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1、计算机科学与技术系计算机科学与技术系第第6章章 曲曲 线线 曲曲 面面（B样条曲线）样条曲线）1优质内容赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-0908-09第二学期第二学期二、二、B B样条曲线样条曲线. .从从 Bezier Bezier 曲线到样条曲线到样条曲线曲线(1) Bezier (1) Bezier 曲线在应用中的不足：曲线在应用中的不足： 缺乏灵活性一旦确定了特征多缺乏灵活性一旦确定了特征多边形的顶点数边形的顶点数(m(m个个) )，也就决定了曲，也就决定了曲线的阶次线的阶次(m-1(m-1次次) )，无法更改；，无法更改； 控制性差当顶点数较多时，曲
2、控制性差当顶点数较多时，曲线的阶次将较高，此时，特征多边形线的阶次将较高，此时，特征多边形对曲线形状的控制将明显减弱；对曲线形状的控制将明显减弱；2优质内容赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-0908-09第二学期第二学期 不易修改由曲线的混合函数可不易修改由曲线的混合函数可看出，其值在开区间看出，其值在开区间 ( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) 内均不为内均不为零。因此，所定义之曲线在零。因此，所定义之曲线在 ( 0 t 1)( 0 t 1)的区间内的任何一点均要受到全部顶的区间内的任何一点均要受到全部顶点的影响，这使得对曲线进行局部修点的影响，这使得对曲线
3、进行局部修改成为不可能。改成为不可能。（而在外形设计中，（而在外形设计中， 局部修改是随时要进行的）局部修改是随时要进行的）3优质内容赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-0908-09第二学期第二学期为了克服为了克服 Bezier Bezier 曲线存在的问题，曲线存在的问题，Gordon Gordon 等人拓展了等人拓展了 BezierBezier曲线，就曲线，就外形设计的需求出发，希望新的曲线外形设计的需求出发，希望新的曲线要：要：易于进行局部修改；易于进行局部修改； 更逼近特征多边形；更逼近特征多边形； 是低阶次曲线。是低阶次曲线。于是，用于是，用 n n次
4、样条基函数替换了伯次样条基函数替换了伯恩斯坦基函数，构造了称之为样条恩斯坦基函数，构造了称之为样条曲线的新型曲线。曲线的新型曲线。5优质内容赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-0908-09第二学期第二学期2.2.样条曲线的数学表达式样条曲线的数学表达式样条曲线的数学表达式为：样条曲线的数学表达式为：控制顶点控制顶点在上式中在上式中t1 , i= 0, 1, 2, t1 , i= 0, 1, 2, , m, m所以可以看出：所以可以看出：样条曲线是分段定样条曲线是分段定义的。如果给定义的。如果给定 m+n+1 m+n+1 个顶点个顶点 Pi ( i=Pi ( i=
5、0, 1, 2,0, 1, 2, m+n), m+n)，则可定义，则可定义 m+1 m+1 段段 n n 次的参数曲线。次的参数曲线。 B样条基函数样条基函数6优质内容赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-0908-09第二学期第二学期式中：t1k=0,1,2,n在以上表达式中：在以上表达式中：F Fk,nk,n( t )( t )为为n n次次B B样条基函数，也称样条基函数，也称样条分段混合函数。其表达式为：样条分段混合函数。其表达式为：7优质内容赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-0908-09第二学期第二学期连接全部曲线段所组成
6、的整条曲线称连接全部曲线段所组成的整条曲线称为为 n n 次样条曲线。依次用线段连接次样条曲线。依次用线段连接点点 P Pi+ki+k (k=0,1, (k=0,1,n),n)所组成的多边折所组成的多边折线称为样条曲线在第线称为样条曲线在第i i段的特征多段的特征多边形。边形。 8优质内容赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-0908-09第二学期第二学期. .二次二次样条曲线样条曲线在二次样条曲线中，在二次样条曲线中，n=2,k=0,1,2n=2,k=0,1,2故其基函数形式为：故其基函数形式为：9优质内容赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学
