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1、信号与线性系统分析 第一章 信号与系统School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology教材：信号与线性系统分析，吴大正吴大正等编主讲：汪弋平 博士 副教授电话：13851936371E-mail： 课程西祠讨论版：http:/办公地点：K2楼423室School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology参考书目：参考书目：1.信号与系统信号与系统（上、下），郑君里等编著，高等（上
2、、下），郑君里等编著，高等 教育出教育出版社；版社；2.信号与线性系统信号与线性系统（上、下），管致中等编著，高等教（上、下），管致中等编著，高等教育出版社；育出版社；3.信号与系统信号与系统（英文第二版），（英文第二版），A. V.Oppenheim等著，等著，刘树堂译，西安交大出版社；刘树堂译，西安交大出版社；4.信号与系统信号与系统-理论、方法与应用理论、方法与应用，徐守时编著，中国科，徐守时编著，中国科技大学出版社；技大学出版社；5.信号与系统信号与系统-常见题型解析及模拟题常见题型解析及模拟题，范世贵主编，西，范世贵主编，西北工业大学出版社。北工业大学出版社。School of Ph
3、ysics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technologyv课程性质：课程性质： 该课程与许多专业课（例如通信原理、数字信该课程与许多专业课（例如通信原理、数字信号处理、通信电路、图象处理、微波技术等）有很号处理、通信电路、图象处理、微波技术等）有很强的联系，也是这些学科研究生入学考试的一门重强的联系，也是这些学科研究生入学考试的一门重要课程。要课程。v课程内容：课程内容： 该课程涉及了信号与系统的概念、信号分析、该课程涉及了信号与系统的概念、信号分析、连续时间系统和离散时间系统的时域和频域分析、连续时间系统和离散时
4、间系统的时域和频域分析、系统的状态变量描述、傅里叶变换、拉普拉斯变换、系统的状态变量描述、傅里叶变换、拉普拉斯变换、z变换等等；变换等等；School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technologyv专业基础：专业基础： 线性微分方程、积分变换、复变函数、离散数线性微分方程、积分变换、复变函数、离散数学、电路基础等等；学、电路基础等等； v发展情况（带发展情况（带*的内容将在本课程中学到）：的内容将在本课程中学到）：School of Physics Science and Technology
5、School of Physics Science and Technology1.1 绪言绪言v信号与系统信号与系统要解决的问题：要解决的问题： 什么是信号？什么是信号？ 信号是消息的表现形式，消息则是信号的信号是消息的表现形式，消息则是信号的具体内容。具体内容。什么是系统？什么是系统？什么是系统？什么是系统？ 系统是由若干相互作用和相互依赖的事物系统是由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。组合而成的具有特定功能的整体。信号作用于系统产生什么响应？信号作用于系统产生什么响应？School of Physics Science and TechnologySchool o
6、f Physics Science and Technology信号与系统问题无处不在信号与系统问题无处不在v古老通讯方式：烽火、旗语、信号灯古老通讯方式：烽火、旗语、信号灯v近代通讯方式：电报、电话、无线通讯近代通讯方式：电报、电话、无线通讯 v现代通讯方式：计算机网络通讯、视频电视现代通讯方式：计算机网络通讯、视频电视传播、卫星传输、移动通讯传播、卫星传输、移动通讯School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology信息科学已渗透到所有现代自然科学和社会科信息科学已渗透到所有现代自然
7、科学和社会科学领域：学领域：v工业监控、生产调度、质量分析、资源遥感、地工业监控、生产调度、质量分析、资源遥感、地震预报、人工智能、高效农业、交通监控震预报、人工智能、高效农业、交通监控v宇宙探测、军事侦察、武器技术、安全报警、指宇宙探测、军事侦察、武器技术、安全报警、指挥系统挥系统v经济预测、财务统计、市场信息经济预测、财务统计、市场信息 、股市分析、股市分析v电子出版、新闻传媒、影视制作电子出版、新闻传媒、影视制作v远程教育、远程医疗、远程会议远程教育、远程医疗、远程会议v虚拟仪器、虚拟手术虚拟仪器、虚拟手术School of Physics Science and TechnologyS
8、chool of Physics Science and Technology通信的目的是为了实现消息的传输。通信的目的是为了实现消息的传输。 原始的光通信系统原始的光通信系统古代利用烽火传送边疆警报；古代利用烽火传送边疆警报；声音信号的传输声音信号的传输击鼓鸣金。击鼓鸣金。利用电信号传送消息。利用电信号传送消息。18371837年，莫尔斯年，莫尔斯(F.B.Morse)(F.B.Morse)发明电报；发明电报；18761876年年(A.G.Bell)(A.G.Bell)发明电话。发明电话。利用电磁波传送无线电信号。利用电磁波传送无线电信号。19011901年，马可尼年，马可尼(G.Marco
9、ni)(G.Marconi)成功地实现了横渡大西洋的无成功地实现了横渡大西洋的无线电通信；全球定位系统线电通信；全球定位系统GPS(Global Positioning System)GPS(Global Positioning System)；个人通信具有美好的发展前景。；个人通信具有美好的发展前景。光纤通信带来了更加宽广的带宽。光纤通信带来了更加宽广的带宽。信号的传输离不开信号的交换。信号的传输离不开信号的交换。信号传输School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and TechnologySchool
