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1、 有限元法有限元法Finite Element Method主要内容主要内容 有限元法的基本概念有限元法的基本概念 有限元法的分类有限元法的分类 有限元法的求解步骤（重点）有限元法的求解步骤（重点） 常用有限元软件简介常用有限元软件简介 随着生产的发展，不断要求设计高质量、高随着生产的发展，不断要求设计高质量、高水平的大型、复杂和精密的机械和工程结构。在水平的大型、复杂和精密的机械和工程结构。在产品加工中，在分析产品性能过程中，往往需要产品加工中，在分析产品性能过程中，往往需要了解产品在承受载荷的情况下的应变与位移、温了解产品在承受载荷的情况下的应变与位移、温度场、流场、磁场的分布情况等，从而
2、为产品的度场、流场、磁场的分布情况等，从而为产品的性能设计提供依据。性能设计提供依据。 蓄水后大坝的蓄水后大坝的位移与应变情位移与应变情况、地震时大况、地震时大坝的位移与应坝的位移与应变情况等变情况等三峡大坝的受力情况三峡大坝的受力情况 航天飞机飞行航天飞机飞行中的受热分析中的受热分析温度场分布温度场分布 导弹、飞机飞导弹、飞机飞行的流体动力行的流体动力学分析学分析流场分布流场分布 磁场分布磁场分布 分析分析卫星、星、飞船在船在轨运行运行时磁磁场的影响的影响 传统方法在处理这类问题时，往往要对一个传统方法在处理这类问题时，往往要对一个实际的物理系统作出多种假设，比如形状假设、实际的物理系统作出
3、多种假设，比如形状假设、连续性假设、物体的各项同性假设，然后通过经连续性假设、物体的各项同性假设，然后通过经典理论方法得出问题的解析解，这种解析解从形典理论方法得出问题的解析解，这种解析解从形式上看，可以得出关于实际问题的连续解，比如式上看，可以得出关于实际问题的连续解，比如用方程描述三峡大坝每一点的位移和应变，但这用方程描述三峡大坝每一点的位移和应变，但这样的解析解往往和实际情况有比较大的偏差。样的解析解往往和实际情况有比较大的偏差。这对于精度要求不高的于精度要求不高的领域是可以的，但域是可以的，但对于有些于有些领域，就不能域，就不能满足足实际的需要了。的需要了。 同同时，实际中常常要遇到一
4、些几何上复中常常要遇到一些几何上复杂、不不规则边界、有裂界、有裂缝或厚度突或厚度突变以及几何非以及几何非线性、性、材料非材料非线性的物理系性的物理系统，对这些系些系统经典理典理论解解决起来相当困决起来相当困难，有，有时甚至无法解决，也就是无甚至无法解决，也就是无法求得解析解。因此，法求得解析解。因此，寻求离散数求离散数值分析法就成分析法就成了必由之路。了必由之路。 常用的数常用的数值分析法有两种分析法有两种：差分法和有限元差分法和有限元法。法。 差分法差分法是在是在传统方法的基方法的基础上，将上，将传统方法方法建立的微分方程中的微分建立的微分方程中的微分dxdx、dydy、dzdz变成差分成差
5、分xx，yy，zz，从而把微分方程从而把微分方程变成代数方程，用成代数方程，用一步步迭代的方法，逐步求出物理系一步步迭代的方法，逐步求出物理系统中各个离中各个离散点的物理量，用差分离散解代替散点的物理量，用差分离散解代替连续解。解。 这种方法要求能建立微分方程，并能种方法要求能建立微分方程，并能给出出边界条件的数学表达式，因此，界条件的数学表达式，因此，对于一些不于一些不规则的的几何形状和不几何形状和不规则的特殊的特殊边界条件界条件难以以应用。用。 一、有限元法的基本概念一、有限元法的基本概念1.1.什么是有限元法什么是有限元法 我我们实际要要处理的理的对象都是象都是连续体，在体，在传统设计思
6、思维和方法中，是通和方法中，是通过一些理想化的假定后，建一些理想化的假定后，建立一立一组偏微分方程及其相偏微分方程及其相应的的边界条件，从而求出界条件，从而求出在在连续体上任一点上未知量的体上任一点上未知量的值。 因因为点是无限多的，存在无限自由度的点是无限多的，存在无限自由度的问题，很很难直接求解直接求解这种偏微分方程用来解决种偏微分方程用来解决实际工程工程问题，因此需要采用近似方法来，因此需要采用近似方法来处理。理。 其中最主要的是离散化方法，把问题归结为其中最主要的是离散化方法，把问题归结为只求有限个离散点的数值，把无限自由度问题变只求有限个离散点的数值，把无限自由度问题变成有限个自由度
7、。成有限个自由度。 把一个连续体分割成有限个单元，即把一个把一个连续体分割成有限个单元，即把一个复杂的结构看成由有限个通过节点相连的单元组复杂的结构看成由有限个通过节点相连的单元组成的整体，先进行单元分析，然后再把这些单元成的整体，先进行单元分析，然后再把这些单元组合起来代表原来的结构，以得到复杂问题的近组合起来代表原来的结构，以得到复杂问题的近似数值解。这种方法称为有限元法似数值解。这种方法称为有限元法（The Finite The Finite Element Method Element Method ）。 有限元法是一种以有限元法是一种以计算机算机为手段，通手段，通过离散离散化将研究化
8、将研究对象象变换成一个与原始成一个与原始结构近似的数学构近似的数学模型，再模型，再经过一系列一系列规范化的步范化的步骤以求解以求解应力、力、应变、位移等参数的数、位移等参数的数值计算方法。算方法。 所所谓离散化离散化就就是将一个是将一个连续体分割成若干个体分割成若干个通通过节点相点相连的的单元，元，这样一个有无限个自由度一个有无限个自由度的的结构就构就变换成一个具有有限个自由度的近似成一个具有有限个自由度的近似结构。构。该过程程还包括包括对单元和元和节点点进行行编码以及局以及局部坐部坐标系和整体坐系和整体坐标系的确定。系的确定。 2.2.几个基本概念几个基本概念1 1）单元）单元（elemen
