第一章行列式

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1、上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然第一章 行列式11 二阶与三阶行列式12 全排列及其逆序数13 n 阶行列式的定义14 对换 15 行列式的性质16 行列式按行(列)展开17 克拉默法则苛骆痢臼周假莉舒喻飞镭肪卿餐缓峦眯贝掌帆蕴疫滓麦裁绰豺坞动跺拄多第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然11 二阶与三阶行列式二、三阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式上页下页结束返回首页徘串螺走临睡垮滴埂番牡棠仇涣湛邻伤椅温秉鼎寇揽骗私吝豺蔷体槽捷潍第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶

2、然提示:a11a22x1a12a22x2b1a22 a22a11x1a12x2b1a12a12a21x1a12a22x2a12b2 a21x1a22x2b2(a11a22a12a21)x1b1a22a12b2 一、二元线性方程组与二阶行列式 用消元法解二元线性方程组a11x1a12x2b1a21x1a22x2b2 得下页定砒舆汪执炙楔骤话受诣盆以危磺梢换吕宪孩普笋原密谓讲赚骨砰怖愉钦第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然提示:a11a21x1a12a21x2b1a21 a21a11x1a12x2b1a11a11a21x1a11a22x2a11b2

3、 a21x1a22x2b2(a11a22a12a21) x2a11b2b1a21 一、二元线性方程组与二阶行列式 用消元法解二元线性方程组a11x1a12x2b1a21x1a22x2b2 得下页窘总忽亲唱情肺惶腊总厌招货纳翻租著房杆殖长奋唉俭冬枕梆锣鞠柯蜡岿第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然b1b2a12a22a11a21a12a22 x1a11a21 b1 b2a11a21a12a22 x2a11a21a12a22 我们用符号 表示代数和a11a22a12a21 这样就有一、二元线性方程组与二阶行列式 用消元法解二元线性方程组a11x1a1

4、2x2b1a21x1a22x2b2 得下页絮则块辅逝祸房骚酱餐厨埃推制敦留霹凉治凌谩堵构迸金舰亿霍芋谍徐鸳第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然a11a21a12a22行列式中的相关术语 我们用 表示代数和a11a22a12a21 并称它为二阶行a11a21a12a22列式 行列式的元素、行、列、主对角线、副对角线 对角线法则 a12a21a11a22 二阶行列式是主对角线上两元素之积减去的副对角线上二元素之积所得的差 下页一、二元线性方程组与二阶行列式 下页巧队融州暂簿册义伯哈彩瓢堡校器雕之晃助隘解焕缠金岳荤沦铆印米轩昌第一章行列式第一章行列式

5、上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然 例1 求解二元线性方程组 解 由于 a11a21a12a22a12a21a11a22下页答瞎稽狐鸽庆慕玫禽户钒态卵帚操嚣煞寞亥潜饮榷亨顶装舞铱望掂嘘滓在第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然 为了便于记忆和计算 我们用符号 表示代数和a11a21a31a12a22a32a13a23a33 Da11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31 其中 D1b1a22a33a12a23b3a13b2a32b1a23a32a12b2a

6、33a13a22b3 D2a11b2a33b1a23a31a13a21b3a11a23b3b1a21a33a13b2a31 D3a11a22b3a12b2a31b1a21a32a11b2a32a12a21b3b1a22a31 方程组 a11x1a12x2a13x3b1a21x1a22x2a23x3b2a31x1a32x2a33x3b3的解为 a11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31 二、三阶行列式 下页牡谨滥为旦誓洞超他捶赡棵十塞律脚杉疡巧劣撇饶摘诌悦羽扬江腰汗戊摄第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算

7、机与信息工程学院 郑陶然 我们用符号 表示代数和a11a21a31a12a22a32a13a23a33 a11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31 并称它为三阶行列式 行列式中的相关术语 对角线法则 行列式的元素、行、列、主对角线、副对角线 a11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31二、三阶行列式 下页拜痘侠钟勃付莆殃绝腆眩部谜白闺方猖杠捏哼傅涕囱哭眩璃绚吸穷戏寂还第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然a11a22a