10、 of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology000110100111110001100101010101110110010100011000School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology信号传输系统信号：随时间变化的物理量。信号：随时间变化的物理量。系统：由若干个单元组成的并具有某种功能以用来达到系统：由若干个单元组成的并具有某种功能以用来达到某些目的的有机整体。某些目的的有机整
11、体。信号传输系统：统称信号传输系统：统称“通信系统通信系统”，分为以下五个部分：，分为以下五个部分：重点：信号的处理、传输。重点：信号的处理、传输。School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology信号处理技术对信号进行某种加工或变换。对信号进行某种加工或变换。目的：目的：消除信号中的多余内容；消除信号中的多余内容；滤除混杂的噪声和干扰；滤除混杂的噪声和干扰；将信号变换成容易分析与识别的形式，便于估将信号变换成容易分析与识别的形式，便于估计和选择它的特征参量。计和选择它的特征参量。信号
12、处理的应用已遍及许多科学技术领域。信号处理的应用已遍及许多科学技术领域。 School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology生物医学信号处理应用举例滤波以前滤波以前 干扰严重干扰严重滤波以后滤波以后 干扰去除干扰去除School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology1.2 信号信号v数学上：数学上： 信号是一个或多个变量的函数；信号是一个或多个变量的函数；v形态上：信号表现为一
13、种波形；形态上：信号表现为一种波形；v自变量：时间、位移、周期、频率、幅度、相位；自变量：时间、位移、周期、频率、幅度、相位；v物理上：物理上： 信号是信息寄寓变化的形式；信号是信息寄寓变化的形式；v描述信号常用的方法是：数学表达式波形描述信号常用的方法是：数学表达式波形v信信号号的的波波形形：信信号号通通常常是是时时间间变变量量t 的的函函数数，信信号号随着随着t 而变化的曲线叫信号的波形。而变化的曲线叫信号的波形。School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technologyv信号的特性：信号
14、的特性： 信号的时间特性：表示为随时间变化的函信号的时间特性：表示为随时间变化的函数本课程中，数本课程中，“信号信号”=“函数函数”）。）。 空间上：波形。空间上：波形。 信号的频率特性：信号可以分解为许多不信号的频率特性：信号可以分解为许多不同频率的正弦分量之和，按频率的高低可同频率的正弦分量之和，按频率的高低可以排列成频谱。以排列成频谱。School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology信号的分类信号的分类从不同的角度可以将信号分类为：从不同的角度可以将信号分类为：v确定性信号和随
15、机信号确定性信号和随机信号 v周期信号和非周期信号周期信号和非周期信号v连续时间信号和离散时间信号连续时间信号和离散时间信号v一维信号和多维信号一维信号和多维信号 v时限信号和非时限信号时限信号和非时限信号 v能量信号和功率信号能量信号和功率信号 v电信号和非电信号电信号和非电信号v实信号和复信号实信号和复信号School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology1.确定性信号和随机信号确定性信号和随机信号 若若信信号号可可以以用用确确定定性性图图形形、曲曲线线或或数数学学表表达达式式来来
16、准准确确描描述述，则该信号为确定性信号；则该信号为确定性信号； 若若信信号号不不遵遵循循确确定定性性规规律律，具具有有某某种种不不确确定定性性，它它不不是是一一个个确确定定的的时时间间函函数数，通通常常只只知知道道它它取取某某一一值值的的概概率率, ,则则该该信信号号为为随随机机信信号号。如如电电路路中中的的噪噪声声，其其强强度度与与频频谱谱因因时时因因地地而异，无法准确预测，因此它是随机信号。而异，无法准确预测，因此它是随机信号。 随随机机信信号号是是客客观观存存在在的的信信号号，它它服服从从统统计计规规律律。研研究究它它的的描述、分析与处理已成为一门重要的学科。描述、分析与处理已成为一门重
17、要的学科。School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technologyv从从常常识识上上讲讲，确确定定性性信信号号不不包包括括有有用用的的或或新新的的信信息息。但但确确定定性性信信号号作作为为理理想想化化模模型型，其其基基本本理理论论与与分分析析方方法法是是研研究究随随机机信信号号的的基基础础，在在此此基基础础上上根根据据统统计计特特性性可可进进一一步步研研究究随机信号。本书只涉及确定性信号。随机信号。本书只涉及确定性信号。 School of Physics Science and Techn
18、ologySchool of Physics Science and Technology确定信号随机信号School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology 2. 连续信号和离散信号连续信号和离散信号 在在连续的的时间范范围内内(-t0 指数上升曲线，指数上升曲线， 00为指数增长的正弦信号，为指数增长的正弦信号，为指数增长的正弦信号，为指数增长的正弦信号， 00为指数衰减的正弦信号为指数衰减的正弦信号为指数衰减的正弦信号为指数衰减的正弦信号可以看到：可以看到：School of Ph
19、ysics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology5 5能量信号与功率信号能量信号与功率信号 将信号将信号f (t)施加于施加于1电阻上，它所消耗的瞬时功率为电阻上，它所消耗的瞬时功率为| f (t) |2，在区间在区间( , )的的能量能量和和平均功率平均功率定义为定义为（1）信号的能量）信号的能量E（2）信号的功率）信号的功率P 若信号若信号f (t)的能量有界，即的能量有界，即 E ,则称其为则称其为能量有限信号能量有限信号，简称简称能量信号能量信号。此时。此时 P = 0 若信号若信号f (t)的功率
