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1、2.3.1 2.3.1 直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的判定定理1复习引入复习引入1.直线和平面的位置关系直线和平面的位置关系是什么是什么?（1）直线在平面内（无数个公共点）；）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）直线和平面平行（没有公共点）.2.在直线和平面相交的位置关系中，有一种相交是很特在直线和平面相交的位置关系中，有一种相交是很特殊的，我们把它叫做垂直相交殊的，我们把它叫做垂直相交.这节课我们重点来探究这种形式的线面相交这节课我们重点来探究这种形式的线面相交.2实例研
2、探实例研探探究：什么叫做直线和平面垂直呢？当直线与平面垂直探究：什么叫做直线和平面垂直呢？当直线与平面垂直时，此直线与平面内的所有直线的关系又怎样呢时，此直线与平面内的所有直线的关系又怎样呢? ?生活中线面垂直的实例生活中线面垂直的实例: :旗杆与地面垂直旗杆与地面垂直路灯与地面垂直路灯与地面垂直3实例研探实例研探探究：什么叫做直线和平面垂直呢？当直线与平面垂直探究：什么叫做直线和平面垂直呢？当直线与平面垂直时，此直线与平面内的所有直线的关系又怎样呢时，此直线与平面内的所有直线的关系又怎样呢? ?生活中线面垂直的实例生活中线面垂直的实例: :ABB1C1CB在阳光下观察直立于地面的旗杆在阳光下
3、观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子，随着时间的及它在地面的影子，随着时间的变化，尽管影子的位置在移动，变化，尽管影子的位置在移动，但是旗杆所在的直线始终与影子但是旗杆所在的直线始终与影子所在的直线垂直（如图）所在的直线垂直（如图）. .事实上，旗杆事实上，旗杆ABAB所在直线与地面所在直线与地面内任意一条不过点内任意一条不过点B B的直线也是垂的直线也是垂直的直的. .4(1)如果一条直线如果一条直线 和一个平面和一个平面 内的内的任意一条直线任意一条直线都垂直，都垂直，则称直线则称直线 与平面与平面 互相垂直，记作互相垂直，记作 .直线直线 叫做平面叫做平面 的的垂线垂线，平面，平面 叫做
4、直线叫做直线 的的垂面垂面. . 它们惟一的公共点它们惟一的公共点P P叫做叫做垂足垂足. .画法：通常把直线画成与表示平面的画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直平行四边形的一边垂直.1.直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义注注1：定义中的定义中的“任意一条直线任意一条直线”与与“所有直线所有直线”是同义词，但与是同义词，但与“无数条直线无数条直线”不同不同.该定义作用：该定义作用：“线面垂直线面垂直线线平行线线平行”，这是判断两条直线，这是判断两条直线垂直时经常使用的一种方法，垂直时经常使用的一种方法，即即辨析56 1.能不能像判定直线与平面平行那样，利用直线与平能不能像
5、判定直线与平面平行那样，利用直线与平面内的一条直线垂直来判定直线与平面垂直呢？面内的一条直线垂直来判定直线与平面垂直呢？ BCl有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？探究探究 2.一条直线不行，那么又能不能像判断平面与平面平一条直线不行，那么又能不能像判断平面与平面平行那样，利用直线行那样，利用直线l与平面内两条直线与平面内两条直线m，n都垂直来判都垂直来判定直线与平面垂直呢？定直线与平面垂直呢？ nml当平面内当平面内m，n平行的时候，这并不能判定平行的时候，这并不能判定l垂直于垂直于.7有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢
6、？有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？活动：请同学们准备一块三角形活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图所示的纸片，我们一起来做如图所示的试验：的试验：过过ABC的顶点的顶点A翻折翻折纸片，得到折痕纸片，得到折痕AD，将翻折后的，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）与桌面接触）.问问:折痕折痕AD与桌面垂直吗？与桌面垂直吗？如何如何翻折才能保证折痕翻折才能保证折痕AD与桌面所在与桌面所在平面垂直？平面垂直？探究探究当且仅当折痕当且仅当折痕 AD 是是 BC 边上的高时，边上的高时，AD所在直线与所在直线与桌面所在平面桌面所在平面