7、 08-0908-09第二学期第二学期 有了基函数，因此可写出二次样条有了基函数，因此可写出二次样条曲线的分段表达式为：曲线的分段表达式为：(i=0,1,2,m)m+1段10优质内容赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-0908-09第二学期第二学期写成一般的矩阵形式为：写成一般的矩阵形式为： 式中，式中，k k为分段曲线的特征多边形为分段曲线的特征多边形的顶点：的顶点：B B0 0,B,B1 1,B,B2 2。对于第。对于第i i段曲线的段曲线的B Bk k 即为：即为：P Pi i,P,Pi+1i+1,P,Pi+2i+2 连续的三个顶连续的三个顶点。（见下图）点
8、。（见下图）11优质内容赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-0908-09第二学期第二学期n=2,n=2,二次二次B B样条曲线样条曲线m+n+1m+n+1个顶点，三个顶点，三点一段，共点一段，共m+1m+1段。段。i=0P0,2(t)i=1P1,2(t)12优质内容赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-0908-09第二学期第二学期二次样条曲线的性质二次样条曲线的性质先对 P(t)求导得：然后分别将t=0,t=0.5,t=1代入P(t)和P(t)，可得：P(0)=1/2(B0+B1),P(1)=1/2(B1+B2);P(0)=B1-B
9、0,P(1)=B2-B1;P(1/2)=1/21/2P(0)+P(1)+B1P(1/2)=1/2(B2-B0)=P(1)-P(0)13优质内容赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-0908-09第二学期第二学期与以上这些式子所表达的性质相符的曲线是何种形状：（见下图）是什么曲线？与Bezier曲线有何差别？14优质内容赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-0908-09第二学期第二学期结论：分段二次结论：分段二次B B样条曲线是一条抛样条曲线是一条抛物线；有物线；有n n个顶点定义的二次个顶点定义的二次B B样条曲样条曲线，其实质上是线，
10、其实质上是n-2n-2段抛物线（相邻三段抛物线（相邻三点定义）的连接，并在接点处达到一点定义）的连接，并在接点处达到一阶连续。（见下图）阶连续。（见下图）F282.c 二次二次 B-样条曲线样条曲线 15优质内容赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-0908-09第二学期第二学期. .三次样条曲线三次样条曲线分段三次样条曲线由相邻四个顶点分段三次样条曲线由相邻四个顶点定义，其表达式为：定义，其表达式为：P(t)=FP(t)=F0,30,3(t)(t)B B0 0+F+F1,31,3(t)(t)B B1 1+F+F2,32,3(t)(t)B B2 2+F+F3,33,
11、3(t)(t)B B3 3( (0 0t1)t1)可见，由可见，由 n n 个顶点定义的完整的三次个顶点定义的完整的三次样条曲线是由样条曲线是由 n-3 n-3 段段分段曲线连接分段曲线连接而成的。很容易证明，三次样条曲而成的。很容易证明，三次样条曲线在连接处达到二阶连续。线在连接处达到二阶连续。*F281.c 三次三次 B-样条曲线样条曲线 16优质内容赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-0908-09第二学期第二学期样条曲线是一种非常灵活的曲线，曲线样条曲线是一种非常灵活的曲线，曲线的局部形状受相应顶点的控制很直观。这的局部形状受相应顶点的控制很直观。这些顶点
12、控制技术如果运用得好，可以使整些顶点控制技术如果运用得好，可以使整个样条曲线在某些部位满足一些特殊的技个样条曲线在某些部位满足一些特殊的技术要求。如：术要求。如：可以在可以在曲线中构造一段直线；曲线中构造一段直线； 使曲线与特征多边形相切；使曲线与特征多边形相切； 使曲线通过指定点；使曲线通过指定点； 指定曲线的端点；指定曲线的端点； 指定曲线端点的约束条件。指定曲线端点的约束条件。17优质内容赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-0908-09第二学期第二学期 对于特征多边形的逼近性对于特征多边形的逼近性 二次二次B B样条曲线优于三次样条曲线优于三次B B样条曲
13、线样条曲线 三次三次BezierBezier曲线优于二次曲线优于二次BezierBezier曲线曲线 相邻曲线段之间的连续性相邻曲线段之间的连续性 二次二次B B样条曲线只达到一阶导数连续样条曲线只达到一阶导数连续 三次三次B B样条曲线则达到二阶导数连续样条曲线则达到二阶导数连续 角点的修改对曲线形状的影响角点的修改对曲线形状的影响 BezierBezier曲线：修改一个角点将影响整条曲线的形状。曲线：修改一个角点将影响整条曲线的形状。 B B样条曲线：修改一个角点只影响该角点所在位置前后样条曲线：修改一个角点只影响该角点所在位置前后 三段曲线的形状。三段曲线的形状。B样条曲线的适用范围样条