9、t） 将求解的工程将求解的工程结构看成是构看成是由由许多小的、彼此用点多小的、彼此用点联结的的基本构件如杆、梁、板和壳基本构件如杆、梁、板和壳组成的，成的，这些基本构件称些基本构件称为单元。元。 在有限元法中，在有限元法中，单元用一元用一组节点点间相互作用的数相互作用的数值和矩和矩阵（刚度系数矩度系数矩阵）来描述。）来描述。单元具有以下特征：元具有以下特征： 每一个每一个单元都有确定的方程来描述在一定元都有确定的方程来描述在一定载荷荷下的响下的响应；模型中所有模型中所有单元响元响应的的“和和”给出了出了设计的的总体体响响应； 单元中未知量的个数是有限的，因此称元中未知量的个数是有限的，因此称为
10、“有限有限单元元”。 2 2）节点）节点（node） 单元与元与单元之元之间的的联结点，称点，称为节点。在有点。在有限元法中，限元法中，节点就是空点就是空间中的坐中的坐标位置，它具有位置，它具有物理特性，且存在相互物理作用。物理特性，且存在相互物理作用。载荷载荷载荷载荷节点节点: 空间中的坐标位置，具有空间中的坐标位置，具有一定响应，相互之间一定响应，相互之间存在存在物理作物理作用用。单元单元: 节点间相互作用的媒介，节点间相互作用的媒介，用一组节点相互作用的数值矩阵用一组节点相互作用的数值矩阵描述（称为刚度或系数矩阵描述（称为刚度或系数矩阵)。.1 node.信息是通过单元之间的公共节点传递
11、的。信息是通过单元之间的公共节点传递的。分离但节点重叠的单元分离但节点重叠的单元A A和和B B之间没有信息传递之间没有信息传递具有公共节点的单元具有公共节点的单元之间存在信息传递之间存在信息传递 .AB.AB.2 nodes3 3）有限元模型）有限元模型（node） 有限元模型真实系统理想化的数学抽象。由有限元模型真实系统理想化的数学抽象。由一些形状简单的单元组成，单元之间通过节点连一些形状简单的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。接，并承受一定载荷。 每个单元的特性是通过一些线性方程式来描每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。作为一个整体，所有单元的组合就形成了述的。作为
12、一个整体，所有单元的组合就形成了整体结构的数学模型。整体结构的数学模型。 有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。之间通过节点连接，并承受一定载荷。膨化饲料床层进风口出风口膨化饲料带式干燥机有限元模型膨化饲料带式干燥机有限元模型XZ网格节点步长为40mm,共1113040个单元 对于一个具体的工程结构，单元的划分越小，对于一个具体的工程结构，单元的划分越小，求解的结果就越精确，同时，其计算工作量也就越求解的结果就越精确，同时，其计算工作量也就越大。大。 梯子的有限元模型不到梯子的有限元模型不到100100个方程；个方程；
13、 在在ANSYSANSYS分析中，一个小的有限元模型可能有几分析中，一个小的有限元模型可能有几千个未知量，涉及到的单元刚度系数几百万个。千个未知量，涉及到的单元刚度系数几百万个。 单元划分的精细程度，取决于工程实际对计算单元划分的精细程度，取决于工程实际对计算结果精确性的要求。结果精确性的要求。4 4）单元形函数）单元形函数（node） 有限元法仅仅求解节点处的响应值。单元形有限元法仅仅求解节点处的响应值。单元形函数是一种数学函数，规定了从节点响应值到单函数是一种数学函数，规定了从节点响应值到单元内所有点处响应值的计算方法元内所有点处响应值的计算方法, ,因此，单元形函因此，单元形函数提供一种
14、描述单元内部结果的数提供一种描述单元内部结果的“形状形状”。 单元形函数描述的是给定单元的一种假定的单元形函数描述的是给定单元的一种假定的特性。单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度特性。单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求解精度。直接影响求解精度。真实的二次曲线真实的二次曲线.节点节点单元单元 二次曲线的线性近似二次曲线的线性近似 (不理想结果不理想结果).2节点节点单元单元 响应值二次分布响应值二次分布.1节点节点 单元单元线性近似线性近似(更理想的结果更理想的结果)真实的二次曲线真实的二次曲线. . . .3节点节点单元单元二次近似二次近似 (接近于真实的二次近接近于真实的二次近
15、似拟合似拟合) (最理想结果最理想结果).4n如果单元形函数不能精确描述单元内部的响应，如果单元形函数不能精确描述单元内部的响应，就不能很好地得到导出数据，因为这些导出数据就不能很好地得到导出数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导出来的。是通过单元形函数推导出来的。n当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择并接受该种单元类型所假定的单元形函数。并接受该种单元类型所假定的单元形函数。n在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下，在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下，必须确保分析时有足够数量的单元和节点来精确必须确保分析时有足够数量的单元和节点来精
