《23,24无穷小量与无穷大量,极限运算法则》由会员分享，可在线阅读，更多相关《23,24无穷小量与无穷大量,极限运算法则（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2-3 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量1使当使当使当使当时，时，时，时， 恒有恒有恒有恒有1 1. .时时时时，的的的的极限极限极限极限. .)(xf定理：定理：定理：定理：复习复习包含了包含了包含了包含了和和和和两个两个两个两个极限过程极限过程极限过程极限过程. .注：注：2定理：定理：2. 2.时时时时，的的的的极限极限极限极限. .包含了包含了包含了包含了和和和和两个极限过程两个极限过程两个极限过程两个极限过程. .注：注：(1) (1) 该定理常用于求该定理常用于求该定理常用于求该定理常用于求分段函数在分界点的极限问题分段函数在分界点的极限问题分段函数在分界点的极限问题分段函数在
2、分界点的极限问题(2)(2)实际上是实际上是实际上是实际上是 x x 在在在在x x0 0 的某邻域的某邻域的某邻域的某邻域内变化，内变化，内变化，内变化，f f( (x x) )的的的的极限极限极限极限是否存在是否存在是否存在是否存在与函数在与函数在与函数在与函数在 x x= = x x0 0是否是否是否是否有定义有定义有定义有定义“ “无无无无” ”关关关关. .( (即考察即考察即考察即考察左右极限是否存在且相等左右极限是否存在且相等左右极限是否存在且相等左右极限是否存在且相等). ).3一、无穷小量与无穷大量一、无穷小量与无穷大量一、无穷小量与无穷大量一、无穷小量与无穷大量极限为零的变
3、量称为极限为零的变量称为极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小无穷小无穷小1. 1.无穷小量定义：无穷小量定义：无穷小量定义：无穷小量定义：记作记作记作记作 例如：例如：例如：例如：是当是当是当是当时的时的时的时的无穷小无穷小无穷小无穷小. .( (或或或或所以函数所以函数所以函数所以函数x x是当是当是当是当时的时的时的时的无穷小无穷小无穷小无穷小. .时的时的时的时的无穷小无穷小无穷小无穷小. .是当是当是当是当所以函数所以函数所以函数所以函数所以所以所以所以第三节第三节 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量4注意注意注意注意(1)(1)无穷小是函数无穷小是函数无穷小是函数无穷小
4、是函数( (变量变量变量变量), ),不是一个很小的常数不是一个很小的常数不是一个很小的常数不是一个很小的常数; ;(2)(2)零零零零是可以作为无穷小的唯一的常数是可以作为无穷小的唯一的常数是可以作为无穷小的唯一的常数是可以作为无穷小的唯一的常数. . (3)(3)说一个函数是无穷小，必须指明说一个函数是无穷小，必须指明说一个函数是无穷小，必须指明说一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势自变量的变化趋势自变量的变化趋势自变量的变化趋势. .如：如：如：如：是当是当是当是当时的时的时的时的时时时时呢？呢？呢？呢？就就就就不是无穷小不是无穷小不是无穷小不是无穷小. .无穷小无穷小无穷小无穷小
5、. .时，时，时，时，即即即即5二、无穷小与函数极限的关系二、无穷小与函数极限的关系二、无穷小与函数极限的关系二、无穷小与函数极限的关系1 1、定理、定理、定理、定理1 1：其中：其中：其中：其中：是当是当是当是当时的时的时的时的无穷小无穷小无穷小无穷小. .证证 必要性必要性充分性充分性62 2、作用、作用、作用、作用把求把求把求把求一般的极限问题一般的极限问题一般的极限问题一般的极限问题转化为转化为转化为转化为求特殊极限求特殊极限求特殊极限求特殊极限( (无穷小无穷小无穷小无穷小) )的问题的问题的问题的问题; ;3 3、无穷小的运算性质、无穷小的运算性质、无穷小的运算性质、无穷小的运算性
6、质: :在同一过程中在同一过程中在同一过程中在同一过程中, ,有限个无穷小的代数和仍是无穷小有限个无穷小的代数和仍是无穷小有限个无穷小的代数和仍是无穷小有限个无穷小的代数和仍是无穷小. .注意：注意：注意：注意：无穷多个无穷小的代数和无穷多个无穷小的代数和无穷多个无穷小的代数和无穷多个无穷小的代数和不一定是无穷小不一定是无穷小不一定是无穷小不一定是无穷小. .性质性质性质性质1 1：如：如：如：如：定理定理定理定理1 1：例如：例如：例如：例如：n n个个个个7有界变量与无穷小的乘积是无穷小有界变量与无穷小的乘积是无穷小有界变量与无穷小的乘积是无穷小有界变量与无穷小的乘积是无穷小. .性质性质
