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1、第第7章章 线性离散控制系统线性离散控制系统7.17.1 引言引言 7.2 7.2 采样过程的数学描述采样过程的数学描述 7.3 7.3 信号恢复信号恢复 7.4 7.4 Z Z变换理论变换理论 7.5 7.5 采样系统的数学模型采样系统的数学模型 7.6 7.6 离散控制系统分析离散控制系统分析 7.7 7.7 数字控制器的设计数字控制器的设计 7.1 引言引言 7.1.1直接数字控制系统直接数字控制系统（DDCDirectDigitalControl）DigitalComputeDigital-to-analogconverterActuatorprocessAnalog-to-digit
2、alconverterMeasurementsensorinputdigital图图7-1直接数字控制系统（直接数字控制系统（DDC）7.1.2计算机监督控制系统（SCCSurveillanceComputerControlSystem）ComputerDigital-to-analogOutputAnalog-to-digitalInputAnalogueregulatorsensorprocessactuator图图7-2计算机监督控制系统（计算机监督控制系统（SCC）7.1.3集散控制系统（TDCTotalandDistributedControl）MISSCCSCCSCCDDCDDCD
3、DCDDCprocessprocessMISMISSCC集中调度控制中心集中调度控制中心子调度控制中心子调度控制中心.图图7-3集散控制系统（集散控制系统（TDC）7.2 采样过程的数学描述采样过程的数学描述7.2.1采样过程及其数学描述采样过程及其数学描述7.2.2采样定理采样定理7.2.3采样周期的选择采样周期的选择7.2.1 7.2.1 7.2.1 7.2.1 采样过程及其数学采样过程及其数学采样过程及其数学采样过程及其数学描述描述 在采样控制系统中将连续信号变为断续信号的过程在采样控制系统中将连续信号变为断续信号的过程称为采样过程。实现这个采样过程的装置称为采样装置称为采样过程。实现这
4、个采样过程的装置称为采样装置 ，如图，如图7-47-4所示。所示。 e*（t）e（t）图图7-4采样开关采样开关将断续信号用如下数学式子表示将断续信号用如下数学式子表示e*(t)=对离散信号对离散信号e*（t）取拉氏变换，可得取拉氏变换，可得E*(s)=Le*(t)=L=图图7-5连续信号连续信号e（t）与断续信号与断续信号e（t）7.2.2 7.2.2 采样定理采样定理 为了能不失真的从离散信号中恢复原有的连续信号，采样频率必须大于等于原连续信号所含最高频率的两倍，即或T(7-1)(7-2)理想滤波器的滤波特性为10(7-3)其频率特性如图7-6-图图7-6理想滤波器的频率特性理想滤波器的频
5、率特性7.2.3 7.2.3 采样周期的选择采样周期的选择工程实践表明，根据表工程实践表明，根据表7-1给出的参考数据选择采样周期给出的参考数据选择采样周期T，可以取得满意的控制效果。可以取得满意的控制效果。采样周期采样周期T（秒）秒）1552020控制过程控制过程流量流量压力压力液位液位温度温度成分成分表表7-1工业过程工业过程T的选择的选择随动系统的采样角频率可近似取为由于T2，所以采样周期可按下式选取：采样周期T可通过单位接跃响应的上升时间tr或调节时间ts按下列经验公式选取：7.3 信号恢复7.3.1零阶保持器零阶保持器7.3.2一阶保持器一阶保持器7.3.1 7.3.1 零阶保持器零