16、确描述所要求解的问题。描述所要求解的问题。5 5）有限元分析）有限元分析 有限元分析（有限元分析（FEAFEA）就是利用数学近似的方法）就是利用数学近似的方法对真真实物理系物理系统（几何和（几何和载荷工况）荷工况）进行模行模拟。并利用并利用简单而又相互作用的元素而又相互作用的元素（即即单元元），用，用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系系统。 有限元分析是一种模有限元分析是一种模拟设计载荷条件，并且荷条件，并且确定在确定在载荷条件下的荷条件下的设计响响应的方法。它是用被的方法。它是用被称之称之为“单元元”的离散的的离散的块体来模体来模拟设计的的。 二、有
17、限元法的特点与作用二、有限元法的特点与作用1.1.有限元法的特点有限元法的特点1 1）离散化：离散化：把连续体划分成有限个单元，把单元间的连接把连续体划分成有限个单元，把单元间的连接点（节点）作为离散点；点（节点）作为离散点；2 2）不考虑微分方程，而从单元本身特点进行研究；）不考虑微分方程，而从单元本身特点进行研究；( (研究未研究未知量在单元内部及在单元节点上值的关系，从而导出单知量在单元内部及在单元节点上值的关系，从而导出单元节点响应和对应的载荷之间的关系，然后把它们组集元节点响应和对应的载荷之间的关系，然后把它们组集起来起来, ,以求解一个以各节点响应为未知量的代数方程组以求解一个以各
18、节点响应为未知量的代数方程组) ) 3 3）理）理论基基础简明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建立起立起对该法的理解法的理解； 4 4）具有灵活性和适用性，适）具有灵活性和适用性，适应性性强强。它可以把形状。它可以把形状不同、性不同、性质不同的不同的单元元组集起来求解，故特集起来求解，故特别适适用于求解由不同构件用于求解由不同构件组合的合的结构，构，应用范用范围极极为广泛。它不广泛。它不仅能成功地能成功地处理如理如应力分析中的非均力分析中的非均匀材料、各向异性材料、非匀材料、各向异性材料、非线性性应力力应变以及复以及复杂的的边界条件等界条件等问题，且随着
19、其理，且随着其理论基基础和方法和方法的逐步完善，的逐步完善，还能成功地用来求解如能成功地用来求解如热传导、流、流体力学及体力学及电磁磁场领域的域的许多多问题。5 5）在具体推）在具体推导运算运算过程中，广泛采用了矩程中，广泛采用了矩阵方法。方法。 2.2.有限元法的作用有限元法的作用1 1）减少模型）减少模型试验的数量的数量（计算机模算机模拟允允许对大量的大量的假假设情况情况进行快速而有效的行快速而有效的试验）；）；2 2）模）模拟不适合在原型上不适合在原型上试验的的设计（例如：器官移例如：器官移植植、人造膝盖人造膝盖）；）；3 3）节省省费用，降低用，降低设计与制造、开与制造、开发的成本；的
20、成本；4 4）节省省时间，缩短短产品开品开发时间和周期；和周期； 5 5）创造出高可靠性、高品造出高可靠性、高品质的的产品。品。 三、有限元法的发展三、有限元法的发展1.1.有限元法的产生有限元法的产生有限元法分析的概念可以追溯到有限元法分析的概念可以追溯到2020世世纪4040年代。年代。 19431943年，柯朗特（年，柯朗特（CourantCourant）第一次在他的第一次在他的论文文中，取定中，取定义在三角形域上的分片在三角形域上的分片连续函数，利用函数，利用最小最小势能原理研究了圣能原理研究了圣维南（南（St.VenantSt.Venant）的扭的扭转问题。然而，此方法。然而，此方法
21、发展很慢，几乎展很慢，几乎过了十年了十年才再次有人用才再次有人用这些离散化的概念。些离散化的概念。 19561956年年Turner,Turner,CloughClough,Martin,Martin和和ToppTopp等人，在他等人，在他们的的经典典论文中第一次文中第一次给出了用三角形出了用三角形单元求得元求得的平面的平面应力力问题的真正解答，他的真正解答，他们利用利用弹性理性理论的方程求出了三角形的方程求出了三角形单元的特性，并第一次介元的特性，并第一次介绍了今天人了今天人们熟知的确定熟知的确定单元特性的直接元特性的直接刚度法，度法，其研究工作随同当其研究工作随同当时出出现的数的数值计算机
22、一起打开算机一起打开了求解复了求解复杂平面平面弹性性问题的新局面。的新局面。 19601960年美国的克年美国的克劳夫夫(W.Clough)(W.Clough)采用此方法采用此方法进行行飞机机结构分析构分析时首次将首次将这种方法起名种方法起名为“有限有限单元元法法”，简称称“有限元法有限元法”。此后有限元法在工程界。此后有限元法在工程界获得了广泛的得了广泛的应用。到用。到2020世世纪7070年代以后，随着年代以后，随着计算机和算机和软件技件技术的的发展，有限元法也随之迅速的展，有限元法也随之迅速的发展起来，展起来，发表的表的论文犹如雨后春笋，学文犹如雨后春笋，学术交流交流频繁，期刊、繁，期刊
