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1、机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院第八章第八章机械优化设计实例机械优化设计实例机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院q前面我们较系统地学习了机械优化设计的前面我们较系统地学习了机械优化设计的理论和方法。理论和方法。q本章将首先介绍机械优化设计中的注意事本章将首先介绍机械优化设计中的注意事项和应用技巧；项和应用技巧；q接着通过几个典型机械优化设计实例，来接着通过几个典型机械优化设计实例，来说明在解决一个工程实际优化问题时，建说明在解决一个工程实际优化问题时，建立优化设计数学模型、选择适当的优化方立优化设计数学模型、选择适当的优化方法、编程、最终得出复合要求
2、的优化设计法、编程、最终得出复合要求的优化设计结果等问题结果等问题机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院第一节第一节应用技巧应用技巧q一、机械优化设计的一般过程一、机械优化设计的一般过程1）建立优化设计的数学模型）建立优化设计的数学模型2）选择适当的优化方法）选择适当的优化方法3）编写计算机程序）编写计算机程序4）准备必要的初始数据进行上机计算）准备必要的初始数据进行上机计算5）对计算机求得结果进行必要的分析）对计算机求得结果进行必要的分析机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院优化方法的选择优化方法的选择数数学学模模型型问题规模问题规模目标函数和约束函数目标
3、函数和约束函数的性态的性态计算精度计算精度问题种类问题种类机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院优化方法总的选用原则有以下几点：优化方法总的选用原则有以下几点：1.算法的通用性，算法的通用性，即在一定精度要求下，是否即在一定精度要求下，是否对各种不同特性的优化问题都能获得成功。对各种不同特性的优化问题都能获得成功。优化问题的特性一般表现在目标函数的优化问题的特性一般表现在目标函数的性质上，性质上，例如：变量的数目、非线性的程度、例如：变量的数目、非线性的程度、各变量间的交互作用程度、是单峰还是多峰、各变量间的交互作用程度、是单峰还是多峰、是否利用梯度信息、初始点是否可以任选等
4、是否利用梯度信息、初始点是否可以任选等2、其次看计算目标函数的次数。其次看计算目标函数的次数。在同样精度下，在同样精度下，希望计算目标函数的次数越少越好；希望计算目标函数的次数越少越好；机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院3、第三要看在同样精度的情况下，算法收敛第三要看在同样精度的情况下，算法收敛所需的计算机时间，即：计算效率所需的计算机时间，即：计算效率，当然越当然越快越好。快越好。例例机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院q二、建立数学模型的基本原则二、建立数学模型的基本原则在能够确切反映工程实际问题的基础上力求简洁在能够确切反映工程实际问题的基础上力
5、求简洁1、设计变量的选择、设计变量的选择设计参数的取舍设计参数的取舍尽量减少设计变量的数目尽量减少设计变量的数目 一个机械设计方案可以用一组基本参数的数值来表示。为了进行机械产品设计，都要寻找并确定最佳的设计参数。为了进行机械产品设计，都要寻找并确定最佳的设计参数。 这这些些参参数数中中，有有的的可可根根据据标标准准、规规定定等等选选定定，在在设设计计过程中始终保持不变，在优化设计中可认为是过程中始终保持不变，在优化设计中可认为是设计常量设计常量. .机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院例如：材料的机械性能参数例如：材料的机械性能参数状态参数：如功率、温度、应力、应变、状态
6、参数：如功率、温度、应力、应变、挠度、压力、速度等可由设计对象的尺寸、挠度、压力、速度等可由设计对象的尺寸、载荷以及构件间的运动关系等计算得出载荷以及构件间的运动关系等计算得出设计变量间应相互独立，否则会使目标函设计变量间应相互独立，否则会使目标函数出现数出现“病态病态”“山脊山脊”，“沟谷沟谷”机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院q2、目标函数的确定、目标函数的确定目标函数目标函数一项设计所追求的指标的数学反映一项设计所追求的指标的数学反映要求：要求：能够用来评价设计的优劣能够用来评价设计的优劣必须是设计变量的可计算函数必须是设计变量的可计算函数机械与材料学院机械与材料学
7、院机械与材料学院机械与材料学院q1）、优化目标的选择：）、优化目标的选择：应当对所追求的各项指标进行细致分析，从应当对所追求的各项指标进行细致分析，从中选择最重要、最具代表性的指标作为优化中选择最重要、最具代表性的指标作为优化目标目标例q2）、优化指标矛盾的处理）、优化指标矛盾的处理机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院在机械设计中，可作为参考目标函数的有在机械设计中，可作为参考目标函数的有： v一般机械：体积最小、重量最轻一般机械：体积最小、重量最轻v应力集中现象突出的构件：应力集中系数最小应力集中现象突出的构件：应力集中系数最小v精密仪器：精度最高或误差最小精密仪器：精度