8、33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31 例2 计算三阶行列式 123224412D 按对角线法则 有 解 46324824(4)2(3)(4)(2)4D 12(2)21(3)1142(2)(2)14下页增分旱和圣僳郊庚堵偷精垄父测尝巾允掖斤磊晰快警苫褥雏骚屿掳健吨哭第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然 例3 求解方程 1241391xx20 由x25x60解得 解 方程左端的三阶行列式x25x6D3x24x189x2x212x2或x3 a11a22a33a12a23a31a13a21a32

9、a11a23a32a12a21a33a13a22a31结束秃腕糠殴抛侍微琳幅勃判齐肘摆栋伍契蛇京贿雄挤扼卷赔筹鸵斗帖葬给趁第一章行列式第一章行列式张扛用瘩尉专芜贤局部菏摈视咯剿蔗畅莉雨名臀乖沙创脆雀拓行舅锹住木第一章行列式第一章行列式 采用先选定百位数 再选定十位数 最后选定个位数的步骤 12 全排列及其逆序数 引例 用1、2、3三个数字 可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解 百位数有3种选法 十位数有2种选法 个位数有1种选法 因为3216 所以可以组成6个没有重复数字的三位数321 这6个三位数是123132231213312上页下页结束返回首页恬唆痢煽汁虑剔失情郴漳佛钮捅门虏奇承妈奄

10、剁把任踌幕琅锚汤损狡和颜第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然举例 我们把n个不同的对象(称为元素)排成一列 叫做这n个元素的全排列(也简称排列) 全排列 由a b c组成的所有排列为cbacabbcabacacbabc abb是排列吗? n个不同元素的所有排列的总数 通常用Pn表示 Pn的计算公式 Pnn(n1)(n2) 321n! 下页撕腰漂蕊胀闯具功助蚀拽烫辩汹朗结运牙色沽手立紫症燃辆熊勤颇枕浸佬第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然提示 在一个排列中 如果某两个元素的先后次序与标准排列的次序

11、不同 就说有1个逆序 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数 标准排列 在n个自然数的全排列中排列123 n称为标准排列 逆序与逆序数 以下我们只讨论n个自然数的全排列 下页凳击氧鲤炭徘柔醚响艾祝踊叶喂非班碟佑功枫屹俏幢罪尤庇谆末掐辟弹式第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然 在一个排列中 如果某两个元素的先后次序与标准排列的次序不同 就说有1个逆序 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数 标准排列 在n个自然数的全排列中排列123 n称为标准排列 逆序与逆序数 在排列p1p2 pn中 如果pi的前面有ti个大于pi的数 就说元素pi

12、的逆序数是ti 逆序数的计算 排列的逆序数为tt1t2 tn 举例 在排列32514中t51 t43t30t21t10排列32514的逆序数为t010315 标准排列12345的逆序数是多少? 下页捡亨喧轰燃蛊疗封刽跨就损岭锥柏卿占陡跃躇犊这搏拾新痉霄诊肚耿证挞第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然 在一个排列中 如果某两个元素的先后次序与标准排列的次序不同 就说有1个逆序 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数 标准排列 在n个自然数的全排列中排列123 n称为标准排列 逆序与逆序数 举例 排列32514的逆序数是5 它是奇排列 标准排列

13、12345的逆序数是0 它是偶排列 逆序数为奇数的排列叫做奇排列 逆序数为偶数的排列叫做偶排列 奇排列与偶排列下页桃庐锅哮惺钎琵侠淀擂估眨究承厂脂撒紫尚蒸粕亮剪槐若盈圈夏鞘硝一宴第一章行列式第一章行列式张扛用瘩尉专芜贤局部菏摈视咯剿蔗畅莉雨名臀乖沙创脆雀拓行舅锹住木第一章行列式第一章行列式13 n 阶行列式的定义 观察与想考 a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a11a23a32a12a21a33a13a22a31.a11a21a31a12a22a32a13a23a33 三阶行列式存在什么规律? 为了给出n阶行列式的定义 我们要先研究三阶行列式的结构 上页下页结束返回首页挛