23、、专著不断出著不断出现，可以，可以说进入了有限入了有限元法的鼎盛元法的鼎盛时期，期，对有限元法有限元法进行了全面而深入行了全面而深入的的研究。研究。 2.2.有限元法的应用有限元法的应用 目前，有限元法广泛目前，有限元法广泛应用于固体力学、流体用于固体力学、流体力学、力学、热传导、电磁学、声学、生物力学等各个磁学、声学、生物力学等各个领域。域。 有限元法已有限元法已经成成为结构分析的有效方法和手段，构分析的有效方法和手段，它几乎它几乎被被用于所有用于所有连续介介质和和场的的问题。1 1）结构分析）结构分析 结构分析用于确定变形、结构分析用于确定变形、应变、应力及反作用力。应变、应力及反作用力。
24、 静力分析静力分析 用于静态荷载，可以考虑用于静态荷载，可以考虑结构的线性及非线性行为，结构的线性及非线性行为，例如：大变形、大应变、应例如：大变形、大应变、应力刚化、接触、塑性、超弹力刚化、接触、塑性、超弹及蠕变等。及蠕变等。超弹密封超弹密封动力分析动力分析模态分析：模态分析：用于计算固有频率和振型。用于计算固有频率和振型。谐响应分析：谐响应分析：用于确定结构对正弦变化的已知幅值和用于确定结构对正弦变化的已知幅值和频率载荷的响应。频率载荷的响应。瞬态动力学分析：瞬态动力学分析：用于确定结构对随时间任意变化载用于确定结构对随时间任意变化载荷的响应，可以考虑与静力分析相同的结构非线性行荷的响应，
25、可以考虑与静力分析相同的结构非线性行为。为。特征屈曲分析：特征屈曲分析：用于计算线性屈曲载荷并确定屈曲模用于计算线性屈曲载荷并确定屈曲模态形状（结合瞬态动力学分析可以实现非线性屈曲分态形状（结合瞬态动力学分析可以实现非线性屈曲分析）析）专项分析专项分析: 断裂分析、复合材料分析、疲劳分析断裂分析、复合材料分析、疲劳分析2 2）热分析）热分析 热分析用于确定物体中的热分析用于确定物体中的温度分布。考虑的物理量是：温度分布。考虑的物理量是：热量、热梯度、热通量。热量、热梯度、热通量。 有限元可模拟三种热传递有限元可模拟三种热传递方式（热传导、热对流、热方式（热传导、热对流、热辐射），可进行辐射），
26、可进行稳态分析稳态分析和和瞬态分析瞬态分析，还可模拟，还可模拟相变相变（蒸发与冷凝、熔化及凝固）（蒸发与冷凝、熔化及凝固）3 3）电磁分析）电磁分析 电磁分析用于计算电磁装置电磁分析用于计算电磁装置中的磁场，考虑的物理量是：磁中的磁场，考虑的物理量是：磁通量密度、磁场密度、磁力和磁通量密度、磁场密度、磁力和磁力矩、阻抗、电感、涡流、能耗力矩、阻抗、电感、涡流、能耗及磁通量泄漏等。及磁通量泄漏等。 有限元法可进行有限元法可进行静态磁场及低频电磁场分析静态磁场及低频电磁场分析，如模拟由，如模拟由直流电源、低频交流电或低频瞬时信号引起的磁场（螺线管直流电源、低频交流电或低频瞬时信号引起的磁场（螺线管
27、制动器、电动机、变压器）；制动器、电动机、变压器）；高频电磁场分析高频电磁场分析如模拟电磁波如模拟电磁波的传播装置；计算由电压或电荷激发引起的电场；分析电磁的传播装置；计算由电压或电荷激发引起的电场；分析电磁装置与电路的装置与电路的耦合问题耦合问题等。等。4 4）流体分析）流体分析 计算流体动力学（计算流体动力学（Computational Computational Fluid DynamicsFluid Dynamics ，CFDCFD ）是一种典型的基）是一种典型的基于有限元的流体分析方法。用于确定流于有限元的流体分析方法。用于确定流体中的流动状态和温度。能模拟层流和体中的流动状态和温度
28、。能模拟层流和湍流、可压缩和不可压缩流体以及多组湍流、可压缩和不可压缩流体以及多组份流。广泛应用于航空航天、气象学、份流。广泛应用于航空航天、气象学、汽车设计等领域。汽车设计等领域。 典型的物理量是：速度、压力、温典型的物理量是：速度、压力、温度、对流换热系数。度、对流换热系数。 用于模拟流体介质和周围固体的相互作用。用于模拟流体介质和周围固体的相互作用。典型的物理量是：压力分布、位移和自振频率。典型的物理量是：压力分布、位移和自振频率。5 5）声学分析）声学分析6 6）耦合场分析）耦合场分析 耦合场分析考虑两个或多个物理场之间的相互作用。因为耦合场分析考虑两个或多个物理场之间的相互作用。因为
29、两个物理场之间相互影响，所以单独求解一个物理场是不可能两个物理场之间相互影响，所以单独求解一个物理场是不可能的。例如：的。例如：双金属片双金属片受热变形受热变形n热热- -应力分析（温度场和结构）应力分析（温度场和结构）n流体热力学分析（温度场和流场）流体热力学分析（温度场和流场）n声学分析（流体和结构）声学分析（流体和结构）n热热- -电分析（温度场与电场）电分析（温度场与电场）n感应加热（磁场和温度场）感应加热（磁场和温度场）第二节 有限元法的分类一、结构有限元法的分类一、结构有限元法的分类 结构结构有限元法可以分有限元法可以分为两两类，即，即线弹性有限性有限元法和非元法和非线性有限元法性
30、有限元法。其中。其中线弹性有限元法是性有限元法是非非线性有限元法的基性有限元法的基础，二者不但在分析方法和，二者不但在分析方法和研究步研究步骤上有上有类似之似之处，而且后者常常要引用前，而且后者常常要引用前者的某些者的某些结果。果。 1.1.线弹性有限元线弹性有限元 线弹性有限元是以理想性有限元是以理想弹性体性体为研究研究对象的，象的，所考所考虑的的变形建立在小形建立在小变形假形假设的基的基础上。在上。在这类问题中，中，材料的材料的应力与力与应变呈呈线性关系，性关系，满足足广广义胡克定律；位移与胡克定律；位移与应变也是也是线性关系，性关系，线弹性性问题可可归结为求解求解线性方程性方程问题，所以
