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1、因因 式式 分分 解解提公因式法提公因式法八八 年年 级级 数数 学学 第十四章第十四章 第三节第三节 桂集中学八（桂集中学八（1 1）班）班请将请将630分解成质数的乘积分解成质数的乘积！温故知新温故知新630=23257整式的乘法整式的乘法计算下列各式计算下列各式: :x(x+1)= x(x+1)= (x+1)(x(x+1)(x1)= 1)= x x2 2 + x+ xx x2 21 1请把下列多项式写成整式的乘积的形式请把下列多项式写成整式的乘积的形式: :(1)x(1)x2 2+x =_;+x =_;(2)x(2)x2 21=_.1=_.x(x+1)x(x+1)(x+1)(x-1)(x
2、+1)(x-1) 上面我们把一个多项式化成了几个上面我们把一个多项式化成了几个整式整式的的积积的形式的形式, ,像这样的式子变形叫做这个多项式的像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解因式分解, ,也叫做把也叫做把这个多项式这个多项式分解因式分解因式. .整式的乘法与因式整式的乘法与因式分解有什么关系？分解有什么关系？(1) x2+x = = ， (2) x2-1 = = 。 像这样把一个像这样把一个多项式多项式化成几个化成几个整式积整式积的形式的形式, ,这种变形叫做这个多项式的这种变形叫做这个多项式的因式因式分解分解，也叫做把这个多项式也叫做把这个多项式分解因式分解因式。请把下列多项式写成
3、整式的乘积的形式：请把下列多项式写成整式的乘积的形式：x(x+1)(x+1)(x-1)传授新知传授新知(a+b) (a-b)a2 - b2整式乘法整式乘法因式分解因式分解因式分解因式分解和和整式乘法整式乘法是相反方向的变形：是相反方向的变形：a2+2ab+b2(a+b)2因式分解因式分解整式乘法整式乘法深入理解深入理解1、判断下列各式是不是因式分解判断下列各式是不是因式分解? ?(1) x2-4y2 =(x+2y)(x-2y)(2) 3x2y3z =3xyz xy2(4) m2-3m+1 =m(m-3)+1(3)(5) (a-3)(a+3)=a2-9深入理解深入理解 由由p(a+b+c) =
4、pa+pb+pcp(a+b+c) = pa+pb+pc可得可得: pa+pb+pc=p(a+b+c): pa+pb+pc=p(a+b+c)这样就把这样就把pa+pb+pcpa+pb+pc分解成两个因式乘积的形式分解成两个因式乘积的形式, ,其中一个因其中一个因式是各项的公因式式是各项的公因式p,p,另一个因式另一个因式(a+b+c)(a+b+c)是是pa+pb+pcpa+pb+pc除以除以 p p所得的商所得的商. . 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积因式提取出来，将多项式写成公因式与
5、另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. . 它的各项都有一个公共的因式它的各项都有一个公共的因式p p , ,我们把因式我们把因式 p p 叫做叫做这个多项式各项的这个多项式各项的 _ ._ .pa+pb+pcpa+pb+pc 公因式公因式多项式多项式 x2+2x3，3m2n2-6mn2，12a2b3- 8a3b2-16ab4，各项的公因式分别是什么？各项的公因式分别是什么？系数系数：找各项系数的最大公约数找各项系数的最大公约数。字母字母：找各项的相同字母。找各项的相同字母。指数指数：找各项找各项相同字母相同字母的的最低最低次幂的指数
6、。次幂的指数。如何确定公因式？如何确定公因式？x24ab23mn2探究新知探究新知2、请说出下列多项式的公因式：、请说出下列多项式的公因式：(1) ma + mb(2) 4kx - 8ky(3) 5y3+20y2(4) a2b-2ab2+ab(5) 4x2-8ax+2x(6) 3(a+b)2-6(a+b)3m4k5y2ab2x3(a+b)2深入理解深入理解3、请将下列多项式分解因式：、请将下列多项式分解因式：(1) ma + mb(2) 4kx - 8ky(3) 5y3+20y2(4) a2b-2ab2+ab(5) 4x2-8ax+2x(6) 3(a+b)2-6(a+b)3m4k5y2ab2x
7、3(a+b)2深入理解深入理解m(a+b)4k(x-2y)5y2(y+4)ab(a-2b+1)2x(2x-4a+1)3(a+b)2(1-2a-2b) 如果多项式的各项如果多项式的各项有公因式有公因式，可以把这个，可以把这个公因式提出来，将多项式写成公因式与另公因式提出来，将多项式写成公因式与另一个因式的一个因式的乘积的形式乘积的形式。这种分解因式的。这种分解因式的方法叫做方法叫做提公因式法提公因式法。提公因式法提公因式法：提公因式法的一般步骤提公因式法的一般步骤 ：1、确定提取的公因式；、确定提取的公因式； 2、提取公因式。、提取公因式。归纳总结归纳总结【例例1 1】把把8a8a3 3b b2
