14、是否合格互不影响求：影响求： (1)至少有三人面试合格的概率；至少有三人面试合格的概率； (2)恰有两人签约的概率；恰有两人签约的概率； (3)签约人数的数学期望签约人数的数学期望28解：解：(1)设设“至少有至少有3人面试合格人面试合格”为事件为事件A，则则P(A)(2)设设“恰有恰有2人签约人签约”为事件为事件B，“甲、乙两人签约，丙、丁两人都不签约甲、乙两人签约，丙、丁两人都不签约”为事件为事件B1；“甲、乙两人都不签约，丙、丁两人签约甲、乙两人都不签约，丙、丁两人签约”为事件为事件B2；则：则：BB1B2P(B)P(B1)P(B2)29(3)设设X为签约人数为签约人数X的分布列如下：的
15、分布列如下：P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=30X01234P31 (2010贵阳模拟贵阳模拟)有甲、乙两个建材厂，都想投标有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标，其分布列如下：拉强度指标，其分布列如下：32举一反三举一反三1. 某有奖竞猜活动设有A、B两组相互独立的问题，答对问题A可赢得奖金3万元，答对问题B可赢得奖金6万元.规定答题顺序可任选，但只有一个问题答对后
16、才能解答下一个问题，否则中止答题.假设你答对问题A、B的概率依次为 、 .若你按先A后B的次序答题，写出你获得奖金的数额的分布列及期望值E.039p解析： 若按先A后B的次序答题，获得奖金数额的可取值为0,3(万元)，9（万元）.P（=0）= , P（=3）= ,P（=9）= . 的分布列为33题型二题型二 求随机变量的方差求随机变量的方差【例2】编号1，2，3的三位学生随意入座编号1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生人数是X.（1）求随机变量X的概率分布列；（2）求随机变量X的期望与方差.的数学期望为E（）= 34分析 （1）随机变量X的意义是对号入座的学生个数，
17、所有取值为0,1,3.若有两人对号入座，则第三人必对号入座.由排列与等可能事件概率易求分布列;（2）直接利用数学期望与方差公式求解.X013P解 （1）P（X=0）= ,P（X=1）= ,P（X=3）= ,故X的概率分布列为 (2)E(X)= D(X)= 35举一反三举一反三2. 设在15个同类型的零件中有2个次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出后不再放回.若用X表示取出次品的个数.（1）求X的分布列；（2）求X的均值E(X)和方差D(X).学后反思 求离散型随机变量X的方差的步骤：（1）写出X的所有取值；（2）计算P（X=xi）; (3)写出分布列，并求出期望E(X)；（4）由方差的定义求出D(X).36解析： (1)P(X=0)= , P(X=1)= ,P(X=2)= .故X的分布列为 (2)X的均值E(X)和方差D(X)分别为E(X)= ;D(X)= X012P37