8、最高或误差最小v若对机构的动态特性有专门要求，则应针对其若对机构的动态特性有专门要求，则应针对其动力学参数建立目标函数；动力学参数建立目标函数；v对于要求再现运动轨迹的机构设计，则应根据对于要求再现运动轨迹的机构设计，则应根据机构的轨迹误差最小建立目标函数。机构的轨迹误差最小建立目标函数。 机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院q3、约束条件的确定、约束条件的确定约束条件是就工程设计本身而提出的对设计变量约束条件是就工程设计本身而提出的对设计变量取值范围的限制条件，也是设计变量的可计算函取值范围的限制条件，也是设计变量的可计算函数。数。约束条件的分类约束条件的分类1 1）性性
9、能能约约束束：根根据据设设计计性性能能或或指指标标要要求求而而定定的的一一种种约约束束条条件件，例例如如：零零件件的的强强度度、刚刚度度、稳稳定定性性等等2 2）边边界界约约束束：是是对对设设计计变变量量取取值值范范围围的的限限制制。也也称称为为侧侧面面约约束束。例例如如齿齿轮轮的的模模数数，齿齿数数的的上上下下限限等。等。机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院在性能约束中，又有复杂和简单之分在性能约束中，又有复杂和简单之分 约束函数有的很简单，可以表示成显式形式，约束函数有的很简单，可以表示成显式形式，即反映设计变量之间明显的函数关系，这类约束叫即反映设计变量之间明显的函数
10、关系，这类约束叫做做显式约束显式约束。例如设计曲柄连杆机构时的曲柄存在例如设计曲柄连杆机构时的曲柄存在约束条件约束条件 有的只能表示成隐式形式，有的只能表示成隐式形式，例如复杂结构的性例如复杂结构的性能约束函数（变形、应力、频率等）能约束函数（变形、应力、频率等），需要通过有，需要通过有限元或动力学计算求得，机构的运动误差要用数值限元或动力学计算求得，机构的运动误差要用数值积分来计算，这类约束叫做积分来计算，这类约束叫做隐式约束隐式约束隐式约束隐式约束。机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院选择约束条件时应避免相互矛盾的约束，从选择约束条件时应避免相互矛盾的约束，从而使可行域
11、为空集，使问题无解；而使可行域为空集，使问题无解；还要尽量减少不必要的约束，否则增加计算还要尽量减少不必要的约束，否则增加计算量，减小可行域的范围，影响寻优效果。量，减小可行域的范围，影响寻优效果。机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院q三、数学模型的尺度变换三、数学模型的尺度变换在工程实际问题中，不同的设计变量，其量在工程实际问题中，不同的设计变量，其量纲一般是不同的，数量集的差别往往也很大；纲一般是不同的，数量集的差别往往也很大；在优化迭代中，这种差别对计算数值变化的在优化迭代中，这种差别对计算数值变化的灵敏性、收敛性、稳定性，都有不同程度的灵敏性、收敛性、稳定性，都有不
12、同程度的影响。影响。为了提高优化收敛速度，提高计算稳定性，为了提高优化收敛速度，提高计算稳定性，在机械优化设计中，常采用在机械优化设计中，常采用尺度变换尺度变换措施。措施。机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院q尺度变换尺度变换通过放大或缩小各坐标的比通过放大或缩小各坐标的比例尺，以达到改善数学模型性态，使之易例尺，以达到改善数学模型性态，使之易于求解的技巧于求解的技巧q1、目标函数的尺度变换、目标函数的尺度变换在优化设计中，若目标函数严重非线性，致使在优化设计中，若目标函数严重非线性，致使函数性态恶化，此时，无论采用何种优化方法，函数性态恶化，此时，无论采用何种优化方法，其
13、计算效率都不会高，而且计算稳定性差。这其计算效率都不会高，而且计算稳定性差。这时就需要对目标函数进行尺度变换。时就需要对目标函数进行尺度变换。例子例子例子例子机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院尺度变换前的等值线图尺度变换前的等值线图尺度变换后的等值线图尺度变换后的等值线图机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院q2、设计变量的尺度变换、设计变量的尺度变换对设计变量进行重新标度，使它们称对设计变量进行重新标度，使它们称为无量纲和规格化的设计变量。为无量纲和规格化的设计变量。方法：方法：原原设设计计变变量量尺度变换因子尺度变换因子尺度变换因子尺度变换因子新新设
14、设计计变变量量机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院尺度变换因子：尺度变换因子：机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院q3、约束函数的规格化、约束函数的规格化约束函数的尺约束函数的尺度变换度变换在机械优化设计中，约束条件都是根据工程在机械优化设计中，约束条件都是根据工程实际问题拟定的，因此，约束函数值的数量实际问题拟定的，因此，约束函数值的数量级往往会相差很大。级往往会相差很大。对于设计变量的微小变化，它们的灵敏度也对于设计变量的微小变化，它们的灵敏度也完全不同，灵敏度高的约束条件在极小化过完全不同，灵敏度高的约束条件在极小化过程中首先得到满足，灵敏度低的就
