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1、 主干回顾主干回顾 夯基固源夯基固源 考点研析考点研析 题组冲关题组冲关 素能提升素能提升 学科培优学科培优 课时规范训练课时规范训练 第第7 7课时课时 空间向量及其运算空间向量及其运算 1了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 2了解空间向量的线性运算及其坐标表示 3掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直 1空间向量的有关概念 大小(1)空间向量：在空间中，具有 和 方向 的量叫作空间向量 (2)相等向量：方向 相同 且模 相等 的向量 (3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互 或重合) 的向量 相
2、 平行 ( (4)共面向量：平行于 同一个平面 的向量 2空间向量的线性运算及运算律 (1)定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如下：OBOAABab；BAOAOBab；OPa(R) (2)运算律：加法交换律：abba. a b ) (3)加法结合律：(ab)c ( c a . (4)数乘分配律：(ab) b 3空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 两向量的夹角 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OAa，OBbb，则AOB叫作向量a与b的夹角，记作 a ， ，其范围0a，b ，记是 ，若a，b2，则称a与b 互相垂直 作ab. 两向量的数量积 已
3、知空间两个非零向量a，b，则 |a | b |cos a ， b 叫作向量a，b的数量积，即ab | a | b |cos a ， b (2)空间向量数量积的运算律 结合律：(a)b (a b) ；交换律：abb a；分配c律：a(bc) a b a . 4基本定理 (1)共线向量定理：空间任意两个向量a、b(b0)，ab的充b . 要条件是存在实数，使 a (2)共面向量定理：如果两个向量a，b 不共线 ，p与向量a， xa yb . b共面的充要条件是存在实数x，y使 p (3)空间向量基本定理：如要三个向量a，b，c 不共面 ，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使
4、pxaybzc . 5空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 x1x z1z设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则ab y 2 . 21y2(2)共线与垂直的坐标表示 设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)， y z1 z2 ，a则ab? ab? x x 2 ， y1 12 ， y2 z1z b? ab0? x 1x y1 0 (a，b均为非零向量) 22(3)模、夹角和距离公式 设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则|a| aa ab ，cosa，b|a|b| x1x2y1y2z1z2222222 x1y1z1 x2y2z2222x1y1z1
5、基础自测 1已知空间四边形 ABCD的对角线为AC、BD，设G是CD的1中点，则AB2(BDBC)等于( ) A.AG B.CG C.BC 1D.2BC 1解析：如图，AB2(BDBC)ABBGAG. 答案：A 2已知a(2x,1,3)，b(1，2y,9)，如果a与b为共线向量，则( ) Ax1，y1 13Cx6，y2 11Bx2，y2 13Dx6，y2 2x1解析：a(2x,1,3)与b(1，2y,9)共线，故有12y313，x ，y .故选C. 962答案：C 3如图所示，已知 PA平面ABC，ABC120，PAABBC6，则PC等于( ) A6 2 C12 B6 D144 2222解析：
6、因为PCPAABBC，所以PC PA AB BC 2ABBC363636236cos 60 144.所以|PC|12. 答案：C 4(教材习题改编)已知a(1，3,2)，b(1,2,0) ，若存在c使ac且bc5，则c_. 解析：ac，可设c(，3，2) bc5，65， ?51510?57，c?7，7，7?. ?51510?答案：?7，7，7? ?5若向量a(1,1，x)，b(1,2,1) ，c(1,1,1) ，满足条件(ca)(2b)2，则x_. 解析：a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1) ca(0,0,1x)，2b(2,4,2) (ca)(2b)2(1x)2，x2. 答案：
7、2 考点一 空间向量的线性运算 例1 如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，设 AA1a，ABb，ADc，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量； (1)AP； (2)A1N； (3)MPNC1； 审题视点 将所表示向量置于三角形或多边形中利用三角形法则或多边形法则可求 解 (1)P是C1D1的中点， APAA1A1D1D1P 1aAD2D1C1 1ac2AB 1ac2b. (2)N是BC的中点， A1NA1AABBN 1ab2BC 1ab2AD 1ab2c， (3)M是AA1的中点， 1MPMAAP2A1AAP ?1?1112a?ac2b?2