20、有界，即的功率有界，即 P 1 原信号被压缩原信号被压缩0-12121原信号被扩展原信号被扩展0|a|10-1-212240-1212原始信号原始信号School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology5. 信号的反褶信号的反褶即将原信号沿纵轴翻转即将原信号沿纵轴翻转180度。度。反褶01-212没没有有可可实实现现此此功功能能的的实实际际器器件件。数数字字信信号号处处理理中中可可以以实实现现此此概念，例如堆栈中的概念，例如堆栈中的“后进先出后进先出”。0-1212School of P
21、hysics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology6. 综合变换综合变换以以变变量量 代代替替 中中的的独独立立变变量量 ，可可得得一一新新的的信信号号函函数数 。当当 时时，它它是是 沿沿时时间间轴轴展展缩缩、平平移移后后的的信信号号波波形形；当当 时时，它它是是f(t)沿沿时时间间轴轴展展缩缩平平移移和和反反转后的信号波形，下面举例说明。转后的信号波形，下面举例说明。注意注意！一切变换都是相对一切变换都是相对t而言而言可以用先翻缩后平移的顺序可以用先翻缩后平移的顺序 School of Physics
22、Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology举例：已知已知f (t)，画出，画出 f ( 4 2t)。 三种运算的次序可任意。但一三种运算的次序可任意。但一定要注意始终对时间定要注意始终对时间 t 进行。进行。压缩，得压缩，得f (2t 4)反转，得反转，得f ( 2t 4)右移右移4，得，得f (t 4)School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology 阶跃函数阶跃函数和和冲激函数冲激函数不同于普通函数
23、，称为不同于普通函数，称为奇异函数奇异函数。研。研究奇异函数的性质要用到广义函数（或分配函数）的理论。这究奇异函数的性质要用到广义函数（或分配函数）的理论。这里将直观地引出阶跃函数和冲激函数。里将直观地引出阶跃函数和冲激函数。 1-4 阶跃函数和冲激函数一、阶跃函数一、阶跃函数 下面采用求函数序列极限的方法下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。定义阶跃函数。选定一个函数序列选定一个函数序列n(t)如图所示。如图所示。 n School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology有延迟的单
24、位阶跃信号：有延迟的单位阶跃信号：School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology利用单位阶跃信号利用单位阶跃信号 (t)可以很方便地用数学函数来描述信号可以很方便地用数学函数来描述信号的接入（开关）特性或因（单边）特性。所以单位阶跃函数的接入（开关）特性或因（单边）特性。所以单位阶跃函数与另一函数相乘具有将后者从与另一函数相乘具有将后者从 之前全部切除的作用。之前全部切除的作用。例如用阶跃函数表示单边正弦信号例如用阶跃函数表示单边正弦信号单边正弦信号单边正弦信号用阶跃函数可以表示方
25、波或分段常量波形：用阶跃函数可以表示方波或分段常量波形：这就是一个门函数这就是一个门函数( (方波方波) )的表达式。的表达式。用这种门函数可表示用这种门函数可表示其它一些函数其它一些函数门函数门函数School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology可以用门函数的方法求：可以用门函数的方法求：也可以用门函数的方法求：也可以用门函数的方法求：利用门函数求函数表达式利用门函数求函数表达式School of Physics Science and TechnologySchool of Ph
26、ysics Science and TechnologySchool of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology阶跃函数性质：阶跃函数性质：（1）可以方便地表示某些信号）可以方便地表示某些信号 f(t)=2(t)-3(t-1)+(t-2) （2）用阶跃函数表示信号的作用区间）用阶跃函数表示信号的作用区间（3）积分）积分 School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology二、冲激函数二
27、、冲激函数 单位冲激函数单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作用时是个奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短一种物理量的理想化模型。它由如下特殊的方式定义间极短一种物理量的理想化模型。它由如下特殊的方式定义(由由狄拉克狄拉克最早提出最早提出) 也可采用下列也可采用下列直观定义直观定义：对前面：对前面n(t)求导求导得到如图所示的矩形脉冲得到如图所示的矩形脉冲pn(t) 。 高度无穷大，宽度无高度无穷大，宽度无穷小，面积为穷小，面积为1的对称窄脉冲。的对称窄脉冲。 School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Scien
28、ce and Technology冲激函数与阶跃函数关系：冲激函数与阶跃函数关系：可见，引入冲激函数之后，可见，引入冲激函数之后，间断点的导数也存在。如间断点的导数也存在。如f(t) = 2(t +1)- -2(t - -1)f(t) = 2(t +1)- -2(t - -1)求导nnSchool of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology若面积为若面积为k k，则强度为，则强度为k k。三种典型的冲激函数变化形式三种典型的冲激函数变化形式：School of Physics Science