7、 垂直垂直8(1)定理：如果一条直线和一个平面内的定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线两条相交直线都都垂直垂直，则这条直线垂直于这个平面，则这条直线垂直于这个平面.2.直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的判定定理该定理作用：该定理作用：“线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直”注注2：该定理的条件中，该定理的条件中，“平面内的两条相交直线平面内的两条相交直线”是关键性词是关键性词语语.不能用不能用“两条直线两条直线”，“无数条直线无数条直线”替换替换.即即应用该定理，关键是证明在平面应用该定理，关键是证明在平面内有两条相交直线与已知直线内有两条相交直线与已知直线垂直，至于这两条直线是否与
8、已知直线有公共点则是无关紧要的垂直，至于这两条直线是否与已知直线有公共点则是无关紧要的.Anm9例例 如图，已知如图，已知 ，求证：，求证：根据直线与平面垂直的定义知根据直线与平面垂直的定义知又因为又因为所以所以又又是两条相交直线，是两条相交直线，所以所以证明：在平面证明：在平面 内作两条相交直线内作两条相交直线m，n因为直线因为直线 ，10例例 正方体正方体 中，求证：中，求证：小结论：小结论：正方体中，面的对角线垂直于过另一条面的对角线的对角面；正方体中，面的对角线垂直于过另一条面的对角线的对角面；正方体中，异面的体对角线和面对角线互相垂直正方体中，异面的体对角线和面对角线互相垂直.111
9、213变式：变式： 正方体正方体 中，求证：中，求证： 14练练 如图为直四棱柱如图为直四棱柱 (侧棱与底面垂直侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱），其底面的棱柱称为直棱柱），其底面ABCD是一个是一个菱形菱形.求证：求证：P66 探究：直四棱柱探究：直四棱柱 中，底面四边形中，底面四边形满足什么条件时，能使得满足什么条件时，能使得 .ADBBCCDA探究探究( (课本课本P66P66）底面四边形的对角线互相垂直！底面四边形的对角线互相垂直！15OAP3.直线和平面所成角直线和平面所成角1) 斜线斜线:2) 斜足斜足:3) 斜线在平面内的射影斜线在平面内的射影:和平面相交，但不垂直的直线叫做平面的
10、斜线和平面相交，但不垂直的直线叫做平面的斜线斜线和平面相交的交点斜线和平面相交的交点过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线称为斜线在平面内的过垂足和斜足的直线称为斜线在平面内的射影射影.平面的平面的斜线斜线和它在平面内的和它在平面内的射影射影所成的所成的锐角锐角， 叫做叫做直线和平面所成的角直线和平面所成的角.说明说明:若直线若直线垂直垂直平面，则直线和平面所成的角为平面，则直线和平面所成的角为90若直线与平面若直线与平面平行平行或直线或直线在平面内在平面内，则直线和平面所成的角为，则直线和平面所成的角为0 直线和平面所成角的取值范围为直线和平
11、面所成角的取值范围为 00,90,90 16A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1A AB BC CD D例例 如图，正方体如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，求：求：(1) 直线直线A1B和平面和平面BCC1B1所成的角所成的角；(2) 直线直线A1B和平面和平面A1B1CD所成的角所成的角.O分析分析:关键是找出关键是找出平面平面BCC1B1和平面和平面A1B1CD内的内的垂线垂线.17例例3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；类型三直线与平面所成的角解解AB平面AA1D1D，AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，
12、在RtAA1B中，BAA190，ABAA1，AA1B45，A1B与平面AA1D1D所成的角是45.解答(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角.A1BO30，A1B与平面BB1D1D所成的角是30.(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角.解解连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.A1OB1D1，BB1A1O，BB1B1D1B1，BB1，B1D1平面BB1D1D，A1O平面BB1D1D，A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角.又A1OB90，解答跟跟踪踪训训练练3如图所示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，且ABBC2，CBD45，（1）求直线AD与平面ABC所成角的大小.（2）求直线BD与平面ACD所成角的大小.解答一、直线与平面垂直一、直线与平面垂直(1)定义：定义：(2)判定定理：判定定理：(3)线线垂直的常用证明方法：线线垂直的常用证明方法：a.平面内的两直线平面内的两直线b.空间内的两直线空间内的两直线(4)两条平行线垂直于同一个平面，垂直于同一一个面的两直线平行两条平行线垂直于同一个平面，垂直于同一一个面的两直线平行.22