14、曲线的适用范围18优质内容赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-0908-09第二学期第二学期角点重叠和角点共线(*)二重角点二重角点若要使B样条曲线与特征多边形相切，可运用二重角 点的方法。Q0Q1Q3Q2Q4P1P2Q（0-1）P0Q0Q1Q3Q2Q4P1P2Q（0-1）19优质内容赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-0908-09第二学期第二学期三重角点若要使若要使B B样条曲线产生一个尖点，可运用三重角样条曲线产生一个尖点，可运用三重角 点的方法。点的方法。Q1Q4Q3Q2Q5P1P2Q0P0Q6P3P420优质内容赤峰学院计算
15、机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-0908-09第二学期第二学期三角点共线若要使B样条曲线产生反向弧切接的效果，可运用三角点共线的方法。Q1Q4Q3Q2P0P2Q0P1。21优质内容赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-0908-09第二学期第二学期四角点共线若要使B样条曲线段之间切接入一段直线，可运用四角点共线的方法。Q1Q4Q3Q2P0P2Q0P1。Q5P322优质内容赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-0908-09第二学期第二学期6.5 Bzier曲面和B样条曲面6.5.1 Bzier曲面23优质内容赤峰学院
16、计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-0908-09第二学期第二学期 曲面的形状、位置由边界上的四个角点决定。中间角点只曲面的形状、位置由边界上的四个角点决定。中间角点只反映曲面的凹凸程度。反映曲面的凹凸程度。B Bzierzier曲面及控制网格演示动画曲面及控制网格演示动画24优质内容赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-0908-09第二学期第二学期 Bezier曲面 B Bezier曲面是Bezier曲线的扩展， B Bezier曲面的边界线就是由四条Bezier曲线构成的。三次Bezier曲线段由四个控制点确定，三次Bezier曲面片则由
17、 控制点确定。16个控制点组成一个矩阵：B=Q00 Q 10 Q20 Q30 Q01 Q 11 Q21 Q31 Q02 Q12 Q22 Q32Q03 Q13 Q23 Q33Q00Q10Q20Q30Q01Q31Q32Q02Q03Q33Q13Q23Q11Q21Q12Q22wu25优质内容赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-0908-09第二学期第二学期给定空间给定空间16个位置点个位置点bij，可以确定，可以确定一张三次一张三次Bezier曲面片。曲面片。q由曲线拓展为Bzier曲面rijuvuvV*uv 根据根据“线动成面线动成面”的思想，按设定间的思想，按设定间隔
18、取隔取 ，在四条，在四条v v线上取点，沿线上取点，沿u u向生成三次向生成三次BezierBezier曲线：曲线： 将将u,v向曲线方程合并得：向曲线方程合并得： 首先生成四条首先生成四条v向的三次向的三次Bezier曲线：曲线：26优质内容赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-0908-09第二学期第二学期Bzier曲面的定义 在空间中给定在空间中给定( (n+1)(m+1)个点，称以个点，称以下张量积形式的下张量积形式的参数多项式曲面为参数多项式曲面为nm次的次的Bzierzier曲面曲面: :贝塞尔曲面表达式如下：贝塞尔曲面表达式如下： n m P(u,v)
19、= bi,jBi,n(u)Bj,m(v) 0u,v1 i=0 j=0贝塞尔曲面中应用最广泛的是双贝塞尔曲面中应用最广泛的是双3次贝塞尔曲面，次贝塞尔曲面，它由给出的它由给出的4*4个网格点唯一决定个网格点唯一决定.27优质内容赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-0908-09第二学期第二学期P04P03P02P40P30P20P10P00P01P11P21P31P41P14P(u,0)P(0,v)图9.15 Bzier曲面的控制网格一般称一般称 为为 的控制顶点，把由的控制顶点，把由 和和 组成的网格组成的网格称为称为 的控制网格，记为的控制网格，记为 , ,如图
20、如图9.159.15所示。所示。 28优质内容赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-0908-09第二学期第二学期B Bzierzier曲面的矩阵表示是：曲面的矩阵表示是：29优质内容赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-0908-09第二学期第二学期控制网格的四个角点控制网格的四个角点 是曲面是曲面 的四个端点。决定了曲线的形状，位置。的四个端点。决定了曲线的形状，位置。P03P02P30P20P10P01P11P21P31P41P14P(u,0)P(0,v)Bzier曲面的端点和边界线(1) (1) 端点位置端点位置B Bzierzi