8、 2 + 12ab + 12ab3 3c c 分解因式分解因式. .分析：分析：找公因式找公因式 1.1.系数的最大公约数系数的最大公约数 4 42.2.找相同字母找相同字母 a a3.3.相同字母的最低指数相同字母的最低指数 a a1 1b b2 2 公因式为：公因式为：4ab4ab2 2【解析解析】8a8a3 3b b2 2+12ab+12ab3 3c c =4ab=4ab2 2 2a2a2 2+4ab+4ab2 2 3bc3bc =4ab=4ab2 2(2a(2a2 2+3bc).+3bc).【例题例题】【解析解析】a a（x x3 3）+2b+2b（x x3 3） =(x=(x3)(a
9、+2b).3)(a+2b).【例例2 2】把把a a（x x3 3）+2b+2b（x x3 3）分解因式）分解因式. .分析：分析：这这个多个多项项式整体而言可分式整体而言可分为为两大两大项项，即即a(xa(x3)3)与与2b(x2b(x3)3)，每，每项项中都含有（中都含有（x x3 3）, ,因此可以把因此可以把(x(x3)3)作作为为公因式提出公因式提出来来. .把下列各式分解因式把下列各式分解因式: :1.a1.a（x xy y）+b+b（y yx x）; ;分析：分析：虽虽然然a a（x xy)y)与与b(yb(yx)x)看上去没有公因式，看上去没有公因式，但仔但仔细观细观察可以看出
10、（察可以看出（x xy)y)与与(y(yx x）互）互为为相反相反数，如果把其中一个提取一个数，如果把其中一个提取一个“”号，号，则则可以出可以出现现公因式，如公因式，如：y yx=x=（x xy y）【解析解析】a a（x xy y）+b+b（y yx x） =a=a（x xy y）b b（x xy y） = =（x xy y）（）（a ab b）. .【跟踪训练跟踪训练】【解析解析】6 6（m mn n）3 31212（n nm m）2 2 =6 =6（m mn n）3 31212（m mn n）2 2 =6 =6（m mn n）3 31212（m mn n）2 2 =6 =6（m mn
11、n）2 2（m mn n2 2）. .2. 62. 6（m mn n）3 31212（n nm m）2 21.1.填空填空请请在下列各式等号右在下列各式等号右边边的括号前填入的括号前填入“+ +”或或“”号，使等号，使等式成立式成立: :（1 1）2 2a=_a=_（a a2 2）; ;（2 2）y yx=_x=_（x xy y）; ;（3 3）b+a=_b+a=_（a+ba+b）; ;（4 4）（）（b ba a）2 2=_=_（a ab b）2 2; ;（5 5）m mn=_n=_（m+nm+n）; ;（6 6）s s2 2+t+t2 2=_=_（s s2 2t t2 2）. .- - -
12、+- - -2.2.（苏州（苏州中考）分解因式中考）分解因式 a a2 2a=a= 【解析解析】 a a2 2a=a(a-1).a=a(a-1).答案：答案：a(a-1)a(a-1)3.3.（盐城（盐城中考）因式分解中考）因式分解 【解析解析】用提公因式法因式分解：用提公因式法因式分解：答案：答案：2a(a-2)2a(a-2) 5.5.把下列各式分解因式把下列各式分解因式（1 1）8x8x7272（2 2）a a2 2b b5ab5ab（3 3）4m4m3 36m6m2 2（4 4）a a2 2b b5ab+9b5ab+9b（5 5）a a2 2+ab+abacac=8=8（x x9 9）=a
13、b=ab（a a5 5）=2m=2m2 2（2m2m3 3）=b=b（a a2 25a+95a+9）= =（a a2 2ab+acab+ac）= =a a（a ab+cb+c）【解析解析】原式原式= =（a+ba+bc)(ac)(ab+c)b+c)(b(ba+c)(aa+c)(ab+c)b+c) = =（a ab+c)b+c)(a+b(a+bc)c)(b(ba+c)a+c) = =（a ab+c)(a+bb+c)(a+bc cb+ab+ac c） = =（a ab+c)(2ab+c)(2a2c2c） =2=2（a ab+c)(ab+c)(ac c）. . 6.6.把把(a+b(a+bc)(ac)(ab+c)+(bb+c)+(ba+c)(ba+c)(ba ac)c)分解因式分解因式. . 1. 1.一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. .提公因式法提公因式法2.2.分解因式的方法：分解因式的方法：注意符号变化注意符号变化 通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握：