31、只需要，所以只需要较少的少的计算算时间。 线弹性有限元一般包括性有限元一般包括线弹性静力学分析与性静力学分析与线弹性性动力学分析两方面。力学分析两方面。 2.2.非线性有限元非线性有限元非非线性性问题与与线弹性性问题的区的区别： 非非线性性问题的方程是非的方程是非线性的，一般需要迭代求性的，一般需要迭代求 解；解； 非非线性性问题不能采用叠加原理；不能采用叠加原理； 非非线性性问题不不总有一致解，有有一致解，有时甚至没有解。甚至没有解。 以上三方面的因素使得非以上三方面的因素使得非线性性问题的求解的求解过程程比比线弹性性问题更加复更加复杂、费用更高和更具有不可用更高和更具有不可预知性。知性。
32、1 1）材料非线性问题）材料非线性问题 材料的材料的应力和力和应变是非是非线性的，但性的，但应变与位与位移呈移呈线性关系，性关系，这类问题属于材料的非属于材料的非线性性问题。由于从理由于从理论上上还不能提供能普遍接受的不能提供能普遍接受的应力与力与应变的函数关系，所以，一般材料的的函数关系，所以，一般材料的应力与力与应变之之间的非的非线性关系要基于性关系要基于试验数据，有数据，有时非非线性材性材料特性可用数学模型料特性可用数学模型进行模行模拟，尽管，尽管这些模型些模型总有他有他们的局限性。在工程的局限性。在工程实际中中较为重要的材料重要的材料非非线性性问题有：非有：非线性性弹性（包括分段性（包
33、括分段线弹性）、性）、弹塑性、粘塑性及蠕塑性、粘塑性及蠕变等。等。 2 2）几何非线性问题）几何非线性问题 几何非几何非线性性问题是由于是由于应变与位移之与位移之间存在存在非非线性关系引起的。性关系引起的。 当物体的位移当物体的位移较大大时，应变与位移的关系是与位移的关系是非非线性关系。研究性关系。研究这类问题一般都是假定材料的一般都是假定材料的应力和力和应变呈呈线性关系。它包括大位移大性关系。它包括大位移大应变及及大位移小大位移小应变问题。如。如结构的构的弹性屈曲性屈曲问题属于属于大位移小大位移小应变问题，橡胶部件形成，橡胶部件形成过程程为大大应变问题。 3 3）非线性边界）非线性边界 在加
34、工、密封、撞在加工、密封、撞击等等问题中，接触和摩擦中，接触和摩擦的作用不可忽的作用不可忽视，接触，接触边界属于高度非界属于高度非线性性边界。界。 平平时遇到的一些接触遇到的一些接触问题，如，如齿轮传动、冲、冲压成型、成型、轧制成型、橡胶减振器、制成型、橡胶减振器、紧配合装配等，配合装配等，当一个当一个结构与另一个构与另一个结构或外部构或外部边界相接触界相接触时通通常要考常要考虑非非线性性边界条件。界条件。 实际的非的非线性可能同性可能同时出出现上述两种或三种上述两种或三种非非线性性问题。 二、有限单元的类型二、有限单元的类型 根据研究根据研究对象的不同，有限元法中采用的象的不同，有限元法中采
35、用的单元元形式也不相同形式也不相同。 通常，按照通常，按照单元元结构，可将构，可将单元划分元划分维一一维单元（元（线单元）、二元）、二维单元（面元（面单元）和三元）和三维单元元 JIJKLI一维单元一维单元二维单元二维单元POMNKJIL三维单元三维单元按照按照单元元结构构特点和受力特点特点和受力特点，可将，可将单元划分元划分为：为：1 1）桁架杆桁架杆单元：元：主要主要应用于受用于受轴向力作用的杆和杆向力作用的杆和杆系，如桁架系，如桁架结构；构；2 2）刚架杆架杆单元：元：用于梁及用于梁及刚架架结构分析；构分析；3 3）三角形平面三角形平面单元：元：主要用于主要用于弹性力学中平面性力学中平面
36、应力力和平面和平面应变问题的有限元分析；的有限元分析；4 4）三棱）三棱圆环单元：元：用于用于轴对称称问题的有限元分析；的有限元分析；5 5）等参数）等参数单元：元：用于一些具有曲用于一些具有曲线轮廓的复廓的复杂结构。构。第三节第三节 有限元法的求解步骤有限元法的求解步骤一、有限元法分析过程有限元法分析过程 有限元法分析过程大体可分为：前处理、分有限元法分析过程大体可分为：前处理、分析、后处理三大步骤。析、后处理三大步骤。1.1.前处理前处理 对实际的的连续体离散化后就建立了有限元分体离散化后就建立了有限元分析模型，析模型，这一一过程是有限元程是有限元法法的前的前处理理过程。在程。在这一一阶段
37、，要构造段，要构造计算算对象的几何模型，要划分象的几何模型，要划分有限元网格，要生成有限元分析的有限元网格，要生成有限元分析的输入数据，入数据，这一步是有限元分析的关一步是有限元分析的关键。 2.2.有限元分析有限元分析 有限元分析有限元分析过程主要包括：程主要包括：单元分析、整体分元分析、整体分析、析、载荷移置、引入荷移置、引入约束、求解束、求解约束方程等束方程等过程。程。这一一过程是有限元分析的核心部分，有限元理程是有限元分析的核心部分，有限元理论主主要体要体现在在这一一过程中。程中。 结构结构有限元法包括三有限元法包括三类：有限元位移法、有限有限元位移法、有限元力法、有限元混合法元力法、
38、有限元混合法。 有限元位移法有限元位移法以以节点位移作点位移作为基本未知量；基本未知量； 有限元力法有限元力法以以选节点力作点力作为未知量未知量； 有限元混合法有限元混合法的的一部分基本未知量一部分基本未知量为节点位移，点位移，另一部分基本未知量另一部分基本未知量为节点力。点力。 有限元位移法有限元位移法计算算过程的系程的系统性、性、规律性律性强强，特特别适宜于适宜于编程求解。一般除板壳程求解。一般除板壳问题的有限元的有限元应用一定量的混合法外，其余全部采用有限元位移法。用一定量的混合法外，其余全部采用有限元位移法。 因此，一般不做特因此，一般不做特别声明声明时时，有限元法指的是，有限元法指的