21、er曲面具有以下性质：曲面具有以下性质：P04P40P0030优质内容赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-0908-09第二学期第二学期(2) (2) 边界线的位置边界线的位置 的4条边界线 ， ， ， 是Bzier曲线，它们分别以 ， ， ， 为控制多边形。 P03P02P30P20P10P01P11P21P31P41P14P(u,0)P(0,v)Bzier曲面的端点和边界线P04P40P0031优质内容赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-0908-09第二学期第二学期双一次双一次Bezier曲面：取曲面：取m=n=1。这是。这是一
22、张双曲抛物面（马鞍面）一张双曲抛物面（马鞍面） ；双二次双二次Bezier曲面：取曲面：取m=n=2。该曲。该曲面的四条边界是抛物线。面的四条边界是抛物线。 ；双三次双三次Bezier曲面：取曲面：取m=n=3；注：矩阵表示见课本注：矩阵表示见课本32优质内容赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-0908-09第二学期第二学期曲面片1曲面片2 Beziet曲面片的拼接边界线P0,0Q3,0P3,3(Q0,3)P0,3Q3,3P3,1(Q0,1)P3,0(Q0,0)P3,2(Q0,2)P(u,v)Q(u,v)36优质内容赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计
23、算机图形学 08-0908-09第二学期第二学期设设节节点点向向量量 , , ( ( , , ) )分分别别是是对对参参数数 平平面面的的 轴轴和和 轴轴的的分分割割，如如图图1 1所所示示。称称下下列列张张量量积积形形式的参数曲面为式的参数曲面为 ( k( kn n,h,hm m) )阶的阶的B B样条曲面样条曲面 , ,u uk k-1-1u uu un n1 1, ,v vh h-1-1v vv vm m1 1其中其中 是空间中给定的是空间中给定的( (n+n+1)1)( (m m+1)+1)个网格点，通常称为个网格点，通常称为 的的控制顶点。控制顶点。 ， 分别是关于节点向量分别是关于
24、节点向量U,VU,V的的k k阶和阶和h h阶的阶的B B样条样条基函数。基函数。6.5.2 B样条曲面的定义和性质vm 图1 uv平面的分割u0u1uiunv0v1vju2v238优质内容赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-0908-09第二学期第二学期由两组多边形由两组多边形()和和()组成的网格（如图组成的网格（如图2）称为）称为的的控制网格，简记为控制网格，简记为。P P00P P01P P10P P04P P20P P40图2 B样条曲面及其控制网格39优质内容赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-0908-09第二学期第二学
25、期d24uvd42d43d44d11d12d13d14d21d23d31d32d33d34C4C3C1C2d41d22q 均匀均匀B样条曲面样条曲面给定给定16个顶点个顶点dij(i=1,2,3,4 j=1,2,3,4)构成的特征网格，可以定义一张曲面片。构成的特征网格，可以定义一张曲面片。用用di1、di2、di3、di4(i=1,2,3,4 )构建四条构建四条V向曲线向曲线C1、C2、C3和和C4(图中虚线图中虚线);参数参数v在在0,1 之间取之间取值值vk ，对应于，对应于vk曲线曲线C1、C2、C3和和C4上可得到上可得到v1k、v2k、v3k和和v4k四个点，四个点，该四点构成该四
26、点构成u向的一个向的一个特征多边形，定义一条特征多边形，定义一条新的曲线新的曲线P(u,vk)；uvC4C3C1C2V1kV3kV4kV2k当参数当参数vk在在0,1 之间取不同值时，之间取不同值时，P(u,vk)沿箭头方向扫描，即得到沿箭头方向扫描，即得到由给定特征网格由给定特征网格dij(i=1,2,3,4 j=1,2,3,4)定义的双三次均匀定义的双三次均匀B样条样条曲面片曲面片P(u,v)。40优质内容赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-0908-09第二学期第二学期与与B Bzierzier曲面一样，曲面一样， 是对曲面是对曲面 的大致形状的勾画，的大致