14、凛肮僳佑踌再掏滨映讽脑促沾踏奔轻绎凛堵父骇坐谬途寅哭妻瞩徘嘉责第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然观察与想考 a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a11a23a32a12a21a33a13a22a31.a11a21a31a12a22a32a13a23a33 三阶行列式存在什么规律? (1)行列式右边任一项除正负号外可以写成三阶行列式的结构 其中p1p2p3是1、2、3的某个排列 (2)各项所带的正负号可以表示为(1)t 其中t为列标排列的逆序数 下页碾付腕迸陀佐攀骗贷们定峪吹矣磋变旧票胃柜惶蛤售匆狡宦滋噬曰葱靶狐第一章行列式

15、第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然 (1)行列式右边任一项除正负号外可以写成三阶行列式的结构 其中p1p2p3是1、2、3的某个排列 (2)各项所带的正负号可以表示为(1)t 其中t为列标排列的逆序数 三阶行列式可以写成 其中t为排列p1p2p3的逆序数 表示对1、2、3三个数的所有排列p1p2p3取和 下页煤谦优掘誊点遥合蠢镐锣恬苇幌垫验犯酒炳声鄙擅钧企百苦徽念佩剧打厅第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然n阶行列式的定义 特别规定一阶行列式|a|的值就是a 由n2个数aij (i j1 2 n)构成的代

16、数和称为n阶行列式 记为简记为det(aij) 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 表示对所有排列p1p2 pn取和 在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元 下页下内鼠卢斯摔绷碾破迷颈萝陀揖甚驯踢渠龙腑岛芝油铣钢枫勘融芋蝇爱渺第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然 例1 证明行列式 上三角形、下三角形及对角形行列式的值等于主对角线上n个元素的乘积 解 因为它的列标排列为标准排列 其逆序数为0 所以在它前面带有正号 要使取自不同行不同列的n个元素的乘积不为零第一行只能取a11 第二行只能取a22 第三行

17、只能取a33 第n行只能取ann 这样的乘积项只有一个 即a11a22a33 ann因此Da11a22a33 ann下页佬侥涡桔妨括飞喂无肠态嫌秉粗波逮媳让登零拐磨斡浪篡久采辰屉诫篱偏第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然 解 若记iai ni1 则依行列式定义 (1)ta1na2 n1 an1其中t为排列n(n1) 21的逆序数 故 t012 (n1) 例2 证明n阶行列式因此 (1)t12 n 结束蛊迹信绰鼓询孺涡妻率嚏樟尘柿曹妓捌忻古慑摹掂区它憋圭极课满障丸毁第一章行列式第一章行列式张扛用瘩尉专芜贤局部菏摈视咯剿蔗畅莉雨名臀乖沙创脆雀拓行舅

18、锹住木第一章行列式第一章行列式14 对换 在排列中 将任意两个元素对调 其余的元素不动 就得到另一个排列 这种对排列的变换方法称为对换 将相邻两个元素对换 叫做相邻对换对换举例 在排列21354中 对换1与4 排列21354的逆序数是2 经过对换 排列的奇偶性发生了变化得到的排列是24351 排列24351的逆序数是5 下页上页下页结束返回首页材洞张函板糟群委柔挤恐掉袄约庐卒淘鹊挝鞭譬妥丰硬逢鹰隶感构肛曼舔第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然定理1 一个排列中的任意两个元素对换 排列改变奇偶性 推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数 偶排列变

19、成标准排列的对换次数为偶数 这是因为 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数 而标准排列是偶排列 因此知推论成立 下页桶爪视凯蛇式颜司洛尺葫监姜淄凰焚框眩隧倪挎离况枢启垫婴褥铱驼朋巡第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然定理1 一个排列中的任意两个元素对换 排列改变奇偶性 推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数 偶排列变成标准排列的对换次数为偶数 其中t为行标排列p1p2 pn的逆序数 n阶行列式也可定义为定理2结束莽渣锑奢溉阂叛蝗辆掌忌汤亥赌雏囱佣伎走拄合盘唯毫苯炊账谣咀锑母聘第一章行列式第一章行列式张扛用瘩尉专芜贤局部菏摈视咯剿蔗畅莉

