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1、8.6空间向量的概念及其运算空间向量的概念及其运算 考点探究考点探究挑战高考挑战高考考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考8.6空空间间向向量量的的概概念念及及其其运运算算双基研习双基研习面对高考面对高考1空间向量的有关概念空间向量的有关概念双基研习双基研习面对高考面对高考基础梳理基础梳理基础梳理基础梳理名称名称定定义空空间向量向量在在空空间里里，具具有有_和和_的的量量叫叫作作空空间向向量量，其其大大小小叫叫作作向向量量的的_或或_自由向量自由向量与向量的与向量的_无关的向量无关的向量单位向量位向量长度或模度或模为_的向量的向量(非零向量非零向量a的的单位向量位向量a0_)零向量零向量长度度为_的
2、向量的向量相等向量相等向量方向方向_且模且模_的向量的向量相反向量相反向量方向方向_而而_相等的向量相等的向量大小大小方向方向长度度模模起点起点10相同相同相等相等相反相反模模AOBa，bab平行平行重合重合共线向量共线向量平行向量平行向量ab直直线l垂直于垂直于平行平行思考感悟思考感悟 如何由直线的方向向量求直线的斜率？如何由直线的方向向量求直线的斜率？2共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理共线向量定理对空间任意两个向量对空间任意两个向量a，b(b0)，共线的充要条件，共线的充要条件是是_.存在实数存在实数，使，使abxayb1(
3、3)空空间向量基本定理向量基本定理如如果果向向量量e1，e2，e3是是空空间三三个个_的的向向量量，a是是空空间任任一一向向量量，那那么么存存在在惟惟一一一一组实数数1，2，3，使得，使得a1e12e23e3.空空间中中不不共共面面的的三三个个向向量量e1，e2，e3叫叫作作这个个空空间的一个的一个_3空空间向量的数量向量的数量积及运算律及运算律(1)两向量的数量两向量的数量积已已知知空空间两两个个非非零零向向量量a，b，即即_叫叫作作向向量量a，b的的数数量量积，记作作_，即即ab|a|b|cosa，b不共面不共面基底基底|a|b|cosa，bab(2)空空间向量数量向量数量积的运算律的运算
4、律结合律：合律：(a)b_；交交换律：律：abba；分配律：分配律：a(bc)_.4空空间向量的向量的标准正交分解与坐准正交分解与坐标表示表示(1)在在给定定的的空空间直直角角坐坐标系系中中，i，j，k分分别为x轴，y轴，z轴正正方方向向上上的的单位位向向量量，对于于空空间任任意意向向量量a，存存在在惟惟一一一一组三三元元有有序序实数数(x，y，z)，使使得得a_把把_叫叫作作a的的标准准正正交交分分解解，把把_叫叫作作标准准正正交交基基_叫叫作作空空间向向量量a的的坐坐标，记作作a(x，y，z)_叫作向量叫作向量a的坐的坐标表示表示ababacx iy jz kax iy jz ki，j，k
5、(x，y，z)(x，y，z)(2)若若b0为b的的单位位向向量量，称称_为向向量量a在在向向量量b上上的的投投影影向量的坐向量的坐标等于它在坐等于它在坐标轴正方向上的投影正方向上的投影5空空间向量坐向量坐标表示及表示及应用用(1)数量数量积的坐的坐标运算运算若若 a (a1， a2， a3)， b (b1， b2， b3)， 则_.(2)共共线与垂直的坐与垂直的坐标表示表示ab0|a|cosa，baba1b1a2b2a3b3设 a (a1， a2， a3)， b (b1， b2， b3)， 则ab_a1 b1， a2 b2， a3 b3，ab_ (a，b均均为非零向量非零向量)(3)模、模、夹
6、角和距离公式角和距离公式设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，abab0a1b1a2b2a3b30课前热身课前热身课前热身课前热身答案：答案：DA1B2C3 D4答案：答案：B答案：答案：B4(教材习题改编教材习题改编)已知已知a(1，3,2)，b(1,2,0)，若存在，若存在c使使ac且且bc5，则，则c_.考点探究考点探究挑战高考挑战高考考点突破考点突破考点突破考点突破考点一考点一空间向量的线性运算空间向量的线性运算用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键要正确理解向量加法、减形为指导是解题的关键要正确理解向量
