《1.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(一)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(一)（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.1分类计数原理分类计数原理与分步计数原理分步计数原理首先认识两个原理首先认识两个原理: :分类加法计数原理和分步乘法计数分类加法计数原理和分步乘法计数原理原理 琢磨下面问题中的思考琢磨下面问题中的思考: :问题问题1.1.如图如图, ,从甲地到乙地从甲地到乙地, ,可以乘火车可以乘火车, ,也可以乘汽车也可以乘汽车一天中一天中, ,火车有火车有3 3 班班, , 汽车有汽车有2 2班，那么一天中乘坐这些班，那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? ?分析分析: : 从甲地到乙地有从甲地到乙地有2 2类方法类方法, , 第一类方法第
2、一类方法: :乘火车，有乘火车，有3 3种方法种方法; ; 第二类方法第二类方法: :乘汽车，有乘汽车，有2 2种方法种方法. . 所以所以 , ,从甲地到乙地共有从甲地到乙地共有3+2=53+2=5种方法种方法. .甲甲 乙乙火车火车1 1火车火车2 2火车火车3 3汽车汽车1 1汽车汽车2 2 通过例子抽象出通过例子抽象出数学模型数学模型: : 把把“从甲地到乙地从甲地到乙地”看成为看成为“完成一件事完成一件事”, ,完成它完成它有两类方法（火车、汽车）有两类方法（火车、汽车）: : 第一类有第一类有3 3种方法（火车有种方法（火车有3 3班）班） 第二类有第二类有2 2种方法（汽车有种方
3、法（汽车有2 2班）班） 因此完成一件事（从甲地到乙地因此完成一件事（从甲地到乙地) )共有共有3+2=53+2=5种不同的种不同的方法方法. . 分类加法计数原理分类加法计数原理：一般地：一般地, ,完成一件事，有两类办完成一件事，有两类办法，在第法，在第1 1类办法中有类办法中有m1 1种不同的方法，在第种不同的方法，在第2 2类办法中类办法中有有m2 2种不同的方法种不同的方法, ,那么完成这件事共有那么完成这件事共有Nm1 1+ +m2 2种不种不同的方法同的方法 . .思考课本第思考课本第3 3页探究页探究. . 更一般地更一般地 分类加法计数原理分类加法计数原理: :完成一件事，有
4、完成一件事，有n类办法类办法, ,在第在第1 1类类办法中有办法中有m1 1种不同的方法，在第种不同的方法，在第2 2类办法中有类办法中有m2 2种不同的种不同的方法方法, , 在第在第n类办法中有类办法中有mn种不同的方法那么完种不同的方法那么完成这件事共有成这件事共有Nm1 1+ +m2 2+mn种不同的方法种不同的方法 . .例例例例1 1 1 1：在填写高考志愿表时在填写高考志愿表时在填写高考志愿表时在填写高考志愿表时, , , ,一名高中毕业生了一名高中毕业生了一名高中毕业生了一名高中毕业生了解到解到解到解到,A,B,A,B,A,B,A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项两所大学各有
5、一些自己感兴趣的强项两所大学各有一些自己感兴趣的强项两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：专业，具体情况如下：专业，具体情况如下：专业，具体情况如下： A A A A大学大学大学大学 B B B B大学大学大学大学 生物学生物学生物学生物学 数学数学数学数学 化学化学化学化学 会计学会计学会计学会计学 医学医学医学医学 信息技术学信息技术学信息技术学信息技术学 物理学物理学物理学物理学 法学法学法学法学 工程学工程学工程学工程学如果这名同学只能选择一个专业如果这名同学只能选择一个专业如果这名同学只能选择一个专业如果这名同学只能选择一个专业, , , ,那么他共有多那么他共有多那么
