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1、第五节第五节 方向导数与梯度方向导数与梯度一一 方向导数方向导数二二 梯度梯度- - 1 1 - - 实例实例：一块长方形：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标的金属板，四个顶点的坐标是是(1,1)(1,1)，(5,1)(5,1)，(1,3)(1,3)，(5,3)(5,3)在坐标原点处有一在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比与该点到原点的距离成反比在在(3,2)(3,2)处有一个蚂蚁，处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地行才能最快到达较凉快的地点？点？
2、 问题的问题的实质实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方：应沿由热变冷变化最骤烈的方向向( (即梯度方向即梯度方向) )爬行爬行1 1 问题的提出问题的提出 一一 方向导数方向导数- - 2 2 - - 讨论函数讨论函数 在一点在一点P沿某一方向的变化沿某一方向的变化率问题率问题2 方向导数的定义方向导数的定义- - 3 3 - -当当 沿着沿着 趋于趋于 时，时，是否存在？是否存在？- - 4 4 - -记为记为- - 5 5 - -证明证明由于函数可微，则增量可表示为由于函数可微，则增量可表示为两边同除以两边同除以得到得到故有方向导数故有方向导数- - 6 6 - -解解如果记如果记为为到到方向
3、的转角方向的转角, 则方向导数的计算则方向导数的计算公式为公式为- - 7 7 - -解解方向的逆时针转角，方向的逆时针转角，故故例例2 求函数求函数在点（在点（1，1）处）处沿任何一方向沿任何一方向l 的方向导数，并问在怎样的方向上此方的方向导数，并问在怎样的方向上此方向导向导 数有（数有（1）最大值；（）最大值；（2）最小值（）最小值（3）等于零？）等于零？设设 为为轴到轴到则则- - 8 8 - -推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义- - 9 9 - -解解令令故故方向余弦为方向余弦为- - 1010 - -故故- - 1111 - -例例4 设函数设函数求函数
4、在点求函数在点M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线处沿曲线在该点切线方向在该点切线方向的方向导数的方向导数解解 曲线曲线在点在点M (1,1,1) 处切线的方向处切线的方向向量为向量为- - 1212 - -二二 梯度梯度1 1 场的概念场的概念定义定义如果对区域如果对区域中的每一点，中的每一点，对应着物理量对应着物理量的一个确定的值，的一个确定的值， 则称在区域则称在区域确定了该物理量的一确定了该物理量的一个个场场，当对应的物理量为数量时，则称为当对应的物理量为数量时，则称为数量场数量场， 当对当对应的物理量为向量时，则称为应的物理量为向量时，则称为向量场向量场。上的数量场上的数量场区域区域
5、上的数量函数上的数量函数上的向量场上的向量场区域区域上的向量函数上的向量函数在空间直角坐标系下，在空间直角坐标系下， 数量函数可以表示为数量函数可以表示为向量函数可以表示为向量函数可以表示为- - 1313 - -由方向导数公式由方向导数公式令向量令向量方向导数取最大值：方向导数取最大值：2 2 梯度的概念梯度的概念设数量场设数量场一阶偏导数连续，一阶偏导数连续，方向的方向的方向余弦为方向余弦为- - 1414 - -这说明这说明方向：方向：f 变化率最大的方向变化率最大的方向模模 : f 的最大变化率之值的最大变化率之值定义定义如果在数量场如果在数量场中一点中一点处，处， 存在存在这样一个向
6、量这样一个向量其方向为数量场其方向为数量场在点在点处变处变化率最大的方向，化率最大的方向，其模恰为这个最大变化率的数值，其模恰为这个最大变化率的数值， 则则称向量称向量为数量场为数量场在点在点处的处的梯度梯度(gradient),记作记作或或当当且且一阶偏导数连续时一阶偏导数连续时- - 1515 - -当当且且一阶偏导数连续时一阶偏导数连续时说明说明:函数沿函数沿方向的方向的方向导数方向导数为梯度在该方向上为梯度在该方向上的投影的投影.引入哈密尔顿微分算子引入哈密尔顿微分算子则梯度可以表示为则梯度可以表示为- - 1616 - -函数在一点的梯度垂直于该点等值面函数在一点的梯度垂直于该点等值
7、面(或等值线或等值线) ,指向函数增大的方向指向函数增大的方向.另一方面，函数另一方面，函数在点在点P处沿梯度方向处沿梯度方向的方向导数是最大的，的方向导数是最大的，从而沿梯度方向函数值是增加从而沿梯度方向函数值是增加的，的， 所以所以3 梯度的几何意义梯度的几何意义 函数函数过点过点当各偏导数不同时为当各偏导数不同时为零时零时,其上其上点点P 处的法向量为处的法向量为有等值有等值(量量)面面- - 1717 - -解解 由梯度计算公式得由梯度计算公式得故故- - 1818 - -例例6 求数量场求数量场在点在点处处沿曲面沿曲面的内法向的方向导数。的内法向的方向导数。分析：分析： 曲面曲面在点
8、在点处的等值面，处的等值面，为函数为函数其内法向其内法向 u 的函数值增大的的函数值增大的方向，方向， 根据梯度的几何意义：根据梯度的几何意义：数量场数量场u 为在点为在点M 处的梯处的梯度为函数度为函数u 过点过点M 的等值面的法向，的等值面的法向， 且指向且指向u 函数值增函数值增加一方，加一方， 因此因此在点在点处的内法向处的内法向为数量场为数量场u 在点在点处梯度的方向，处梯度的方向， 再由梯度的定义再由梯度的定义数量场数量场u 沿梯度方向的方向导数最大，沿梯度方向的方向导数最大， 最大的方向导数最大的方向导数为梯度的模。为梯度的模。- - 1919 - -例例6 求数量场求数量场在点在点处处沿曲面沿曲面的内法向的方向导数。的内法向的方向导数。解解- - 2020 - -例例7证证:试证试证处矢径处矢径 r 的模的模 ,- - 2121 - -4 梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式- - 2222 - -