29、 and TechnologySchool of Physics Science and Technology总结：总结： 斜变函数，单位阶跃函数，斜变函数，单位阶跃函数， (t) 之间的关系之间的关系 f(t) 求求 积积(- t ) 导导 分分 (t) tO1School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology冲激函数的性质冲激函数的性质1 1与普通函数的乘积与普通函数的乘积( (取样性取样性sampling property)sampling property)对于移位情况对于移位
30、情况：如果如果f(t)在在t = 0处连续，且处处有界，则有处连续，且处处有界，则有 School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology0(t)举例说明：举例说明： School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technologytn冲激序列对连续信号抽样冲激序列对连续信号抽样冲激函数的性质冲激函数的性质v单位冲激函数为偶函数单位冲激函数为偶函数 l l尺度变换尺度变换尺度变换尺度变换 l
31、(t)的导数及其性质的导数及其性质 这里里 a 和和 t0为常数，且常数，且a 0。定义： 称单位二次冲激函数或冲激偶。称单位二次冲激函数或冲激偶。School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology冲激函数的导数冲激函数的导数(t)（也称冲激偶）与普通函数的乘积（也称冲激偶）与普通函数的乘积f(t) (t) = f(0) (t)
32、 f (0) (t) 证明： f(t) (t) = f(t) (t) + f (t) (t) f(t) (t) = f(t) (t) f (t) (t) = f(0) (t) f (0) (t) (t)的积分性质：的积分性质：(n)(t)的定义：的定义：School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology冲激函数的微分（阶跃函数的二阶导数）：将呈现正、负冲激函数的微分（阶跃函数的二阶导数）：将呈现正、负极性的一对冲激，称为冲激偶信号，以极性的一对冲激，称为冲激偶信号，以 (t)表示表示。
33、冲激偶信号冲激偶信号显然得到了一正一负两个强度为显然得到了一正一负两个强度为 的冲的冲激函数，继续取极限，让激函数，继续取极限，让 趋于零，依趋于零，依据微分的定义已经可以看出冲激偶恰为据微分的定义已经可以看出冲激偶恰为冲激函数的导数。冲激函数的导数。School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology在在t=tt=t1 1导处的冲激函数可表示导处的冲激函数可表示2 2移位后与普通函数的乘积移位后与普通函数的乘积School of Physics Science and Technolo
34、gySchool of Physics Science and Technology3. ( (t t) ) 的尺度变换和奇偶性的尺度变换和奇偶性推论:(1)(2t) = 0.5 (t) (2)当a=1时所以，(t)=(t)为偶函数，(t)=(t)为奇函数例例 1下列各表达式中错误的是_。CSchool of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology例例 2下列各表达式中错误的是_。B课堂练习题课堂练习题计算下列各题。计算下列各题。(1)(2)(3)因为(t+1)位于积分范围之外。课堂练习题课堂
35、练习题画出下列信号的波形。画出下列信号的波形。(1)(2)School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology1-5 系统的描述系统的描述v所谓系统，不限于前面提过的通信系统，还包括诸如机械，所谓系统，不限于前面提过的通信系统，还包括诸如机械，化工系统类的其他物理系统以及生产管理，交通运输方面化工系统类的其他物理系统以及生产管理，交通运输方面的社会经济系统。它是有若干互有关联的单元组成的并具的社会经济系统。它是有若干互有关联的单元组成的并具有某种功能以用来实现某些特定目的的有机整体。有某
36、种功能以用来实现某些特定目的的有机整体。设初始状态为设初始状态为 （有（有n个独立储能元件）个独立储能元件）则响应为：则响应为：全响应为零输入响应与零状态响应的叠加。全响应为零输入响应与零状态响应的叠加。School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology 描述连续动态系统的数学模型是描述连续动态系统的数学模型是微分方程微分方程，描述离散动，描述离散动态系统的数学模型是态系统的数学模型是差分方程差分方程。一、连续系统1. 解析描述建立数学模型 图示图示RLC电路，以电路，以uS(t)作激
37、励，以作激励，以uC(t)作为响应，由作为响应，由KVL和和VAR列方程，并整理得列方程，并整理得二阶常系数线性微分方程。二阶常系数线性微分方程。1-5 系统的描述系统的描述School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology抽去具有的物理含义，微分方程写成抽去具有的物理含义，微分方程写成这个方程也可以描述下面的一个二阶机械减振系统。这个方程也可以描述下面的一个二阶机械减振系统。其中，其中，k为弹簧常数，为弹簧常数，M为物体质量，为物体质量，C为减振液体的阻尼系数，为减振液体的阻尼系数，
38、x为物体偏离其为物体偏离其平衡位置的位移，平衡位置的位移，f(t)为初始外力。其运为初始外力。其运动方程为动方程为 能用相同方程描述的系统称相似系统能用相同方程描述的系统称相似系统。School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology上述方程从上述方程从数学角度数学角度来说代表了某些运算关系：来说代表了某些运算关系：相乘、微相乘、微分、相加运算分、相加运算。将这些基本运算用一些理想部件符号表示。将这些基本运算用一些理想部件符号表示出来并相互联接表征上述方程的运算关系，这样画出的图出来并相
