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1、常用常用计算名算名词英英汉对照照determinant行列式行列式norm范数，模方范数，模方inverse倒数倒数,逆逆pseudoinverse伪逆逆conjugate共共轭rank秩秩exponential指数的指数的logarithm对数数naturallogarithm自然自然对数数phase相位相位modulus模数模数minus减的减的,负的的infinity无无穷大大remainder余数余数eigenvalue特征特征值eigenvector特征向量特征向量triangular三角的三角的unitarymatrix酉矩酉矩阵orthogonal正交的正交的噪工刑讹烈僻偿佳权朱
2、困寇捶鹿焙猴习必藏昔好平诅还馋宏默棚磊哉棒习矩阵运算基础矩阵运算基础1第2章 矩阵运算基础矢量:一行或一列元素标量:有一个元素数组运算：以数组的元素为运算对象矩阵运算：以矩阵整体为对象一、一、矩阵的创建矩阵的创建1、命令窗口直接命令窗口直接创建创建整个矩阵元素包含在整个矩阵元素包含在“”内内行与行之间以行与行之间以分号分号(；)或或Enter键键分隔；分隔；轰壶颁隆涧扭魔煽粘腑拔竭纱妒什幽婆焙穆毫鹿率窍剂仲软诉蛾口茧泞江矩阵运算基础矩阵运算基础2行内的元素间用行内的元素间用逗号逗号(,)或或空格空格分隔分隔；矩阵大小可以不必预先定义矩阵大小可以不必预先定义矩矩阵阵元元素素可可以以是是数数值值、
3、表表达达式式或或函函数数，表表达达式式或或函函数数的的值值是是能能计计算算出出来来的的，不不能能是是未未知变量知变量；矩矩阵阵元元素素可可以以是是复复数数（complex）:用用书书写写方方法法直直接接输输入入（虚虚数数单单位位用用i或或j表表示示） ；或或用用一一个个矩矩阵阵表表示示复复数数的的实实部部，另另一一个个矩矩阵阵表表示矩阵的虚部，最后将两个矩阵相加；示矩阵的虚部，最后将两个矩阵相加；矩阵矩阵“”内无任何元素时，称之为空阵；内无任何元素时，称之为空阵；加加例例:2-1埃炯泛跌耳绩实鲜芦梁累丘缩盅凑钝暗津畸合凄捞只愚妨置唁九裂然架匈矩阵运算基础矩阵运算基础3加例加例2-1A=2345
4、;3456;4567;78910x=2;y=pi/3A=2,3,cos(y);x,2*x,3*x;x,x/2,x/4%表达式表达式A1=2+3i,3+4i,4;1+2i,2+3i,5;7,9,2+3i%复数复数等价于：等价于：B=2,3,4;1,2,5;7,9,2;C=3,4,0;2,3,0;0,0,3;A2=B+C*iD=;%可以赋给矩阵的某可以赋给矩阵的某一块一块，使之为，使之为空空翘吸烽呻撬螺力呛冻玖祝昔抓施葵碉譬芬第圾库畔佃稿陶猜旱菊舔篆从累矩阵运算基础矩阵运算基础42、编编辑辑器器（MatrixEditor）创创建建:当当要要建立较大的矩阵时使用建立较大的矩阵时使用预先定义变量预先定
5、义变量打开工作空间浏览器打开工作空间浏览器打开矩阵编辑器打开矩阵编辑器改变元素值改变元素值改变矩阵维数改变矩阵维数可以实现与Excel功能互补镶成银断寅替脯忧敖借褥匣饮灵军辐翌斯匪瞎吠捏败肪沙湖鸡坐屿泅门刁矩阵运算基础矩阵运算基础53、矩阵函数、矩阵函数zeros全零矩阵全零矩阵ones全幺矩阵全幺矩阵eye生成单位阵生成单位阵加例2-2A=zeros(3,4)%2个参数个参数B=ones(size(A)%形成与形成与A结构相同的全结构相同的全1矩阵矩阵C=eye(6)%1个参数个参数D=eye(3,5)伍幽鳞刚魔骗击坏犀蛋滩呻砚酒殷戊杰捶碗摇走梅民它拿茨裹蹲旦歧侯塑矩阵运算基础矩阵运算基础6
6、4、从外部数据文件调入矩阵、从外部数据文件调入矩阵命令命令调入文本文件调入文本文件格式：格式：loadfilename.dat/txt菜菜 单单 :fileimportdata选选 择择 文文 件件finish矩阵进入工作环境矩阵进入工作环境说说明明:1 1、文文本本文文件件中中数数据据要要排排成成一一个个矩矩形形表表, ,数数据据之之间间用用空空格格分分开开, ,一一行行数数据据即即为为矩矩阵阵的的一一行行, ,且且各各行行数据元素个数必须相等数据元素个数必须相等2、文文本本文文件件中中数数据据之之间间用用制制表表符符分分开开,形形如如EXCEL的数据格式（的数据格式（Tab）例：例：读入默