6、阶保持器零阶保持器是最常用的一种保持器，它把采样时刻的零阶保持器是最常用的一种保持器，它把采样时刻的采样值恒定不变地保持（或外推）到下一采样时刻。如图采样值恒定不变地保持（或外推）到下一采样时刻。如图7-7所示，零阶保持器的输出为阶梯信号。所示，零阶保持器的输出为阶梯信号。Xh(t)Gh（s）x*(t)x(t)Ka)采样开关采样开关保持器保持器图图7-7零阶保持器零阶保持器由由于于 ，（k=0,1,2,）所所以以保保持持器器的的输输出出 与与连连续续输输入信号入信号 之间的关系式为之间的关系式为(7-4)的拉式变换则为的拉式变换则为(7-5)上式与式（上式与式（7-1）比较后，知道零阶保持器的
7、传递函数为）比较后，知道零阶保持器的传递函数为(7-6)b)图图7-8应用零阶保持器恢复信号应用零阶保持器恢复信号零阶保持器的频率特性为零阶保持器的频率特性为(7-7)7.3.2 7.3.2 一阶保持器一阶保持器 一一阶阶保保持持器器以以两两个个采采样样时时刻刻的的值值为为基基础础实实行行外外推推，它它的的外外推推输输出出式式中中t为为kT到到（k1）T之之间间的的时时间间变变量量。如如图图7-7-9 9所示所示 。(7-8)0t2t3t.图图7-9应用一阶保持器恢复信号应用一阶保持器恢复信号 根根据据一一阶阶保保持持器器脉脉冲冲响响应应函函数数的的分分解解，可可得得保保持持器器的传递函数的传
8、递函数(7-9)或或(7-10)一阶保持器的频率特性为一阶保持器的频率特性为(7-11)7. 4 Z变换理论 7.4.1Z变换变换7.4.2Z变换的性质变换的性质7.4.3Z反变换反变换7.4.1 Z变换由式（由式（7-1）可知，断续函数）可知，断续函数x*（t）的拉氏变换为的拉氏变换为X*（S）=X(kT)e-kTS(7-12)若令若令eTS=Z(7-13)则将在则将在S域分析的问题变成域分析的问题变成Z域的分析问题。域的分析问题。X(Z)=X(kT)Z-k(7-14)X（Z）称为称为X*（t）的的z变换，记为变换，记为zz=X(Z)=X(kT)Z-k(7-15)在在Z变变换换中中，X（Z）
9、为为采采样样脉脉冲冲序序列列的的Z变变换换，即即只只考考虑虑采采样样时时刻刻的的信信号号值值。由由于于在在采采样样时时刻刻，X（t）的的值值就就是是X（kT）,所所以以从从这这个个意意义义上上说说，X（Z）既既是是X*（t）的的Z变变换，也可以写为换，也可以写为X(t)的的Z变换，即变换，即Z=z=X(Z)=X(kT)Z-k(7-16)7.4.2 Z变换的性质(1)(1)线性定理线性定理z=a1X1(Z)+a2X2(Z)+(7-17)z=Zm(7-18)z=Z-mX(Z)(7-19)式中式中a1,a2,为常数。为常数。(2)实平移定理实平移定理(3)复平移定理复平移定理z(7-20)例例已知已
10、知,求求X（Z）解解zz(4)复域微分定理复域微分定理Z(7-21)例例已知已知x(t)=t3,求求X(Z)解解Zt=2Zt=-TZ3(5)初值定理初值定理(7-22)证明：由证明：由Z变换的定义有变换的定义有(6)终值定理终值定理(7-23)7.4.3 Z反变换 (1)幂级数法幂级数法(2)(2) 通常通常Z变换表达式有如下形式：变换表达式有如下形式：(7-24) 实际的物理系统满足实际的物理系统满足n,则用综合除法有则用综合除法有X(Z)=(7-25)由由Z变换的定义式可知变换的定义式可知则则即为即为x(z)的原函数的原函数（2）部分分式法）部分分式法部分分式法又称查表法。它的基本思想是将