27、形状的勾画， 是对是对 的逼的逼近。近。B B样条曲面也具有局部调整性、凸包样条曲面也具有局部调整性、凸包性、几何不变性等，它的控制网格也是性、几何不变性等，它的控制网格也是人机交互的手段，也可以通过某些算法人机交互的手段，也可以通过某些算法对其进行计算，这些都与对其进行计算，这些都与B B样条曲线的情样条曲线的情况类似。况类似。 41优质内容赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-0908-09第二学期第二学期双三次B样条曲面片b样条曲面42优质内容赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-0908-09第二学期第二学期6.6实验曲线的绘制方
28、法实验曲线的绘制方法1 1、最小二乘法、最小二乘法 在科学研究中，通过实验或测量，可以获得大量的在科学研究中，通过实验或测量，可以获得大量的实验数据。一般在获得数据之后，对这些数据进行某实验数据。一般在获得数据之后，对这些数据进行某种处理，然后绘成图形。种处理，然后绘成图形。 但由于实验本身会受到各种具体因素的影响，使得但由于实验本身会受到各种具体因素的影响，使得通过实验测得的数据或多或少地带有误差。也就是说，通过实验测得的数据或多或少地带有误差。也就是说，这些实验数据本身并不准确。因此如果仅仅是简单地这些实验数据本身并不准确。因此如果仅仅是简单地将这些数据点连成曲线，那么这种看起来似乎很精确
29、将这些数据点连成曲线，那么这种看起来似乎很精确的方法恰恰是不符合实际情况的，也是不可取的。的方法恰恰是不符合实际情况的，也是不可取的。 正确的方法应该是用一条平滑的曲线以适当的方式正确的方法应该是用一条平滑的曲线以适当的方式来尽可能地靠近这些数据点，以弥补由于误差造成的来尽可能地靠近这些数据点，以弥补由于误差造成的数据点的跳动。数据点的跳动。43优质内容赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-0908-09第二学期第二学期 那么对于一系列的数据点（那么对于一系列的数据点（x xi i,y,yi i）（）（i=1,2i=1,2n n），），所要绘制的曲线所要绘制的曲线y
30、=f(x)y=f(x)，用什么样的标准来评价这条，用什么样的标准来评价这条曲线是否处于较为合理的状态呢？曲线是否处于较为合理的状态呢？ 通常把数据点的坐标值与曲线上对应的坐标值之通常把数据点的坐标值与曲线上对应的坐标值之差差作为评判的标准：作为评判的标准：i：称为残差f(xi)：为理论值yi：为相应的实测值 常用的评判方法是：使残差的平方和即常用的评判方法是：使残差的平方和即 达到最达到最小。这也就是所谓的最小二乘法。小。这也就是所谓的最小二乘法。44优质内容赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-0908-09第二学期第二学期 用最小二乘法来绘制实验曲线，其实质也就
31、是要找用最小二乘法来绘制实验曲线，其实质也就是要找出一个经验方程出一个经验方程y=f(x)y=f(x)用来描述这些点。所以，工作用来描述这些点。所以，工作的第一步首先要根据已知数据点的分布情况进行一下的第一步首先要根据已知数据点的分布情况进行一下预测，经验方程可能属于什么类型，比如说是线形函预测，经验方程可能属于什么类型，比如说是线形函数，还是其它阶次的多项式函数。数，还是其它阶次的多项式函数。2 2、用最小二乘法拟合直线、用最小二乘法拟合直线 设有测得的一组数据点（设有测得的一组数据点（x xi i,y,yi i）（）（i=1,2i=1,2n n）。）。根据这些数据点的分布情况，预测到它们之
32、间呈线根据这些数据点的分布情况，预测到它们之间呈线形关系：形关系：那末，可按最小二乘法的原理建立起下面的式子：那末，可按最小二乘法的原理建立起下面的式子：45优质内容赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-0908-09第二学期第二学期（x xi i,y,yi i）为测得的已知数据点的值，故这个方程是）为测得的已知数据点的值，故这个方程是关于关于a a1 1和和a a2 2的函数，即：的函数，即： 当当a a1 1和和a a2 2为何值时，该函数为何值时，该函数f(af(a1 1,a,a2 2) )能取得极小值。能取得极小值。这是一个二元函数的求极值问题，其条件为：这
33、是一个二元函数的求极值问题，其条件为：46优质内容赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-0908-09第二学期第二学期展开整理后得：展开整理后得：写成矩阵形式为：写成矩阵形式为： 求解该方程组可解出未知数求解该方程组可解出未知数a a1 1和和a a2 2的值，从而使线的值，从而使线形函数表达式：形函数表达式：成为已知，并可根据该表达式绘出图形。成为已知，并可根据该表达式绘出图形。47优质内容赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-0908-09第二学期第二学期1.双二次Bezier曲面的4条边界都是抛物线，其特征网格有（）个顶点。A）8B）9C）10D）1648优质内容