39、是有限元位移法。有限元位移法。 3.3.有限元分析的后处理有限元分析的后处理 有限元分析的后有限元分析的后处理主要包括理主要包括对计算算结果的果的加加工工处理、理、编辑组织和和图形表示形表示三个方面。它可以把三个方面。它可以把有限元分析得到的数据，有限元分析得到的数据，进一步一步转换为设计人人员直直接需要的信息，如接需要的信息，如应力分布状力分布状态、结构构变形状形状态等，等，并且并且绘成直成直观的的图形，从而帮助形，从而帮助设计人人员迅速的迅速的评价和校核价和校核设计方案。方案。 一、有限元法求解的基本步骤一、有限元法求解的基本步骤 1. 1. 结构离散化：构离散化：对整个整个结构构进行离散
40、化，将其分割行离散化，将其分割成若干个成若干个单元，元，单元元间彼此通彼此通过节点相点相连； 2. 2. 求出各求出各单元的元的刚度矩度矩阵 ： 是由是由单元元节点位点位移移向向量量 求求单元元节点力向量点力向量 的的转移矩移矩阵，其，其关系式关系式为 ； 3 3. . 集成集成总体体刚度矩度矩阵KK并写出并写出总体平衡方程：体平衡方程：KK是由整体是由整体节点位移向量点位移向量 求整体求整体节点力向量点力向量 的的转移矩移矩阵，其关系式其关系式为 ，这就是总，这就是总体平衡方程；体平衡方程； 确定确定总体体刚度矩度矩阵KK的办法的办法1 1）直接利用直接利用总体体刚度系数的定度系数的定义 在
41、求出整体在求出整体结构中各构中各节点力与点力与节点位移关系的点位移关系的基基础上上获得得总体体刚度矩度矩阵。此方法。此方法只只在在简单情况下情况下才能采用。才能采用。 2 2）集成法集成法 将整体坐将整体坐标下的下的单元元刚度矩度矩阵进行迭加而得。行迭加而得。这里所里所说的迭加不是的迭加不是简单的相加，而是将下角的相加，而是将下角标相相同的同的刚度系数相加，然后按度系数相加，然后按总码的的顺序序对号入座。号入座。3 3）利用利用节点点间的的刚度系数直接写出度系数直接写出总体体刚度矩度矩阵 总体体刚度矩度矩阵对角角线上的上的刚度系数度系数 等于在等于在节点点i i汇交的几个交的几个单元的元的刚度
42、系数度系数 之和；之和；非非对角角线上的上的刚度系数度系数 等于等于联结节点点i i与与节点点j j间几个几个单元元的的刚度系数度系数 之和。之和。4.4.引入引入边界边界条件，求出各条件，求出各节点的位移点的位移 节点的点的边界边界条件有两种：一种是条件有两种：一种是节点点n n沿某个方沿某个方向的位移向的位移为零，另一种是零，另一种是节点点n n沿某个方向的位移沿某个方向的位移为一一给定定值。5.5.求出各单元内的应力和应变求出各单元内的应力和应变 三、有限元求解实例分析有限元求解实例分析 【例例1 1】一根由两段一根由两段组成的成的阶梯梯轴，一端固定，另，一端固定，另一端承受一个一端承受
43、一个轴向向载荷荷F3。这两段的横截面两段的横截面积分分别为A(1)和和A(2)，长度分度分别为L(1)和和L(2)，弹性模量分性模量分别为E(1)和和E(2) ，如如图所示。求出所示。求出这两段的两段的应力和力和应变。已知数据分。已知数据分别为F3=100N， 1 2 3A(1) E(2)A(2) E(2)L(1) L(2) 21F2F323F1F3【解解】1.1.离散化离散化 把把这根根阶梯梯轴看成是由两个看成是由两个单元元组成的，成的，节点点选在截面在截面积突突变处，两个，两个单元的元的连接接处是一个是一个节点，点，该阶梯梯轴的两端的两端视为另外两个另外两个节点，所以整个点，所以整个结构共
44、有构共有三个三个节点。点。这根根轴是一是一维结构，并只受构，并只受轴向向载荷，因荷，因此各此各单元内只有元内只有轴向位移。三个向位移。三个节点位置的位移量分点位置的位移量分别记为 、 、 。在整个在整个结构中构中节点点载荷及荷及节点位点位移均用大写字母移均用大写字母标记，其角，其角标为节点在点在总体体结构中的构中的编码，简称称总码。 2.2.求求单元元刚度矩度矩阵 该矩矩阵中任意一个元素中任意一个元素 都称都称为单元元刚度系度系数，它表示数，它表示： 该单元内除节点该单元内除节点 j 产生单位位移外，其余各节产生单位位移外，其余各节点的位移均为零时在节点点的位移均为零时在节点 i 处所引起的载
45、荷处所引起的载荷。3.3.总体体刚度矩度矩阵的集成和的集成和总体平衡方程的写出体平衡方程的写出 该阶梯梯轴上三个上三个节点位移点位移 、 、 和三个和三个节点点轴向力向力 分分别组成成该整体整体结构的构的节点位移点位移向量向量 和和节点点轴向力向力向量向量 。 两向量两向量间的的转换关系可表示关系可表示为 或或 上上式中的式中的转移矩移矩阵称称为总体体刚度矩度矩阵或或总体特体特性矩性矩阵，其，其阶数等于数等于总体体结构中的构中的节点点总数。数。 K中的元素中的元素 称为总体刚度系数，它表示在称为总体刚度系数，它表示在整体结构中除了节点整体结构中除了节点 j 产生单位位移外，其余各节产生单位位移