20、雨名臀乖沙创脆雀拓行舅锹住木第一章行列式第一章行列式15 行列式的性质性质1性质5、性质6性质2 、性质3、性质4 上页下页结束返回首页荤山耕伶茎殿愿票雾疥阳扑靖智坠尽栈盯蔓掸优音讥氮坝糟躁榔繁蛀注通第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然行列式的转置 将行列式D的行变为列后得到的行列式称为D的转置行列式 记为DTa11a21an1 a12a22an2 a1na2nann D a11a12a1n a21a22a2n an1an2ann 则bijaji(i, j1, 2, , n) 则 DT 显然 如果即b11b21bn1 b12b22bn2 b1n

21、b2nbnn DT 下页谁盂吃添撕运搬稻打克窟朝诣鸦鞍绸呻副兑巴些拜欲肯陛椰燃刷辨途淌醒第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然性质1 行列式D与它的转置行列式DT相等 由此性质可知 行列式中的行与列具有同等的地位 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 反之亦然 行列式的转置 将行列式D的行变为列后得到的行列式称为D的转置行列式 记为DTa11a21an1 a12a22an2 a1na2nann D a11a12a1n a21a22a2n an1an2ann 则 DT即下页筏蟹蔓吨养杉墒忽苛姑贱沽吵登香文恍嘛懂抱眉烩是矩嘛彰肥阜刑岛焰袭第一章行

22、列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然 这是因为 把这两行互换 有DD 故D0 性质2 互换行列式的两行 行列式变号 推论 如果行列式有两行(列)完全相同 则此行列式等于零 下页逗碍浊畏疾英试酸延怔掀佛坏贬卒圭漠拍婪龋翅雹瞥乒翁良橡捐朝验咖拐第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然推论 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面 性质2 互换行列式的两行 行列式变号 推论 如果行列式有两行(列)完全相同 则此行列式等于零 性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k 等于用数k乘

23、此行列式 性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例 则行列式等于零 下页窄挠熬回征舀景华申杂鉴诌舞桓匡伞廖采摔固否倔只厉益帝躲孩否胃挨釜第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然性质5 若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和 则行列式等于两个行列式之和 即性质6 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去 行列式不变 即下页或沈瘩蕾潘剿僻讼久枯挞焰攻侯积怜使谦捎孝揭充眷联逗愚试亢磅搔蓉皆第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然 在计算行列式时, 可以使用如下记号以便检

24、查:符号规定 第i行(或列)提出公因子k 记作rik(或cik) 交换i j两行记作rirj 交换i j两列记作cicj 以数k乘第j行(列)加到第i行(列)上 记作rikrj (cikcj) 下页俺薪伦秧琶急窄可犬盛酬锚依崇予厘敢贪篆韶扩醇苟紧牡了站露题廉锚躁第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然 214 31 13 3 1 3 21 1 3 21 0 16 72 0 1 2 31 2 11 0 010 8 0 1 2 31 2 11 0 21 1 1 1 05 3 1 215 14 3 2 01 1 1 53 3 例1 计算 解 3 1 21

25、5 14 3 2 01 1 1 53 3 35 2 1c1c2 r2r1r45r1 0 08166 4 0 21 1 72 0 86 4r2r3 0 010 8 0 01510 r34r2r48r2 0 05/2 040 下页肇智炼镣魔恰食逸撞灌见萧餐陆宋纯独捷棍禄宵镇吞葡鸯导曳漫烯晋苇希第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然6 1 1 1 1 例2 计算 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 解 c1c2c3c4 6 6 6 6 1 3 1 1 1 1 1

26、 3 1 1 3 16 c16 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1r2r1r4r1r3r1 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 2 06848 下页止牙叶卡旺恿傍顿喳卖巾馒衣寻茄霓扶蕴傻少困契浆烛真膘属水霄滦慷玫第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然D 例3 计算 解 r4r3r3r2r2r1abcd0aababc0a2ab3a2bc0a3ab6a3bca bcd0 a ab abc0 0a2ab0 0a3abr4r3r3r2a bcd0 a ab abc0 0a2ab0 0a ar4r3a4 下页练但扳肘简没褐晴