39、互联接表征上述方程的运算关系，这样画出的图称为称为模拟框图模拟框图，简称，简称框图框图。基本部件单元基本部件单元有：有： 积分器：积分器：加法器：加法器：数乘器：数乘器：积分器的抗干扰性比微分器好积分器的抗干扰性比微分器好。2 2、系统的框图表示、系统的框图表示School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology实际系统实际系统方程方程模拟框图模拟框图 实验室实现（模拟系统）实验室实现（模拟系统）指导实际系统设计指导实际系统设计例例1：已知：已知y”(t) + ay(t)+ by(t)
40、= f(t)，画框图。，画框图。解：将方程写为解：将方程写为 y”(t) = f(t) ay(t) by(t)School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology例例2：已知：已知y”(t) + 3y(t)+ 2y(t) = 4f(t) + f(t)，画框图。，画框图。解：该方程含解：该方程含f(t)的导数，可引入辅助函数画出框图。设辅的导数，可引入辅助函数画出框图。设辅助函数助函数x(t)满足满足 x”(t) + 3x(t)+ 2x(t) = f(t) 可推导出可推导出 y(t) =
41、4x(t) + x(t)，它满足原方程它满足原方程。School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology例例3：已知框图，写出系统的微分方程。：已知框图，写出系统的微分方程。设辅助变量设辅助变量x(t)如图如图x(t)x(t)x”(t)x”(t) = f(t) 2x(t) 3x(t) ,即即x”(t) + 2x(t) + 3x(t) = f(t) y(t) = 4x(t)+ 3x(t)根据前面，逆过程，得根据前面，逆过程，得y”(t) + 2y(t) + 3y(t) = 4f(t)+ 3
42、f(t)School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology二、离散系统二、离散系统1. 1. 解析描述解析描述建立差分方程建立差分方程例：某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为例：某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为元元/元，求元，求第第k个月初存折上的款数。个月初存折上的款数。 设第设第k个月初的款数为个月初的款数为y(k),这个月初的存款为这个月初的存款为f(k),上个月初上个月初的款数为的款数为y(k- -1)，利息为，利息为y(k- -1),则则 y(k)=y(k- -1
43、)+ y(k- -1)+f(k)即即 y(k)- -(1+)y(k- -1) = f(k)若设开始存款月为若设开始存款月为k=0，则有，则有y(0)= f(0)。 上述方程就称为上述方程就称为y(k)与与f(k)之间所满足的差分方程。所谓之间所满足的差分方程。所谓差差分方程分方程是指由未知输出序列项与输入序列项构成的方程。未知是指由未知输出序列项与输入序列项构成的方程。未知序列项变量最高序号与最低序号的差数，称为序列项变量最高序号与最低序号的差数，称为差分方程的阶数差分方程的阶数。上述为上述为一阶差分方程一阶差分方程。School of Physics Science and Technolo
44、gySchool of Physics Science and Technology2. 2. 差分方程的模拟框图差分方程的模拟框图基本部件单元有：基本部件单元有：数乘器，加法器，迟延单元（移位器）数乘器，加法器，迟延单元（移位器）例：已知框图，写出系统的差分方程。例：已知框图，写出系统的差分方程。School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology解：解：设辅助变量设辅助变量x(k)如图如图即即 x(k) +2x(k-1) +3x(k-2) = f(k) y(k) = 4x(k-1)
45、+ 5x(k-2) 消去消去x(k) ，得，得 y(k) +2y(k-1) +3y(k-2) = 4f(k-1) + 5f(k-2) x(k)= f(k) 2x(k-1) 3x(k-2)School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology一、系统的定义一、系统的定义 若干相互作用、相互联系的事物按一定规律组成具有若干相互作用、相互联系的事物按一定规律组成具有特定功能的整体称为系统。特定功能的整体称为系统。 电系统是电子元器件的集合体。电路侧重于局部，系电系统是电子元器件的集合体。电路侧重
46、于局部，系统侧重于全部。电路、系统两词通用。统侧重于全部。电路、系统两词通用。二、系统的分类及性质二、系统的分类及性质 可以从多种角度来观察、分析研究系统的特征，提出可以从多种角度来观察、分析研究系统的特征，提出对系统进行分类的方法。下面讨论几种常用的分类法。对系统进行分类的方法。下面讨论几种常用的分类法。1-6 系统的性质系统的性质School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology1. 连续系统与离散系统 若系统的输入信号是连续信号，系统的输出信号也是连若系统的输入信号是连续信号，系
47、统的输出信号也是连续信号，则称该系统为续信号，则称该系统为连续时间系统连续时间系统，简称为，简称为连续系统连续系统。 若系统的输入信号和输出信号均是离散信号，则称该若系统的输入信号和输出信号均是离散信号，则称该系统为系统为离散时间系统离散时间系统，简称为，简称为离散系统离散系统。 2. 动态系统与即时系统 若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为且与它过去的历史状况有关，则称为动态系统动态系统 或或记忆系统记忆系统。含有记忆元件含有记忆元件(电容、电感等电容、电感等)的系统是动态系统。否则称的系统是动态系统