7、认格式：读入默认格式：laodtest.mat导入文本文件：导入文本文件：loadtest.txt艰修肖慢涵贰膛键酌倚闻泼乱侈宫委梆斟播段迎氮习隅献务詹喻飞坊枕铜矩阵运算基础矩阵运算基础75、矩阵元素的标识矩阵元素的标识q矢量的生成矢量的生成利用冒号利用冒号(:)加加例例:2-3a)x=i:j步步长长为为1,当当ij时时,生成生成x空矢量空矢量;b)x=i:j:k如如：j0,则则ik,生生成成均均匀匀等等分分矢矢量量,步长为步长为j;如如：jk,生生成成均均匀匀等等分分矢矢量量,步步长长为为-|j|;浚醉伦扎蛊溶禾羌闪舆觉革症袍殷浓傀惕发怀熟稍聘叔阴哨炸挝携陨布陈矩阵运算基础矩阵运算基础8加例
8、加例2-3a=1:6b=2:2:10c=0:-1:2%步长为步长为-1d=8:1:4q矩矩阵阵元元素素的的标标识识:元元素素和和子子矩矩阵阵可可以以用用标标量、矢量和冒号的标识来引用和赋值量、矢量和冒号的标识来引用和赋值子矩阵的序号矢量标识方式子矩阵的序号矢量标识方式A(u,v)u,v是是可可以以任任意意排排列列的的正正整整数数矢矢量量（不不是是特特别别要要求求，最最好好使使用用单单调调序序号号），分分别别表表示示子子矩矩阵阵元素在母矩阵中的行号和列号。元素在母矩阵中的行号和列号。A(u,v)的的行行数数或或列列数数不不受受限限制制，但但正正整整数数值值一一定定在在行行数和列数的范围内数和列数
9、的范围内价陈谣翟陨旨墓投样匡雨屏蛙泻券羊祸堆笋肄姥溜骇彩撮话蹲逃插榷贵甄矩阵运算基础矩阵运算基础9“纯纯”冒冒号号，形形如如A(L1,:)：表表示示子子矩矩阵阵是是母母矩矩阵阵L1行行的的所所有有元元素素，A(:,L2)：表表示示子子矩矩阵阵是是母母矩矩阵阵L2列列的的所所有有元元素素，A(:,:):矩矩阵阵的所有元素的所有元素。加例：加例：2-4A=magic(4)A1=A(1:2,1,2,4)%提取第提取第1,2行；第行；第1,2,4列的元素列的元素A2=A(4，1，：，：)%提取第提取第4,1行的元素，注意先后行的元素，注意先后A(1,3,2,4)=0%第第1,3行；第行；第2,4列的元
10、素置零列的元素置零D=A(1,3,2,1,3,3,2,1,3,2,1)%扩充后传递给扩充后传递给乙构皖窜贬滓恨轰眷晰棍督狗眨打得毯衰扒祝稀聘车赴硬彻女殆盔毙莹牟矩阵运算基础矩阵运算基础10单单下下标标标标识识，元元素素排排序序：第第1列列第第1行行元元素素,第第1列列第第2行行元元素素第第1列列最最后后1行行元元素素,第第2列列第第1行行元元素素,第第2列列第第2行行元元素素第第2列列最最后后1行行元元素素如如此此类类推推,对对于于矩矩阵阵(m,n)的的第第i行行第第j列列元元素素的的单单下下标标k=m(j-1)+i 加例：加例：2-5跑瑶值贴墟抖觉埂伴跌萧颜舵失客点媚趟康粪颅岭罪峭蹋毛肇擂匣
11、讯跑屏矩阵运算基础矩阵运算基础11二二、矩阵和数组的算术运算矩阵和数组的算术运算1、矩阵和数组的加减运算、矩阵和数组的加减运算二二者者没没有有区区别别，都都是是元元素素间间的的加加减减，只只是是参参加加加减运算的两个矩阵结构要相同。加减运算的两个矩阵结构要相同。【例【例2-42-4】两个矩阵分别为】两个矩阵分别为1 2 3;4 5 6;7 8 91 2 3;4 5 6;7 8 9和和1 1 1;2 1 1 1;2 2 2;3 3 32 2;3 3 3， 求两者相加的和。求两者相加的和。a=123;456;789;b=111;222;333;c=a+b【例例2-52-5】两两个个矩矩阵阵分分别别
12、为为1 1 2 2 3;4 3;4 5 5 6;7 6;7 8 8 99和和1 1 1 1 11，阶数不同，求两者相减的差。阶数不同，求两者相减的差。a=123;456;789;b=111;c=a-b；%错误提示：错误提示：Matrixdimensionsmustagree.谈择啊忍串盘钳岩疚钞确获末坏牵荡琉疡馁霖揍掉点揍灵枯豺赏芝进糖药矩阵运算基础矩阵运算基础122、矩阵的乘法、矩阵的乘法* 矩阵乘法运算要符合矩阵乘法运算要符合线性代数矩阵运算线性代数矩阵运算的要求：的要求：左边矩阵的列数与右边矩阵的行数相同。左边矩阵的列数与右边矩阵的行数相同。【例【例2-62-6】两个矩阵相乘，矩阵】两个