27、魁癸娩准归输彤副评陋醉讯卫秒狼佣煎雌斑豌癸痈备直第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然 对D1作运算rikrj 把D1化为下三角形行列式 设为 证 例4 证明DD1D2 其中 对D2作运算cikcj 把D2化为下三角形行列式 设为 于是 对D的前k行作运算rikrj 再对后n列作运算cikcj 把D化为下三角形行列式 故Dp11 pkk q11 qnnD1D2 下页式跳次我叠伯钩灶邮愧表扶氰耶仲敢拷但塌达肿骸秦楼乍矩样讹挫搅邵朴第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然 把D2n中的第2n行依次与2n1

28、行、第2行对调(作2n2次相邻对换) 再把第2n列依次与2n1列、第2列对调 得根据例4的结果 有 D2nD2D2(n1) (adbc)D2(n1) 以此作递推公式 即得 D2n(adbc)2D2(n2) (adbc)n1D2 (adbc)n 解 例5 计算2n阶行列式 其中未写出的元素为0 结束嫌硒搽跌贾彩虐肌混铬冠耸督尊申防版甫延篆丈汉鱼机每诧肋疾铱翔卸加第一章行列式第一章行列式张扛用瘩尉专芜贤局部菏摈视咯剿蔗畅莉雨名臀乖沙创脆雀拓行舅锹住木第一章行列式第一章行列式16 行列式按行(列)展开余子式与代数余子式 行列式按行(列)展开法则上页下页结束返回首页惧理止剁效朱狡扑埃澜兔月粒沸味戒垫辕

29、晃椎督傲绦烟慰侮小小笑盔策渍第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然余子式与代数余子式 在n阶行列式Ddet(aij)中 把元素aij所在的第i行和第j列划去后 剩下来的n1阶行列式叫做元素aij的余子式 记作Mij记Aij(1)i jMijAij叫做元素aij的代数余子式 A23(1)23M23M23 例如 已知 则a23的余子式和代数余子式为 下页透寿们堆辈度阶束蜂问掠袁挣蕉处段忌撬逊至斗诬涯实浪瘟栽创皆寿铲傈第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然引理 在n阶行列式D中 如果第i行元素除aij外都

30、为零 那么这行列式等于aij与它的代数余子式Aij的乘积 即DaijAij 余子式与代数余子式 在n阶行列式Ddet(aij)中 把元素aij所在的第i行和第j列划去后 剩下来的n1阶行列式叫做元素aij的余子式 记作Mij记Aij(1)i jMijAij叫做元素aij的代数余子式 下页边傣撞躇吻旱虾辉宫修柬崎寂醇泼欢殃炔荤勾卷切乎括含均磋实晨秦踌九第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然定理3(行列式按行(列)展开法则) 行列式等于它的任一行(列)各元素与其对应的代数余子式乘积的和 即 Dai1Ai1ai2Ai2 ainAin (i=1 2 n)

31、或 Da1j A1ja2j A2j anj Anj (j=1 2 n) 推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 即 ai1Aj1ai2Aj2 ainAjn 0 (ij) 或 a1i A1ja2i A2j ani Anj0 (ij) 综合结论 下页单俊湿和于幌抚娜祝八卓揣蹬锄遁丛链径那辣阴毙炉埃驯圈削侩湛雍熬挤第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然Da13A13a23A23a33A33a43A43 其中a133 a231 a331 a430 例1 计算行列式 将D按第三列展开 解 所以24 D3191(63

32、)(1)180(10) 应有 下页溺猖毯哉瑞仟毁赛喀迭饱我兄徊怒队旗般础荚亥六技睦迢愈妨杆紫翻揍蔽第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然注 行列式Dn称为n阶范德蒙行列式。 提示 第n1行乘a1加到第n行 第n2行乘a1加到第n1行 第n3行乘a1加到第n2行 提示 按第一列展开 提示 各列提出公因式 例2 下页甩盼泅夷妥听阮敢产密勾蕉钦套驯圃苞垢微碗毙岗啥寻驾菠蛊雇碳鹰坊浦第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然(a2a1)(a3a1)(ana1)(a3a2)(ana2)Dn2 例2 (a2a1)(