46、外，其余各节点的位移均为零时在节点点的位移均为零时在节点 i 处所引起的载荷处所引起的载荷。 求出求出总体体刚度矩度矩阵是是进行行总体分析的主要任体分析的主要任务，一旦一旦获得得总体体刚度矩度矩阵，可以很容易地写出，可以很容易地写出总体平体平衡方程。衡方程。 求求总体体刚度矩度矩阵KK的方法主要由两种：一是的方法主要由两种：一是直接法，即根据直接法，即根据总体体刚度系数的定度系数的定义求解；另一种求解；另一种方法是集成法，即由各方法是集成法，即由各单元元刚度矩度矩阵求求总体体刚度矩度矩阵。 1)1)用集成法求用集成法求总体体刚度矩度矩阵K K 这种方法从种方法从单元元刚度矩度矩阵出出发，根据迭
47、加原理，根据迭加原理，利用利用刚度系数集成的方法度系数集成的方法获得得总体体刚度矩度矩阵。这样，首先要写出各首先要写出各单元的元的刚度矩度矩阵。 局部码局部码1 1(1)(1)2 2(1)(1)1 1(2)(2)2 2(2)(2)总码总码1 12 22 23 3局部码与总码对应关系局部码与总码对应关系约定：约定： 2) 2) 用直接法求用直接法求总体体刚度矩度矩阵KK 这种方法具有概念清晰的特点，但是在分析复这种方法具有概念清晰的特点，但是在分析复杂结构时运算极其复杂，因而限制了它的应用。杂结构时运算极其复杂，因而限制了它的应用。 直接法利用总体刚度系数的定义，直接求出每一直接法利用总体刚度系
48、数的定义，直接求出每一个总体刚度系数个总体刚度系数一般而言，刚度矩阵具有如下特性：一般而言，刚度矩阵具有如下特性： 1 1）对称性称性 单元元刚度矩度矩阵和和总体体刚度矩度矩阵都是都是对称方称方阵，即，即由第即，即由第j j个个节点点单位位移引起位位移引起的的第第i i个个节点点载荷和由第荷和由第i i个个节点点单位位移引起的第位位移引起的第j j个个节点点载荷荷是相等的。是相等的。这是是弹性性结构一个共同的特点。构一个共同的特点。这种种对称性可减少矩称性可减少矩阵存存储运算运算时的内存量的内存量。 2 2）奇异性奇异性 单元元刚度矩度矩阵和和总体体刚度矩度矩阵都是奇异矩都是奇异矩阵，即它即它
49、们的行列式都等于的行列式都等于0 0，这样，其逆，其逆阵就不存在。就不存在。因此，因此，对总体体刚度矩度矩阵要引入要引入边界条件界条件进行行处理理之后才能求解。之后才能求解。3 3）稀疏性稀疏性 总体体刚度矩度矩阵是零元素非常多的矩是零元素非常多的矩阵。结构构越大，零元素越多。大型越大，零元素越多。大型结构的构的总体体刚度矩度矩阵一一般都是非常稀疏的矩般都是非常稀疏的矩阵。 总体平衡方程为：总体平衡方程为： 4.4.引入支撑条件，引入支撑条件，计算算节点位移点位移 上式中的未知量上式中的未知量 仍不能求出，因仍不能求出，因为KK是一个奇异矩是一个奇异矩阵，必，必须引入支撑条件。在本引入支撑条件
50、。在本例中支撑条件是例中支撑条件是节点点1 1的位移的位移为零，即零，即 这样总体平衡方程体平衡方程简化化为 代入已知条件：代入已知条件： 可求得：可求得： 5.5.求求单元中的元中的应力及力及应变 单元单元1 1中的应变：中的应变：单元单元2 2中的应变：中的应变：单元单元1 1中的应力：中的应力：单元单元2 2中的应力：中的应力： K2【例例2 2】在光滑的水平面上有三个小在光滑的水平面上有三个小车，他，他们彼此彼此用四根用四根弹簧相簧相连，其，其连接方式如接方式如图1-21-2所示。小所示。小车1 1又通又通过弹簧簧k1与与墙壁固壁固连。每个小。每个小车上的作用力上的作用力分分别为F1、
51、F2、F3。求每个小求每个小车的位移。的位移。 由此可求出三个节点即三个小车的位移。由此可求出三个节点即三个小车的位移。 【例例3 3】用有限元法求解某系统的过程中，将系统用有限元法求解某系统的过程中，将系统划分成划分成3 3个单元，这个单元，这3 3个单元通过个单元通过3 3个节点相连接，个节点相连接，节点局部编码与总体编码的对照如下表所示，节点局部编码与总体编码的对照如下表所示，请写出写出该系系统的的总体体刚度矩度矩阵。 局部码1（1）1（2）2（2）1（3）2（3）总 码11223已知：已知： 第四节第四节 常用有限元软件简介常用有限元软件简介 一、通用有限元软件的共同之处一、通用有限元
52、软件的共同之处 有限元的高度通用性与有限元的高度通用性与实用性用性导致了有限元致了有限元通用程序的通用程序的发展。四十多年来，有限元通用展。四十多年来，有限元通用软件件的的发展在数量和展在数量和规模上是惊人的。模上是惊人的。这些通用有限些通用有限元元软件的共同之件的共同之处可可归结为以下几点：以下几点： 1.1.功能强大。功能强大。一般都可以一般都可以进行多种物理行多种物理场分分析，如析，如结构分析、温度构分析、温度场分析、分析、电磁磁场分析、流分析、流场分析、多分析、多场耦合分析等；耦合分析等； 2.2.具有丰富的材料具有丰富的材料库。可以。可以处理多种材料，理多种材料，如金属、土壤、岩石、
53、塑料、橡胶、木材、陶瓷、如金属、土壤、岩石、塑料、橡胶、木材、陶瓷、混凝土、复合材料等；混凝土、复合材料等； 3.3.具有多种自动网格划分技术，自动进行单具有多种自动网格划分技术，自动进行单元形态、求解精度检查及修正；元形态、求解精度检查及修正； 4.4.具有强大的后处理及图像处理功能；具有强大的后处理及图像处理功能； 5.5.具有与多种具有与多种CADCAD系统直接连接的接口；系统直接连接的接口； 6.6.具有良好的用户开发环境；具有良好的用户开发环境； 7.7.具有良好的维护和培训能力（）。具有良好的维护和培训能力（）。二、几个著名的通用有限元软件简介二、几个著名的通用有限元软件简介 1.