11、部分分式法又称查表法。它的基本思想是将X（Z）/Z展开成展开成部分分式，部分分式，(7-26)然后，查然后，查Z变换表，即可求取变换表，即可求取X（Z）的原函数的原函数x(kT)（3）留数法留数法由由Z变换的定义式有变换的定义式有X(Z)=X(kT)Z=x(0)+x(T)Z+x(2T)Z+上式两端乘以上式两端乘以Z有有K-1-k-1-2X(Z)Zk-1=x(0)Zk-1+x(T)Zk-2+x(kT)Z-1+(7-27)所以所以x(kT)=根据留数定理，则上式可写成：根据留数定理，则上式可写成：x(kT)=Res7.5 7.5 采样系统的数学模型采样系统的数学模型7.5.1描述离散控制系统的线性
12、差分方程描述离散控制系统的线性差分方程7.5.2脉冲传递函数脉冲传递函数7.5.1 描述离散控制系统的线性差分方程 线性定常离散系统可以用后向差分方程来描述线性定常离散系统可以用后向差分方程来描述y(k)+a1y(k-1)+any(k-n)=b0r(k)+b1r(k-1)+r(k-m)(7-28)也可用前向差分方程来描述线性定常离散控制系统也可用前向差分方程来描述线性定常离散控制系统y(k+n)+a1y(k+n-1)+an-1y(k+1)+any(k)=b0r(k+m)+b1r(k+m-1)+bm-1r(k+1)+bmr(k)(7-29)求解差分方程常用的有迭代法和求解差分方程常用的有迭代法和
13、Z变换法。变换法。（1 1）迭代法）迭代法 若若已已知知线线性性定定常常离离散散控控制制系系统统的的差差分分方方程程式式 （7-28） 或式（或式（7-29），并且给定输出），并且给定输出序序列列初初值值，则则可可以以利利用用递递推推关关系系，在在计计算算机机上上一一步步一一步步计计算出输出序列。算出输出序列。（2）Z变换法变换法若若已已知知线线性性定定常常离离散散控控制制系系统统的的差差分分方方程程描描述述，则则根根据据Z变变换换的的实实位位移移定定理理，对对差差分分方方程程两两边边取取Z变变换换，再再根根据据初初始始条条件件及及给给定定输输入入控控制制信信号号的的Z变变换换表表达达式式，可
14、可求求取取离离散散控控制制系系统统输输出出的的Z变变换换表表达达式式，再再求求输输出出Z变变换换的的Z反反变变换换表表达达式式，即可求取离散控制系统输出的实域表达式即可求取离散控制系统输出的实域表达式Y(K)。7.5.2 脉冲传递函数1.开环脉冲传递函数开环脉冲传递函数一离散开环控制系统如图一离散开环控制系统如图7-10所示。所示。G(s)r*(t)r(t)y*(t)y(t)图图7-10开环离散控制系统开环离散控制系统脉脉冲冲传传递递函函数数定定义义为为在在零零初初始始条条件件下下，输输出出Y*(t)的的Z变变换换Y(Z)与与输输入入r*(t)的的Z变变换换R(Z)之之比比。脉脉冲冲传传递递函
15、函数数用用G(Z)表示，则表示，则(7-30)假假定定动动态态环环节节的的单单位位脉脉冲冲过过渡渡函函数数为为h(t)。该该环环节节的的输输入入为为r*(t)(7-31)利利用用线线性性环环节节满满足足叠叠加加原原理理，无无穷穷多多个个脉脉冲冲作作用用在在线线性性环环节节G(s)上，其输出上，其输出Y(t)为为y(t)=r(0)h(t)+r(T)h(tT)+.+r(nT)h(tnT)+(7-32)将输出信号离散化，得到将输出信号离散化，得到y(kT)=r(0)h(kT)+r(T)h(k-1)T+r(nT)h(k-n)T+=r(nT)h(k-n)T(7-33)上式两边用乘以上式两边用乘以eKTS
16、，并求和，得到并求和，得到(7-35)考虑到前面的给定，当考虑到前面的给定，当t0时，时，h(t)=0，于是有于是有(7-36)同理有：同理有：(7-37)所以所以(7-38)采样周期与所用时间变量文字描述无关，则上式可改写为采样周期与所用时间变量文字描述无关，则上式可改写为(7-39)即即(7-40)式中式中(7-41)若令式中若令式中Z=eTS,则可知则可知又因又因G(s)= h(t)(7-42)G(Z)=z zG(s)(7-43)2.串联环节的脉冲传递函数串联环节的脉冲传递函数1）两个串联环节间没有采样开关的连接两个串联环节间没有采样开关的连接图图7-11串连环节间没有采样开关串连环节间