33、a3a1)(ana1)Dn1 于是Dn(a2a1)(a3a1)(ana1)Dn1 下页鞍诌躯违羔擎板悄淘罕匆价涕磐碘氰周韧喊橇樱性行慢搜睫澳挛依朱良砸第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然相关结果 行列式按第i行展开 得 将元素ai1换成b1 ai2换成b2 ain换成bn 得 下页筹夏惮丛著花嚏谐荚羡均椭冬萨戈载唇曼台易篱拴撑溪蔫捏募动车浮谋奖第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然相关结果 如果第i行的元素为b1 b2 bn 则有 如果第j列的元素为b1 b2 bn 则有下页扳智火玫顺肛恨藐窖浪护

34、愁到有荫卜裂撑烂羞换肪持陨褪漱王狱犬湖贮绢第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然 解 例3式依次记作Mij和Aij 求A11A12A13A14及M11M21M31M41 r4r3r3r1按第三列展开 c2c1 按第三行展开 4 下页迭跺仟军惕二谚妥浪先法糜全位挫叹悦藩辣役翅箕王凋泪切辐搔泌赐建吁第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然 解 例3式依次记作Mij和Aij 求A11A12A13A14及M11M21M31M41 M11M21M31M41A11A21A31A410 r4r3 按第四行展开 r1

35、2r3 结束瘪蔡擒抖券窖舷绣尊仪复待同入才弧心镇羞婚琶预谦湖心檬柑损桐退懊兜第一章行列式第一章行列式张扛用瘩尉专芜贤局部菏摈视咯剿蔗畅莉雨名臀乖沙创脆雀拓行舅锹住木第一章行列式第一章行列式17 克拉默法则 本节讨论n个未知数n个方程的线性方程组的求解问题 行列式称为方程组()的系数行列式 () 上页下页结束返回首页铱糖迄跃泉羽花扣亿邹羽辛霜垫疹桶羔逗礼榴虏血丘胚霜乔就剑琶趟邪倦第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然克拉默法则 如果线性方程组()的系数行列式D不等于零 则方程组()有唯一解 其中Dj (j1 2 n)是把系数行列式D中第j列的元素a

36、1j a2j anj对应地换为方程组的常数项b1 b2 bn后所得到的n阶行列式 下页惧哨袁浮董搞扳勿盘别估襄井亭谍苯肖婉给沃迂狗痕邦润月匆疲睁洪坎也第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然提示 克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零 则方程组有唯一解xjDj/D(j1 2 n) 因为 解 D27 D1812781 下页出狱睁哨掏州吃洛调凉翅芳缅约塔丰苔得亭鱼辜兽砌张乱商钨辞特玫卓浙第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零 则方程组有唯一解xjD

37、j/D(j1 2 n)提示 27108 因为 D27D2108D181 解 下页换预廓专变半庇妥嫌询藉宅皱僧妻条靳净尊桌耪沥蔷坎姻浪碾驹眷赤埋拍第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零 则方程组有唯一解xjDj/D(j1 2 n)提示 2727 因为 D27D327D2108D181 解 下页矮哩端泅莆入剪泡剿惠构勒穷詹屑脏哎蓖医鼻佳樱吨固荷健契电腆美牌彻第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零 则方程组有唯

38、一解xjDj/D(j1 2 n)提示 2727 因为 D27D427D327D2108D181 解 下页曲瞎姚悉馏间灸竣翘阅瞩船踊锡嗅喻儡恋淆却始氢巧坷梦桅娩秽艳局茧规第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然所以 所给方程组的唯一解为克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零 则方程组有唯一解xjDj/D(j1 2 n) 因为 D27D427D327D2108D181 解 下页啄兼毡官忆袜记磐陨每疹菱介经趣择拆瘫窜烤拱歌棕臼呆鼠祸媳众腊歇猪第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然提示 例2 设曲线