48、。否则称即时即时系统系统或或无记忆系统无记忆系统。3. 单输入单输出系统与多输入多输出系统School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology满足线性性质的系统称为满足线性性质的系统称为线性系统线性系统。一.线性性质 系统的激励系统的激励f ()所引起的响应所引起的响应y() 可简记为可简记为 y() = T f ()线性性质包括两方面：线性性质包括两方面：齐次性齐次性和和可加性可加性。 若系统的激励若系统的激励f ()增大增大a倍时，其响应倍时，其响应y()也增大也增大a倍，即倍，即
49、T af () = a T f ()则称该系统是则称该系统是齐次的齐次的。 若系统对于激励若系统对于激励f1()与与f2()之和的响应等于各个激励所引起之和的响应等于各个激励所引起的响应之和，即的响应之和，即 T f1()+ f2() = T f1()+T f2() 则称该系统是则称该系统是可加的可加的。School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology若系统既是齐次的又是可加的，则称该系统是若系统既是齐次的又是可加的，则称该系统是线性的线性的，即即 Ta f1() + bf2() =
50、 a T f1() + bT f2() （2）动态系统是线性系统的条件 动态系统不仅与激励动态系统不仅与激励 f () 有关，而且与系统的初始状有关，而且与系统的初始状态态x(0)有关。有关。 初始状态也称初始状态也称“内部激励内部激励”。完全响应可写为完全响应可写为 y () = T f () , x(0)零状态响应为零状态响应为 yf() = T f () , 0零输入响应为零输入响应为 yx() = T 0，x(0)School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology当动态系统满足
51、下列三个条件时该系统为线性系统当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：零状态线性零状态线性： Ta f () , 0 = a T f () , 0 Tf1(t) + f2(t) , 0 = T f1 () , 0 + T f2 () , 0或或 Taf1(t) +bf2(t) , 0 = aT f1 () , 0 +bT f2 () , 0零输入线性零输入线性： T0,ax(0)= aT 0,x(0) T0,x1(0) + x2(0) = T0,x1(0) + T0,x2(0)或或T0,ax1(0) +bx2(0) = aT0,x1(0) +bT0,x2(0)可分解性可分解性： y ()
52、 = yf() + yx() = T f () , 0+ T 0，x(0)School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technologyv线性系统和非线性系统：线性系统和非线性系统：“线性线性”系统是满足叠加性与齐次系统是满足叠加性与齐次(比例或均匀比例或均匀)性的系统。性的系统。 考虑引起系统响应的因素，除了系统的激励之外，还考虑引起系统响应的因素，除了系统的激励之外，还有系统的储能，因此线性系统必须满足以下三个条件有系统的储能，因此线性系统必须满足以下三个条件。(a). 分解性 系统的响应有不
53、同的分解形式，其中线性系统的响应一系统的响应有不同的分解形式，其中线性系统的响应一定可以分解为零输入响应与零状态响应，定可以分解为零输入响应与零状态响应， 即系统响应可即系统响应可表示为表示为 式中，式中， 是零输入响应，是零输入响应， 是零状态响应。是零状态响应。 School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology（b）.零输入线性零输入线性 输入为零时，输入为零时， 由各初始状态由各初始状态x1(0), x2(0), ., xn(0)引起引起的响应满足叠加性与比例性，的响应满足叠加
54、性与比例性， 若若xj(0)=1单独作用时得到响单独作用时得到响应应rxj (t),i=1.n，则有：，则有：用框图表示有：用框图表示有：系统x1(0)rxi1(t)系统xn(0)rxin(t)系统或=nkkkxa1)0(=nkkktra1x)(.School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology(c). 零状态线性零状态线性 初始状态为零时，由各输入激励初始状态为零时，由各输入激励e1(t), e2(t), ., em(t)引引起的响应具有叠加性与比例性（均匀性），若起的响应具有叠加
55、性与比例性（均匀性），若总之，数学上的线性总之，数学上的线性=齐次性齐次性+叠加性叠加性乘法器乘法器 不属于线性系统，但在通信系统中不属于线性系统，但在通信系统中重要，因此也是我们课程研究内容之一。重要，因此也是我们课程研究内容之一。School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology二. 时不变性满足时不变性质的系统称为满足时不变性质的系统称为时不变系统时不变系统。（1）时不变性质 若系统满足输入延迟多少时间，若系统满足输入延迟多少时间，其零状态响应也延迟多少时间，即若其零状态响应也延
56、迟多少时间，即若 T0，f(t) = yf(t)则有则有 T0，f(t - - td) = yf(t - - td)系统的这种性质称为系统的这种性质称为时不变性时不变性（或（或移移位不变性位不变性）。）。 School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology2. 时变系统与非时变系统时变系统与非时变系统 从系统的参数来看，系统参数不随时间变化的是时不从系统的参数来看，系统参数不随时间变化的是时不变系统，也称非时变系统、常参系统、定常系统等；系统变系统，也称非时变系统、常参系统、定常系统等