13、矩阵相乘，矩阵a a为为 ，矩阵，矩阵b b为，分别为，分别计算计算c=a*bc=a*b和和d=b*ad=b*a。a=123;456;789;b=123;c1=a*b%有错误？有错误？c2=b*a%有错误？有错误？袄版键扮毕扼磁天粗项晌蹲该油貉幼谣屿烁捞屋日嚏咀皆循趣卵飞您秤挠矩阵运算基础矩阵运算基础13computer计算机类型计算机类型eps相对精度相对精度i,j复数中的虚数单位复数中的虚数单位pi圆周率圆周率realmax计算机能够显示的最大浮点数计算机能够显示的最大浮点数realmin计算机能够显示的最小浮点数计算机能够显示的最小浮点数version字符串格式的字符串格式的MATLAB
14、版本版本馈淀揍枪毗偶抒沿欧沾们戳信雾衷抛拔移尤宽题讼侦蠕扯虑叁馈雨字骤稽矩阵运算基础矩阵运算基础14usingular奇异阵奇异阵uBadlyscaled病态阵病态阵uinfMatlab用用来来表表示示无无穷穷大大的的专专用用变变 量量 ， 可可 以以 避避 免免 零零 溢溢 出出 （ zerooverflow）uInnermatrixdimensionsmustagree矩阵相乘出错：维数不对矩阵相乘出错：维数不对错误提示信息说明错误提示信息说明外秧镭宗超鄂豆泄激犀科椰可镑笛俗室皇垣版也拔僚印箔嫩咙土雁傈僻呢矩阵运算基础矩阵运算基础153、数组的乘（数组的乘（.*）、除法（）、除法（./右除
15、、右除、.左除）左除）数数组组乘乘、除除法法仍仍是是元元素素间间的的运运算算，有有时时称称之之为为“点点运运算算”。作作除除数数的的矩矩阵阵其其元元素素应应是是非零，作除数的标量也应是非零的。非零，作除数的标量也应是非零的。同结构数组间的乘除运算同结构数组间的乘除运算A.*B:A的元素乘以的元素乘以B的对应元素的对应元素A./B:A的元素除以的元素除以B的对应元素的对应元素A.B:B的元素除以的元素除以A的对应元素的对应元素数组数组B与标量与标量c间的乘除运算间的乘除运算c.*B=B.*c:B的每一个元素乘以的每一个元素乘以cc./B=B.c:c除以除以B的每一个元素的每一个元素c.B=B./
16、c:B的每一个元素除以的每一个元素除以c签柏扯毗冲琅藉尺悄娥亦蹄奋满管烙柒贡蔡紧讣橙独缚生蜀酞喻考捞钨嗡矩阵运算基础矩阵运算基础16【例【例2-72-7】两个数组相乘，数组】两个数组相乘，数组a a为为 ，数组，数组b b为为 ，求两数组的乘法。，求两数组的乘法。a=123;b=456;d=5c1=a.*bC2=d.*a【例【例2-92-9】数组】数组a a为为 ，数组，数组b b为为 ，求两数组的，求两数组的除法。除法。a=123;b=456;d=5c=a.bc=b./ac3=d./ac4=d.a俭熊悯全焙戎羌篷喇蓟种型芯虚掺帝跑醇淖焰驹阉每僵驮臂晃面崩寻达伯矩阵运算基础矩阵运算基础174、
17、矩阵的除法、矩阵的除法/、矩阵除法运算要符合线性代数矩阵运算的要求：矩阵除法运算要符合线性代数矩阵运算的要求：右除右除a/b:a矩阵矩阵列数列数等于等于b矩阵矩阵列数列数左除左除ab:a矩矩行数行数等于等于b矩阵矩阵行数行数作除数的矩阵应是作除数的矩阵应是非奇异非奇异的的【例【例2-82-8】两个矩阵相除】两个矩阵相除, ,矩阵矩阵a a和和b b均为均为3333阶矩阵。阶矩阵。a=rand(3)b=rand(3)c=a/bd=ba叠丙豆斤颊陨湍姿奏把研溅赌共袜裳绵嘉幻韵复煎匹纵搅菲幸架墅须爱耻矩阵运算基础矩阵运算基础185、矩阵的幂、矩阵的幂apla是矩阵，是矩阵，p为标量为标量a是方阵是方
18、阵p是大于是大于1的的整数整数时，则时，则a自乘自乘p次次当当p为负整数时，表示方阵直接自乘为负整数时，表示方阵直接自乘p次后的次后的逆逆当当p为为0时，将给出和方阵时，将给出和方阵A同维的同维的单位阵单位阵。p为小数时，为小数时，ap=v*d.p/v,v,d=eig(a)la是标量，是标量，p为方阵为方阵ap=v*ad/v,v,d=eig(p)la是标量，是标量，p不不为方阵，则为方阵，则ap是错误的是错误的炕彦耳蜗惺莎识疆推窟雨驻筛婶澄干搜央持如息辙脱逮尘茅哀馅柬橱简坷矩阵运算基础矩阵运算基础19【例【例2-102-10】矩阵】矩阵a a为为1 2;3 41 2;3 4，求它的，求它的1.
