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1、1.1分类计数原理分类计数原理与分步计数原理分步计数原理 2008年年29届夏季奥运会在北京举行奥运届夏季奥运会在北京举行奥运会足球赛共有个队参赛它们先分成个会足球赛共有个队参赛它们先分成个小组进行循环赛，决出强，这个队按确定小组进行循环赛，决出强，这个队按确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外还决出了第三、第四名问一共安排了多少场还决出了第三、第四名问一共安排了多少场比赛？比赛？实际问题实际问题 要回答这个问题，就要用到排列、组合的知要回答这个问题，就要用到排列、组合的知识识在运用排列、组合方法时，经常要用到在运用排列、组合方法时，经常要用到分类
2、分类分类分类计数原理与分步计数原理计数原理与分步计数原理计数原理与分步计数原理计数原理与分步计数原理 用一个大写的的英文字母用一个大写的的英文字母或或一个阿拉伯一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？少种不同的号码？问题问题 1问题问题 2. 从甲地到乙地，可以乘火车，也从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有车有4 班班, 汽车有汽车有2班，轮船有班，轮船有3班。那么一班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法多
3、少种不同的走法?分析分析: 从甲地到乙地有从甲地到乙地有3类方法类方法, 第一类方法第一类方法, 乘火车，有乘火车，有4种方法种方法; 第二类方法第二类方法, 乘汽车，有乘汽车，有2种方法种方法; 第三类方法第三类方法, 乘轮船乘轮船, 有有3种方法种方法; 所以所以 从甲地到乙地共有从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法。种方法。 一、分类计数原理一、分类计数原理一、分类计数原理一、分类计数原理 完成一件事，有两类办法完成一件事，有两类办法. 在第在第1类办法中有类办法中有m种不同的方法，在第种不同的方法，在第2类方法中有类方法中有n种不同的方种不同的方法，则完成这件事共有法，
4、则完成这件事共有 2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数类标准下进行分类，然后对每类方法计数.1）各类办法之间相互独立）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，都能独立的完成这件事，要计算方法种数要计算方法种数,只需将各类方法数相加只需将各类方法数相加,因此分类计因此分类计数原理又称数原理又称加法原理加法原理说明说明说明说明N= m+n种不同的方法种不同的方法问题问题3 3、用前用前6 6个大写英文字母和个大写英文字母和1 19 9九个阿拉九个阿拉伯数字，以伯数字，以A A1 1，A A2 2，B B1
5、 1，B B2 2，的方式给教室里的座位编号，总共能编出多的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？少个不同的号码？字母字母数字数字得到的号码得到的号码A A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A9树形图树形图二、分步计数原理二、分步计数原理二、分步计数原理二、分步计数原理 完成一件事，需要两个步骤。做第完成一件事，需要两个步骤。做第1步有步有m种不种不同的方法，做第同的方法，做第2步有步有n种不同的方法，则完成这件事种不同的方法，则完成这件事共有共有 2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，然后对每步方法计数然后
6、对每步方法计数.1）各个步骤相互依存）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了只有各个步骤都完成了,这件事这件事才算完成才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数方法总数,又称又称乘法原理乘法原理说明说明说明说明N= mn种不同的方法种不同的方法 加法原理加法原理 乘法原理乘法原理联系联系区别一区别一完成一件事情共有完成一件事情共有n类类办法，关键词是办法，关键词是“分类分类”完成一件事情完成一件事情,共分共分n个个步骤，关键词是步骤，关键词是“分步分步”区别二区别二每类办法都能每类办法都能独立完成独立完成这件事情。这件事情。每一步得到的只是中
7、间结果，每一步得到的只是中间结果，任何一步都任何一步都不能能独立完成不能能独立完成这件事情这件事情，缺少任何一步也，缺少任何一步也不能完成这件事情，只有每不能完成这件事情，只有每个步骤完成了，才能完成这个步骤完成了，才能完成这件事情。件事情。分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题。完成一件事情的不同方法的种数的问题。区别三区别三各类办法是互斥的、各类办法是互斥的、并列的、独立的并列的、独立的各步之间是相关联的各步之间是相关联的分类计数与分步计数原理的区别和联系：分类计数与分步计数原理的区别和联系：例例1在填写高考志
8、愿表时，一名高中毕业生了解到在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学大学B大学大学生物学生物学化学化学医学医学物理学物理学工程学工程学数学数学会计学会计学信息技术学信息技术学法学法学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？解：这名同学在解：这名同学在A大学中有大学中有5种专业选择，在种专业选择，在B大学中有大学中有4种专业选择。种专业选择。根据分类计数原理：这名同学可能的专业选择共有根据分类计数原理：这名同学可能的专