17、没有采样开关r*(t)Y(t)Y*(t)G1(s)G2(s)等价于下图等价于下图G1(s)G2(s)r*(t)r(t)Y*(t)Y(t)图图7-12等价开环离散系统等价开环离散系统有有z z(7-44) 将将z z 记为记为G G1 1G G2 2(Z)(Z)z z(7-45)2)串串连连环环节节间间有有采采样样开开关关连连接接，且且采采样样开开关关都都是是同同步步采采样样，如图如图G1(s)G2(s)r*(t)r(t)Y*(t)Y(t)Y1*(t)图图7-13串连环节间有采样开关串连环节间有采样开关z zz z所以所以 (7-46)3.带零阶保持器的开环系统的脉冲传递函数带零阶保持器的开环系
18、统的脉冲传递函数G1(s)r*(t)r(t)Y*(t)Y(t) 图图7-7-14 14 带零阶保持器开环离散系统带零阶保持器开环离散系统由脉冲传递函数的定义有由脉冲传递函数的定义有G(Z) =G(Z) =z z=z z(7-47)即即(7-48)4.4.闭环离散控制系统的脉冲传递函数闭环离散控制系统的脉冲传递函数G1(s)G2(s)H(s)r(t)r(t)e(t)e(t) e*(t)e*(t)d(t)d(t)b(t)b(t)Y*(t)Y*(t)Y(tY(t) )-+图图7-15带干扰的闭环线性离散控制系统带干扰的闭环线性离散控制系统假定假定d(t)=0,得到如图得到如图7-24所示的结构图所示
19、的结构图G1(s)G2(s)H(s)r(t)r(t)e*(t)e*(t)Y*(t)Y*(t)Y(tY(t) )图图7-16线性闭环离散控制系统线性闭环离散控制系统根据脉冲传递函数的定义可知根据脉冲传递函数的定义可知(7-49)(7-50)(7-51)将（将（7-72）代入（）代入（7-71），有），有(7-52)于是得到：于是得到：(7-53)定义误差脉冲传递函数定义误差脉冲传递函数Ge(Z)为为(7-54)将式（将式（7-54）代入式（）代入式（7-49），有），有(7-55)于是得到闭环系统的脉冲传递函数于是得到闭环系统的脉冲传递函数GB(Z)为为(7-56)7.6 离散控制系统分析离散控
20、制系统分析7.6.1线性离散控制系统的稳定性分析线性离散控制系统的稳定性分析7.6.2离散控制系统的瞬态响应离散控制系统的瞬态响应7.6.3离散控制系统的稳态误差离散控制系统的稳态误差7.6.1 线性离散控制系统的稳定性分析 线性离散控制系统的闭环脉冲传递函数，如图线性离散控制系统的闭环脉冲传递函数，如图7-17所示所示G（s）r(t)y*(t)y(t)_图图7-17线性离散控制系统线性离散控制系统可求得为：可求得为：GB（Z）=(7-57)则线性离散控制系统的特征方程为则线性离散控制系统的特征方程为1+G(Z)=0(7-58)考察下式考察下式Z=eTs(7-59)假定在假定在s平面上任有一点
21、平面上任有一点s=+j +j (7-60)则通过则通过Z变换，映射到变换，映射到Z平面为平面为Z=eT.ejT(7-61) 当当=0，即即s平面的虚轴，对应平面的虚轴，对应Z平面的单位圆。平面的单位圆。当当0，.即即右右半半s平平面面对对应应Z平平面面的的单单位位圆圆外外部部区区域域，也也即即s平平面面不不稳稳定定域域映映射射到到Z平平面面单单位位圆圆外外的的部部分分为为不不稳稳定域。上面映射关系如图定域。上面映射关系如图7-31所示。所示。 线线性性离离散散控控制制系系统统稳稳定定的的充充分分必必要要条条件件是是：线线性性离离散散闭闭环环控控制制系系统统特特征征方方程程（7-58）的的根根的