7、性质性质2 2：例例解解思考：思考：思考：思考：0,08有界变量与无穷小的乘积是无穷小有界变量与无穷小的乘积是无穷小有界变量与无穷小的乘积是无穷小有界变量与无穷小的乘积是无穷小. .性质性质性质性质2 2：推论推论推论推论1 1：常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小. .例如：例如：例如：例如：=0.推论推论推论推论2 2：在同一极限过程中在同一极限过程中在同一极限过程中在同一极限过程中, ,有极限的变量与无穷小有极限的变量与无穷小有极限的变量与无穷小有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小的乘积是无穷小的乘积是无穷小的乘积是无穷小
8、. .例如：例如：例如：例如：0，0.9性质性质性质性质3 3：有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小. .例如：例如：例如：例如：0.三、无穷大量三、无穷大量 1.1.定义定义: : 如果在自变量的同一变化过程中如果在自变量的同一变化过程中, ,变量变量( (函数函数) )f(x)的绝对值无限增大的绝对值无限增大, ,则称该变量是这个变化过则称该变量是这个变化过程中的无穷大量。记作程中的无穷大量。记作limf(x)= 。是是时的时的无穷大无穷大. .是是时的时的正无穷大量正无穷大量. .例如：例如：例如：例如：10注意
9、注意注意注意: :(1)(1)记号记号limf(x)没有指明自变量的变化过程，指的没有指明自变量的变化过程，指的是任意一种变化过程。是任意一种变化过程。(2)无穷大是函数无穷大是函数(变量变量),不能与很大的常数混淆不能与很大的常数混淆;(3)切勿将切勿将认为极限存在认为极限存在.(4)无穷大的概念是反映变量的变化趋势，因此无穷大的概念是反映变量的变化趋势，因此谈及无穷大谈及无穷大,一定指明一定指明 自变量的变化趋势自变量的变化趋势.而而而而呢？呢？呢？呢？不是无穷大不是无穷大不是无穷大不是无穷大. .例例 11(5) 无穷大一定无界无穷大一定无界,但无界不一定是无穷大但无界不一定是无穷大.如
10、如2.无穷大量的性质无穷大量的性质性质性质1 两个无穷大量的乘积还是无穷大量两个无穷大量的乘积还是无穷大量.性质性质2 有界量与无穷大量的和还是无穷大量有界量与无穷大量的和还是无穷大量. 注意注意: 两个无穷大量的和未必还是无穷大量两个无穷大量的和未必还是无穷大量;有有界量与无穷大量的乘积也未必还是无穷大量界量与无穷大量的乘积也未必还是无穷大量.123.3.铅直渐近线铅直渐近线如果如果那么那么就是就是的的垂直渐近线垂直渐近线.为为常数常数),( (垂直于垂直于 轴的渐近线轴的渐近线) )例如例如有铅直渐近线有铅直渐近线: :2xyo13四、无穷小与无穷大的关系四、无穷小与无穷大的关系四、无穷小
11、与无穷大的关系四、无穷小与无穷大的关系定理定理定理定理2:2:意义：意义：意义：意义：无穷小的无穷小的无穷小的无穷小的倒数倒数倒数倒数为无穷大为无穷大为无穷大为无穷大. . （证明略）（证明略）（证明略）（证明略）设想：设想：设想：设想：无穷大的无穷大的无穷大的无穷大的积积积积是无穷大是无穷大是无穷大是无穷大，和、差、商和、差、商和、差、商和、差、商不一定不一定不一定不一定是无穷大是无穷大是无穷大是无穷大如：如：x是是无穷大，无穷大，则则是是无穷小无穷小.恒不为零的恒不为零的恒不为零的恒不为零的在同一过程中在同一过程中在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的无穷大的无穷大的无穷大的倒数倒数倒数倒
12、数为无穷小为无穷小为无穷小为无穷小; ;关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论, ,都可都可都可都可归结为归结为归结为归结为关于关于关于关于无穷小无穷小无穷小无穷小的讨论的讨论的讨论的讨论. .答答：无穷大的和、差、积、商是否为无穷大呢？无穷大的和、差、积、商是否为无穷大呢？无穷大的和、差、积、商是否为无穷大呢？无穷大的和、差、积、商是否为无穷大呢？14第四节第四节 极限的运算法则极限的运算法则 一、一、 极限的运算法则极限的运算法则定理定理1 若若limf(x)=A,limg(x)=B均存在均存在,则则(1) limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=A