19、51.5次幂。次幂。a=1 2;3 4;a=1 2;3 4;c=a1.56、数组的幂、数组的幂a.pla是矩阵，是矩阵，p为矩阵为矩阵,且且a与与p的结构相同的结构相同a与与p对应位置元素进行幂运算：对应位置元素进行幂运算：a(i).p(i)la是矩阵，是矩阵，p为标量为标量a每一个元素与每一个元素与p进行幂运算：进行幂运算：a(i).pla是标量，是标量，p为矩阵为矩阵a与与p的每一个元素进行幂运算：的每一个元素进行幂运算：a.p(i)云咋惭汾弦价焚墨空移酶帖距芽骗搂瘁携殆阮吨燃羔力骡浪会掂厅伺笋策矩阵运算基础矩阵运算基础20【例【例2-112-11】数组】数组a a为为1 2 31 2 3
20、，数组，数组b b为为4 5 64 5 6，求数组的幂求数组的幂c=a.bc=a.b。a=1 2 3;a=1 2 3;b=4 5 6;b=4 5 6;c=a.bc=a.b【例【例2-122-12】数组】数组a a为为1 2 31 2 3，求数组的幂，求数组的幂c=a.2c=a.2。a=1 2 3;a=1 2 3;c=a.2c=a.2【例【例2-132-13】数组】数组a a为为1 2 31 2 3，求数组的幂运算，求数组的幂运算c=2.ac=2.a。a=1 2 3;a=1 2 3;c=2.ac=2.a卜男下浊栅棍汕歪归荫挞仙怒廉苟到涅过辐韩厅母恋奔埂钓撞栅篓洲择蜂矩阵运算基础矩阵运算基础217
21、、矩阵的转置、矩阵的转置a或或a.la:矩阵矩阵a的共轭转置的共轭转置la.:矩阵矩阵a的转置的转置l若若a是实数矩阵，则是实数矩阵，则a=a.【例【例2-14】矩阵】矩阵a为为123;456;789,计算计算a的转置的转置a=123;456;789;c=a【例【例2-15】矩阵】矩阵a为为1+2i3+4i,计算计算a的转置。的转置。a=1+2i3+4i;c=ac=a.御棱疯木蔫舵囊拙窗苑扯季撞莫仲格想拘欣赐念糠贝砒驰歧怔蛇嫂它蛊仅矩阵运算基础矩阵运算基础22三、关系运算和逻辑运算三、关系运算和逻辑运算MATLAB对此类运算符有如下规定：对此类运算符有如下规定：l所所有有的的关关系系表表达达式
22、式或或逻逻辑辑表表达达式式中中，任任何何非非0数都是数都是“逻辑真逻辑真”，只有，只有0才是才是“逻辑假逻辑假”l关关系系表表达达式式或或逻逻辑辑表表达达式式的的计计算算结结果果是是一一个个由由0和和1组组成成的的“逻逻辑辑数数组组(LogicalArray)”,数数组中组中1表示表示真真，0表示假表示假l逻逻辑辑数数组组是是一一种种特特殊殊的的数数值值数数组组，对对“数数值值数数组组”操操作作有有关关命命令令和和函函数数也也适适用用它它；同同时时又又具有自身的具有自身的特殊用途特殊用途l优先级别：优先级别：算术运算算术运算关系运算关系运算逻辑运算逻辑运算萍咒段蔫笔凸学弘守傲蔡燥垛忆森躬梦绥红
23、乌措诵该兄絮嫁傀要揩仆褥傣矩阵运算基础矩阵运算基础231、关系运算、关系运算两个标量两个标量a、b比较：成立为比较：成立为1，反之为，反之为0一一个个标标量量a和和一一个个数数组组B比比较较：a与与B中中的的每每一一个个元元素素进进行行比比较较，运运算算结结果果是是与与B同同维维的的逻逻辑辑数数组组C，C由由0和和1组成组成两两个个同同维维的的数数组组A、B比比较较：A与与B同同位位置置的的元元素素进进行行比比较较，运运算算结结果果是是与与A、B同同维维的的逻逻辑辑数数组组C，C由由0和和1组成组成小于小于大于等于大于等于小于等于小于等于等于等于大于大于不等于不等于勾庐坑脖宪芋牙极递详撰累投煤
24、箩流荣裂颤日壕慌孵吸谬线槽将蓄腊标双矩阵运算基础矩阵运算基础24【例【例2-162-16】矩阵】矩阵a a和和b b均为均为1313阶矩阵，使用阶矩阵，使用关系运算符对对应元素进行比较。关系运算符对对应元素进行比较。a=0-12;b=-312;ababa=ba=ba=b符悍噪卑狈泥孝溜乱蜗蚤选壕谭剖耐炔范梢层折娠尺魂恐萄按溉锤重踌蓉矩阵运算基础矩阵运算基础252、逻辑运算、逻辑运算&:逻辑与，对应元素均为非逻辑与，对应元素均为非0时，结果为时，结果为1，否则为，否则为0|:逻逻辑辑或或，对对应应元元素素有有一一个个为为非非0时时，结结果果为为1，否否则则为为0:“逻逻辑辑非非”运运算算是是一一