22、的模模小小于于1，则则线线性性离散控制系统是稳定的。离散控制系统是稳定的。ReReImIm图图7-18s平面到平面到Z平面映射平面映射7.6.2 离散控制系统的瞬态响应闭环零极点与瞬态响应的关系闭环零极点与瞬态响应的关系: 通通常常离离散散控控制制系系统统的的闭闭环环脉脉冲冲传传递递函函数数可可表表示示为为如如下下形式形式GB(Z)=K=K(7-62)当系统输入为单位阶跃时，其系统输出当系统输入为单位阶跃时，其系统输出Y（Z）为为Y(Z)=K(7-62)展开成部分分式，有展开成部分分式，有Y(Z)=K+(7-63).(7-64)式中式中Ck=K闭环极点对系统瞬态响应的影响闭环极点对系统瞬态响应
23、的影响1)Pk为正实根，对应的瞬态分量为正实根，对应的瞬态分量Yk(nt)=Z Z1=CkPkn令令Pk=eaT,a=lnPk则则yk(nT)=CkeanT(7-65) 若若Pk=1，即即闭闭环环极极点点位位于于右右半半Z平平面面上上圆圆周周上上，闭闭环环系统瞬态响应为等幅脉冲。系统瞬态响应为等幅脉冲。 若若Pk1,则则闭闭环环极极点点位位于于单单位位圆圆内内，此此时时a1，闭环极点位于单位圆外，此时闭环极点位于单位圆外，此时a0,则输出则输出响应呈指数响应呈指数z增加状。增加状。2) 2) 当当Pk为负实根，则对应的瞬态分量为为负实根，则对应的瞬态分量为yk(nT)=CkPkn(7-66)
24、若若Pk=-1,输输出出响响应应分分量量Yk（nT）对对应应图图7-39中中d点点波波形，呈等幅跳跃输出。形，呈等幅跳跃输出。若若|Pk|1，输输出出响响应应分分量量Yk（nT）对对应应图图7-39中中d点点波波形，呈发散跳跃变化。形，呈发散跳跃变化。3)当当Pk,Pk+1为一对共轭复根时为一对共轭复根时,为为Pk=Pk+1=(7-67)此时此时,Ck,Ck+1也为一对共轭复数也为一对共轭复数Ck=Ck+1=(7-68)则它们对应的瞬态分量则它们对应的瞬态分量Yk,k+1（nT）为为yk,k+1(nT)=+=2(7-69) 若若|Pk|1，则则对对应应的的瞬瞬态态响响应应分分量量为为发发散散正
25、正弦弦振振荡荡，对对应图应图7-40中中b点对应的波形。点对应的波形。ImRexbxbxaxa图图7-19闭环实极点分布与相应瞬态响应闭环实极点分布与相应瞬态响应7.6.3 离散控制系统的稳态误差对对于于如如图图7-20所所示示的的单单位位反反馈馈的的闭闭环环离离散散系系统统的的误误差差脉脉冲传递函数冲传递函数Ge（Z）为为G（s）r(t)y(t)e*(t)-Ge(Z)=(7-70)图图7-20单位反馈闭环离散系统单位反馈闭环离散系统所以所以E(Z)=R(Z)由终值定理，有由终值定理，有(7-71)(7-72)与与连连续续系系统统类类似似，根根据据系系统统开开环环脉脉冲冲传传递递函函数数在在Z
26、=1的的极极点点的个数而分为的个数而分为0型、型、1型、型、2型型系统。系统。 7.7 数字控制器的设计7.7.1无稳态误差最少拍系统的无稳态误差最少拍系统的 7.7.2G(z)具有单位圆上和单位圆外零极具有单位圆上和单位圆外零极点的情况，数字控制器的设计点的情况，数字控制器的设计7.7.3无纹波无稳态误差最少拍系统的设无纹波无稳态误差最少拍系统的设设计设计D(z)G(z)7.7.1 无稳态误差最少拍系统的设计 R(t)Y(t)-图图7-21数字控制系统结构数字控制系统结构对于如图对于如图7-21所示的系统、闭环脉冲传递函数可求得为所示的系统、闭环脉冲传递函数可求得为GB(z)=(7-73)D