7、加法、减法与数乘运算的几何意义首尾相接的若干向量之法与数乘运算的几何意义首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则，在立体几何中要灵活应用三角形法则；向量加则，在立体几何中要灵活应用三角形法则；向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立法的平行四边形法则在空间仍然成立例例例例1 1 (2011年合肥调研年合肥调研)对于任何空间四边形，对于任何空间四边形，试证明它的一对对边中点的连线段与另一对对边试证明它的一对对边中点的连线段与另一对对边平行于同
8、一平面平行于同一平面【思思路路点点拨】要要证线段段共共面面，只只须证明明相相应向向量共面量共面【证明证明】如图所示，利用多边形加法法则如图所示，利用多边形加法法则可得，可得，【名名师点点评】注意向量在加减法中的方向注意向量在加减法中的方向考点二考点二 空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算例例例例2 2 如图所示，在正四棱柱如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知中，已知AB2，AA15，E、F分别为分别为D1D、B1B上的点，且上的点，且DEB1F1.(1)求证：求证：BE平面平面ACF；(2)求点求点E到平面到平面ACF的距离的距离【思路点思路点拨】根据题意，建立合理的坐标系，
9、根据题意，建立合理的坐标系，利用向量的坐标运算解决所求问题利用向量的坐标运算解决所求问题【解解】如图，以如图，以D为原点，为原点，DA、DC、DD1所在所在直线分别为直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则轴建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,5)，E(0,0,1)，F(2,2,4)连结连结AE.【名名师点点评】在计算和证明立体几何问题时，在计算和证明立体几何问题时，若能在原图中建立适当的坐标系，把图形中的点若能在原图中建立适当的坐标系，把图形中的点的坐标求出来，那么图形中有关问题可用向量表的坐标求出来，那么图形中有关
10、问题可用向量表示，利用空间向量的坐标运算来求解，这样可避示，利用空间向量的坐标运算来求解，这样可避免较为复杂的空间想象免较为复杂的空间想象考点三考点三共面共线问题共面共线问题例例例例3 3 (2011年南昌调研年南昌调研)已知已知E、F、G、H分别分别是空间四边形是空间四边形ABCD的边的边AB、BC、CD、DA的的中点，中点，【思路点思路点拨】利用共线定理、共面定理利用共线定理、共面定理证明证明【名名师点点评】在在求求一一个个向向量量由由其其他他向向量量来来表表示示的的时候候，通通常常是是利利用用向向量量的的三三角角形形法法则、平平行行四四边形形法法则和和共共线向向量量的的特特点点，把把要要
11、求求的的向向量量逐逐步步分分解解，向向已已知知向向量量靠靠近近，进行行求求解解若若要要证明明两两直直线平平行行，只只需需判判定定两两直直线所所在在的的向向量量满足足线性性ab关关系系，即即可可判判定定两两直直线平平行行，如第如第(1)(2)问即是如此即是如此方法感悟方法感悟方法感悟方法感悟方法技巧方法技巧1建立了坐标系，向量的线性运算及数量积就可建立了坐标系，向量的线性运算及数量积就可以用坐标运算代替，即几何问题代数化以用坐标运算代替，即几何问题代数化(如例如例2)2用空间三个不共面的向量组用空间三个不共面的向量组a，b，c可以表示可以表示出空间任意一个向量，而且出空间任意一个向量，而且a，b
12、，c的系数是唯一的系数是唯一的的(如课前热身如课前热身2)3用向量数量积的定义及性质可解决立体几何中用向量数量积的定义及性质可解决立体几何中求异面直线所成的角，求两点间距离或线段长度求异面直线所成的角，求两点间距离或线段长度以及证明线线垂直，线面垂直等典型问题以及证明线线垂直，线面垂直等典型问题(如例如例2)4熟练掌握空间向量的运算、性质及基本定理是熟练掌握空间向量的运算、性质及基本定理是解决空间向量问题的基础，特别是共线向量定理、解决空间向量问题的基础，特别是共线向量定理、共面向量定理、空间向量基本定理、数量积的性共面向量定理、空间向量基本定理、数量积的性质等质等(如例如例1、例、例3)失误