25、元元运运算算符符：非非0元元素素的的逻逻辑辑非非为为“真真”，用，用1表示；表示；0元素的逻辑量为假，用元素的逻辑量为假，用0表示表示一一个个标标量量a和和一一个个数数组组B进进行行逻逻辑辑运运算算：a与与B中中的的每每一一个个元元素素进进行行运运算算，运运算算结结果果是是与与B同同维维的的逻逻辑辑数数组组C，C由由0和和1组成组成两两个个同同结结构构的的数数组组A、B逻逻辑辑运运算算：A与与B同同位位置置的的元元素素进进行行逻逻辑辑运运算算，运运算算结结果果是是与与A、B同同维维的的逻逻辑辑数数组组C，C由由0和和1组成组成优先级别：逻辑非优先级别：逻辑非逻辑与逻辑与和和逻辑或逻辑或同级同级
26、胎草汛辐搂苹怠在摈瑶威虑族雌仆拳哎触禽植块铲树猾矫瓢众彦寝师酬君矩阵运算基础矩阵运算基础26【例【例2-17】矩阵】矩阵a和和b均为均为23阶矩阵，使用逻阶矩阵，使用逻辑运算符计算对应元素。辑运算符计算对应元素。a=103;0-16;b=-100;050.3;a&ba|bab磷管帜镜哎勾颗塔泞摇哀多喧瘸摔峨巳别蹈贬渭扰萄质吧琳感敲林眩伪琵矩阵运算基础矩阵运算基础273、关系函数与逻辑函数、关系函数与逻辑函数lany(A)判断判断“向量向量中元素是否有中元素是否有非非0”的函数的函数若若A为为向向量量，则则A中中至至少少有有一一个个元元素素为为非非0数数，函函数数值为值为1；所有元素为；所有元素
27、为0，则返回，则返回0。若若A为为矩矩阵阵，则则按按列列向向量量判判断断，若若某某列列有有一一个个元元素素为非为非0，则该列比较结果为，则该列比较结果为1，否则为，否则为0。lall(A)判断判断“向量向量中中所有元素所有元素是否是否都都是是非非0”的函数的函数若若A为为向向量量，则则A中中所所有有元元素素为为非非0数数，函函数数值值为为1；有一个元素为；有一个元素为0，则返回，则返回0。若若A为为矩矩阵阵，则则按按列列向向量量判判断断，若若某某列列有有一一个个元元素素为为0，则该列比较结果为，则该列比较结果为0，否则为，否则为1。律憨玉芭诌赛找桅摸渤运镀放蛮遵迟卡枚什肝颈附绑夕于篇捅病候有咖
28、捆矩阵运算基础矩阵运算基础28lfind找找出出向向量量或或矩矩阵阵中中非非0元元素素的的位位置置和和标识标识I=find(X)返返回回X中中所所有有非非0元元素素的的位位置置标标识识组组成成的的向向量量，无无非非0元元素素则则会会返返回回空空值值。返返回回的的值值为非为非0元素依次元素依次纵向纵向计数位置计数位置(单下标单下标)。I,J=find(X)返返回回X的的非非0元元素素行行和和列列的的标识，其中标识，其中I是行标识，是行标识，J是列标识是列标识I,J,V=find(X)返返回回X的的非非0元元素素行行和和列列的的标标识识，其其中中I是是行行标标识识，J是是列列标标识识，同同时时将非
29、将非0元素的值放入列向量元素的值放入列向量V中。中。加加例例:2-6恰邱庇拷献焰跪靠乔蹦烬业拔株汇郴萎烃基懊腹疆娇闻轮轧保特德颜期哀矩阵运算基础矩阵运算基础29例例:2-6A=048;902;537find(A)%返回返回A中非中非0元素的单下标号元素的单下标号i,j=find(A)i,j,v=find(A)find(A8%L是是“logicalarray”X=A(L)%将将A中被矩阵中被矩阵L标识的所有元素赋给矢量标识的所有元素赋给矢量XDl=191119111151411514Y=A(Dl)%数值矩阵定位数值矩阵定位揉岩亨涅橱竟背效毖滴丘虑菠藩盖浓澜瘪加题焉范厨魂逃溺趁书溉露们袜矩阵运算基
30、础矩阵运算基础34四、矩阵函数四、矩阵函数函数名称函数名称功功能能det(a)方方阵阵a的行列式值的行列式值inv(a)矩阵矩阵a的逆的逆rank(a)矩阵矩阵a的的秩的的秩expm(a)矩阵矩阵a的指数的指数eam表示表示matrixlogm(a)矩阵矩阵a的对数的对数log(a)钒颅泵胸振绥斌箔灶篓僻缩构遇蔡鲜跃荷北假希翌着托疟愉殴篇谜蚤悯盼矩阵运算基础矩阵运算基础35函数名称函数名称功功能能pinv(a)矩阵矩阵a的的伪伪逆逆norm(a)矩阵矩阵(向量向量)a的范数的范数cond(a)矩阵矩阵a的条件数的条件数1.条件数越高，病态可能性越大条件数越高，病态可能性越大2.cond(a)=