57、；系统参数随时间变化的是时变系统，也称变参系统。从系统响参数随时间变化的是时变系统，也称变参系统。从系统响应来看，时不变系统在初始状态相同的情况下，系统响应应来看，时不变系统在初始状态相同的情况下，系统响应与激励加入的时刻无关。即与激励加入的时刻无关。即School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology图1.4.1时不变系统School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology 3
58、. 因果系统与非因果系统因果系统与非因果系统 因果系统满足在任意时刻的响应因果系统满足在任意时刻的响应y(t)仅与该时刻以及仅与该时刻以及该时刻以前的激励有关，而与该时刻以后的激励无关。该时刻以前的激励有关，而与该时刻以后的激励无关。 也可以说，因果系统的响应是由激励引起的，激励是响也可以说，因果系统的响应是由激励引起的，激励是响应的原因，响应是激励的结果；响应不会发生在激励加应的原因，响应是激励的结果；响应不会发生在激励加入之前，系统不具有预知未来响应的能力。入之前，系统不具有预知未来响应的能力。 例如系统的例如系统的激励激励f(t)与响应与响应y(t)的关系为的关系为f(t)= dy(t)
59、/dt ，这是一阶微分，这是一阶微分方程，而响应与激励的关系是积分关系，方程，而响应与激励的关系是积分关系， 则系统是因果系统。响应与激励具有因果关系的系统也则系统是因果系统。响应与激励具有因果关系的系统也称为物理可实现系统。称为物理可实现系统。 School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technologyv 如如果果响响应应出出现现在在激激励励之之前前，那那么么，系系统统为为非非因因果果系系统统，也也称称为为物物理理不不可可实实现现系系统统。书书中中一一般般不不特特别别指指明明均均为为因因果果
60、系系统统。系系统统的的响响应应与与激激励励的的关关系系为为y1(t)=f1(t-1)，响响应应出出现现在在激激励励之之后后，系系统统是是因因果果系系统统；若若系系统统的的响响应应与与激激励励的的关关系系为为y2(t)=f2(t+1)，响响应应出出现现在在激激励励之前，那么它是非因果系统。之前，那么它是非因果系统。 由线性常系数微分方程描述的线性时不变（由线性常系数微分方程描述的线性时不变（LTI）系统为系统为线性非时变系统线性非时变系统v所有的项都包括了r(t)或e(t)。所有的系数都是常数（而不是r(t)、e(t)或t 的函数）。l下列因素导致系统微分方程是非线性或时变的：w若有任何一项是常
61、数或是r(t)或e(t)的非线性函数，则它是非线性的。w若r(t)或e(t)中的任何一项的系数是t的显时函数，则它是时变的。若当 t0时激励e(t)=0，则当t0时响应r(t)=0。因果性因果性也就是说，如果响应也就是说，如果响应r(t)并不依赖于将来的激励并不依赖于将来的激励如如e(t+1)，那么系统就是因果的。那么系统就是因果的。问题问题1：如何判断系统的类型？：如何判断系统的类型？v判断系统是否为线性系统判断系统是否为线性系统按线性性质，即叠加性来判断。根据式：按线性性质，即叠加性来判断。根据式： T a e1(t)+be2(t)=a r1(t)+b r 2(t)；T e(t)表示系统对
62、表示系统对e(t)的的响应。满足此式即为线性系统，否则为非线性系统响应。满足此式即为线性系统，否则为非线性系统。v判断系统是否为非时变系统判断系统是否为非时变系统按非时变性质来判断。根据式：按非时变性质来判断。根据式：T e(t-t0)= r (t-t0)；满足此满足此式即为非时变系统，否则为时变系统。式即为非时变系统，否则为时变系统。v判断系统是否为因果系统判断系统是否为因果系统则则按按其其输输出出变变化化不不发发生生在在输输入入变变化化之之前前的的系系统统为为因因果果系系统统，否则为非因果系统。否则为非因果系统。对对于于线线性性非非时时变变系系统统，若若满满足足t0时时，系系统统的的冲冲激
63、激响响应应h(t)=0的系统为因果系统。的系统为因果系统。School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology例例1：判断下列系统是否为线性系统？：判断下列系统是否为线性系统？ （1） y (t) = 3 x(0) + 2 f (t) + x(0) f (t) + 1 （2） y (t) = 2 x(0) + | f (t)| （3） y (t) = x2(0) + 2 f (t)解解： （1） yf(t) = 2 f (t) +1， yx(t) = 3 x(0) + 1显然，显然， y
64、 (t) yf(t) yx(t) 不满足可分解性，故为非线性不满足可分解性，故为非线性（2） yf(t) = | f (t)|， yx(t) = 2 x(0) y (t) = yf(t) + yx(t) 满足可分解性；满足可分解性；由于由于 Ta f (t) , 0 = | af (t)| a yf(t) 不满足零状态线性。故不满足零状态线性。故为非线性系统。为非线性系统。（3） yf(t) = 2 f (t) , yx(t) = x2(0) ，显然满足可分解性；，显然满足可分解性；由于由于T 0,a x(0) =a x(0)2 a yx(t)不满足零输入线性。故不满足零输入线性。故为非线性系
65、统。为非线性系统。School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology例例2：判断下列系统是否为线性系统？判断下列系统是否为线性系统？解：y (t) = yf(t) + yx(t) ， 满足可分解性；满足可分解性；Ta f1(t)+ b f2(t) , 0= aTf1(t), 0 +bT f2(t) , 0，满足零状态线性；，满足零状态线性；T0,ax1(0) + bx2(0) = e- -tax1(0) +bx2(0) = ae- -tx1(0)+ be- -tx2(0) = aT0,
66、x1(0) +bT0,x2(0), 满足零输入线性；满足零输入线性；所以，该系统为线性系统。所以，该系统为线性系统。School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology例例：判断下列系统是否为时不变系统？：判断下列系统是否为时不变系统？ （1） yf (k) = f (k) f (k 1) （2） yf (t) = t f (t) （3） y f(t) = f ( t)解解(1)令令g (k) = f(k kd) T0， g (k) = g(k) g (k 1) = f (k kd) f