9、业选择共有5+49种。种。例例2、设某班有男生设某班有男生30名，女生名，女生24名。现要从中选出名。现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？的选法？例例3、肥城市的部分电话号码是肥城市的部分电话号码是0538323,后面每个后面每个数字来自数字来自09这这10个数个数,问可以产生多少个不同的电话问可以产生多少个不同的电话号码号码?变式变式: 若要求最后若要求最后4个数字不重复个数字不重复,则又有多少种不同则又有多少种不同的电话号码的电话号码?053832310 10 10 10=104分析分析:分析分析:=504010
10、987例例4、 书架上第书架上第1层放有层放有4本不同的计算机书本不同的计算机书,第第 2层放有层放有3本不同的文艺书本不同的文艺书,第第3层放有层放有2本不同的本不同的体育杂志体育杂志.(2)从书架的第从书架的第1、 2、 3层各取层各取1本书本书,有多少种有多少种 不同取法不同取法? N43+29 N4 3224(1)从书架上任取从书架上任取1本书本书,有多少种不同的取法有多少种不同的取法?解：需先分类再分步解：需先分类再分步. .（3 3）从书架上取）从书架上取2 2本不同种的书本不同种的书, ,有多少种不同有多少种不同的取法的取法? ?根据两个基本原理，不同的取法总数是根据两个基本原理
11、，不同的取法总数是 N=43+42+32=26N=43+42+32=26第一类：从一、二层各取一本，第一类：从一、二层各取一本，有有43=1243=12种方法；种方法；第二类：从一、三层各取一本，第二类：从一、三层各取一本，有有42=842=8种方法；种方法；第三类：从二、三层各取一本，第三类：从二、三层各取一本，有有32=632=6种方法；种方法；答答: : 从书架上取从书架上取2 2本不同种的书本不同种的书, ,有有2626种不同种不同的取法的取法. .例例5、要从甲、乙、丙要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出幅不同的画中选出2幅，幅，分别挂在左右两边墙上的指定位置，问共有多分别挂在左右两边墙
12、上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？少种不同的挂法？课堂练习课堂练习1、8本不同的书，任选本不同的书，任选3本分给本分给3个同学，每个同学，每人人1本，有多少种不同的分法？本，有多少种不同的分法？2、将、将4封信投入封信投入3个邮筒，有多少种不同的投个邮筒，有多少种不同的投法？法？3、已知、已知则方程则方程 可表示不同的圆的可表示不同的圆的个数有多少？个数有多少？6.三个比赛项目，六人报名参加。三个比赛项目，六人报名参加。）每人参加一项有多少种不同的方法？每人参加一项有多少种不同的方法？）每项人，且每人至多参加一项，有多每项人，且每人至多参加一项，有多少种不同的方法？少种不同的方法？）每项人
13、，每人参加的项数不限，有多）每项人，每人参加的项数不限，有多少种不同的方法？少种不同的方法？7.现要安排一份现要安排一份5天值班表，每天有一个人值班。共有天值班表，每天有一个人值班。共有5个人，个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不能由同一个每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不能由同一个人值班，问此值班表由多少种不同的排法？人值班，问此值班表由多少种不同的排法？解：分解：分5步进行：步进行：第一步：先排第一天，可排第一步：先排第一天，可排5人中的任一个，有人中的任一个，有5种排法；种排法；第二步：再排第二天，此时不能排第一天的人，有第二步：再排第二天，此时不能排第一天的人，有4
14、种排法种排法;第三步：再排第三天，此时不能排第二天的人，有第三步：再排第三天，此时不能排第二天的人，有4种排法种排法;第四步：同前第四步：同前第五步：同前第五步：同前由分步计数原理可得不同排法有由分步计数原理可得不同排法有544441280种种8.个班分别从个风景点中选择一处游览，不同选法的种个班分别从个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是数是还是还是？9.乘积（乘积（a1+a2+a3 ）（）（b1+b2+b3+b4 ）（）（c1+c2+c3+c4+c5）展开后共有多少项？展开后共有多少项？ 10.如图如图,该该电路电路,从从A到到B共有多少条共有多少条不同的线路不同的线路可通电？可通电？A
15、B解解: 从总体上看由从总体上看由A到到B的通电线路可分三类的通电线路可分三类, 第一类第一类, m1 = 3 条条 第二类第二类, m2 = 1 条条 第三类第三类, m3 = 22 = 4, 条条 所以所以, 根据分类原理根据分类原理, 从从A到到B共有共有 N = 3 + 1 + 4 = 8 条不同的线路可通电。条不同的线路可通电。在解题时有时既要分类又要分步。在解题时有时既要分类又要分步。课堂小结课堂小结相同点相同点:回答的都是有关做一件事的不同方法总数回答的都是有关做一件事的不同方法总数的问题的问题分类计数原理与分步计数原理的异同分类计数原理与分步计数原理的异同:区别在于：分类计数原
16、理针对的是区别在于：分类计数原理针对的是“分类分类”问题，问题，其中各种方法相互独立，用任何一种方法都可以其中各种方法相互独立，用任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对的是做完这件事；分步计数原理针对的是“分步分步”问问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事都完成才算做完这件事 分类计数原理：分类计数原理：分类计数原理：分类计数原理：针对的是针对的是针对的是针对的是“ “分类分类分类分类” ”问题。问题。问题。问题。各类方法相互独立。各类方法相互独立。各类方法相互独立。各类方法相互独立。 分步计数原理：分步计数原理：分步计数原理：分步计数原理：针对的是针对的是针对的是针对的是“ “分步分步分步分步” ”问题。问题。问题。问题。 每步相互依存。每步相互依存。每步相互依存。每步相互依存。 结束语结束语 两大原理妙无穷两大原理妙无穷,茫茫数理此中求茫茫数理此中求;万万千千说不尽万万千千说不尽,运用解题任驰骋运用解题任驰骋。思考：已知二次函数思考：已知二次函数 若若 则可以得到多少个则可以得到多少个不同的二次函数？其中图象过原点的二次函不同的二次函数？其中图象过原点的二次函数有多少个？图象过原点且顶点在第一象限数有多少个？图象过原点且顶点在第一象限的二次函数又有多少个？的二次函数又有多少个？
