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1、第二节第二节1教书育人一、相似矩阵的概念和性质一、相似矩阵的概念和性质定义定义 对于对于n阶方阵阶方阵A和和B，若存在若存在n阶阶可逆可逆方阵方阵P，使得使得 则称则称A与与B 相似相似, ,记为记为矩阵的矩阵的“相似相似”关系具有以下特性：关系具有以下特性：(1)(1)反身性：反身性：(2)(2)对称性：对称性：证证(3)(3)传递性：传递性：证证2教书育人相似矩阵的性质：相似矩阵的性质：定理定理 相似矩阵有相同的特征多项式相似矩阵有相同的特征多项式, ,从而特征值相同从而特征值相同. .证证推论推论1 相似矩阵的行列式相等；相似矩阵的行列式相等；推论推论2 相似矩阵的迹相等；相似矩阵的迹相
2、等；推论推论3 若矩阵若矩阵A与一个对角阵与一个对角阵相似相似, ,3教书育人注意注意: :特征值相同的矩阵不一定相似特征值相同的矩阵不一定相似.但它们不相似但它们不相似, , 因为对任意可逆阵因为对任意可逆阵P, ,即与即与 E 相似的矩阵只有它自己。相似的矩阵只有它自己。相似矩阵的其它性质：相似矩阵的其它性质： 相似矩阵的秩相等；相似矩阵的秩相等；若若P, ,Q为可逆矩阵为可逆矩阵, ,则有则有4教书育人A , ,B 同为可逆或不可逆同为可逆或不可逆, ,可逆时它们的逆矩阵可逆时它们的逆矩阵及伴随矩阵也分别相似。及伴随矩阵也分别相似。只证只证(3)，其余证明留作练习，其余证明留作练习.(1
3、)(2)(3)(4)(5)(6)5教书育人例例1解解另解另解相似矩阵有相同的特征多项式，由相似矩阵有相同的特征多项式，由得得6教书育人计算上面两个行列式，得到计算上面两个行列式，得到比较等式两边比较等式两边 同次幂的系数，得同次幂的系数，得7教书育人 n阶矩阵阶矩阵A与一个对角阵相似的充分必要条件与一个对角阵相似的充分必要条件是是A有有n个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。 二、矩阵可相似对角化的条件二、矩阵可相似对角化的条件 定理定理 如果一个矩阵能与一个对角阵相似如果一个矩阵能与一个对角阵相似, ,称该矩阵称该矩阵可以可以( (相似相似) )对角化对角化。 证证 必要性：必要性：设
4、设A与一个对角阵相似与一个对角阵相似, ,即存在一个可逆即存在一个可逆阵阵P, ,使使8教书育人即即即即即得即得必要性得证。必要性得证。上述步骤倒过来写上述步骤倒过来写, ,即得充分性证明。即得充分性证明。 9教书育人推论推论1 如果矩阵如果矩阵A的特征值互不相同的特征值互不相同, ,则则A必可对角化必可对角化. .因为属于不同特征值的特征向量是线性无关的因为属于不同特征值的特征向量是线性无关的. .注意注意: 这个这个条件是充分的而不是必要的条件是充分的而不是必要的. . 如果如果A的特征方程有的特征方程有重根重根，此时不一定有，此时不一定有n个线性个线性无关的特征向量，从而矩阵无关的特征向
5、量，从而矩阵A不一定能对角化；但如不一定能对角化；但如果能找到果能找到n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量, A还是能对角化还是能对角化 即齐次线性方程组即齐次线性方程组 的基础解系所含的的基础解系所含的向量个数等于特征根向量个数等于特征根 的重数的重数 。10教书育人解解例例2设设求可逆阵求可逆阵P，11教书育人特征向量特征向量特征向量特征向量12教书育人特征向量特征向量特征向量特征向量特征向量特征向量13教书育人令令则则14教书育人解解例例3判断矩阵判断矩阵 能否对角化，若能，能否对角化，若能，特征向量特征向量求可逆阵求可逆阵P，15教书育人特征向量特征向量可对角化可对角化,16教书
6、育人解解只有一个线性无关的特征向量只有一个线性无关的特征向量, ,例例4判断矩阵判断矩阵 能否对角化，若能，能否对角化，若能，所以不能对角化所以不能对角化.求可逆阵求可逆阵P，17教书育人例例5解解得得A的特征的特征值为 18教书育人19教书育人例例6解解20教书育人从而从而A可相似对角化可相似对角化. . 秩为秩为1，21教书育人从而从而A不可相似对角化不可相似对角化. . 秩为秩为2，22教书育人 一般来说，求矩阵的高次幂比较困难，但若矩阵一般来说，求矩阵的高次幂比较困难，但若矩阵A能对角化，即存在可逆阵能对角化，即存在可逆阵P，使得使得 则则于是于是转化为对角阵求幂转化为对角阵求幂.23教书育人例例7解解设设 24教书育人25教书育人END26教书育人