27、(z)=(7-74)设设计计出出的的数数字字控控制制器器D(z)，还还必必须须满满足足物物理理可可实实现现条条件件：数数字字控控制制器器D(z)分分子子多多项项式式的的阶阶次次不不得得大大于于分分母母多多项项式式的的阶阶次次；D(z)没没有有单单位位圆圆上上（除除有有一一个个z=1的的极极点点外外）和和单位圆外的极点。单位圆外的极点。设给定系统输入为设给定系统输入为r(t)=tp(7-75)则其则其z变换表达式为变换表达式为R(t)=(7-76)式中式中r=p+1，且且A(z-1)为为z-1的多项式，没有的多项式，没有z=1的零点。的零点。系系统统误误差差脉脉冲冲传传递递函函数数Ge(z)与与
28、闭闭环环脉脉冲冲传传递递函函数数GB(z)存存在以下关系在以下关系: :Ge(z)=1-GB(z)(7-77)E(z)=1-GB(z)R(z)(7-78)根据终值定理根据终值定理e()=(1-z1)1-GB(z)(7-79)为使系统的稳态误差为零，可令为使系统的稳态误差为零，可令1-GB(z)=(1-z1)rF(z1)(7-80)式中式中F(z1)在在z=1处无零点处无零点GB(z)=1-(1-z1)rF(z1)=(7-81)典型输入闭环脉冲传递函数数字控制器D(z)最 少 拍（T）1(t)1Tt2Tt23T表表7-2无稳态误差最少拍系统设计结果无稳态误差最少拍系统设计结果 7.7.2 G(z
29、)具有单位圆上和单位圆外零极点时数字控制器 的设计 (7-82) 当当开开环环脉脉冲冲传传递递函函数数G(z)有有单单位位圆圆上上或或单单位位圆圆外外零零点时，由式点时，由式D(z)= 可可知知它它必必将将成成为为数数字字控控制制器器的的极极点点，D(Z)将将不不稳稳定定，其物理实现不可能其物理实现不可能。为此，令为此，令G GB B(z)(z)包含包含z z 11因子因子GB(z)包包含含开开环环脉脉冲冲传传递递函函数数G(z)在在单单位位圆圆上上和和单单位位圆圆外外的的零点。零点。Ge(z)包包含含开开环环脉脉冲冲传传递递函函数数G(z)在在单单位位圆圆上上和和单单位位圆圆外外的的极点。极
30、点。由由关关系系式式GB(z)=1-Ge(z)，求求解解有有关关待待定定系系数数，最最后后选选定定GB(z)和和Ge(z)。7.7.3 无纹波无稳态误差最少拍系统的设计波波纹纹即即系系统统输输出出在在采采样样时时刻刻已已达达到到稳稳态态，而而在在两两个个采采样样时刻间输出在变化，如图时刻间输出在变化，如图7-22所示所示0T2T3T4Tty(t)图图7-22系统输出系统输出如如:系统结构为图系统结构为图7-23所示所示E1(z)E2(z)r(t)y(t)图图7-23一个实际的数字控制系统一个实际的数字控制系统G(z)=(7-83)D(z)=(7-84)由由于于数数字字控控制制器器D(z)的的输
31、输出出不不是是含含z-1的的有有限限多多项项式式，因因此此=为了使输出波纹消除，希望为了使输出波纹消除，希望E2(z)为含为含z-1的有限多项式。的有限多项式。(7-85)由式由式(7-86)=式式中中P(z)和和Q(z)分分别别为为G(z)的的分分子子多多项项式式和和分分母母多多项项式式。若若令令(7-87)则则(7-88)E2(z)必为含的有限多项式，因为的极点都分布在必为含的有限多项式，因为的极点都分布在z平平面的原点。面的原点。例例已已知知离离散散控控制制系系统统结结构构如如图图7-24所所示示，采采样样周周期期T=1，求求数数字字控控制制器器D(z)，使使系系统统对对斜斜坡坡输输入入为为无无纹纹波波无无稳稳态态误差的最少拍系统误差的最少拍系统r(t)y(t)图图7-24无纹波无稳态误差的最少拍系统无纹波无稳态误差的最少拍系统解解开环脉冲传递函数开环脉冲传递函数G(z)选取选取为为=选取选取为为=由关系式由关系式=1-得到得到=于是于是）所以所以=此时此时于是，可求于是，可求=