54、1.ANSYSANSYS ANSYS ANSYS软件是美国件是美国ANSYSANSYS公司的公司的产品，品，该公司公司成立于成立于19701970年，公司年，公司总部位于美国部位于美国宾夕法尼夕法尼亚的的匹匹兹堡。堡。ANSYSANSYS软件是融件是融结构、流体、构、流体、电磁磁场、声、声场和耦合和耦合场分析于一体的大型通用有限元分析于一体的大型通用有限元软件，件，可广泛可广泛应用于核工用于核工业、铁道、石油化工、航空航道、石油化工、航空航天、机械制造、能源、汽天、机械制造、能源、汽车、国防、国防军工、工、电子、子、土木工程、造船、生物医学、土木工程、造船、生物医学、轻工、地工、地矿、水利、水
55、利、日用家日用家电等一般工等一般工业及科学研究。及科学研究。 ANSYSANSYS公司在北京、上海、成都相公司在北京、上海、成都相继成立了成立了办事事处，构成了，构成了ANSYSANSYS在中国完整的市在中国完整的市场、销售及售售及售后服后服务体系。它的体系。它的显著特点是具有独一无二的多著特点是具有独一无二的多场耦合分析功能，可耦合分析功能，可处理高速理高速变形和高度非形和高度非线性性问题（如冲（如冲击、爆炸、碰撞、爆炸、碰撞、实体体变形、板成形）形、板成形），边界元流体界元流体动力学力学问题（如水下（如水下结构振构振动、气、气弹颤振分析）振分析）。 2. MSC.Marc 2. MSC.M
56、arc Marc Marc软件原件原为美国美国MARCMARC公司的公司的产品，品，该公司公司创建于建于19671967年，他的年，他的创始人是美国著名的布朗大始人是美国著名的布朗大学教授、有限元分析的先学教授、有限元分析的先驱者者Pedro MarcelPedro Marcel。 MARCMARC公司致力于非公司致力于非线性有限元技性有限元技术的研究、非的研究、非线性有限元性有限元软件的开件的开发、销售和售后服售和售后服务。经过三三十多年的不懈努力，十多年的不懈努力， MarcMarc软件得到了学件得到了学术界和工界和工业界的大力推崇和广泛界的大力推崇和广泛应用，建立了他在全球非用，建立了他
57、在全球非线性有限元性有限元软件行件行业的的领导地位。地位。 19991999年年6 6月，美国月，美国MSCMSC公司收公司收购了了MARCMARC公司，公司，相相应地将地将该软件更名件更名为MSC.MarcMSC.Marc软件。件。MSCMSC公司公司创建于建于19631963年，年，总部部设在美国的洛杉在美国的洛杉矶。 MSC.MarcMSC.Marc软件具有广泛的件具有广泛的应用范用范围，已成，已成为解决复解决复杂的工的工程程问题，完成学，完成学术研究的高研究的高级通用有限元通用有限元软件。件。 3. ADINA 3. ADINA ADINA ADINA软件是由美国件是由美国ADINA
58、R&DADINA R&D公司研究开公司研究开发的完全商品化的工程有限元分析的完全商品化的工程有限元分析软件，已推向市件，已推向市场三十多年，可三十多年，可进行行线性、非性、非线性、静力、性、静力、动力、力、屈曲、屈曲、热传导、压缩与不可与不可压缩流体流体动力学分析、力学分析、流流- -固耦合分析。在中国，美国的固耦合分析。在中国，美国的ADINA R&DADINA R&D公司公司与与亚得科技有限公司得科技有限公司进行全面的合作，由行全面的合作，由亚得科得科技有限公司技有限公司负责在中国的市在中国的市场销售、技售、技术培培训、技技术支持。支持。4. MSC.NASTRAN 4. MSC.NAST
59、RAN MSC.NASTRAN MSC.NASTRAN是世界上首屈一指的大型通用有是世界上首屈一指的大型通用有限元限元软件，其使用者已遍布全球，并成功地件，其使用者已遍布全球，并成功地应用用于我国的宇航、汽于我国的宇航、汽车、电子、承重子、承重设备、自行、自行车部件部件设计、半、半导体、消体、消费产品、运品、运输、机械等工、机械等工业部部门。19961996年美国国家航天航空局（年美国国家航天航空局（NASANASA）为了了满足当足当时航空航空业对结构分析的迫切需求，主持构分析的迫切需求，主持开开发大型大型应用有限元程序的招用有限元程序的招标，美国，美国MSCMSC公司参公司参与了整个与了整个
60、ASTRANASTRAN的开的开发过程。程。 MSC.NASTRANMSC.NASTRAN有近有近7070余种余种单元独特的元独特的单元元库，可可进行静力分析、屈曲分析、行静力分析、屈曲分析、动力分析、非力分析、非线性性分析、分析、热传导分析、空气分析、空气动力力弹性及性及颤振分析、振分析、气气- -固耦合分析、多固耦合分析、多级超超单元分析、高元分析、高级轴对称分称分析、析、设计灵敏度及灵敏度及优化分析、复合材料分析等。化分析、复合材料分析等。在在计算流体算流体动力学方面不但能力学方面不但能进行一般的行一般的热传导分析，而且分析，而且还可可对压力容器力容器进行行应力力线性化分析性化分析和疲和
61、疲劳分析。分析。 MSC.NASTRAN2001MSC.NASTRAN2001增加的增加的焊接接单元元CWELDCWELD，可以模可以模拟点点焊、螺栓、螺栓、铆钉。 5. ALGOR 5. ALGOR ALGOR ALGOR软件是美国件是美国ALGORALGOR公司公司针对微机平台而微机平台而开开发的有限元分析的有限元分析软件，他的早期版本是在件，他的早期版本是在SAP5SAP5源程序的基源程序的基础上，添加上，添加AutoCADAutoCAD图像像处理理软件开件开发而成的。目前而成的。目前该软件可运行于从件可运行于从DOSDOS到到WindowsWindows操操作系作系统的微机平台。的微机
62、平台。该软件是一个件是一个综合性的大型合性的大型软件，它涉及到件，它涉及到结构分析、构分析、场分析、粘性流体分析、粘性流体动力学分析、多力学分析、多刚体运体运动学学/ /动力学分析、管道力学分析、管道CADCAD等内容。等内容。 有限元有限元软件软件发展很快，我国已引展很快，我国已引进的主要程的主要程序有：序有：SAP5SAP5、SAP7SAP7、SAP84SAP84、Super SAPSuper SAP、ADINAADINA、ANSYSANSYS、MSC/NASTRANMSC/NASTRAN、ASKAASKA等，大部分程序具等，大部分程序具备了前后了前后处理功能，不理功能，不仅解解题的速度提
63、高，的速度提高，还极大极大的方便了使用者，的方便了使用者，对有限元法的普及与有限元法的普及与应用起到用起到很大的促很大的促进作用。作用。 【本章思考题本章思考题】1.1.有限元的概念与基本思想。有限元的概念与基本思想。2.2.有限元法的特点、作用和有限元法的分类。有限元法的特点、作用和有限元法的分类。3.3.求解有限元的基本步求解有限元的基本步骤。4.4.单元刚度系数、总体刚度系数的定义。单元刚度系数、总体刚度系数的定义。5.5.怎样求总体刚度矩阵？怎样求总体刚度矩阵？【作业作业】 若已知四个杆若已知四个杆单元在整体坐元在整体坐标系中的系中的单元元刚度矩度矩阵分分别如下，如下，试利用利用总体体刚度矩度矩阵的集成法的集成法写出写出该结构的整体构的整体刚度矩度矩阵KK的表达式。的表达式。