6、他共有多那么他共有多少种选择呢？少种选择呢？少种选择呢？少种选择呢？想一想想一想想一想想一想 在填写高考志愿表时在填写高考志愿表时在填写高考志愿表时在填写高考志愿表时, , , ,一名高中毕业一名高中毕业一名高中毕业一名高中毕业生了解到生了解到生了解到生了解到,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C三所大学各有一些自己感兴趣三所大学各有一些自己感兴趣三所大学各有一些自己感兴趣三所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：的强项专业，具体情况如下：的强项专业，具体情况如下：的强项专业，具体情况如下： A A A A大学大学大学大学 B B B B大学大学大学大学 生物学生物学生物学
7、生物学 数学数学数学数学 化学化学化学化学 会计学会计学会计学会计学 医学医学医学医学 信息技术学信息技术学信息技术学信息技术学 物理学物理学物理学物理学 法学法学法学法学 工程学工程学工程学工程学如果这名同学只能选择一个专业如果这名同学只能选择一个专业如果这名同学只能选择一个专业如果这名同学只能选择一个专业, , , ,那么他共有多那么他共有多那么他共有多那么他共有多少种选择呢？少种选择呢？少种选择呢？少种选择呢？C C C C大学大学大学大学环境科学环境科学环境科学环境科学地质学地质学地质学地质学车辆工程车辆工程车辆工程车辆工程 琢磨下面问题中的思考琢磨下面问题中的思考: :问题问题2.2
8、.如图如图, ,由由A市去市去B市的道路有市的道路有3 3条，由条，由B市去市去C市的市的道路有道路有2 2条条。从从A市经市经B市去市去C市，共有多少种不同的走市，共有多少种不同的走法法? ?A A市市B B市市C C市市空空水水陆陆空空陆陆 分析分析: : 从从A A市经市经 B B市去市去C C市有市有2 2步步, , 第一步第一步, ,由由A A市去市去B B市有市有3 3种方法种方法, , 第二步第二步, ,由由B B市去市去C C市有市有2 2种方法种方法, , 所以所以, ,从从A A市经市经 B B市去市去C C市共有市共有3 3 2 = 6 2 = 6 种不同种不同的方法。的
9、方法。通过此例抽象出通过此例抽象出数学模型数学模型: : 把把“从甲地到乙地从甲地到乙地”看成看成“完成一件事完成一件事” ” ，完成这件必须分二个步骤完成这件必须分二个步骤: : 第一个步骤有第一个步骤有3 3种方法（从甲地到丙地）种方法（从甲地到丙地） 第二个步骤有第二个步骤有2 2种方法（从丙地到乙地）种方法（从丙地到乙地） 因此因此“完成一件事完成一件事”（从甲地到乙地）（从甲地到乙地）共有共有32=632=6（种）不同的方法（种）不同的方法 分步计数原理分步计数原理：一般地：一般地, ,做一件事，完成它需要分成做一件事，完成它需要分成两个步骤，做第一步有两个步骤，做第一步有m1 1种
10、不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第二步有m2 2种不同的方法种不同的方法, ,那么完成这件事共有那么完成这件事共有Nm1 1m2 2 不同的方不同的方法法思考课本第思考课本第5 5页探究页探究. . 更一般地更一般地 分步计数原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有个步骤，做第一步有m1 1种不同的方法，做第二步种不同的方法，做第二步有有m2 2种不同的方法种不同的方法，做第，做第n步有步有mn种不同的方种不同的方法那么完成这件事共有法那么完成这件事共有N Nm1 1m2 2 mn 不不同的方法同的方法例例2.2.用前用前6 6个大写英文字
11、母和个大写英文字母和1 19 9九个阿拉伯数字，九个阿拉伯数字，以以A A1 1，A A2 2，B B1 1，B B2 2，的方式给教室里的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？分析分析:由于前由于前6 6个英文字母中的任意一个都能与个英文字母中的任意一个都能与9 9个数个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各个不同，字中的任何一个组成一个号码，而且它们各个不同，因此共有因此共有69695454个不同的号码。个不同的号码。字母字母数字数字得到的号码得到的号码A A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A9树形图树形图例例例例3
