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1、4.2 单位圆与周期性 (1,0)(1,0)OP PMxy前面我们学习了周期前面我们学习了周期现象，角的一边可以绕角现象，角的一边可以绕角的顶点旋转，得到了终边的顶点旋转，得到了终边相同的角，如图所示，今相同的角，如图所示，今天我们学习正弦函数、余天我们学习正弦函数、余弦函数的周期性及性质弦函数的周期性及性质.0 01 10 0-1-10 01 10 0-1-10 01 1 在直角坐标系的单位圆中，画出下列各特殊角，求各在直角坐标系的单位圆中，画出下列各特殊角，求各个角终边与单位圆的交点坐标，并将各特殊角的正弦函数个角终边与单位圆的交点坐标，并将各特殊角的正弦函数值、余弦函数值填入下表值、余弦
2、函数值填入下表 观察此表格中的数据观察此表格中的数据, ,你能发现函数你能发现函数y=y=sinxsinx和和y=y=cosxcosx的的变化有什么特点吗？变化有什么特点吗？ 观察右图，在单位圆中，由任意角观察右图，在单位圆中，由任意角的正弦函数、余弦函数定义不难得到下的正弦函数、余弦函数定义不难得到下列事实：终边相同的角的正弦函数值相列事实：终边相同的角的正弦函数值相等，即等，即 ；终边相同的角的余弦函数值相等，终边相同的角的余弦函数值相等，即即 . .探究点探究点1 1 周期函数周期函数把这种把这种随自变量的变化呈周期性变化随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作的函数叫作周期函数周期函数.
3、.正弦函数、余弦函数是周期函数，称正弦函数、余弦函数是周期函数，称为正弦函数、余弦函数的为正弦函数、余弦函数的周期周期.例如，例如，等都是它们的周期等都是它们的周期.其其中中是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为个，称为最小正周期最小正周期. 一般地，对于函数一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数，如果存在非零实数T ，对定义域内的任意一个，对定义域内的任意一个x值，都有值，都有f(x+T)=f(x), 我我们们就把就把f(x)称为称为周期函数周期函数，T称为这个函数的周称为这个函数的周期期. .说明：说明：若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最
4、若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期小正周期.特特别别提醒：提醒： 1.1.T是非零常数是非零常数. . 2.2.任意任意xD D都有都有x+TD, ,T00，可，可见见函数的定函数的定义义域域无界是成无界是成为为周期函数的必要条件周期函数的必要条件. 3.3.任取任取xD D，就是取遍，就是取遍D D 中的每一个中的每一个x，可，可见见周期周期性是函数在定性是函数在定义义域上的整体性域上的整体性质质. .理解定理解定义时义时，要抓，要抓住住每一个每一个x x都都满满足足f f( (x+T) )= =f f( (x) )成立才行成立才行. 4.4.周期也可推周期也可推进进，若，若T
5、是是f f( (x) )的周期，那么的周期，那么2 2T也是也是y=f f( (x) )的周期的周期. 1.1.函数函数f f( (x x) )= =c c( (c c为为常数常数) , ) , x xRR，问问函数函数f f( (x x) )是不是周期函数，若是，有无最小正周期是不是周期函数，若是，有无最小正周期. .答答: :是，无最小正周期是，无最小正周期. .2.2.等式等式sin(30sin(30+120+120)=sin30)=sin30是否成立？如果是否成立？如果成立，能否说明成立，能否说明120120是正弦函数是正弦函数y y= =sinsinx,xx,xRR的的一个周期？为什么？一个周期？为什么？答答: :成立，不能说明，因为不符合定义中的每成立，不能说明，因为不符合定义中的每一个一个x x. .思考思考例例求下列三角函数值：求下列三角函数值：（1）（2）解：（解：（1）练习练习求下列三角函数值求下列三角函数值 （2）
