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1、3 线性方程组的解线性方程组的解1重点辅导一、线性方程组的表达式一、线性方程组的表达式1.一般形式一般形式3. 向量方程的形式向量方程的形式方程组可简化为方程组可简化为 AX = b 2.增广矩阵的形式增广矩阵的形式4.向量组线性组合的形式向量组线性组合的形式2重点辅导二、线性方程组的解的判定二、线性方程组的解的判定设有有 n 个未知数个未知数 m 个方程的个方程的线性方程性方程组定定义：线性方程性方程组如果有解，就称它是如果有解，就称它是相容的相容的；如果无解，；如果无解，就称它是就称它是不相容的不相容的问题1：方程方程组是否有解？是否有解？问题2：若方程若方程组有解，有解，则解是否唯一？解
2、是否唯一？问题3：若方程若方程组有解且不唯一，有解且不唯一，则如何掌握解的全体？如何掌握解的全体？ m、n 不一不一定相等！定相等！3重点辅导定理：定理：n 元元线性方程性方程组 Ax = b无解的充分必要条件是无解的充分必要条件是 R(A) R(A, b)；有唯一解的充分必要条件是有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ；有无限多解的充分必要条件是有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) n 分析：分析：只需只需证明条件的充分性，即明条件的充分性，即R(A) R(A, b) 无解；无解；R(A) = R(A, b) = n 唯一解；唯一解；R(A) =
3、 R(A, b) n 无无穷多解多解那么那么无解无解 R(A) R(A, b) ；唯一解唯一解 R(A) = R(A, b) = n ；无无穷多解多解 R(A) = R(A, b) n 4重点辅导证明：明：设 R(A) = r ，为叙述方便，不妨叙述方便，不妨设 B = (A, b) 的的行最行最简形矩形矩阵为第一步：第一步：往往证 R(A) R(A, b) 无解无解若若 R(A) R(A, b) ，即，即 R(A, b) = R(A)1，则 dr+1 = 1 于是于是 第第 r +1 行行对应矛盾方程矛盾方程 0 = 1，故原，故原线性方程性方程组无解无解R(A) R(A, b) R(A)1
4、 前前 r 列列 后后 n - r 列列 5重点辅导前前 n 列列前前 r 列列第二步：第二步：往往证 R(A) = R(A, b) = n 唯一解唯一解若若 R(A) = R(A, b) = n，故原故原线性方程性方程组有唯一解有唯一解后后 n - r 列列 则 dr+1 = 0 且且 r = n，对应的的线性方程性方程组为 从而从而 bij 都不出都不出现. .6重点辅导第三步：第三步：往往证 R(A) = R(A, b) n 无无穷多解多解若若 R(A) = R(A, b) n ， 对应的的线性方程性方程组为前前 r 列列 则 dr+1 = 0 . .后后 n - r 列列 即即 r n
5、 ， 8重点辅导令令 xr+1, , xn 作自由作自由变量，量，则 再令再令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, , xn = cn-r ，则 线性方程性方程组的通解的通解9重点辅导例：例：求解非求解非齐次次线性方程性方程组解：解：R(A) = R(A, b) = 3 4，故原，故原线性方程性方程组有无有无穷多解多解10重点辅导解（解（续）：）：即得与原方程即得与原方程组同解的方程同解的方程组令令 x3 做自由做自由变量，量，则 方程方程组的通解可表示的通解可表示为 13重点辅导例：例：求解非求解非齐次次线性方程性方程组解：解：R(A) = 2，R(A, b) = 3 ，故原，故原线
6、性方程性方程组无解无解14重点辅导例：例：求解求解齐次次线性方程性方程组提提问：为什么只什么只对系数矩系数矩阵 A 进行初等行行初等行变换变为行最行最简形形矩矩阵？答：答：因因为齐次次线性方程性方程组 Ax = 0 的常数的常数项都等于零，于是都等于零，于是必有必有 R(A, 0) = R(A) ，所以可从，所以可从 R(A) 判断判断齐次次线性方程性方程组的解的情况的解的情况15重点辅导例：例：设有有线性方程性方程组问 l l 取何取何值时，此方程，此方程组有有(1) 唯一解；唯一解；(2) 无解；无解；(3) 有无有无限多个解？并在有无限多解限多个解？并在有无限多解时求其通解求其通解定理：
7、定理：n 元元线性方程性方程组 Ax = b无解的充分必要条件是无解的充分必要条件是 R(A) R(A, b)；有唯一解的充分必要条件是有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ；有无限多解的充分必要条件是有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) n 16重点辅导解法解法1：对增广矩增广矩阵作初等行作初等行变换把它把它变为行行阶梯形矩梯形矩阵17重点辅导附注：附注：对含参数的矩含参数的矩阵作初等作初等变换时，由于，由于 l l +1， l l +3 等因等因式可能等于零，故不宜式可能等于零，故不宜进行下列的行下列的变换：如果作了如果作了这样的的变换，则需需