13、防范失误防范1利用坐标运算解决立体几何问题，降低了推理难利用坐标运算解决立体几何问题，降低了推理难度，可以避开一些较复杂的线面关系，但较复杂的度，可以避开一些较复杂的线面关系，但较复杂的代数运算也容易导致出错因此，在解决问题时，代数运算也容易导致出错因此，在解决问题时，可以灵活的选用解题方法，不要生搬硬套可以灵活的选用解题方法，不要生搬硬套2用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；求异面直线所成的角，度，一般用向量的模来解决；求异面直线所
14、成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化；解决垂直问题一般可范围不同，最后应进行转化；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零转化为向量的数量积为零3空间向量的加法、减法经常逆用，来进行向空间向量的加法、减法经常逆用，来进行向量的分解量的分解4几何体中向量问题的解决，选好基底是关键几何体中向量问题的解决，选好基底是关键考情分析考情分析考情分析考情分析考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考从近几年的高考来看，空间向量的数量积及应用在从近几年的高考来看，空间向量的数量积及应用在高考中偶尔有所体现，其他知识体现较少，题型有高考
15、中偶尔有所体现，其他知识体现较少，题型有选择题、解答题解答题中一般考查学生综合运用选择题、解答题解答题中一般考查学生综合运用知识解决问题、处理问题的能力知识解决问题、处理问题的能力预测预测2012年高考仍将以空间向量的数量积与解决立年高考仍将以空间向量的数量积与解决立体几何问题为考查点，考查学生的运算能力，分析体几何问题为考查点，考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力问题、解决问题的能力真题透析真题透析真题透析真题透析例例例例【名名师点点评】(1)解决存在与否类的探索性问题解决存在与否类的探索性问题一般有两个思路：一是直接去找存在的点、线、一般有两个思路：一是直接去找存在的点、线、面或是
16、一些其他的量；二是首先假设其存在，然面或是一些其他的量；二是首先假设其存在，然后通过推理论证或是计算，如果得出了一个合理后通过推理论证或是计算，如果得出了一个合理的结果，就说明其存在；如果得出了一个矛盾的的结果，就说明其存在；如果得出了一个矛盾的结果，就说明其不存在结果，就说明其不存在(2)利用向量线性运算证明立体几何的相关问题：利用向量线性运算证明立体几何的相关问题：要用向量表示相关的量；要用向量表示相关的量；根据证明的需要对根据证明的需要对向量进行运算，运算可以结合实际图形，以图形向量进行运算，运算可以结合实际图形，以图形为指导是解题的关键；为指导是解题的关键；要注意利用空间向量解要注意利
17、用空间向量解决立体几何中各种问题的方法，如证明线线垂直，决立体几何中各种问题的方法，如证明线线垂直，可以证其向量的数量积为零；如证明四点共面，可以证其向量的数量积为零；如证明四点共面，可以证从同一点出发的三个向量共面；如求线线可以证从同一点出发的三个向量共面；如求线线夹角，可以利用其向量的数量积夹角，可以利用其向量的数量积(向量夹角公式向量夹角公式)；如求两点间的距离，可以求两点向量的模等；如求两点间的距离，可以求两点向量的模等如图所示，四棱锥如图所示，四棱锥S-ABCD中，中，SD底面底面ABCD，ABDC，ADDC，ABAD1，DCSD2，E为棱为棱SB上的一点，平面上的一点，平面EDC平面平面SBC.(1)证明：证明：SE2EB；(2)求二面角求二面角A-DE-C的大小的大小名师预测名师预测名师预测名师预测解：以解：以D为坐标原点，射线为坐标原点，射线DA为为x轴正半轴，建轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系立如图所示的直角坐标系D-xyz.