31、norm(a)*norm(inv(a)篙温恳膨哑构吻申医枣阎绦勺井够谆岁恢韧芳舅瑶唾近藐瓤阅耻蘸天镀扔矩阵运算基础矩阵运算基础36【例【例2-19】矩阵】矩阵a为为123;456;789，计算，计算a的的逆矩阵和伪逆矩阵。逆矩阵和伪逆矩阵。a=123;456;789;c1=inv(a)%逆逆c2=pinv(a)%伪逆伪逆d=det(a)%行列式的值行列式的值r=rank(a)%秩秩n=norm(a)%范数范数e=expm(a)%指数指数l=logm(a)%对数对数cd=cond(a)%条件数条件数历屈处非蹿磕弯危古侍诉拷踢衫兔蝶鸭齐懊疑浅芳奏拥拟崎童溢苹核鲤淑矩阵运算基础矩阵运算基础37l通用
32、函数通用函数(对矩阵元素的函数对矩阵元素的函数)三角函数（数据对象单位是三角函数（数据对象单位是弧度弧度）sin正弦正弦asin反正弦反正弦cos余弦余弦acos反余反余胘胘tan正切正切atan反正切反正切sec正割正割asec反正割反正割如果如果x0是角度，则转为弧度：是角度，则转为弧度：x*pi/180加例加例27：x=60fd=x*pi/180s=sin(fd)as=asin(s)c=cos(fd)ac=acos(c)t=tan(fd)at=atan(t)们潘蝶绑牡椅陋件稳靴新膏令规橙版攀胸妒灿肃阂幻惶只她摆窄敷熬秃溪矩阵运算基础矩阵运算基础38指数函数指数函数exp:exp:以以e
33、e为底的指数为底的指数 pow2:2 pow2:2的幂次的幂次log:log:自然对数自然对数 log10:log10:以以1010为底的对数为底的对数log2:log2:以以2 2为底的对数为底的对数 sqrt: sqrt:开平方开平方加例加例28：t=3et=exp(t)pt=pow2(t)lt=log(et)l10=log10(1000)l2=log2(pt)sq=sqrt(9)很诊贯虎玻怂痹喳捂烛谆认构寇焉碳嘿诬炸厉孩汽趋缚掳遭饥坐八渠贿钝矩阵运算基础矩阵运算基础39复数函数复数函数abs：绝对值，复数的模：绝对值，复数的模angle：相位角：相位角conj：复数的共轭：复数的共轭co
34、mplex(a,b)=a+j*b=a+i*b构造复数构造复数real：复数实部：复数实部imag：复数虚部：复数虚部isreal：判断对象是否为实数：判断对象是否为实数,结果为逻辑值结果为逻辑值加例加例29：x=3;y=6z=complex(x,y)zab=abs(z)zan=angle(z)zconj=conj(z)zi=imag(z)zr=real(z)宜劈今壹装广妈只庄饭融潜燕雷馈再污暮坐疮飘扦后赃仍壁坠抗衣颠粱狱矩阵运算基础矩阵运算基础40取整函数取整函数fix：朝零方向取整：朝零方向取整floor：朝负无穷大方向取整，意：地板：朝负无穷大方向取整，意：地板ceil：朝正无穷大方向取整
35、，意：天花板：朝正无穷大方向取整，意：天花板round：四舍五入到：四舍五入到最近最近的整数的整数sign：符号函数，在信号处理中常用：符号函数，在信号处理中常用mod：求余数：求余数,mod(x,y)=x-floor(x./y).*yrem：除除后后求求余余数数，与与平平时时结结果果相相同同，是是整整数数也也可可能是小数能是小数计飞瞎贬讥赛洼跃抱粪模止汝任蒙少养什完挪刀竞愧鼓呕盏孟椿励玄烧隔矩阵运算基础矩阵运算基础41加例加例210:p=3.7; n=-3.7fp=fix(p);fn=fix(n)flp=floor(p);fln=floor(n)cp=ceil(p);cn=ceil(n)rp
36、=round(p);rn=round(n)m1=mod(9,2);m11=9-floor(9./2).*2m2=mod(-9,2);m22=-9-floor(-9./2).*2r1=rem(9,2);r2=rem(-9,2);r3=rem(9.3,2.1)s1=sign(p); s2=sign(0);s3=sign(n)脯症讳芽净经斥咖砰雾停眺绵炕凌腥影及拦饭谅涉喉蔽鸣宵命景坤馁荚迂矩阵运算基础矩阵运算基础42五、矩阵分解五、矩阵分解l特征值分解特征值分解矩矩阵阵A的的特特征征矢矢量量与与特特征征值值满满足足A=；将将特特征征矢矢量量合合成成矩矩阵阵V，特特征征值值矩阵矩阵对象角上，则对象角上
37、，则AVV。v,d=eig(a),v是是a的的特特征征矢矢量量矩矩阵阵，d是是a的特征值矩阵，的特征值矩阵，av=vdd=eig(a),d是是a的特征值矢量的特征值矢量v,d=eig(a,b),a和和b的的广广义义特特征征值值分解分解av=bvd鸣锅康驶茄灸魁梳肾衔纂增携文椭挣楼壕篇椿幌魁三先撅智吻容袄档禄泞矩阵运算基础矩阵运算基础43【例【例2-202-20】矩阵】矩阵a a为为1 2 3;4 5 6;7 8 91 2 3;4 5 6;7 8 9，矩，矩阵阵b b为为-2 1 3;1 4 -2;2 -1 2-2 1 3;1 4 -2;2 -1 2， 计算计算a a和和b b的的广义特征值分解