12、.3.3.3. 我们班级有我们班级有我们班级有我们班级有30303030位男生位男生位男生位男生,24,24,24,24位女生位女生位女生位女生, , , ,现要从中选现要从中选现要从中选现要从中选出男生、女生各一名同学参加出男生、女生各一名同学参加出男生、女生各一名同学参加出男生、女生各一名同学参加“ “迎五一迎五一迎五一迎五一 讲文明讲文明讲文明讲文明 树新风树新风树新风树新风” ”演讲比赛演讲比赛演讲比赛演讲比赛, , , ,则共有多少种不同的选法？则共有多少种不同的选法？则共有多少种不同的选法？则共有多少种不同的选法？例例4 4书架的第书架的第1 1层放有层放有4 4本不同的计算机书，
13、第本不同的计算机书，第2 2层放层放有有3 3本不同的文艺书，第本不同的文艺书，第3 3层放有层放有2 2本不同的体育书本不同的体育书（1 1）从书架上任取）从书架上任取1 1本书，有多少种不同的取法？本书，有多少种不同的取法？（2 2）从书架的第）从书架的第1 1、2 2、3 3层各取层各取1 1本书，有多少种不同本书，有多少种不同的取法？的取法？（3 3）从书架上任取）从书架上任取2 2种不同类型的书各种不同类型的书各1 1本，有多少种本，有多少种不同的取法？不同的取法？解解：（：（1 1）从书架上任取）从书架上任取1 1本书，有本书，有3 3类方法：类方法：第第1 1类方法是从第类方法是
14、从第1 1层取层取1 1本计算机书，有本计算机书，有4 4种方法种方法第第2 2类方法是从第类方法是从第2 2层取层取1 1本文艺书，有本文艺书，有3 3种方法种方法第第3 3类方法是从第类方法是从第3 3层取层取1 1本体育书，有本体育书，有2 2种方法种方法根据分类加法计数原理，不同取法的种数是根据分类加法计数原理，不同取法的种数是N N4 43 32 29 9解解（2）从书架的第从书架的第1 1，2 2，3 3层各取层各取1 1本书，可以分成本书，可以分成3 3各步骤完成：各步骤完成：第第1 1步从第步从第1 1层取层取1 1本计算机书，有本计算机书，有4 4种方法种方法第第2 2步从第
15、步从第2 2层取层取1 1本文艺书，有本文艺书，有3 3种方法种方法第第3 3步从第步从第3 3层取层取1 1本体育书，有本体育书，有2 2种方法种方法根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是N N4324322424（2）从书架的第从书架的第1 1、2 2、3 3层各取层各取1 1本书，有多少种不本书，有多少种不同的取法？同的取法？书架的第书架的第1 1层放有层放有4 4本不同的计算机书，第本不同的计算机书，第2 2层放有层放有3 3本本不同的文艺书，第不同的文艺书，第3 3层放层放2 2本不同的体育书本不同的体育书. .例例5 5：如图：如图, ,要给地
16、图要给地图A A、B B、C C、D D四个区域分别四个区域分别涂上红、黄、蓝涂上红、黄、蓝3 3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种, ,允许允许同一种颜色可使用多次同一种颜色可使用多次, ,但相邻区域必须涂不同但相邻区域必须涂不同的颜色的颜色, ,不同的涂色方案有多少种？不同的涂色方案有多少种？解解: : 按地图按地图A、B、C、D四个四个区域依次分四步完成区域依次分四步完成, , 第一步第一步, , m1 1 = 3 = 3 种种, , 第二步第二步, , m2 2 = 2 = 2 种种, , 第三步第三步, , m3 3 = 1 = 1 种种, , 第四步第四步, , m4 4 =
17、 1 = 1 种种, ,所以根据乘法原理所以根据乘法原理, , 得到不同的涂色方得到不同的涂色方案种数共有案种数共有 N = 3 = 3 2 2 1 11 = 6 1 = 6 种。种。例例6.6.要从甲、乙、丙要从甲、乙、丙3 3幅不同的画中选出幅不同的画中选出2 2幅，分别挂幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？的挂法？解：第解：第1 1步：从步：从3 3幅画中选幅画中选1 1幅挂在左边墙上，有幅挂在左边墙上，有3 3种选法种选法第第2 2步：从剩下的步：从剩下的2 2幅画中选幅画中选1 1幅挂在右边墙上，有幅挂在右边墙上，