8、a2bc， ?1又NC1NCCC12BCAA1 112ADAA12ca， ?111?MPNC1?2a2bc?a2c? ?3132a2b2c. (1)空间向量的坐标运算，关键是要注意向量坐标与点的坐标间的关系，并熟练掌握运算公式 (2)用不共面的向量表示某一向量时，关键是结合图形将已知向量和未知向量转化到三角形或平行四边形中，然后根据三角形法则或平行四边形法则，把未知向量用已知向量表示出来 1如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若ABa，ADb，AA1c，则下列向量中与BM相等的向量是( ) 11A2a2bc 11B.2a2bc 11C2a2bc 11D.2
9、a2bc 1解析：BMBB1B1MAA12(ADAB) 111c2(ba)2a2bc. 答案：A 2(2016舟山月考)如图所示，已知空间四边形 OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且MG2GN，若OGxOAyOBzOC，则x，y，z的值分别为_ 解析：连结ON， 2OGOMMGOM3MN 212OM3(ONOM)3OM3ON 1213OM32(OBOC) 111132OA3OB3OC 1116OA3OB3OC 111x6，y3，z3. 111答案：6，3，3 考点二 共线向量定理，共面向量定理的应用 例2 已知E、F、G、H分别是空间四边形 ABC
10、D的边AB、BC、CD、DA的中点， (1)求证：E、F、G、H四点共面； (2)求证：BD平面EFGH； (3)设M是EG和FH的交点， 1求证：对空间任一点 O，有OM4(OAOBOCOD) 审题视点 (1)证明EGEFEH，根据共面向量定理即可得到结论；或证明 FGEH，即可得到FG，EH确定一平面，故得四点共面 (2)证明 BD与EH共线，然后根据线面平行的判定定理解题即可 (3)利用E、F、G、H共面，然后根据共面向量定理证明 证明 (1)法一：E，F，G，H分别是空间四边形 ABCD的1边的中点，FGEH2BD. EGEFFGEFEH， E，F，G，H四点共面 法二：E，F，G，H
11、分别是空间四边形 ABCD的边的中点， 1FGEH2BD. FGEH且FGEH， 四边形EFGH为平行四边形 故E，F，G，H四点共面 (2)由题意知BDADAB2AH2AE2(AHAE)2EH.BDEH. BDEH，又BD 平面EFGH，EH 平面EFGH. BD平面EFGH. (3)找一点O，并连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG. 11由(2)知EH2BD，同理FG2BD， 所以EHFG， 即EH綊FG， 所以四边形EFGH是平行四边形 所以EG，FH交于一点M且被M平分 111故OM2(OEOG)2OE2OG 1?1?1?1?2?2?OAOB?2?2?OCOD? ?14(OAO
12、BOCOD) (1)利用向量证明点共线或点共面时常用的方法是直接利用定理向量方法为几何问题的解决提供了一种新的思路 (2)向量的平行与直线的平行是不同的：直线平行是不允许重合的，而向量平行，它们所在的直线可以平行也可以重合 1已知a(x,4,1)，b(2，y，1)，若ab，则a与b的夹角为_ 41x解析：ab，y，x2，y4. 21a(2,4,1) ，b(2，4，1)，ab， a，b. 答案： 2已知A、B、C三点不共线，对平面 ABC外的任一点O，若1点M满足OM3(OAOBOC) (1)判断MA、MB、MC三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内 解：(1)由已知OAOBOC3
13、OM， OAOM(OMOB)(OMOC)， 即MABMCMMBMC， MA，MB，MC共面 (2)由(1)知，MA，MB，MC共面且基线过同一点 M， 四点M，A，B，C共面， 从而点M在平面ABC内 考点三 空间向量的数量积及其应用 例3 如图所示，已知空间四边形 ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点 (1)求证：MNAB，MNCD； (2)求MN的长； (3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值 审题视点 把MN用AB，AC，AD表示出来，然后计算数量积，求模和夹角 解 (1)证明：设ABp，ACq，ADr. 由题意可知：|p|q|r|a，且p、q、r三向量两两
14、夹角均为60. 11MNANAM2(ACAD)2AB 12(qrp)， 1 12MNAB2(qrp)p2(qprpp ) 12222(a cos60 a cos60 a )0. MNAB，同理可证MNCD. 1(2)由(1)可知MN2(qrp) 1222|MN| MN 4(qrp) 12224q r p 2(qrpqrp) 222?aaa12224?a a a 2?222? ?1a242a 2， 22|MN|2a，MN的长为2a. 2(3)设向量AN与MC的夹角为. 11AN2(ACAD)2(qr)， 1MCACAMq2p， ?11 ?q p? ANMC2(qr)2?1?1?21prq2rp?