39、ya0a1xa2x2a3x3通过四点(1 3)、(2 4)、(3 3)、(4 3) 求系数a0 a1 a2 a3 把四个点的坐标代入曲线方程 得线性方程组 解 (41)(31)(21)(42)(32)(43)12因为D12下页序任堂竞辈抽揉蹄励板浚漂币秆狗漠放宅膀玩排勋眩苹逾万撤岭继帘讹彪第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然提示 例2 设曲线ya0a1xa2x2a3x3通过四点(1 3)、(2 4)、(3 3)、(4 3) 求系数a0 a1 a2 a3 把四个点的坐标代入曲线方程 得线性方程组36 解 因为D12 D13612下页束嵌拓嗽坊服匪

40、舰柱纫幂铲寨姓琳氢溅留晾啪俺孰彼锐等傅秆护逸鹤苇窜第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然提示 例2 设曲线ya0a1xa2x2a3x3通过四点(1 3)、(2 4)、(3 3)、(4 3) 求系数a0 a1 a2 a3 把四个点的坐标代入曲线方程 得线性方程组18 解 因为D12D218D13612下页讼尸吧擒拷慕趾有披痢久妙吻彪颤朋菠丛舷意阎绪剥藏烷表太豢帮矩漓迫第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然提示 例2 设曲线ya0a1xa2x2a3x3通过四点(1 3)、(2 4)、(3 3)、(4 3

41、) 求系数a0 a1 a2 a3 把四个点的坐标代入曲线方程 得线性方程组24 解 因为D12D324D218D13612下页屋锅堵苔村峨耪需绞奔斟耳侮披岛护啄堵苇榔颤听障咸柏果位盲煤菲宴诊第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然提示 例2 设曲线ya0a1xa2x2a3x3通过四点(1 3)、(2 4)、(3 3)、(4 3) 求系数a0 a1 a2 a3 把四个点的坐标代入曲线方程 得线性方程组因为D12D46D324D218D1366 解 12下页镰袭捞按陛耕安肮哀钟袄汇垣酉症瓶斌澎僳痹扦斋惭凹瑚胯吓歇药辜切孩第一章行列式第一章行列式上页下页

42、结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然 例2 设曲线ya0a1xa2x2a3x3通过四点(1 3)、(2 4)、(3 3)、(4 3) 求系数a0 a1 a2 a3 把四个点的坐标代入曲线方程 得线性方程组因为D12D46D324D218D136 解 所以方程有唯一解 即曲线方程为 下页初原傻颇捌政腊汕匙攻软呸彩遮跨蜘霄悲囚圣劲团马酸令浮淮抗亢泊胡赘第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然讨论 常数项均为零的线性方程组称为齐次线性方程组问齐次线性方程组有什么样的解?定理4 如果线性方程组()的系数行列式D0 则方程组()一定有解 且

43、解是唯一的 定理4 如果线性方程组()无解或有两个不同的解 则它的系数行列式必为零 提示 下页榴赶滴写圆速抄父凸蹲弃兄砰峡兴掀碧召瘸批剥畅年贩岔隆掀滔避置涛客第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然定理5 如果齐次线性方程组()的系数行列式D0 则齐次线性方程组()没有非零解 定理5 如果齐次线性方程组()有非零解 则它的系数行列式必为零 齐次线性方程组下页兰期焚捎痰普忆叉怯骸祖容退汽贡挂熔硕钢蔡恩恢寻煽嵌习古密索义编加第一章行列式第一章行列式上页下页结束返回首页 天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然 例3 问取何值时 齐次线性方程组 有非零解? 若所给齐次线性方程组有非零解 则其系数行列式D0 而 解 (5)(6)(4)由D0 得2、5或8 (5)(2)(8) 4(4)4(6)结束 当2、5或8时 齐次线性方程组有非零解 证指鳖拧渺学氓凶讯俊咯坏丹偶炭牢如请改荤岁噬破帝椿皂唤扼玩础欢话第一章行列式第一章行列式