38、。广义特征值分解。a=123;456;789;b=-213;14-2;2-12;d0=eig(a)v1,d1=eig(a)v,d=eig(a,b)a*v铺粤搪从闲肺蛮活坷磅扔掸鳞环拄选置蜡采挞腿裙腑法本勋卉坤金元豺砌矩阵运算基础矩阵运算基础44l奇异值分解奇异值分解定义定义:对于任意矩阵对于任意矩阵XCmn,存在酉矩阵存在酉矩阵U=u1,u2,um,V=v1,v2,vn,使得使得UHXV=diag(1,2,p)酉矩阵酉矩阵u性质：性质：u*u=EUHXV=SX=USVH12p0,p=minm,n。i,ui,vi分分别别称称为为矩矩阵阵X的的第第i个个奇奇异异值值、左左奇奇异异矢矢量量和和右右奇
39、奇异异矢矢量量，而而它它们们的的组组合合称称为为奇异值分解奇异值分解三对组三对组。瞬末漠旺绳凡镇医链高便涂帜蟹馁镇意牵泉启契没碌刺棕蜀术尹鲁诞窖粒矩阵运算基础矩阵运算基础45U,S,V=svd(X)产生一个与矩阵产生一个与矩阵X具有具有相同维数的矩阵相同维数的矩阵S，S对角线元素为递减对角线元素为递减的的非负值非负值(奇异值奇异值)，同时得到酉矩阵，同时得到酉矩阵U和和V，使得，使得X=U*S*V奇异值分解是矩阵求奇异值分解是矩阵求秩秩运算的基础运算的基础,S=svd(A)得到的向量中得到的向量中非零非零元素的元素的个数个数就是矩阵就是矩阵A的秩的秩奇异值分解对阶数没有限制，矩阵不一定是奇异值
40、分解对阶数没有限制，矩阵不一定是方阵方阵奇异值分解常奇异值分解常用于用于最小二乘和数据压缩最小二乘和数据压缩墙撤次伟劈扒兹胳钾神铣般卸山官泊尔设商惮煎锄拷烧救羹延遗寄馏姨争矩阵运算基础矩阵运算基础46【例【例2-21】矩阵】矩阵a为为11，对矩阵，对矩阵a进行奇异值分进行奇异值分解。解。a=11;u,s,v=svd(a)q1=u*a*vq2=su*u%验证是否酉交阵验证是否酉交阵v*v %验证是否酉交阵验证是否酉交阵本蕉伙丝煽串故溢郝呼诈耕掩迫秩匹滤巩芋矾樟咐箱廷侥尹涸锄疵窟汉径矩阵运算基础矩阵运算基础47lLU分解分解L,U=lu(X)分解为一个分解为一个上三角上三角矩阵矩阵U和一个和一个下
41、下三角矩阵三角矩阵L，使得，使得X=L*U。进行进行lu分解的分解的X必须是方阵必须是方阵用于简化大矩阵的行列式值的计算、求逆、用于简化大矩阵的行列式值的计算、求逆、解方程解方程矩阵行列式的值矩阵行列式的值det(X)=det(L)*det(U)矩阵求逆矩阵求逆inv(X)=inv(U)*inv(L)lu分解允许线性方程组分解允许线性方程组Ax=b进行如下快速运进行如下快速运算：算：x=U(Lb)，因为，因为L*U*x=b违碎镐遗丢重芋冬艺池咆削炯毖醚愚作晴秉匈奈邪切捕负箱疯吮洪丽肆赞矩阵运算基础矩阵运算基础48【例【例2-22】矩阵】矩阵a为为123;456;789，求，求a的的LU分解。分
42、解。a=123;456;789;l,u=lu(a)l*u=alcholesky(克劳斯克劳斯)分解分解格式格式:R=chol(X)X为正定矩阵为正定矩阵,R是上三角阵是上三角阵,且且RR=X正定矩阵正定矩阵:对角线元素是正的对角线元素是正的,其他元素不太大其他元素不太大正定矩阵的正定矩阵的cholesky分解是唯一的，得到的矩分解是唯一的，得到的矩阵为：对角线元素为正的阵为：对角线元素为正的上上三角阵三角阵如如X不是不是正定正定矩阵矩阵,则返回错误信息则返回错误信息妇撒磺初臀厂宪金鬼即贪露黄霉砌园钳蘸辕侦孵肘僳扣林黍贬咋涯弱皂斤矩阵运算基础矩阵运算基础49【例【例2-23】矩阵】矩阵a为为4阶
43、阶pascal矩阵，求矩阵，求a的的Chollesky分解。分解。a=pascal(4)c=chol(a)c*c=alQR分解分解(正交分解正交分解)格式格式:q,r=qr(a)q为酉矩阵为酉矩阵,r是与是与a同阶的上三角阵同阶的上三角阵,且且a=q*rq为酉矩阵：为酉矩阵：q*q=Er为与为与a同阶的上三角实矩阵同阶的上三角实矩阵a可以不是方阵可以不是方阵砌蜜帅炸酉邦烽胚绑妖功呆隔烈扭用怒甸甸彰韶籽诗咬漾婴琢刃腺漓扇骑矩阵运算基础矩阵运算基础50【例【例2-242-24】矩阵】矩阵a a为为4 4阶阶pascalpascal矩阵矩阵, ,求求a a的的QRQR分解分解a=pascal(4)q