18、有2 2种选法种选法根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是N N32326 6 加法原理加法原理 乘法原理乘法原理联系联系区别一区别一完成一件事情共有完成一件事情共有n类类办法，关键词是办法，关键词是“分类分类”完成一件事情完成一件事情,共分共分n个个步骤，关键词是步骤，关键词是“分步分步”区别二区别二每类办法都能每类办法都能独立完成独立完成这件事情。这件事情。每一步得到的只是中间结果，每一步得到的只是中间结果，任何一步都任何一步都不能能独立完成不能能独立完成这件事情这件事情，缺少任何一步也，缺少任何一步也不能完成这件事情，只有每不能完成这件事情，只有每个
19、步骤完成了，才能完成这个步骤完成了，才能完成这件事情。件事情。分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题。完成一件事情的不同方法的种数的问题。区别三区别三各类办法是互斥的、各类办法是互斥的、并列的并列的各步之间是相关联的各步之间是相关联的分类计数与分步计数原理的区别和联系：分类计数与分步计数原理的区别和联系：1、已知集合、已知集合 ，则从集合则从集合A到集合到集合B的映射个数最多有的映射个数最多有 （ ）(A)432 (B)43 (C)34 (D)43 练习练习.P6.1,2,3问题问题3.3.自然数自然数120120
20、有多少个正约数？有多少个正约数？解：解：1201202 23 33535分三步完成：分三步完成：第一步：取第一步：取2 20 0，2 21 1，2 22 2，2 23 3有有4 4种种; ;第二步：取第二步：取3 30 0，3 31 1有有2 2种；种；第三步：取第三步：取5 50 0，5 51 1有有2 2种种. .由分步计数原理，共有由分步计数原理，共有4224221616种种. .所以自然数所以自然数120120有有1616个约数个约数. .例例4、台州市的部分电话号码是台州市的部分电话号码是05768415,后面每后面每个数字来自个数字来自09这这10个数个数,问可以产生多少个不同的电
21、问可以产生多少个不同的电话号码话号码?变式变式1: 若要求最后若要求最后4个数字不重复个数字不重复,则又有多少种不则又有多少种不同的电话号码同的电话号码?0576841510 10 10 10=104分析分析:分析分析:=504010 987变式变式2: 若要求最后若要求最后2个数字个位数字比十位数字大个数字个位数字比十位数字大,则又有多少种不同的电话号码则又有多少种不同的电话号码?如图，从甲地到乙地有如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地条路，从乙地到丁地有有3条路；从甲地到丙地有条路；从甲地到丙地有4条路可以走，从丙条路可以走，从丙地到丁地有地到丁地有2条路。从甲地到丁地共有多少种条路。
22、从甲地到丁地共有多少种不同地走法？不同地走法？课堂练习课堂练习甲地甲地丙地丙地丁地丁地乙地乙地N1=23=6N2=42=8N= N1+N2 =14 2.如图如图,该该电路电路,从从A到到B共有多少条共有多少条不同的线路不同的线路可通电？可通电？AB解解: 从总体上看由从总体上看由A到到B的通电线路可分三类的通电线路可分三类, 第一类第一类, m1 = 3 条条 第二类第二类, m2 = 1 条条 第三类第三类, m3 = 22 = 4, 条条 所以所以, 根据分类原理根据分类原理, 从从A到到B共有共有 N = 3 + 1 + 4 = 8 条不同的线路可通电。条不同的线路可通电。在解题有时既要分类又要分步。在解题有时既要分类又要分步。作业：书作业：书P6 1 2 3 4 P12 1 3 5 +P13 11、在所有的两位数中，个位数字比十位数、在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？字大的两位数有多少个？2、8本不同的书，任选本不同的书，任选3本分给本分给3个同学，每个同学，每人人1本，有多少种不同的分法？本，有多少种不同的分法？3、将、将4封信投入封信投入3个不同的邮筒，有多少种不个不同的邮筒，有多少种不同的投法？同的投法？4、已知、已知则方程则方程 可表示不同的圆的可表示不同的圆的个数有多少？个数有多少？