13、B(2) limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB(3) 若若B0,则则 lim = = 15证证 仅证明仅证明(2) limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB 因因 limf(x)=A,limg(x)=B均存在均存在,由极限与无穷小量的由极限与无穷小量的关系定理关系定理,有有f(x)=A+ (x),g(x)=B+ (x),其中其中 lim (x)=0, lim (x)=016推论推论1 1常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.推论推论2 2注意注意注意注意：四则运算法则：四则运算法则：四则运算法则：四则运算法则1 1、2 2可以推广到有
14、限多个可以推广到有限多个可以推广到有限多个可以推广到有限多个函数的情形。函数的情形。函数的情形。函数的情形。( (n n可推广至实数可推广至实数可推广至实数可推广至实数) )17数列也有类似的四则法则数列也有类似的四则法则. 即即 定理定理4 那么那么定理定理5 那么那么证：证：则则由由18解解？解解即即（代入法）（代入法）19例例2 2解解（代入法）（代入法）20则则:21解解说明说明:无穷小与无穷小的商不一定是无穷小无穷小与无穷小的商不一定是无穷小.约零因式法约零因式法方法是方法是:先先约去不为零的约去不为零的无穷小因子无穷小因子(x-3)后再求极限后再求极限.22例例4解解23由无穷小与
15、无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得（无穷小与无穷大的关系法）无穷小与无穷大的关系法）解解商的法则不能用商的法则不能用例例5 5又又24例例5 5解解先用先用x3去除分子及分母，然后取极限：去除分子及分母，然后取极限：解解先用先用x3去除分子及分母，然后取极限：去除分子及分母，然后取极限：(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)例例6 625解解先用先用x3去除分子及分母，然后取极限：去除分子及分母，然后取极限：解解( (无穷小因子分出法无穷小因子分出法) )例例7 7(无穷小与无穷大关系法无穷小与无穷大关系法)例例6 626注意：注意：以分母中自变量的最高次幂项中的以分母中自变量的最高次幂项
16、中的xn分别分别除除分分子、分母子、分母, ,以分出无穷小以分出无穷小, ,然后再求极限的方法然后再求极限的方法. .无穷小因子分出法无穷小因子分出法: :27解解先变形再求极限先变形再求极限.例例8 8(化无限为有限化无限为有限)28例例9解解29意义：意义：定理：四四. .复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则30例例1010解解分析：复合而成，复合而成，则有则有31例例11 求求解：令解：令解：令解：令u u= =arctanarctanx x, ,则则则则32小结1 1、无穷小与无穷大、无穷小与无穷大、无穷小与无穷大、无穷小与无穷大: :无穷小与无穷大是相对于极限过程无穷小与无穷
17、大是相对于极限过程无穷小与无穷大是相对于极限过程无穷小与无穷大是相对于极限过程( (x x的变化趋势的变化趋势的变化趋势的变化趋势) )而言的而言的而言的而言的. .一种极限是零，另一种极限是无穷大一种极限是零，另一种极限是无穷大一种极限是零，另一种极限是无穷大一种极限是零，另一种极限是无穷大. .(1)(1)(1)(1)有界有界有界有界函数函数函数函数与无穷小的乘积与无穷小的乘积与无穷小的乘积与无穷小的乘积是无穷小是无穷小是无穷小是无穷小. . . .重要性质重要性质重要性质重要性质(2)(2)(2)(2)在同一过程中在同一过程中在同一过程中在同一过程中, , , ,无穷大的无穷大的无穷大的
18、无穷大的倒数倒数倒数倒数为无穷小为无穷小为无穷小为无穷小; ; ; ;恒不为零的恒不为零的恒不为零的恒不为零的无穷小无穷小无穷小无穷小的的的的倒数倒数倒数倒数为为为为无穷大无穷大无穷大无穷大. . . .332. 极限的求法：极限的求法：1 1、代入法；、代入法；2 2、约零因式法；、约零因式法；3 3、无穷小的运算性质法、无穷小的运算性质法5 5、无穷小因子分出法、无穷小因子分出法6 6、化无限为有限法、化无限为有限法7 7、换元法、换元法4 4、无穷小与无穷大的关系法、无穷小与无穷大的关系法作业作业p49 1. (3), (4),4 . P54 1(6), (9), (10), (13) 预习预习p55- p6234