44、,r=qr(a)q.*q%验证是否正交阵验证是否正交阵q*r-a%验证是否相等验证是否相等绒沪设欧仗据沧斧甭酥恶坎跑仔粳痛悲闸鸯璃擂骋胞链考虾妄随邯拧牺宇矩阵运算基础矩阵运算基础51六、矩阵的特征殊操作六、矩阵的特征殊操作l特殊矩阵的创建特殊矩阵的创建空阵空阵:全全0阵阵:zeros(m,n,p)单位阵单位阵:eye(m,n)全全1阵阵:ones(m,n,p)随机阵随机阵0到到1的随机阵的随机阵:rand(m,n,p)正态分布的随机阵正态分布的随机阵:randn(m,n,p)m、n、p:表示行数、列数、页数等表示行数、列数、页数等彤撒沙欢遮敌悟吨逢鼎教氓鲁五荷既魏像揭撇霸浆巡制喳旋秧煤手潦琳中
45、矩阵运算基础矩阵运算基础52l矩阵的特殊操作矩阵的特殊操作重新排列重新排列reshape系系统统以以母母矩矩阵阵中中元元素素的的单单下下标标为为准准，根根据据用用户户指指定定的的行行数数、列列数数、页页数数等等参参数数对对母母矩矩阵阵中中的的元元素素重新分配重新分配格式：格式：c=reshape(B,m,n,p)母矩阵母矩阵B的各维的各维阶数阶数之积应等于新矩阵各维之积应等于新矩阵各维阶数阶数之积之积变换后的元素仍按单下标排序顺序排列变换后的元素仍按单下标排序顺序排列【例【例2-25】矩阵】矩阵a为为4阶阶pascal矩阵，将其重新排列为矩阵，将其重新排列为116阶的一维矢量和阶的一维矢量和2
46、42阶的三维数组。阶的三维数组。a=pascal(4)c=reshape(a,1,16)c=reshape(a,2,4,2)煎托簿高耕彪绰富孤薪染弃弦逢箔吞丘蝎绿节彤昔吾毒颈俯娃誉蛾淘词签矩阵运算基础矩阵运算基础53矩阵的翻转和旋转矩阵的翻转和旋转fliplr：矩阵左右翻转：矩阵左右翻转flipud：矩阵上下翻转：矩阵上下翻转flipdim(a,k):矩阵矩阵a以第以第k维方向翻转维方向翻转k=1-列方向；列方向；k=2-行方向；行方向；k=3-页方向页方向rat90：矩阵逆时针：矩阵逆时针900旋转旋转【例【例2-26】矩阵】矩阵a为为4阶阶pascal矩阵，分别将其左右翻转、矩阵，分别将其
47、左右翻转、上下翻转和旋转。上下翻转和旋转。a=pascal(4)c=fliplr(a)c=flipud(a)c=rot90(a)肛饭农需俺铺裴帆倔栗赞跳朱粥坞媒漆时悯魏舅苍瓷绿勤犯扁吨雍兼诞岸矩阵运算基础矩阵运算基础54l矩阵的抽取矩阵的抽取c=diag(a,n)抽抽取取第第n条条对对角角线线元元素素,结结果果为为矢量矢量a=diag(c,n)上上式式的的逆逆操操作作,矢矢量量c赋赋给给零零矩矩阵阵a的第的第n条对角线上条对角线上n为为对对角角线线编编号号，0或或缺缺省省指指主主对对角角线线，大大于于0向向上数，上数，小于小于0向下数向下数tril(a,n)抽取第抽取第n条对角线及以下的元素条
48、对角线及以下的元素l:lowertriangularparttriu(a,n)抽取第抽取第n条对角线及以上的元素条对角线及以上的元素u:uppertriangularpart蔓罕宜态噎碾疼愧违玩抄郑拆墨陵样夸饼潘役目仆蜜换魁痒罢涌追础肇帅矩阵运算基础矩阵运算基础55【例【例2-272-27】矩阵】矩阵a a为为4 4阶阶pascalpascal矩阵，分别抽取其矩阵，分别抽取其对角线元素、创建对角矩阵、抽取上三角矩阵和对角线元素、创建对角矩阵、抽取上三角矩阵和下三角矩阵。下三角矩阵。a=pascal(4)c=diag(a,1)b=diag(c,1)c=tril(a)c=triu(a,-1)徽傀侨
49、镁帆搁窍攀哦退征燥唁缀今锁晌幅菇帖糜亡将拖踢落曳疵烧恶脸志矩阵运算基础矩阵运算基础56l矩阵的拼接矩阵的拼接纵向拼接，纵向拼接，矩阵行矢量列数相同矩阵行矢量列数相同 X=A;B;Z X=A;B;Z横向拼接，横向拼接，矩阵列矢量行数相同矩阵列矢量行数相同 X=A B Z X=A B Z或或 X=A X=A，B B，ZZ粱旦钾父拈智丁缅淄凄利财卷秽叼沤粕莽综翻碌珐讳奋彩峪杉酝稿托挥脆矩阵运算基础矩阵运算基础57【补【补2_112_11】确定矩阵】确定矩阵c c和和c1c1的内容的内容a=ones(4,3)b=zeros(4,1)c=ababa1=ones(3,4)b1=zeros(1,4)c1=a1;b1;a1;b1罐焰娜涂既共嘻摧绒茹众驶蘑压锗痒匆臆宜摧苏鹊蹭谈权虞云疼子感俏枯矩阵运算基础矩阵运算基础58