67、 (kkd 1 )而而 yf (k kd) = f (k kd) f (kkd 1) 显然显然 T0，f(k kd) = yf (k kd) 故该系统是时不变的。故该系统是时不变的。(2) 令令g (t) = f(t td) T0， g (t) = t g (t) = t f (t td) 而而 yf (t td)= (t td) f (t td)显然显然T0，f(t td) yf (t td) 故该系统为时变系统。故该系统为时变系统。School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology
68、(3) 令令g (t) = f(t td) , T0，g (t) = g ( t) = f( t td) 而而 yf (t td) = f ( t td)，显然，显然 T0，f(t td) yf (t td) 故该系统为时变系统。故该系统为时变系统。直观判断方法：若f()前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。 例例 系系统模型模型为：r(t)=sine(t) (t)故为非线性系统。故为非线性系统。故为时变系统。故为时变系统。显然显然输出变化不发生在输入变化之前输出变化不发生在输入变化之前, ,故故为因果为因果系统。系统。分析如下：例例系系统模型模型为：r(t)=e(1-t)故为线
69、性系统。故为线性系统。故为时变系统。故为时变系统。当当 t=0时，r(0)=e(1), 响响应r(t)依依赖于于将将来来的的激激励励，故故为非因果系非因果系统。分析如下：分析如下：把此项看成一个变量将 t 用(t-t0)代替例例判断下列微分方程所描述的系统是否为线性的、时不变的？判断下列微分方程所描述的系统是否为线性的、时不变的？解：解：(1)该方程的所有系数是常数，所有的方程的所有系数是常数，所有的项都包括了都包括了y(t)或或 f (t)，故描述的系故描述的系统是是线性性时不不变系系统。(2)该方程的一项系数是该方程的一项系数是 t 的函数，的函数，所有的项都包括了所有的项都包括了y(t)
70、 或或f (t)，故描述的系故描述的系统是是线性性时变系系统。(3)该方程的一项系数是该方程的一项系数是y(t)的函数，而的函数，而y(2t)将使系将使系统统 随时间变化，故描述的系统是非线性时变系统。随时间变化，故描述的系统是非线性时变系统。问题：用分解特性求系统响应？问题：用分解特性求系统响应？某一线性系统有两个起始条件 和 ，输入为 ，输出为 ，并已知：(1)当 时，(2)当 时，(3)当 时，求：当 时的解：零输入响应是初始值的线性函数，故解：零输入响应是初始值的线性函数，故 将(1)，(2)条件代入，得：解得：所以，零输入响应为所以，由(3)零状态响应为：故，系统响应为：School
71、 of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology4.稳定性 一个系统，若对有界的激励一个系统，若对有界的激励f(.)所产生的零状态响应所产生的零状态响应yf(.)也是有界时，则称该系统为也是有界时，则称该系统为有界输入有界输出稳定有界输入有界输出稳定，简，简称称稳定稳定。即。即 若若f(.)，其，其yf(.) 则称系统是稳定的。则称系统是稳定的。 如如yf(k) = f(k) + f(k-1)是稳定系统；而是稳定系统；而是不稳定系统是不稳定系统。因为，当因为，当f(t) =(t)有界，有界，当当
72、t 时，它也时，它也，无界。，无界。School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology1-7 线性时不变(LTI)系统分析方法概述系统分析方法概述 系统分析研究的主要问题：对给定的具体系统，求出它对给定激励的响应。具体地说：系统分析就是建立表征系统的数学方程并求出解答。系统的分析方法：输入输出法（外部法）输入输出法（外部法）状态变量法状态变量法（内部法）（内部法）（chp.8)外部法时域分析（时域分析（chp.2,chp.3)变换域法变换域法连续系统连续系统频域法频域法(4)和和复频域
73、法复频域法(5)离散系统离散系统z域法域法（chp6)系统特性系统特性：系统函数系统函数（chp.7)School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology（1）把）把零输入响应零输入响应和和零状态响应零状态响应分开求。分开求。（2）把复杂信号分解为众多基本信号之和，根据线性系）把复杂信号分解为众多基本信号之和，根据线性系统的可加性：统的可加性：多个基本信号作用于线性系统所引起的响应多个基本信号作用于线性系统所引起的响应等于各个基本信号所引起的响应之和。等于各个基本信号所引起的响应之和。求
74、解的求解的基本思路基本思路：采用的数学工具：采用的数学工具：（1）卷积积分与卷积和）卷积积分与卷积和（2）傅里叶变换）傅里叶变换（3）拉普拉斯变换）拉普拉斯变换（4）Z变换变换School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology课堂练习题课堂练习题1-1 判断下列信号是否是周期性的，如果是周期性的，试确判断下列信号是否是周期性的，如果是周期性的，试确定其周期。定其周期。School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology1-2. 已知已知f(t)的波形如的波形如图所示，所示，试画出下列函数的波形画出下列函数的波形图。School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and Technology1-3 计算下列积分计算下列积分School of Physics Science and TechnologySchool of Physics Science and TechnologyEnd of Chapter 1