15、很难满足，程中首先得到满足，灵敏度低的就很难满足，因此需要对数量级相差很大的约束条件进行因此需要对数量级相差很大的约束条件进行尺度变换尺度变换例子例子机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院对于对于刚度、强度刚度、强度等性能约束，可建立如下约束条件：等性能约束，可建立如下约束条件：这样就使得各约束函数的取值范围都限制在这样就使得各约束函数的取值范围都限制在0,1区区间内，从而使搜索过程稳定进行并加快收敛速度。间内，从而使搜索过程稳定进行并加快收敛速度。机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院q四、优化结果分析和全局最优解问题四、优化结果分析和全局最优解问题q1、
16、优化结果分析、优化结果分析主要指核查优化结果的主要指核查优化结果的可行性和合理性可行性和合理性；依据：依据：1）目标函数值目标函数值，与原方案进行对比，看是，与原方案进行对比，看是否优于原始方案。同时，可利用目标函数的否优于原始方案。同时，可利用目标函数的中间输出数据，查看优化过程是否正常？中间输出数据，查看优化过程是否正常？机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院2）约束函数值约束函数值：一般的，对于大多数机械优化设计问题的最一般的，对于大多数机械优化设计问题的最优解，一般在一个或几个不等式约束曲面上，优解，一般在一个或几个不等式约束曲面上，因此相应的约束函数值为因此相应的约
17、束函数值为0或接近或接近0。如果所有的约束函数值全不为如果所有的约束函数值全不为0，则表明该，则表明该设计所施加的约束都不起作用，这时应考虑设计所施加的约束都不起作用，这时应考虑数学模型或优化过程是否有误，可改变初始数学模型或优化过程是否有误，可改变初始点或优化方法进行重新试算。点或优化方法进行重新试算。3）灵敏度分析）灵敏度分析机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院q二、全局最优解二、全局最优解当优化问题是凸规划问题时，才能保证得到当优化问题是凸规划问题时，才能保证得到全局最优解。全局最优解。当工程实际优化问题往往不是凸规划问题，当工程实际优化问题往往不是凸规划问题，因此常
18、得到局部最优解，故求解工程优化问因此常得到局部最优解，故求解工程优化问题大多从多个初始点出发进行迭代，如果都题大多从多个初始点出发进行迭代，如果都收敛到同一最优点，则该点就是全局最优点。收敛到同一最优点，则该点就是全局最优点。如果得到不同的最优点，则它们是局部最优如果得到不同的最优点，则它们是局部最优点，应通过比较这些全局最优点，取其目标点，应通过比较这些全局最优点，取其目标函数最小者作为全局最优解。函数最小者作为全局最优解。机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院机械优化设计实例机械优化设计实例q例一、机床主轴结构优化设计例一、机床主轴结构优化设计机械与材料学院机械与材料学院
19、机械与材料学院机械与材料学院q问题描述：问题描述：当跨距当跨距l，外伸端外伸端a，轴的内、外径，轴的内、外径d、D分分别为何值时，主轴重量最轻？别为何值时，主轴重量最轻？q问题分析：问题分析：机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院1、确定设计变量、确定设计变量由于材料一定时，主轴内孔只与机床型号有关，由于材料一定时，主轴内孔只与机床型号有关，所以设计变量为：所以设计变量为：机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院2、目标函数：、目标函数：考虑主轴最轻，所以机床主轴优化设计的考虑主轴最轻，所以机床主轴优化设计的目标函数为目标函数为材料的密度材料的密度机械与材料学
20、院机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院3、约束条件：、约束条件：1）刚度约束条件：）刚度约束条件：由于主轴刚度是一个重要的由于主轴刚度是一个重要的性能指标，其外伸端的挠度性能指标，其外伸端的挠度y不得超过规定值不得超过规定值y0所所以可依此建立性能约束：以可依此建立性能约束：机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院2）边界约束条件）边界约束条件设计变量的取值范围设计变量的取值范围机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院机床主轴优化设计的数学模型为：机床主轴优化设计的数学模型为：机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院计算实例：计算实例：见教材例见教材例81分析：分析：由于该优化问题属非线性问题，且目标函由于该优化问题属非线性问题，且目标函数和约束函数均为显函数，设计变量数目不多，数和约束函数均为显函数，设计变量数目不多，故可采用故可采用内点惩罚函数法内点惩罚函数法求解，经过求解，经过17次迭代，次迭代，得到最优解为得到最优解为机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院实例二：单级圆柱齿轮减速器的优化设计实例二：单级圆柱齿轮减速器的优化设计机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院机械与材料学院