8、对 l l +1 = 0（或（或 l l +3 = 0）的）的情况另作情况另作讨论 18重点辅导分析：分析：讨论方程方程组的解的情况，就是的解的情况，就是讨论参数参数 l l 取何取何值时，r2 、r3 是非零行是非零行在在 r2 、r3 中，有中，有 5 处地方出地方出现了了l l ，要使，要使这 5 个元素等个元素等于零，于零， l l = 0，3，3，1 实际上没有必要上没有必要对这 4 个可能取个可能取值逐一逐一进行行讨论，先先从从方程方程组有唯一解入手有唯一解入手19重点辅导于是于是当当 l l 0 且且 l l 3 时，R(A) = R(B) = 3 ，有唯一解，有唯一解当当 l
9、l = 0 时，R(A) = 1， R(B) = 2 ，无解，无解当当 l l = 3 时，R(A) = R(B) = 2 ，有无限多解，有无限多解20重点辅导解法解法2：因因为系数矩系数矩阵 A 是方是方阵，所以方程，所以方程组有唯一解的充有唯一解的充分必要条件是分必要条件是 |A| 0 于是于是当当 l l 0 且且 l l 3 时，方程方程组有唯一解有唯一解21重点辅导当当 l l = 0 时，R(A) = 1， R(B) = 2 ，方程，方程组无解无解当当 l l = 3 时，R(A) = R(B) = 2 ，方程，方程组有无限多个解，其通解有无限多个解，其通解为22重点辅导定理：定理
10、：n 元元线性方程性方程组 Ax = b无解的充分必要条件是无解的充分必要条件是 R(A) R(A, b)；有唯一解的充分必要条件是有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ；有无限多解的充分必要条件是有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) n 分析：分析：因因为对于于 Ax = 0 必有必有 R(A, 0) = R(A) ，所以可从，所以可从 R(A) 判断判断齐次次线性方程性方程组的解的情况的解的情况定理：定理：n 元元齐次次线性方程性方程组 Ax = 0 有非零解的充分必要条件有非零解的充分必要条件是是 R(A) n 定理：定理：线性方程性方程组
11、Ax = b 有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) 定理：定理：矩矩阵方程方程 AX = B 有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是 R(A) = R(A, B) 23重点辅导定理：定理：矩矩阵方程方程 AX = B 有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是 R(A) = R(A, B) 证明：明：设 A 是是 mn 矩矩阵， B 是是 ml 矩矩阵， X 是是 nl 矩矩阵. .把把 X 和和 B 按列分按列分块，记作作X = ( x1, x2, , xl ) ，B = ( b1, b2, , bl )则即矩即矩阵方程方程 AX = B 有解有解 线性方程
12、性方程组 Axi = bi 有解有解 R(A) = R( A, bi )24重点辅导设 R(A) = r ，A 的行最的行最简形矩形矩阵为 ，则 有有 r 个非零行，个非零行，且且 的后的后 mr 行全是零行全是零再再设从而从而 矩矩阵方程方程 AX = B 有解有解 线性方程性方程组 Axi = bi 有解有解 R(A) = R( A, bi ) 的后的后 mr 个元素全是零个元素全是零 的后的后 mr 行全是零行全是零 R(A) = R(A, B) 25重点辅导定理：定理：矩矩阵方程方程 AX = B 有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是 R(A) = R(A, B) 定理：定理：设
13、AB = C ，则 R(C) minR(A), R(B) 证明：明：因因为 AB = C ，所以矩，所以矩阵方程方程 AX = C 有解有解 X = B，于是于是 R(A) = R(A, C) R(C) R(A, C) ，故，故 R(C) R(A) 又又 (AB)T = CT，即，即 BTAT = CT，所以矩，所以矩阵方程方程 BTX = CT 有解有解 X = AT ，同理可得，同理可得，R(C) R(B) 综上所述，可知上所述，可知 R(C) minR(A), R(B) 26重点辅导非非齐次次线性方程性方程组无解无解否否是是无限多个解无限多个解否否是是唯一解唯一解包含包含 n-R(A) 个自由个自由变量量的通解的通解27重点辅导补例：例：1. 设A为列列满秩矩秩矩阵，AB=C，证明明Bx=0和和Cx=0同解；同解；2. 证明明AX=Em有解的充要条件是有解的充要条件是R（A）=m；3. 证明明R（A）=1的充要条件是存在非零列向量的充要条件是存在非零列向量 和非零行和非零行向量向量 ， 使使 ；4. 证明明A和和B等价的充要条件是等价的充要条件是 ；28重点辅导