15、 2?q 2q?121?2122? cos 60 a cos 60 2a cos 602?a 2a ?222?2?12aaaa2?a 424?2. ?3又|AN|MC|2a， ANMC|AN|MC|cos 33a2a2acos 2. 22cos 3，向量AN与MC的夹角的余弦值为3，从而异面2直线AN与CM所成角的余弦值为3. 2 (1)向量数量积为解决立体几何中的夹角、长度、垂直等问题提供了一种工具，使几何问题转化为数的计算问题 (2)解题中注意最后要将计算问题再转化为几何问题，同时要特别注意向量的夹角与两异面直线所成角之间的关系 1(2016 山东临沂一模)若直线l的方向向量为a(1,0,
16、2) ，平面的法向量为n(2,0，4)，则( ) Al Bl Cl? Dl与斜交 解析：a(1,0,2) ，n(2,0，4)，即n2a，故an，l. 答案：B 2如图，在平行四边形 ABCD中，ABAC1，ACD90，把ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，则BD_. 解析：AB与CD成60角， BA，CD60或120， 又ABACCD1，ACCD，ACAB， |BD|2或 2. BD的长为2或 2. 答案：答案：2或或 2 “两向量平行”和“两向量同向”不清致误 典例 已知向量a(1,2,3) ，b(x，x y2，y)，并且a，b同向，则x的值为_ ，y的值为_ 解题指南 (1)a与
17、b同向，则ab，利用向量平行的性质列方程求x，y.(2)a与b平行，并不能保证同向，还要注意验证 2xx y2y解析 由题意知ab，所以1 ， 23?y3x， 即?2?x y22x， 22 把代入得x x20，(x2)(x1)0. 解得x2，或x1. 当x2时，y6；当x1时，y3. 当?x2?y6 时，b(2，4，6)2a，两向量a，b反向，不符合题意，所以舍去 ?x1当?y3 时，b(1,2,3)a，a与b同向， ?x1，所以?y3. 答案 1 3 【错误答案】 2或1 6或3 错因分析 两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就
18、是说， “两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件错解就忽略了这一点 失分警示 (1)a与b同向是ab的充分而不必要条件 (2)ab是a与b同向的必要而不充分条件 备考建议 解答空间向量的计算问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注 (1)对向量运算法则特别是坐标运算的法则掌握不熟悉导致失误； (2)不能熟练地运用向量共线、垂直的充要条件将问题转化 另外，平时要重视运算的训练，强化计算速度及准确度的训练以及熟练掌握向量运算的方法 一种方法 用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是： (1)适当的选取基底 a，b，c； (2)用a，b，c表示相关向量； (3)通过运算完成证明或计算问题 两个理解 (1)共线向量定理还可以有以下几种形式： ab? ab； 空间任意两个向量，共线的充要条件是存在 ，R使ab. 若OA，OB不共线，则P，A，B三点共线的充要条件是 OPOAOB且1. (2)对于共面向量定理和空间向量基本定理可对比共线向量定理进行学习理解空间向量基本定理是适当选取基底的依据，共线向量定理和共面向量定理是证明三点共线、线线平行、四点共面、线面平行的工具，三个定理保证了由向量作为桥梁由实数运算方法完成几何证明问题的完美 “嫁接”
