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1、 设设 f(x) 在区间在区间a,b上连续，则对于任意的上连续，则对于任意的x( )，积分，积分 存在，存在，注意：积分上限注意：积分上限x与被积表达式与被积表达式f(x)dx中的积分变量中的积分变量x是两个不同的概念，在求积时是两个不同的概念，在求积时(或或说积分过程中说积分过程中)x是固定不变的，而积分变量是固定不变的，而积分变量x是在下限与上限之间变化的是在下限与上限之间变化的2-9 2-9 变上限定积分变上限定积分，因此常记为，因此常记为是上限是上限x的函数的函数.定理定理(积分中值定理积分中值定理) ) 若函数若函数 f(x) 在闭区间在闭区间 a,b 上上 连续，则在连续，则在 a
2、,b 内内至少存在一个点至少存在一个点c ，使，使得得证证即即前页前页结束结束后页后页几何意义：几何意义：在在 上至少存在一点上至少存在一点 ,使得曲边梯形的面积等于同使得曲边梯形的面积等于同一底边而高为一底边而高为 的矩形的的矩形的面积面积.前页前页结束结束后页后页说明说明: 可把故它是有限个数的平均值概念的推广. 积分中值定理对因定理定理2证证前页前页结束结束后页后页前页前页结束结束后页后页由此推出由此推出因而因而证毕证毕.由上述结论可知：尽管不定积分与定积分概念的引入完全不同，但彼此有着密切的由上述结论可知：尽管不定积分与定积分概念的引入完全不同，但彼此有着密切的联系，因此我们可以联系，因此我们可以通过求原函数来计算定积分通过求原函数来计算定积分.定理定理2也称作原函数存在定理也称作原函数存在定理前页前页结束结束后页后页例例 1 设解解则则由由和和复合而成的复合函数复合而成的复合函数.则则前页前页结束结束后页后页例例 2 设设解解前页前页结束结束后页后页说明说明:1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.2) 变限积分求导:同时为通过原函数计算定积分开辟了道路 .
